Введение к работе
Актуальность теш. Вопросы -интегрируемости уравнений движения динамических систем, заникавт одно из центральных мест в классической и современной, аналитической механике. Поиском интегрируемых случаев в динамике занимались знаменитые ученые Л.Эйлер, Ж.Л.Лагранж, С.З.Ковалевская. A.M.Ляпунов, О.А.1дп-лыгин и др. Возможность получить зСгдее регение дпкамкчесг'. /: 'задачи в квадратурах, т. е. используя операции обращения I,ун- кдий и вычисления интегралов от известных функций, оказалась 'тесно связанной с существованием у данной задачи достаточного числа'первых интегралов (законов сохранения^
Для гамильтоновых систем с ^ степенями свободы Ллувкл-
лем- была доказана теорема,, которая связывает возможность ин
тегрирования уравнений движения в квадратурах с существе >эяием
к независимых инволютивных первых интегралов. В случае не-
гамильтоновых систем общего вида для нахождения интегрируемых
задач используется подход, восходящий к Эйлеру и Якоби. В этом
случае для нахождения общего решения системы 71 уравнений в
квадратурах требуется существование (n-Z)' независимых первых
интегралов и'наличие инвариантной меры. Таким способом чаще ''
всего интегрируются неголономные системы. . і
Большинство систем динамики не язляатся интегрируемыми. Как правило, если система зависит от некоторых параметров, то она интегрируема лишь при некоторых изолированных значениях этих параметров. Один из подходов к доказательству неинтагри-руемости динамических систем бил предложен А.Пуанкаре. Соотносится к доказательству неинтегрируемости систем' дийере. у.-
' \ '
_ 4 -
.1
і .альных уравнений, близких (в смысле значений некоторого малого параметра) к интегрируемым гамильтоновым. А.Пуанкаре по-І; казал, что интегрируемости системы препятствует сложное по-!;1 ведение некоторых особых траекторий - периодических и асимпто-';[ тических движений. Один из динамических эффектов, обнаружен- них Пуанкаре, связан с рождением из резонансных торов невозмущенной задачи "большого" числа невырожденных периодических ; решений, что связано со сложной структурой так называемого "ьєкоесго множества" возмущающей функции.
Другим динамическим эффектом, изучение которого получило
в последнее время большое развитие, является расщепление сепаратрис. Расцепление сепаратрис возмущенной системы приводит к сложному и запутанному поведению траекторий системы /квази-: случайные движения), а также к отсутствию полного набора аналитических интегралов. Вблизи расщепленных сепаратрис образу-4 ется стохастический слой, формирование и динамику которого I можно проследить при помощи компьютерного моделирования, используя метод численного построения отображения Пуанкаре, ин-I і Аудированного фазовым потоком рассматриваемой системы. В не-'| которых случаях эффект расщепления сепаратрис невозможно уста-1 новить, используя только аналитические методы. В этом случае используются численные методы анализа, состоящие в непосред-; ственном построении самих сепаратрис и установлении факта их і расщепления (трансверсального пересечения!.
Отметим также связь между интегрируемостью точным существованием "однозначных или мероморфных интегралов и ветвле-ч нием решений на комплексной плоскости времени. Впервые на эту
связь указал П.Пенлеве, который также показал, что в общем
- 5 - . .
случае такая связь отсутствует.. Однако, успех исследован»',! С.В.Ковачевской в динамике твердого тела, заставил более глубоко заняться изучением этого вопроса. Впервые строгав "л еретические результаты, подтверждающие наличие такой связи, были
.Получены В.В.Козловым однозначные интегралы и С.Л.Зиг.икым
і мероморфные интегралы . В работах этих авторов содержится I
также приложение общих теорем к классической задаче о дь-кяі';-
нш твердого тела вокруг неподвижной точки. В некоторых слу*: ..,'. .
чаях необходимые условия интегрируемости, полученные одним г".: ..,'..
из указанных методов, являются достаточными. В этом случае $у-. -) ."
чествует дополнительный интеграл, а движение является регулУо—*,'
ным и выражается при помощи квадратур. При невыполнении этих
условий движение будет иметь нерегулярный и непредсказуемый
характер. Зго явление получило в последнее время название де- , '
терминированного хаоса. \ 1
Применение указанных выше методов доказательства HeKHver'-'^l;.., рируемости и наличия стохастического поведения в различных 'за- :";: дачах классической механики, а также нахождения необходимых и достаточных условий интегрируемости является, таким образом, одной из актуальных задач современной теоретической механики. '
Целью работы является применение указанных методов дока
зательства неинтегрируемости и стохастичности в динамических
системах, а такне нахождения необходимых и достаточных усло
вий интегрируемости к различным задачам динамики твердого :' >-
ла: уравнениям Кирхгофа, обобщенной задаче о движении негол-.-
номного шара Чаплыгина и пр. ' ' ' ,'"'' ' '
Научная новизна работ». Основные результаты диссертации таковы: для уравнений Кирхгофа, описывающих движение тзер^ог
тела в идеальной жидкости по инерции в случае общего положена найдены необходимые, а в некоторых случаях и достаточные уело вия существования вещественно-аналитического и однозначного первого интеграла. Эти результаты распространены на движение заряженного твердого тела в однородном магнитном поле. Постро' єно разложение возмущающеіі функции задачи Кирхгофа в ряды Фурье по угловым гармоникам переменных "действие - угол" интегрируемого случая Эйлера - Пуансо. Проанализированы условия интегрируемости в неголономных системах, обладающих инвариантной мерой. Найдены необходимые условия интегрируемости движения неголономного шара Чаплыгина в обобщенно-потенциальных полях. Создан программный комплекс для численного построения отображения Пуанкаре, возмущенных сепаратрис и продолжения по параметру периодических решении в задачах динамики твердого тела. Получены компьютерные доказательства неинтегрируемости ряда основных задач динамики твердого тела. Численно проанализированы возможности обобщения классических результатов в динамике твердого тела на неголономные системы.
Научная'и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее метода и результаты могут быть использованы при изучении различных гамильтоновых и неголономных систем, возникающих в классической и небесной механике. Созданный программный комплекс позволяет произвести компьютерное моделирование и вычисление основных характеристик стохастич-ности в различных динамических системах. Разложения возмущающей функции в ряды Фурье по переменным "действие - угол" могут быть применены для изучения различных прикладных задач.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на всесоюзном совещании "Методы компьютерного моделирования в классической и небесной механике - 89" в ИТА АН СССР в 1989г., на всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" в г. Горьком в 1990г., на конференции молодых ученых в МГУ им. М.В.Ломоносова в 1990г., а также на заседании семинара "Динамические системы классической механики" под руководством В.В.Козлова и СВ.Болотина.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, перечисленных в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, заключения и библиографии. Работа содержит рисунков и иллюстраций результатов компьютерного моделирования. Объем диссертации - машинописных страниц.