Моделирование кинематики и динамики механической системы со связями Бешау Ассайе Валелгу

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Кинематика открытой структуры многокомпонентных систем 15

1. Уравнения кинематики взаимосвязанных твердых тел 15

1.1. Конфигурация многотельных систем 15

1.2. Матрицы угловых скоростей 19

1.3. Матрицы скоростей и ускорений центра масс 21

2. Численное решение уравнений кинематики механических систем...23

3. Стабилизация многообразия связей 32

ГЛАВА 2. Стабилизации связей и численное решение уравнений кинематики механических систем 38

2.1 Численные методы для приближенного решения систем дифференциальных уравнений 38

2.1.1. Устойчивость численных метода Эйлера 38

2.1.2. Устойчивость численных методов Рунге-Кутта 42

2.1.3. Математическая постановка 43

I. Метод Рунге-Кутта второго порядка 46

II. Метод Рунге-Кутта третьего порядка 49

III. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка 52

ГЛАВА 3. Построение уравнений динамики механической системы с учетом стабилизации связе й 56

1. Построение уравнений динамики 56

3.1.1. Основные принципы динамики 56

3.1.2. Уравнения динамики механических систем с идеальными Связями 59

3.1.3.Уравнения динамики механических систем с неидеальными Связями 63

2. Устойчивость динамических систем с программными связями 66

3. Определение множителей Лагранжа и управляющих сил 72

4. Численное решение 73

ГЛАВА 4. Решение уравнений динамики механической системы в канонических переменных 79

1. Построение уравнений Гамильтона 79

2. Уравнения Гамильтона механической системы со связями 82

3. Отношения между формами энергии в механике Лагранжа и Гамильтона 85

4. Уравнения динамики системы с программными связями 87

5. Численные решения 89

Заключение 96

Список литературы

• Матрицы угловых скоростей
• Устойчивость численных методов Рунге-Кутта
• Уравнения динамики механических систем с идеальными Связями
• Отношения между формами энергии в механике Лагранжа и Гамильтона

Введение к работе

Актуальность темы. Математическое моделирование механической системы предполагает исследование кинематики или динамики механической системы. Кинематика изучает движение механических систем (положение, скорости и ускорения точек) во времени без учета их масс и сил, которые действуют на них. Кинематика, однако, в течение многих лет используется для установления кинематических соотношений при проектировании связей и решения ряда сложных технических проблем. Для описания движения, кинематика изучает траектории точек и геометрических объектов, их дифференциальные свойства, таких как скорость и ускорение. Кинематика используется в астрофизике для описания движения небесных тел и систем, а также в машиностроении, робототехнике и биомеханике для описания движения систем, состоящих из связанных между собой деталей, таких как двигатель, робот, антропоморфный механизм и так далее. Изложение кинематики достаточно полно приводится в известных учебниках по курсу классической механики, например: Н.Н. Бухгольц , Farid Amirouche .

Динамика в отличие от кинематики - раздел механики, связанный с изучением сил и их влияния на движение. Задача динамики состоит в исследовании изменения физической системы с течением времени и выявления причин этих изменений. Динамика определяет отношения между движением тел и причинами, вызывающими это движение, а именно силами, действующими на тела. Современную динамику составляют классическая механика Ньютона, механика Лагранжа, механика Гамильтона и механика Гельмгольца, представляющая ее развитие (А.С. Галиуллин , Florian Scheck³).

'Бухгольц Н.Н., Основной Курс Теоретической Механики : Кинематика,статика, динамика материальной точки, издательство «наука» Москва, 1965.

²Farid Amirouche, Fundamentals of Multibody Dynamics: Theory and Applications, Birkha'user Boston, 2006. ⁴Галиуллин A.C., Гафаров Г.Г., Малайшка Р.П., Хван A.M. Аналитическая динамика систем Гельмгольца,

Биркгофа, Намбу. М. Редакция журнала «Успехи физических наук». 1997. 324 с.

⁴Florian Scheck, Mechanics: From Newton's Laws to Deterministic Chaos, 5th edition, Springer-Verlag, 2007.

