Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Необходимые сведения из механики деформируемых твёрдыхтел 14
1.1. Вариационный принцип Даламбера - Лагранжа 14
1.2. Функционалы внутренних упругих и диссипативных сил .16
1.3. Малые деформации. Функционалы потенциальной энергии малых деформаций 20
1.4. Модальный подход 24
1.5. Уравнения Лагранжа, Гамильтона и Рауса .26
ГЛАВА 2. Эволюция вращения спутника c полусферической антенной, движущегося по эллиптической орбите .32
2.1. Постановка задачи .32
2.2. Функционал потенциальной энергии гравитационного поля .37
2.3. Уравнения для модальных переменных 49
2.4. Переменные Андуайе и уравнения Рауса .51
2.5. Быстрая эволюция вращательного движения спутников .59
2.6. Медленная диссипативная эволюция 63
ГЛАВА 3. Быстрые эволюционные процессы в задаче о поступательно-вращательном движении деформируемого спутника 75
3.1. Постановка задачи .75
3.2. Уравнения движения .82
3.3. Быстрая эволюция долготы восходящего узла и аргумента широты перигея 91
3.4. Эволюция остальных переменных .93
ГЛАВА 4. Медленная эволюция в задаче о поступательно-вращательном движении деформируемого спутника 94
4.1. Гравитационные приливы 94
4.2. Усреднённые уравнения поступательно - вращательного движения 98
ГЛАВА 5. О частотах лунно-солнечных приливов деформируемой Земли .102
5.1. Постановка задачи .102
5.2. Вычисление деформаций в мантии Земли .107
5.3. Вычисление частот приливов Лунно-Солнечных .110
Заключение .113
Список литературы 1
- Малые деформации. Функционалы потенциальной энергии малых деформаций
- Функционал потенциальной энергии гравитационного поля
- Быстрая эволюция долготы восходящего узла и аргумента широты перигея
- Усреднённые уравнения поступательно - вращательного движения
Введение к работе
Актуальность темы исследования: Вопросы эволюции поступательного и вращательного движений космического объектов (естественных и искусственных) под действием гравитационно-приливных сил ранее исследовались в работах Дж.Г. Дарвина, У. Манка и В. Макдональда, П. Голдрайха и С. Пила, В.В. Белецкого, В.Г. Вильке, Ю.Г. Маркова, А.П. Маркеева и других авторов. Теоретическое исследование движения сложных механических систем – достаточно трудная математическая задача. Поэтому научный и практический интерес представляет решение модельных задач, позволяющих понять характерные закономерности движения сложных многокомпонентных тел и конструкций, т.е. систем, состоящих из твердых тел, материальных точек, а также звеньев с распределенными параметрами, для которых процессы деформирования обратимы и существует потенциальная энергия упругих деформаций. Кроме того, исследование поступательно-вращательного движения деформируемых спутников является основополагающим для достижения высоких точностей определения их эфемерид. Другой важной проблемой является построение модели лунно-солнечных приливов, которая тесно связана с динамикой вращения Земли, и, в конечном итоге, также, должна учитываться в построении высокоточных моделей движения спутников Земли. Поэтому исследования по данной тематике являются актуальными.
Цели и задачи диссертационной работы: состоит в изучении эволюции вращательного движения вязкоупругого спутника, движущегося по эллиптической орбите вокруг притягивающего центра, относительно его центра масс, а также эволюции его поступательно-вращательного движения; кроме того использующаяся в предыдущих задачах модель осесимметричного вязкоупругого спутника применена для исследования Лунных и Солнечных приливов на Земле.
Научная новизна:
1. Изучена эволюции вращений относительно центра масс осесимметричного спутника, состоящего из абсолютно твердой части и вязкоупругой полусферической антенны; показано, что эволюция может быть разбита на два этапа – быструю и медленную. Показано, что быстрая эволюция вращений относительно центра масс заключается в том, что вектор кинетического момента
расположится вдоль оси симметрии спутника, (в случае, если осевой момент инерции больше экваториального), и в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (в случае, если экваториальный момент инерции больше осевого).
2. Показано, что медленная эволюция заключается в замедлении осевого вращения,
наклонении вектора кинетического момента к плоскости орбиты. Найдены
стационарные значения углов отклонения вектора кинетического момента от
нормали к плоскости орбиты и исследована их устойчивость.
