Введение к работе
Актуальность проблемы. Сокращения различных участков сердца обычно хорошо скоординированы между собой. Правильная последовательность сокращений мышечных стенок сердечных камер управляется автоволнами возбуждения - волнами электрической перезарядки мембран сердечных клеток, направленно распространяющимися от синоатриального узла к предсердиям и - через пучок Гиса и систему волокон Пуркинье - к обоим желудочкам. Резкое падение скорости проведения при повреждениях миокарда может приводить к нарушениям сердечного ритма. При этом вместо нормального распространения автоволн могут возникать необычные режимы распространения, которые нарушают синхронность сердечных сокращений и приводят к патологиям - сердечным аритмиям.
Из сказанного уже понятно внимание, уделяемое специалистами исследованию закономерностей генерации, распространения и взаимодействия автоволн в нелинейных сильно диссипативных распределённых системах - возбудимых средах. Автоволны - это самоподдерживающиеся нелинейные волны, сохраняющие свои характеристики неизменными за счет распределенного в среде источника свободной энергии.
Математические исследования режимов управления сокращениями миокарда, связанных с распространением волн возбуждения в нормальных условиях и в условиях патологий, впервые были начаты в работе Винера и Розенблюта (Wiener, Rosenbluelh, 1946). Её авторам удалось объяснить трепетание предсердий циркуляцией волны вокруг полых вен. Последующее развитие математических исследований электрических импульсов возбуждения в сердечных тканей связано с моделью Нобла (Noble, 1962) -системой дифференциальных уравнений четвертого порядка. Сведение уравнений Нобла асимптотическим переходом (Кринский, Кокоз, 1973) к системе второго порядка, известной как система Фитцхью-Нагумо (ФХН), позволило проводить качественные исследования распространения волн возбуждения в сердечной ткани на базе математической модели автоволновых процессов ФХН,
Происхождение ряда аритмий связывают с эффектом "эхо": отражение при взаимодействии бегущих импульсов с геометрическими и/или функциональными неодно-родностями возбудимой среды (Кринский, Холопов, 1967; Васильев, Романовский, Ях-но, 1979,1987; Кринский, 1981, Ermentrout, Rinzel, 1995;). В тоже время, до недавнего времени аннигиляция импульсов при столкновении друг с другом и с непроницаемыми препятствиями считалась фундаментальным свойством автоволн, базирующимся на основном свойстве возбудимой ткани - рефрактерности, что делает невозможным отражение и сквозное прохождение автоволн.
Результаты численных экспериментов, выполненных в последние шесть лет с привлечением как простых качественных моделей возбудимых сред (Petrov et al, 1994; Kricher, Mikhailov, 1994; Kozek, Marek, 1995; Морнев и др., 1996, 1997), так и систем уравнений высокого порядка, количественно точно описывающих нелинейную динамику импульсов в нервных волокнах и возбудимых волокнах проводящей системы сердца (Асланиди, Морнев, 1996, 1997, 1999), продемонстрировали существование в однородных возбудимых средах необычных режимов, соответствующих отражению автоволн при их столкновениях друг с другом и с непроницаемыми границами среды. Эти режимы были названы солитоноподобными. Экспериментально режим отражения авто воли был обнаружен в химической возбудимой среде (Oertzen et al, 1998).
Области значений параметров возбудимых сред, при которых реализуются соли-тоноподобные режимы, достаточна малы. Однако их наличие в широком спектре моделей сигнализирует о том, что указанные режимы являются отнюдь не экзотикой, а явлением общего характера. Наряду с этим было показано, что имеется еще один тип отражения: при взаимном столкновении волн возбуждения или при их взаимодействии с
границей может возникать многоимпульсное переизлучение волн, с течением времени переводящее среду в автоколебательный режим.