Одним из основных проблем механики является построение уравнений движения системы, решения которых удовлетворяют уравнениям связей. Создание аналитической механики систем со связями начинается от известного трактата Лагранжа, опубликованного в 1788 году. Проблема описания движения системы с голономными и неголономными связями в дальнейшем была исследована такими учеными, как Вольтерра, Больцман, Амель, Новожилов, Уиттекер, Сингх. Гиббс (1879) и Аппель (1899) независимо друг от друга разработали метод построения уравнений движения механических систем, стесненных неинтегрируемыми связями, получивший название метода Гиббса-Аппеля. Метод требует удачного выбора квазикоординат и усложняется в случае систем с большим числом степеней свободы и числом неинтегрируемых уравнений связей. Гауссом был предложен (1829) общий принцип механики для получения уравнений движения несвободной системы. Дирак (1969) предложил формулировку принципа для гамильтоновых систем с сингулярным лагранжианом, когда уравнения связей не зависят явно от времени.

Удойда и Калаба в 2001 г. и в 2002 г. использовали псевдообратные матрицы для исследования систем с неидельными связями. Далее в 2005 г. Удойда получил уравнения динамики с неидельными связями без использования псевдообратных матриц.

Уравнения динамики описывают реальные движения системы. Использование известного алгоритма определения реакции связей не обеспечивает устойчивость по отношению к уравнениям связей, что важно при численном решении уравнений движения. В связи с этим, возникает проблема устойчивости и стабилизации связей.

⁵Udwadia F.E., Kalaba R.E. Explicit Equations of Motion for Mechanical Systems with Nonideal Constraints. //Journal of Mechanics. Vol. 68, 2001. Pp. 462-467.

⁶Udwadia F. E., Equations of Motion for Constrained Multibody Systems and their Control II Springer Science+Business Media, Inc, journal of opt. theory and app.: 2005, Vol. 127, №. 3, С 27-638.

Необходимым условием стабилизации связей является асимптотическая устойчивость решений уравнений динамики по отношению к уравнениям связей при начальных отклонениях. Трудами Н.Е. Жуковского, А. М. Ляпунова , А. Пуанкаре созданы основные методы современной теории устойчивости. Теория устойчивости

о

неголономных систем рассматривалась в работе Ю.И. Неймарка и Н. А. Фуфаева . В работе А.С. Галиуллина установлена возможность построения целевых показателей для изучения устойчивости движения механических систем, использования метода характеристических чисел и метода функций Ляпунова для определения критериев устойчивости.

Стабилизация уравнений связей может быть осуществлена различными способами. Мухарлямов Р.Г. использовал метод построения систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные частные интегралы в качестве уравнений связей, сформулировал условия устойчивости по отношению к уравнениям связей, и предложил расширение потенциальной функции, диссипативной функции и кинетической энергии за счет дополнительных переменных, оценивающих возможные отклонения от уравнений связей. Устойчивость численного решения относительно уравнений связей достигается при использовании метода Эйлера, метода Рунге-Кутта второго порядка и методов Рунге-Кутта в случае уравнений водмущений связей с постоянными коэффициентами.

⁷Ляпупов A.M., Общая Задача об Устойчивости Движения, государственное издательство Технико-теоретической литратуры,москва 1950.

⁸Неймарк, Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем- М: Наука, 1967. Талиуллин, А. С. Аналитическая динамика: учебное пособие для ун-тов и втузов / А. С. Галиуллин. -М.:Высш. шк, 1989. ¹⁰ Мухарлямов Р.Г., Уравнения движения механических систем. Издательство РУДН, 2001.

Таким образом, актуальность темы диссертации может быть основана на следующих положениях;

Потребность современной науки и техники в исследованиях динамики и

решении задачи управления динамикой механической системы со связями. Установление способов построения уравнений кинематики механической

системы, обеспечивающих стабилизацию голономных связей. Установление способов построения уравнений динамики механической

системы, обеспечивающих стабилизацию связей. Потребность в решении прикладных задач управления системами различной физической природы по аналогии с решением задач кинематики и динамики механической системы. Разработка методов и алгоритмов численного решения уравнений кинематики и динамики систем со связями.

Цель исследования диссертационной работы является: разработка методов построения кинематических соотношений для механической системы со связями, построение уравнений динамики связанной механической системы в соответствии с основными принципами классической механики, определение условий стабилизации связей при численном решении системы дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге-Кутта и разработка алгоритмов моделирования уравнений динамики, обеспечивающих стабилизацию связей при численном решении.

Методы исследования. В диссертации используются классические методы исследования, такие как анализ, синтез, обобщение, сравнение, методы классической механики, аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения и численные методы решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна:

^ Разработан метод построения дифференциальных уравнений, описывающих динамику механических систем.

^ На основе принципа Даламбера-Лагранжа и принципа Гамильтона получены модифицированные уравнения движения механической системы со связями.