3. В задаче о движении вязкоупругого шарообразного спутника в поле притя
гивающего центра на основе решения уравнений квазистатических деформаций,
получен эффект быстрой эволюции – прецессия плоскости орбиты спутника и
вращение перицентра орбиты в ее плоскости.
-
Найдено стационарное решение задачи – орбита является круговой, вектор кинетического момента ортогонален плоскости орбиты и угловая скорость орбитального движения совпадает с угловой скоростью спутника.
-
На основе модели деформируемой Земли, состоящей из абсолютно твердого ядра и вязкоупругой мантии, получены уравнения для упругих перемещений, вызванных гравитацией Луны и Солнца, и найдены приближенные значения частот приливов.
Теоретическая и практическая значимость:
В работе исследована задача об эволюции вращений спутника с вязкоупругой полусферической антенной на эллиптической орбите. Полученные результаты предсказывают характерные черты эволюции движения подобных спутников. Предложенная модель может различным образом усложняться, отражая черты реального устройства спутника, а также может быть использована для численного моделирования. Все это, в конечном итоге, позволяет улучшить точность ориентации спутников.
Вторая задача, рассмотренная в диссертации, является некоторым обобщением первой. В ней рассмотрено поступательно-вращательное движение спутника. Однако здесь спутник моделируется однородным и изотропным вязкоупругим шаром, что делает модель несколько отличной от первой задачи. Здесь результаты исследования
позволяют оценить эволюцию не только вращения вокруг центра масс спутника, но и эволюцию его траектории.
Последняя задача предлагает модель, позволяющую приближенно вычислять приливные деформации Земли, и, на их основе получить значения частот лунно-солнечных приливов. Данная теоретическая модель может явиться основой для более точных численных моделей приливов.
Методология и методы исследования:
Для получения уравнений движения использовался вариационный принцип Даламбера – Лагранжа, и уравнения Рауса, распространенные на механику сплошных сред, а также общие теоремы механики. Разложение упругих перемещений в ряд по собственным формам позволило свести уравнения для перемещений к счетной, а далее, в некоторых случаях, и к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений для модальных переменных. Наличие естественных малых параметров, таких как малая диссипация энергии, сильно различающиеся характерные размеры в механической системе, а также разные характерные времена движений, позволило применить асимптотические методы для исследования полученных уравнений.
Положения, выносимые на защиту:
-
Показано, что в задаче об эволюции вращений спутника относительно центра масс в результате быстрой эволюции вектор кинетического момента расположится вдоль оси симметрии спутника (если осевой момент инерции больше экваториального) и в экваториальной плоскости, если наоборот.
-
Установлено, что в результате медленной диссипативной эволюции под действием гравитационно-приливных моментов от притягивающего центра будет происходить замедление быстрого осевого вращения, а вектор кинетического момента будет наклоняться к плоскости орбиты, а в случае обратного вращения переворачиваться в прямое вращение.
-
В задаче о поступательно-вращательном движении шарообразного вязко-упругого спутника, вследствие осесимметричных деформаций, возникающих из-за сил центробежных сил инерции, происходит быстрая эволюция орбиты спутника заключающаяся в прецессии плоскости орбиты (т.е. изменении долготы восходящего узла), а также вращении перицентра орбиты в ее плоскости.
4. Получено, что медленная эволюция спутника, обусловленная гравитаци-онными
приливами приводит орбиту к круговой, при этом вектор кинетического момента
спутника становится ортогональным к плоскости орбиты, а угловая скорость
вращения стремится к его орбитальной скорости.
5. Найдены приближенные значения частот лунно-солнечных приливов на основе
модели деформируемой Земли, состоящей из твердого ядра и вязкоупругой
мантии.
Степень достоверности и апробация результатов: Достоверность
построенных математических моделей и сделанных выводов обеспечена корректной постановкой математических задач, а также согласованностью их с результатами других авторов. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах и научных конференциях.
Публикации: Научные результаты диссертации опубликованы в статьях журналов из списка ВАК [1-3].
Результаты работы докладывались и обсуждались на:
Международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль, 5-9 июля 2013 г.
Международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль, 3-7 июля 2015 г.
Семинарах под руководством проф. Б.С. Бардина и проф. П.С. Красильникова на факультете "Прикладная математика и физика" Московского авиационного института.