Обнаружение в возбудимых средах солитоноподобных режимов и режимов многоимпульсного переизлучения в корне меняет взгляд на объяснение большого числа экспериментальных фактов, связанных с динамикой электрических импульсов в сердечных тканях. В частности, высказана гипотеза (Асланиди, Морнев, 1999), что именно эффекты эхо, обусловленные интерференцией следовых волн, ответственны за некоторые из нарушений сердечного ритма, наблюдающиеся в условиях так называемой триггерной активности. Механизм развивающихся при этом аритмий может состоять в том, что в условиях солитоноподобпого режима регулярный однонаправленный поток волн возбуждения, периодически пробегающих по сердцу от предсердий к желудочкам и вызывающих ритмические скоординированные сокращения сердечных камер, дезорганизуется в результате каскада переотражений, инициируемого спорадическими встречными волнами. Один из ключевых пунктов в этой картине - появление встречных волн: как они могут возникать? В настоящей работе численными методами исследуется один из возможных сценариев их генерации. Далее будет показано, что в условиях, поддерживающих солитоноподобные режимы, встречные волны могут генерироваться по механизму эхо при падении волн возбуждения на непроводящие включения - локальные участки двумерной возбудимой среды, отделённые от остальных её участков границами с низкой электрической проводимостью. В сердце роль таких включений могут играть, например, невозбудимые устьевые участки вен, поставляющих кровь в предсердия, а также некротические участки, формирующиеся в патологических условиях в местах ишемии - зонах локальных нарушений коронарного кровоснабжения миокарда.
Цели и задачи работы. Основная цель настоящей работы состояла в численном исследовании свойств новых автоволновых режимов в двумерных возбудимых средах. Для достижения этой цели были поставлены следующие конкретные задачи:
-
В численных экспериментах с системой уравнений Фитцхью-Нагумо, качественно моделирующей динамику биологических возбудимых сред, исследовать эффекты, сопутствующие столкновениям автоволн возбуждения с непроводящими включениями в условиях солитоноподобного режима (и режима многоимпульсного переизлучения (МИП)).
-
Для солитоноподобного режима и режима МИП исследовать процесс формирования и динамику вращения спиральных волн возбуждения - как при наличии непроводящих включений так и в их отсутствии.
-
На математических моделях возбудимых сред с двумя ненулевыми коэффициентами диффузии (активатора и ингибитора) исследовать динамику состояния среды в условиях, поддерживающих режимы отражения автоволн.
Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты:
-
Установлено, что в условиях, поддерживающих в возбудимой среде солитоноподоб-ный режим, эховолны генерируются в окрестностях только таких непроводящих включений, геометрические размеры которых достаточно велики; включения под-критических размеров огибаются набегающими на них автоволнами без генерации эховолн. Аналогичные результаты получены и в условиях режима многоимпульсного переизлучения (МИП) сталкивающихся автоволн.
-
Построен контрпример к известной теории Курамото (Kuramoto, 1980), запрещавшей существование автоволн, вогнутых в направлении распространения: в численных экспериментах впервые продемонстрировано существование долгоживущих вогнутых одно- и многорукавных спиральных волн, реализующихся в возбудимой среде в условиях солитоноподобного режима и режима МИП.
-
Возникшее противоречие разрешено путём численного исследования влияния граничных условий на форму переднего фронта спиральных волн, вращающихся в условиях упомянутых режимов. Показано, что вогнутая спиральная волна - нелокальный объект, тогда как теория Курамото является существенно локальной и потому -неуниверсальной.
-
В численных экспериментах с математическими моделями возбудимых сред, содержащими два ненулевых коэффициента диффузии, обнаружен новый тип автоволновых структур - "диссипативный пульсар", в котором источники бегущих импульсов сосуществуют со стационарной структурой.
Практическая ценность диссертационной работы обусловлена возможностью применения полученных в ней результатов как для дальнейшего развития общей теории автоволновых процессов, так и в биомедицинских приложениях. Исследуемые в работе эффекты отражения импульсов возбуждения могут лежать в основе механизмов, ответственных за развитие сердечных аритмий, - в частности, за нарушения сердечного ритма, возникающие в условиях так называемой триггерной активности.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах механико-математического факультета и Института механики МГУ, на семинарах и научных конференциях Института теоретической и экспериментальной биофизики РАН, на международных конференциях "Ломоносов" (МГУ: 1995, 1996, 1997), International Conference "Criteria of selforganization in physical, chemical and biological systems" (Суздаль, 1995), "Nonlinear dynamics in polymer science and related fields" (Москва, 1999), на Втором Всероссийском биофизическом съезде (Москва, 1999). Исследования по теме диссертации выполнялись при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 99-01-00956, № 99-01-01041).
Публикации. Результаты диссертации представлены в 10 научных работах, список которых приведён в конце автореферата.
Структура н объем диссертации. Диссертация изложена на об страницах и состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы из /^наименований.