^ Сформулированы условия устойчивости решений кинематических уравнений относительно уравнений связей и определены условия стабилизации связей применительно к численному решению кинематических уравнений методом Рунге-Кутта.

^ Разработаны алгоритмы для моделирования кинематических и динамических уравнений механических систем со связями.

Достоверность результатов. Достоверность результатов определяется подтверждением правильности построения математических моделей и их модификаций, точностью разработанных методов решения задачи стабилизации и управления. Полученные результаты математически доказаны на основе известных положений механики и математики. Моделирование, проведенное в работе, основано на общепринятых правилах механики и математики и подтверждено численными экспериментами с использованием известного программного обеспечения системы MATLAB 2012а.

Личный вклад автора. Личный вклад автора состоит в формулировке задач и целей исследования; в разработке модифицированных способов стабилизации связей; в моделировании динамики систем с неголономными связями; в разработке новых способов численного моделирования аналитических результатов.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для описания движения систем, состоящих из твердых тел и систем с элементами различной физической природы, таких как транспортные и авиационно-космические системы, робототехнические системы, скелетоны, для исследования устойчивости движения механических систем относительно уравнений связей, для разработки численных методов и алгоритмов решения уравнений. Известные динамические аналогии позволяют использовать разработанные в диссертации методы для моделирования динамики экономических объектов и производственных систем.

Приведенные в работе алгоритмы позволяют построить эффективные методы численного решения уравнений движения механической системы.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались:

на L Всероссийской конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники (Москва, Российский университет дружбы народов, 13-16 мая 2014 г.);

на Международной научно-практической конференции «Современные тенденции общественного развития: теория и практика» в. г. Нижневартовске (Филиал ГОУ ВПО ЮУрГУ в г. Нижневартовске, 22 февраля 2013 г.),

на заседаниях научного семинара «Математическое моделирование процессов механики», руководитель профессор Мухарлямов Р.Г. (Москва, Российский университет дружбы народов, 2013-2015 г.г.).

на LI Всероссийской конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники (Москва, Российский университет дружбы народов, 12-15 мая 2015 г.)

Публикации: по теме диссертации опубликовано 6 статей, 3 из которых - в журналах, рекомендованных ВАК, 3 - обсуждались на международных конференциях и опубликованы в материалах конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, Четырех глав, заключения, списка литературы из 85 наименований. Объем диссертации составляет 103 страниц, 17 рисунков.

Матрицы угловых скоростей

Для того, чтобы компенсировать отклонения от уравнений связей при численном интегрировании дифференциальных уравнений, как определено в [21], необходимо добавить некоторые величины в (1.2.5). Пусть эта величина будет F = F(fy, q, t), что

Определение 1.3.1: функция p(q,t) является частным интегралом (1.2.1), если F( ), q, t) обращается в нуль в равенстве (1.3.1). Предположим, что равенство (1.2.4) выполняется точно. Однако, если начальные условия q(t0) = q, не удовлетворяют ограничениям (1.2.3), и зависит от того, как определяется функция F(Q , q, t) в уравнении (1.3.1), решений либо приближается к (1.2.3), либо нет.

Имея общее решение уравнения (1.3.1), мы можем получить многообразие систем дифференциальных уравнений, определяющих кинематические соотношения между координатами ограниченных механических систем и их производных [56] Уравнение (1.2.3) представляет собой совокупность частных интегралов системы (1.3.2). Функция c{q,t) и матрица C{q,t) имеют значения и направление скорости q изображающей точки вдоль множества Г2 (t) определяются формулой (1.2.3), в то время как вектор (ф, q, t) влияет на движение в окрестности Г2 (t) и позволяет обеспечить устойчивость движения на интегральном многообразии Г2 (t).

Чтобы определить условия асимптотической устойчивости интегрального многообразия Г2 (t) системы (1.2.3), запишем необходимые определения, изложенные в [80]. Для этого мы определим расстояние d(q1,[l(t) от точки qt Є G к многообразию Q (t), взяв неотрицательное число,

Определение 1.3.2: интегральное многообразие Q (t) системы (1.3.2) является устойчивым, если для любого є 0 существует некоторое фиксированное положительное число S , в каждом из d(q0, H(t)) 8, тогда следует, что d(q(t),n(t)) для всех t t0. В противном случае многообразие Q (t) является неустойчивым.