Личный вклад автора: Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы, и получены либо лично автором, либо при его непосредственном участии. Подготовка к публикации проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.
Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Она содержит 120 страниц машинописного текста, включающего 7 рисунков и список литературы из 59 наименований.
Малые деформации. Функционалы потенциальной энергии малых деформаций
Кратко приведем сведения о принципах построения функционалов внутренних упругих и диссипативных сил в деформируемых системах. Дополнительную информацию и подробное изложение теории упругости можно найти в работах [30-32,34-36,46,51,52,54,56].
Важным признаком, по которому теория упругости выделяется из других теорий деформируемого твердого тела (теория пластичности и др.) является тот факт, что все процессы деформирования по определению обратимы и существует потенциальная энергия упругой деформации.
Пусть тело в недеформированном естественном состоянии занимает область Q и u(r,t) (reQ) - перемещение точек среды при деформациях относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Деформации будем задавать линейным отображением dR = Jdr, J= J , ./ =5+м (1.4) и1]=Ъи1/Ъх] (/,7 = 1,2,3), У У у" где R = r + u, r = (jc1,jc2,jc3), 5у - тензор Кронекера. Отображение (1.4) преобразует окрестность точки г при деформациях. Лемма. [12,13,22]. Оператор J представим в виде: J = 01A02, С\, 92є 9(3), A \ 0. Здесь O1,02 - ортогональные операторы, принадлежащие группе вращений SO(3) трехмерного евклидового пространства Е3. При конечных деформациях частицы среды преобразование, описываемое оператором J, состоит из вращения ее как твердого тела, задаваемого матрицей 02, растяжения-сжатия (собственно деформации) по трем взаимно ортогональным направлениям (матрица Л) и вращения как твердого тела (деформированной частицы), задаваемого матрицей O1.
Тензор C = J-JT носит название тензора Коши-Грина, а тензор Е = 12(С -1) - тензора конечных деформаций (или Коши). Через / обозначен единичный тензор 5у.
В теории упругости удельный потенциал упругих деформаций в общем случае неоднородной неизотропной среды задается в виде: Ё = Ё(г,0,\,Х2,Х3), гєО, OeSO(3), (1.5) где г - лагранжевы координаты частицы среды (в задачах теории упругости, как правило, требуется найти смещения индивидуальных частиц среды, например, изменение формы внешних границ твердого тела и поэтому используются переменные Лагранжа), 0(г) - ориентация репера, связанного с частицей, по отношению к инерциальным осям, \(i = 1,2,3) - главные удлинения при деформации частицы. Собственные числа \ выражаются через инварианты 1г,Пг,Ш тензора конечных деформаций LL є у к=\ І/ II Z-f й 2 /=1 4 =ґг К = — 7 — 1 / ,ti 2 /_ i t=\ (1.6) r з III = det є l( -l)( -l)( 2-l). Из (1.6) следует, что для удельного потенциала упругих деформаций справедливо Ё = Ё(т,О,1в,Нв,Шв) 0, Причем равенство нулю достигается только при 1г = II г = IIIг = О, то есть когда оператор J принадлежит группе вращений трёхмерного пространства. Потенциальная энергия упругих деформаций среды представляет собой функционал вида Е[и] = \Ё(г,О,и0)с1х, dx = dx1dx2dx І2 (1.7) Здесь учтено, что d\i=ydx, где у (г) - плотность тела в естественном состоянии, dx – объём элемента среды. Далее будем рассматривать только однородные изотропные среды, для которых исключается зависимость удельной потенциальной энергии от ориентации репера и явное вхождение в ее выражение координат точек среды. Тогда (1.7) представится в виде [12,13]: E[vL] = \E(uv)dx. Q
Сила взаимодействия между двумя частицами в классической механике имеет вид F = F(r,(r,r))r, где г- взаимный радиус-вектор частиц. В случае упругих сил отсутствует второй аргумент функции F. При рассмотрении напряжений в сплошной среде, возникающих при движении одних элементов среды относительно других (называемых вязкими напряжениями, или напряжениями вязкого трения) остается зависимость только от второго аргумента. Из определения тензора конечных деформаций
Функционал потенциальной энергии гравитационного поля
Рассматривается задача об эволюции вращательного движении спутника, несущего полусферическую антенну (рис. 1) и движущегося по эллиптической орбите вокруг притягивающего центра. Спутник состоит из твёрдой части, соединённой тонкой ножкой с вязкоупругой полусферической антенной. Предполагается, что твёрдая часть спутника является однородной и осесимметричной, причем ее ось симметрии совпадает с осью симметрии полусферической антенны (при отсутствии деформаций). Центр масс спутника движется по эллиптической орбите вокруг притягивающего центра, причем орбита предполагается неизменной. Антенна предполагается однородной и изотропной, представляющей собой достаточно жёсткое твёрдое тело, деформации которого малы, а частоты собственных колебаний намного больше угловой скорости вращения спутника.
