Введение к работе
. Диссертация посвящена качественному исследованию некоторых свойств движения тяжелых твердых тел по поверхностям различной формы, а также доказательству неинтегрируемости уравнений скольжения твердого тела по гладкой горизонтальной плоскости.
Актуальность темы. Одним из классических разделов динамики твердого тела является задача о движении твердого тела по заданной поверхности. Первые результаты в этой области были получены Л.Эйлером. В работе ' он изучил малые колебания твердого выпуклого тела, движущегося без скольжения по горизонтальной плоскости. Исследования Эйлера были продолжены в работах Даламбера, Кориолиса, Аипеля, Жуковского, Чаплыгина и многих других авторов. Обзор этих результатов можно найти в 2. Существенный вклад в исследование движения твердого тела по заданной поверхности внес английский математик и механик Э. Раус. В книге 3 он подробно рассмотрел качение однородного шара по неподвижным поверхностям, имеющим форму цилиндра, конуса, параболоида, а также движение шара на вращающейся сфере. В задаче о качении тяжелого однородного шара по произвольной шероховатой поверхности вращения Раус изучил стационарные решения и, исходя из линеаризованных в окрестности стационарных решений уравнений движения, нашел необходимые условия их устойчивости. Для получения уравнений движения Раус использовал основные теоремы динамики в проекции на оси системы координат, подвижной относительно тела.
Аналогичный способ применяется для составления уравнений движения рассматриваемых в диссертации механических систем. Одной из них
filler L. De minimis oscillationibus corporum tam rigidorum quam flexililium, methodus nova et facilis. Commentarii Academiae scienliarum imperiales Petropolitanae 1734-1785.-1740. T.7.-P.99-122.
2Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. M. "Наука". 1992. 336 с.
3Раус Э. Динамика системы твердых тел. т.2. М.1983.
является задача о качении тяжелого однородного шара по неподвижному горизонтальному кольцу. Здесь, следуя Раусу, найдены стционарные движения, и, используя некоторые современные методы, получены условия их устойчивости.
Другой системой, изучаемой в диссертации, является движение тяжелого диска по горизонтальной плоскости. Изучению этой задачи посвящена обширная литература . Много интересных результатов получены в случаях скольжения диска по абсолютно гладкой плоскости, качения по абсолютно шероховатой плоскости и в случае движения диска с острым краем на льду. Первый случай представляет собой пример голономной механической системы, остальные два являются неголономными системами. Обычно предполагается, что диск однородный и его край имеет форму круга. При этом предположении во всех трех случаях уравнения движения диска во всех трех случаях могут быть проинтегрированы. Менее иследованными остаются ситуации, когда диск неоднородный или он ограничен произвольной выпуклой кривой. "Уравнения движения в этих задачах уже неинтегрируемые, как это показано в диссертации на примере задачи о скольжении круглого диска по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Однако, применяя различные методы качественного анализа дифференциальных уравнений, удается получить некоторые результаты и в этих случаях. Этому посвящена одна из глав предлагаемой диссертации.
Цель работы заключается в качественном исследовании некоторых свойств движения тяжелого твердого тела по заданной поверхности.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. В задаче о качении без проскальзывания тяжелого однородного шара по неподвижному горизонтальному кольцу найдены стационарные решения и исследована их устойчивость. Уточнены условия устойчи-
вости стационарных решений, полученные Раусом в задаче о качении однородного шара по поверхности вращения.
2. В задаче о скольжении круглого динамически несимметричного
диска по горизонтальной плоскости доказано, что для почти всех на
чальных данных (в смысле меры Лебега) диск никогда не упадет на
плоскость. Далее, показано, что этим свойством обладает также диск,
ограниченный произвольной выпуклой кривой.
3. Доказана неинтегрируемость задачи о скольжении круглого дина
мически несимметричного диска, когда его главные центральные момен
ты инерции мало отличаются друг от друга.
Апробация работы. Результаты работы доложены и обсуждены иа научно-исследовательском семинаре механико-математического факультета МГУ "Динамические системы классической динамики" под руководством В.В.Козлова и С.В.Болотина.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, изоженных на 65 страницах, включая 12 рисунков и список цитируемой литературы из 22 наименований.