Определение 1.3.3: интегральное многообразие Q (t) системы (1.3.2) является асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и lim oo d(qr(t)f n(t)) = 0. Определение 1.3.4: є-окрестность П(ґ)многообразия H(t) является набором q, удовлетворяющих d(q(t),n(t)) є.

Определение 1.3.5: Многообразие Q(t) имеет компактные окрестности r2s(t), если существует 5 0 и такое Q5(t) компактный набор для всех t t0.

Определение 1.3.6: вектор-функция f называется ограниченным в r2s(t), если существует такое число N 0, что / iV для всех q Є 2 (0 Определение 1.3.7: ограниченная вектор-функция f допускает бесконечно малый высший предел, если для любого сколь угодно малого 5 0, существует а 0, что d(q, H(t)) о и t t0 неравенство / S.

Переопределим расстояние d(q, H(t)) от точки q Є Шп к многообразию Q (t), как определено в [21] с равенством d[q,H(t)) = (t), ($(t) = f(q(t),t) и

Если элементы матрицы D не зависят от q, то условия устойчивости интегрального многообразия Q (t) определяются условиями устойчивости тривиального решения системы /? = D(q,t)p. Это означает, что стабилизация многообразия зависит от устойчивости решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Теперь рассмотрим D с постоянной матрицей и сформулируем следующие утверждения. Theoreml.3.1: Если d(q, H(t)) = II/?()11, Im —единичная матрица, и все корни ЛІ, і = 1,..., m, тогда характеристическое уравнение д{Х) = det(D - A/m) = 0 (1.3.6) системы р = Dp имеет отрицательные вещественные части и интегральное многообразие Q (t) асимптотически устойчиво.

Для того, чтобы интегральное множество Q (Т) системы (1.3.2) было асимптотически устойчиво при d[q,H(t)) = /?(t), необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица, составленные из коэффициентов характеристического уравнения (1.3.6) det(D - A/m) = Ат + CL-LA-1 ат_гХ + ат = 0 (1.3.7) должны быть положительным: At 0,1 = 1,..., m, системы /? = Dp.

Многочлен (1.3.7) называется стабильным или полиномом Гурвица, тогда и только тогда, когда все его корни лежат в открытой левой полуплоскости комплексной плоскости [53]. т.е. 0(A) = 0,ReA 0.

В случае, когда D = D(q, t) не является величиной постоянной, условия асимптотической устойчивости могут быть определены с помощью функций Ляпунова.

Теорема 1.3.3: Если d(q, H(t)) = /?() и существует определенная функция К (/?,), производная которой V((3,q,t), полученная в силу уравнений (1.3.2), (1.3.4) имеет постоянный знак функции противоположного знака, или тождественно равна нулю, интегральное множество П(г.) является устойчивым.

Теорема 1.3.4: Если d(q, H(t)) = /?() и определенная функция К (/?,), допускает бесконечно малый высший предел, производная которой V((3,q,t), полученная на основании уравнений (1.3.2), (1.3.4) является определенной функцией противоположного знака, интегральное множество П(г.) асимптотически устойчиво.

В частности, если 2V = /?T/f/?, где К = КТ = (&;;), i,j = 1,... ,7?г, является постоянной матрицей, то V = pTKDfi. Чтобы определить условия знакоопределенности квадратичных форм и ее производной; V = pTD /?, применяется D = —KD = (d tj) другой принцип, который называется критерием Сильвестра. Критерий формулируется как:

Устойчивость численных методов Рунге-Кутта

Моделирование динамики механической системы начинается с составления уравнений динамики в соответствии с условиями, предъявляемыми к движению. Движение многокомпонентной системы, цели управления которой задаются уравнениями связей, является программным движением. Соответствующая траектория точки в пространстве состояний является программной траекторией. Эти ограничения удерживают движение с заданными свойствами на траектории, ограничивая воздействия возмущений на движения системы за счет дополнительных сил, которые рассматриваются как управляющие силы.

Осуществление программного движения требует решение задачи моделирования, уточнение параметров системы, определение соответствующих управляющих сил и численное решение уравнений динамики в замкнутой форме. Необходимым условием ограничения отклонений движений системы от уравнений связей является устойчивости движения по отношению к уравнениям связей. Уравнения динамики составляются на основе известных принципов механики.

Рассмотрим дискретную механическую систему, состоящую из п частиц Рі,і = 1,2,...,п, массы которых обозначим т1,т2, ...,тп. Пусть вектор pr(t) определяет положение частицы с номером г в инерциальнои системе отсчета или в компонентной форме: где х = (х1( х2,..., xN), система имеет N — т = s степеней свободы. Положение системы в момент времени t может быть определено с помощью s независимых параметров q1,q2, ...,qs, которые являются обобщенными координатами Лагранжа.