Пусть твердая часть спутника занимает область Q1 є Е3, а вязкоупругая антенна занимает область Q2e3, при этом области ц и Q2 имеют общую границу ненулевой площади, на которой перемещения точек упругой части равны нулю. Весь спутник занимает область 0 = 0 , его плотность обозначим через р , при этом р = р1, когда точка принадлежит твердой части и р = р2, когда принадлежит упругой. Рис 1: Спутник с полусферической антенной В инерциальной системе координат О з с началом в притягивающем центре О орбита центра масс спутника лежит в плоскости 02, 2 Движение центра масс С спутника задаётся его радиус-вектором R = Ri?, R=cos3S»+sin3S», (2.1) d_co0(l + ecos3)2 D_ a(l-e2) (l-e 2 ) 3/2 R h Здесь обозначено: co0- среднее движение центра масс спутника, е, а эксцентриситет и большая полуось орбиты, S - истинная аномалия, - орт по оси 0 ,i = 1,2,3.
Пусть точка С- центр масс недеформированного спутника, а оси системы координат С х[х 2х 3 направлены по его главным центральным осям инерции (в недеформированном состоянии) и жестко связаны с твердой частью. При этом ось С х 3 является осью динамической симметрии и совпадает с осью симметрии антенны. Пусть ис- радиус-вектор центра масс С относительно С, а оси Ос.параллельны осям C x i{i=1,2,3). Радиус-вектор произвольной точки спутника относительно точки С будет равен Г + ІЇ, а относительно центра масс С будет равен r + u, и = и -ис, ис = M l\ p2ufdx. Q2 Здесь М= \ pcbc - масса спутника; U и и - соответственно вектор Q перемещений частицы упругой части спутника относительно систем координат Сххх2хъ и С х[х2х 3, занимавшей в недеформированном состоянии положение г = (х1,х2,хъ) . Обозначим координаты вектора и в системе координат Сх1х2х3 через их,и2,и3. Будем использовать модель линейной теории вязкоупругости малых деформаций. Функционал потенциальной энергии упругих деформаций представим в виде Е[и]= \ eck, cbc = dxxdx2dx3, е = атпуетпеу, еу=\(и.. + Uji), и.. = Q2 m.n,i,j UXj а диссипативный функционал как D[u] = %bE[u]. Здесь обозначено, е = е(и) - удельная потенциальная энергия упругих деформаций, представляющая собой положительно определенную квадратичную форму компонент тензора малых деформаций е... Коэффициенты amni- постоянны и симметричны по первым двум и последним двум индексам.
