Введение к работе
Актуальность темы. Теория устойчивости движения широко применяется в механике, физике, астрономии, химии и т.п. Задачей устойчивости движения занимались многие виднейшие математики и механики.
Задача об устойчивости движения впервые во всей ее общности была поставлена A.M. Ляпуновым. Ляпунов же дал строгое определение устойчивости движения. Определение А.М. Ляпунова оказалось настолько удачным, что оно принято как основное. После А.М. Ляпунова теория устойчивости движения развивалась по различным направлениям. Углублялись методы и уточнялись результаты А.М. Ляпунова, расширялся круг понятий, введенных А.М. Ляпуновым в теорию устойчивости движения, в частности, усилия многих ученых были направлены на определение условий устойчивости при больших начальных и постоянно действующих возмущениях, а также на конечном промежутке времени и при случайных воздействиях.
Затем появились работы Н.Г.Четаева, И.Г. Малкина, Е.А. Барбашина, М.Г. Крейна, Н.Н. Красовского, К.Л. Персидского, Н.П. Еругина, В.В. Румянцева, Г.В. Каменкова, К.А. Абгаряна, А.А. Лебедева, В.И. Зубова, Д.Р. Меркина, Б.М. Матросоаа, Х.Л. Массера и др.
Вопросы устойчивости движения упругих систем глубоко и всесторонне изучались многими исследователями. Существенный вклад в этой области внесен армянской школой механиков: работы С.А. Амбарцумяна, Л.А. Мовсисяна, Г.Е. Багдасаряна, В.Ц. Гнуни, М.В. Белубекяна, А.Г. Багдоева, Б.А. Костандяна и др.
В работах М.С. Габриеляна, С.Г. Шагиняна поставлены и решены задачи устойчивости динамических систем при интегрально-малых возмущениях. Дано новое определение устойчивости — устойчивость по действующей силе. Для линейных систем с постоянными коэффициентами найдены необходимые и достаточные условия устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости по действующей силе. Построены функции Ляпунова, обеспечивающие устойчивость, неустойчивость и асимптотическая устойчивость по действующей силе линейных систем. Для нелинейных динамических систем указаны достаточные условия, при которых устойчивые по Ляпунову системы остаются устойчивыми по действующей силе. Найдены
также достаточные условия, при которых устойчивые по Ляпунову системы неустойчивы по действующей силе.
Известно, что все случаи, которые могут представиться при решении задачи устойчивости, когда уравнения возмущенного движения имеют вид
df=PuX\ +- + Pinxn + Xi(xV">x") 0'= І.-,*),
можно подразделить на две категории: на случаи некритические, когда задача решается уравнениями первого приближения, и случаи критические, когда требуется рассмотрение членов более высоких порядков.
С математической точки зрения критические случаи можно рассматривать как исключительные. Однако с точки зрения механической эти случаи имеют очень важное значение. Следовательно, очень важно иметь методы, позволяющие решать задачу устойчивости в критических случаях.
В настоящей работе рассмотрены задачи устойчивости по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений, асимптотически устойчивых по Ляпунову и систем нелинейных дифференциальных уравнений в критических случаях при к нулевых корнях, а также задачи устойчивости движения ракеты.
Целью работы является определение достаточных условий в критических случаях, при которых тривиальное решение таких систем нелинейных дифференциальных уравнений будет устойчивым, неустойчивым или асимптотически устойчивым по действующей силе. А также определение достаточных условий (при возможности и необходимых условий), при которых движение ракеты будет устойчивым или неустойчивым по действующей силе.
Метод исследования. Использованы методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения. Задача устойчивости или неустойчивости решаются первым и вторым методом Ляпунова, а также использованием полученных результатов теории устойчивости по действующей силе.
Научная новизна. В диссертационной работе определены достаточные условия, при которых тривиальное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений, асимптотически устойчивых по Ляпунову, будет неустойчивым по действующей силе. При этом возмущающие силы, определенные на конечном
5 отрезке времени выбираются из класса функций, суммируемых по Лебегу.
Для систем нелинейных дифференциальных уравнений в критических случаях получены достаточные условия, при которых тривиальное решение таких систем будет устойчивым, неустойчивым или асимптотически устойчивым по действующей силе.
Определены необходимые и достаточные условия, при которых движение ракеты в линейном приближении будет устойчивым или неустойчивым по действующей силе. Получены также достаточные условия, при которых движение ракеты в нелинейной постановке, когда рассматриваются члены до третьего порядка, будет устойчивым по действующей силе.
Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач в области небесной механики, динамики твердого тела и других разделах теоретической и прикладной механики.
Обоснованность и достоверность. Поставленные задачи математически решены точно. Приведены конкретные примеры, утверждающие достоверность полученных результатов.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:
а) на семинарах кафедры теоретической механики
Ереванского государственного университета, Ереван — 1994-1998
г. г.;
б) на республиканской конференции "Современные вопросы
оптимального управления и устойчивости систем", Ереван — 28-
30 октября 1997 г.
в) на общем семинаре в Институте Механики НАН Армении,
Ереван— 1998г.
г) на семинаре кафедры механики сплошной среды Ереванс
кого государственного университета, Ереван — 1998 г.
Структура и объем работы. Настоящая диссертационная работа содержит 107 стр., включая введение, три главы, основные выводы и библиографический список, содержащий 35 наименований цитируемой литературы.