Дифференциальные связи обычно определяются уравнениями в форме пфаффового дифференциала Y!t=1cCki- dxt + akodt = О, к = 1,2,... ,т, (3.1.3) где коэффициенты aki = aki(xi;t), ак0 = ock0(xi;t) не зависят от скоростей, и являются функциями класса С1. Соотношение (3.1.3) равносильно выражению =1акі.Уі + ак0 = 0,/с = 1,2, ...,m, vt = - . (3.1.4) В обобщенных координатах скорости частиц системы будут предоставлены .=2i=if 4y+l?. 4; = = 1.2 WJ = 1 s. (3.1.5) Голономные связи обычно представляются в интегрированной форме, иногда в форме Пфаффа. Чтобы различать голономные и неголономные связи можно применить следующую теорему[29].

Т.н=іАп(Уі У2 -,Уе)йуК = 0. Для представления голономной связи в дифференциальной форме необходимо и достаточно существование интеграла вида /(Уі,У2 — Уе) = Для которого будет справедливо равенство Например, предположим, что частица движется в плоскости (х, у) по траектории, наклон которо пропорционален времени, — = kt. Форма

Рассмотрим систему, конфигурация которой описывается п обобщенными координатами, составляющими вектор Я = [Чі,Ч2,-,Чп\т, (3.1.8) и удовлетворяющую начальным условиям q(to) = q,q(to) = q. (3-1.9) Когда механическая система является свободной, уравнения движения системы могут быть представлены в форме уравнений Лагранжа: ()--a = = 2 " (3110) где Q- внешние силы, — = vt. Уравнения движения системы (3.1.10) можно переписать в виде Mq = f, (3.1.11) где М обозначает п X п симметричную, положительно определенную, обобщенную матрицу, и / = f(q, q, t) является nx 1 столбцом обобщенных внешних сил и обобщенных сил инерции, так называемые центробежные и кориолисовы силы инерции. Обобщенное ускорение системы обозначается п-вектором a = a(q, q, t) где a = — ускорение, обозначив его как аи. Предположим теперь, что на систему наложено т идеальных голономных или неголономных связей, заданных уравнениями вида

Наличие связей (3.1.13) накладывает дополнительные ограничения на систему, изменяя ее ускорение. Используя метод множителей Лагранжа, уравнения движения несвободной системы можно записать в виде соотношения

Эту проблему можно решить с помощью метода множителей Лагранжа, в котором вводится дополнительный набор ж переменных цк. Решая уравнение (3.1.19) для ускорения получаем q = M-1{f + ATii). (3.1.20) Если матрица М не является особой и матрица А имеет полный ранг, то уравнение (3.1.20) может быть решено aa = au + D д, (3.1.21) где D = М 1А7,ii является множителем Лагранжа и получается из (3.1.20), аи является ускорением свободной системы, которая получается из (3.1.11) и аа является фактическим ускорение системы со связями.

Подставляя соотношение (3.1.20) в уравнение (3.1.17), получаем уравнение относительно ц, которое имеет решение H = (AM-1AT)-1Bq + (AM-1AT)-1(C-AM-1f). (3.1.22) Подставив выражение множителя Лагранжа в (3.1.20), получим уравнение движения системы: q = Mxf + M-1AT{AM-1ATY1{Bq + (C - ЛМ-1/)}. (3.1.23) Уравнение (3.1.23) может быть дополнительно упрощено и записано в виде: аа = аи + H(Bq + С - Ааи), (3.1.24) где выражение Н = М 1АТ(АМ 1АТ) 1 представляет пгхп матрицу. Соотношение (3.1.24) также может быть представлено в виде аа = Раи + Sv + Я, (3.1.25) где P = I-HA, S = HBnR = HC Для численного решения уравнения (3.1.25) систему второго порядка следует представить в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

Предположим, система подвергается идеальным и неидеальным связям. Выражение силы f будет использоваться как сила, обусловленная идеальными связями Fc = Атц а сила, обусловленная неидеальными связями будет Qc = Qc(q, q,t).B конкретном случае Qc должно быть указано, так что в зависимости от конкретной системы, движение должно быть смоделировано соответствующим образом.