Быстрая эволюция долготы восходящего узла и аргумента широты перигея
Для изучения эволюции вращательного движения спутника как целого воспользуемся уравнениями Рауса. Уравнения Рауса для части переменных (в нашем случае - перемещений) имеют форму уравнений Лагранжа, а для другой части (канонических переменных) - уравнений Гамильтона. Уравнения для перемещений нами уже были получены в 2.3, поэтому нужно получить только уравнения для канонических переменных. В качестве канонических переменных используем переменные Андуайе [12,13] IpI2J3,(?p(?2 3 (Рис- 4), где 12- модуль кинетического момента G спутника относительно центра масс, 1 - его проекция на ось симметрии спутника и /3 его проекция на нормаль к плоскости орбиты. Запишем уравнения движения для канонических переменных в форме уравнений Рауса: /.=-УФЯ Ф;=УД / = 1,2,3. (2.27) Рис 4. Переменные Андуайе Выпишем в явном виде выражение для функционала Рауса R = R[Il,4 i,u,u]. Обозначим через L функционал Лагранжа, тогда по определению функционала Рауса R = JlIi(?i-L=Jl- (Pi-L L = T-U-E[u\, где Т - кинетическая энергия, имеющая вид Г = ІГ(шх(г+и) + й)2р =ІГ(шх(г+и))2р +Г(шх(г+и))йр +ІГй2р . Так как = s (г_ _)=аг= а Гіг(шх(г+и))2 л+г(шх(г+и))й л Офг- Офг- v Офг- Офг- 2 J і то по теореме Эйлера об однородных функциях (первое слагаемое в скобках - функция второй степени, а второе - первой) получим: R = i-L = 2 j(Gix(r + u))2Pdx + j(Gix(r + u))uPdx+U+E[U] = Л(шх(г+и))2р - j й2р +/+[М] . Кинетический момент спутника относительно центра масс записывается как: G = ywT= f(r+u)x[« x(r+u)+u]pdbc = ./« +G„, (2.28) ft где G„ = j(r+u)xup , (2.29) a J = J[u] - тензор инерции. Используя формулы (2.28), (2.29) выражение для функционала Рауса преобразуем к виду: R = \((G-Gm) , J-\G-Gm))-\ J u2pdx J+E[u]. (2.30) Вектор кинетического момента в переменных Андуайе записывается как G = (fif sm fif сощьІх)т (2.31) а матрица O(t) в виде ОД = Г3(фз)Г1(51)Гз(ф2)Г1(52)Г3(ф1), (2.32) где [cosa -sma 0 Г3(а)= sina cosa 0 Г1(а) = 0 0 0 cosa -sina 0 sina cosa Кроме того, справедливо равенство (G-G„,J-1(G-G„)) = ((o,l/[u](o) (l/0(o,(o)+(l/1[u](o,(o)+..., где J0 - тензор инерции не деформированного спутника, Jx[u\- линейная по и компонента тензора инерции. Заметим, что вообще компоненты тензоров инерции спутника относительно центра масс С и центра масс в недеформированном состоянии С отличаются друг от друга на члены второго порядка малости по и. Поскольку
Здесь А и С - экваториальный и осевой моменты инерции спутника в недеформированном состоянии. Найдем компоненты J1[u] = раскладывая в ряд выражение для J[u] и оставляя слагаемые пропорциональные первой степени координат вектора и.
Мы считаем, что упругая часть спутника обладает достаточно большой жесткостью. Если жесткость устремить к бесконечности, то спутник становится абсолютно твердым телом, упругие перемещения u=0 , а следовательно, и и = 0. Уравнения Рауса (2.27) в этом случае описывают вращение абсолютно твердого спутника. Получим уравнения (2.27) для этого случая.
Уравнения (2.35) описывают движение твердого спутника относительно центра масс как прецессию оси симметрии вокруг вектора кинетического момента G, в свою очередь прецессирующего вокруг нормали к плоскости орбиты [6]. Такое движение выберем в качестве невозмущенного.
Возмущающая часть потенциальной энергии гравитации будет иметь вид: С/ -ц/2-3 J [3(O-lR0,r)(O-lR0,u)-(r,U)]p2dx. (2.зб) Вычислим теперь возмущающую часть кинетической энергии вращения. Для этого вначале преобразуем выражение -(G-Gu,J l(G-Gu)): i(G-G„,l/-1(G-G„)) i(G-G„,№- o A1)(G-G„)) = = -{(G, G-Л"1 Jj J0_1G-Л" !G„ +JolJ,JolGu) -{GuJ-0lG-J-0lJJ-0lG-J-0lGu +J-0lJJ-0lGu)} = = -{(G,J lG) - (GJ J.J G) - (G,JolGu)+(G,JolJiJolGu) -(G„,l/0-1G)-(G„,l/0-1l/ll/0"1G)-(G„,l/0-1G„)+(G„,l/0-1l/ll/0"1G„)} - {(G,Jo G) - (GJ J.Jo G) - 2(G,J0-1G„)}. Здесь в конце были опущены члены более высокого чем первый порядка малости по и. Первый член в правой части равенства соответствует невозмущенному движению и не должен входить в возмущающую часть кинетической энергии. Таким образом, возмущающая функции Рауса будет иметь вид: Q2 -ці?"3 J [3(O-lR,r)(O-lR0,u)-(r,u)]p2dx+E[u]. (2.37) Мы будем писать уравнения Рауса только для канонических переменных, поэтому члены выражения (2.37), не зависящие от них, также можно опустить. Функция Рауса примет вид: R R -VR 3 j 3(O-lR0,r)(O-lR0,U)p2dx, Л =i(G,J0-1G)-i(G,J0-1J1J0-1G)-(G,J0-1GH) . (2.38) Очевидно, что if не зависит от углов ф2,ф3 и потому - = - = 0. Уравнения Рауса для Ii примут вид it=-V„R%vR-4\XV p(O-1R0),r)(O-1R0,u)p2dx + + Г 3(0- ,г)(Уф (0-lR),u)p2dx}. (2.39) Заметим, что деформации упругой части, описываемые формулами (2.25), вызываются двумя основными причинами – силами инерции вращения и силами гравитации. Силы инерции при быстром вращении спутника будут значительно превосходить силы гравитации и будут вызывать быструю эволюцию вращательного движения, в отличие от медленной гравитационной эволюции. Поэтому разобьем эволюцию на два этапа: быструю под действием сил инерции вращения и медленную под действием гравитации.
Усреднённые уравнения поступательно - вращательного движения
В рамках постановки задачи главы 3 3.1 продолжим исследование влияния частных решений (3.11), (3.12) на эволюцию движения шара. Рассмотрим влияние слагаемого u13(r,0 . Вычислим вклад в уравнения движения члена ft =-3np8 -3J(O-1R0,r)(O-1R0,u13) . (4.1)
Интеграл (4.1), а точнее, производные от него по каноническим переменным Делоне и Андуайе, удобнее вычислять в орбитальной системе координат Cxyz, так как в ней u13(r,0 имеет наиболее простой вид. Ось Cz направлена на притягивающий центр, ось Сх - по касательной к орбите, ось Су ортогональна к плоскости орбиты. Ограничимся в ряде для u13(r,0 первыми двумя членами, и перейдем в интеграле (4.1) к орбитальным осям. Тогда, в новых осях, u13 примет вид: «13(r\o = -3MP/rV(ofi + xf +(B3r ,r )(SB4 - B4S) + r (SB5 - B5S)]r - 2[(B}Sr y)B2 + (B3Sr ,r )B4]r } 4.2) S = дгО[1 =-Ог(0{1) Здесь кососимметрическая матрица S определяет угловую скорость шара относительно системы координат Cxyz. Выражение (4.1) перепишется в виде G3=-3npsi?-3J(O;O-1R0,r )(O;O-1R0,u13(r ,0) , (4.3) Q где OjO-lR0 = ez= (y1,Y2,Y3)r, Yi = Y2 = 0,Y3 = 1 (4.4) Воспользовавшись выражениями для матриц O1, O из (3.13),(3.3), вычислим матрицу S: Г sl2 sl s m (4.5) Su -5 2з sn = sind[(p2sin51cos(/i-93)cos/-q)2cos51sin/]+q)2cosdsin51sin(A-93); su =02 0085! cosz+(p2sin51cos(/2-93)sinz-0; s23 = -ф2 sinO sinSj sin(/7 -фз) + ф2 cos sinSj cos(A -q 3)cos/ - cosSj sinz] С помощью формул (4.2) и (4.5) получим 7? a/ fv3+v2 +v2 + cxx + cxy a1x2z + aly2z + a2z +c2zj -ax (c2-Cl)s13z {c2-cx)s23z v(c2-q)C% + ( - Х + ЗД 2ax ( - 62)te + % A) 0 -(V2 + \y2 + b2z2)s]3z + (axx2 + 2 + tf2z2)%z -aX -(V2 + bxy2 + b2z2)s23z + (axx2 + axy2 + a2z2)s23z - (4.6) -{bxx2 + bxy2 + b2z2){s13x + s23y) + (axx2 + axy2 + a2z2){s13x + s23y)) -2ax 0 K(ax-a2)(s13xz2 + s23yz2)j Здесь введено обозначение a =-ЗцріГ3. Подставляя (4.6) в (4.3) и учитывая (4.4), выведем 0з =sa[(a - %d){D3 +y3(D4 -D3))- %aD5[yxy3s]3 +y2y3s23]], (4.7) где обозначено D3 = \[bj(x2 + у2) + b2z2 + C]]x2dQ; DA = \[ai{x2 + y2) + a2z2 + c2]z2dQ; Q Q A = J (К ; " ;)( 2 + /) + ( 2 - У + q - c2]( 2 + 2) Q +2(а7-а2+Ь7-й2)Л П J{[( -a;)(x2 + /) + (/ 2-a2)z2 + c1-c2](/ + z2) + Q +2( 7- 2+Ь7-й2);Л2} Ю; Чтобы получить дифференциальные уравнения движения, необходимо будет дифференцировать выражение (4.7) по каноническим переменным, в ду. частности, потребуются значения производных i , где qj обозначают канонические переменные. Для этого воспользуемся следующими формулами д dq / ул У dez dq = 0Л d(Q-lR) dq. R fcosScosA-sinScos/sinA cosSsinA + sinScos/cosA sin» sin/ (4.8) Замечая, что величина а, входящая в выражение для 23, не зависит от переменных Андуайе, а компоненты матрицы S не зависят от угла ф2, приходим к выводу, что усреднение по углу ф2 производных от 23 п0 каноническим переменным, можно получить просто заменив величины усредненными по углу ф2. Поэтому, после вычисления производных в (4.8), усредним их по углу ф2, и получим следующие выражения
Используя равенства (4.7), (4.9), (4.8) а также результаты 1 данной главы, получим дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения шара, учитывая все виды происходящих деформаций. Для упрощения уравнений усредним их по быстрой переменной /. Кроме того, как видно из (3.15), ф3 является быстрой переменной, т.к. перед правой частью ее уравнения отсутствует в качестве множителя малый параметр %. Поэтому произведем усреднение и по переменной фз. В результате получим
Седьмое уравнение системы (4.10) может быть проинтегрировано, и выражает тот факт, что проекция кинетического момента системы на ось ,3 Кёниговой системы координат С 23 сохраняется:
Здесь через Л обозначен орбитальный кинетический момент, а через G-вращательный. Из системы (4.10) видно, что угол фх не эволюционирует, углы g и h быстро меняются, а эволюция остальных переменных происходит медленно (они пропорциональны малому параметру %). Это позволяет усреднить систему (4.10) еще раз по углу g, вследствие чего она приобретет вид:
Ставится задача определения деформаций Земли под влиянием гравитационных полей Солнца и Луны. Земля рассматривается как вязкоупругое тело, имеющее твердое ядро. Орбита барицентра системы Земля – Луна предполагается медленно эволюционирующей. На основе приближенных дифференциальных уравнений оказывается возможным получить выражение для вектора перемещений. Анализ вида вектора перемещений позволяет определить набор частот приливных деформаций Земли в рамках рассматриваемой модели. В иностранной литературе в большинстве случаев используются модели численного компьютерного моделирования на базе наблюдений МСВЗ [58]. В данной главе делается попытка построения численно-аналитической модели деформируемой Земли. Поскольку в настоящее время требуются высокие точности координатно-временного обеспечения, то учет приливных деформаций Земли может являться важным в задачах такого типа [2,44].
Для упрощения постановки задачи Луна и Солнце рассматриваются как материальные точки, Земля – как тело, состоящее из осесимметричного твердого ядра и вязкоупругой осесимметричной (в недеформированном состоянии) оболочки, подчиняющейся модели Кельвина – Фойгта (рис. 6).
На внутренней границе оболочки перемещения отсутствуют, а внешняя граница свободна. Предполагается, что процесс деформаций Земли можно считать квазистационарным. Начало инерциальной системы координат 9 3 помещается в притягивающий центр (Солнце), с барицентром С связываем оси Кёнига (),,2,3. С ядром Земли жестко связываются оси С1х1х2х3, направленные по главным центральным осям инерции планеты в недеформированном состоянии, а также принимается, что точка Q совпадает с центром масс Земли в недеформированном состоянии (рис. 7). Точкой С2 на рисунке обозначена Луна. Далее, пусть Rc = R0 , i = р(1 + е cosO )_1 -радиус-вектор барицентра, риє фокальный параметр и эксцентриситет его орбиты, 0 - истинная аномалия. Аналогично представим вектор R21 = R20 1R21 от Луны к Земле, причем