Уравнения динамики механических систем с идеальными Связями

Формализм механики Гамильтона открыт в 1830, полагая, что функция Гамильтона представляет собой полную энергию системы. Принцип Гамильтона связан с уравнениями Лагранжа через преобразования, называемые преобразованиями Лежандра, и позволяет представить уравнения динамики в новых переменных, которые называются каноническими переменными. Уравнения движения могут быть получены из принципа Гамильтона для свободной системы и системы со связями. Уравнения динамики в канонических переменных позволяют представить систему второго порядка в виде системы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных.

В механике Лагранжа движение изображающей точки Р определяется системой дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат системы. В механике Гамильтона размерность пространства возрастает до 2п измерений. Движение изображающей точки определяется системой 2п дифференциальных уравнений. Эта формулировка эквивалентна формулировке Лагранжа для дискретных механических систем с голономными идеальными связями.

Следует отметить, что q = М гр в случае стационарной системы. В результате, функция Гамильтона будет записана в терминах t, q, р, после подстановки выражения (4.1.10) в (4.1.6), т.е. Н = H(qk,pk, t). Учитывая изменение функции Гамильтона и объединяя уравнения (4.1.8) и (4.1.11), получаем: Вследствие того, что Sqk и 6рк независимы, соотношение (4ЛЛ2) приводит к системе ЧК= РК = , к = 1 п. (4ЛЛЗ)

Полученная система уравнений представляет собой систему уравнений Гамильтона или канонические уравнения. Она содержит функцию Гамильтона H{q,p,t) и канонические переменные q,p,t. Заметим, что (4.1.13) является системой из 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Функция, которая остается постоянной при всех t t0, является интегралом уравнений движения:

Следовательно, скобки Пуассона позволяют определить скорость изменения вектора хг через гамильтониан Я. Это верно для любого фазового пространства: если qt,Pj соответствуют решению уравнений Гамильтона, то скорость изменения функции f(c[(f) P(t)) может быть вычислена как

Таким образом, из равенства {/, Я) = 0 следует, что f является постоянной величиной, то есть, она имеет фиксированное значение вдоль решения уравнений Гамильтона. Во многих случаях, движение тел, рассматриваемых в механике, не является свободным, оно ограничено определенными условиями, соответствующими уравнениям связей. Механические системы классифицируются в соответствии с типом связей. Пусть дана механическая система, на которую наложено m связей: (,4,0 = 0, i = l,...,m, (4.2.1) где я — ІЯі Ч2 — Чп) Я — ІЯі Ч2 — Чп)- Уравнения движения системы в форме Лагранжа записываются: где її = (д1; ...,/)-множители Лагранжа, Qkc- непотенциальные силы. Определим обобщенные импульсы и введем обозначение для правых частей уравнений

Выражение (4.2.4) содержит множители, которые могут быть определены различными способами. Один из способов заключается в определении множителей с использованием производных от уравнений связей. Представим систему (4.2.9) в векторной форме: q = Hp; (4.2.10)

В исследовании движения изображающей точки р, мы констатируем величины в виде энергии, используемой в обобщенном пространстве Ап и канонические координаты в пространстве Г2п; Функция F(qk, qk; t) становится новой функцией F(qk,pk;t) и называется ассоциированным выражение функции F.

При выборе набора ограничений, голономных или неголономных динамических систем важно, чтобы решение удовлетворяло ограничениям на всех уровнях. Для того, чтобы предотвратить численные нарушения и расхождения решения, уравнений движения должны быть стабилизированы по отношению к начальным условиям и уравнениям связей [36]. В этой главе будут рассмотрены уравнения динамики несвободной системы Гамильтона. Рассмотрим возможные при численном решении отклонения от уравнений связей (4.2.2) и обозначим лишние переменные а так, что [63]:

Обыкновенные дифференциальные уравнения часто встречаются в виде математических моделей во многих отраслях науки и техники. К сожалению, эти уравнения редко имеют решения, которые могут быть выражены в явном виде, поэтому обычно ищут приближенные решения с помощью численных методов. В настоящее время это может быть просто достигнуто, с высокой точностью и с надежными границами погрешностей между аналитическим решением и его численной аппроксимацией. В этом разделе мы будем заниматься построением и анализом численных методов для дифференциальных уравнений первого порядка вида (4.4.11) с помощью методов Эйлера и Рунге-Кутта. Уравнение (4.4.11) может быть записано в виде

Для того, чтобы использовать метод Рунге-Кутта, необходимо развернуть выражения кг, к2, к3, к4 до четвертого порядка и вычислять с начальными значениями, тогда мы получим приближенное значение движения механической системы.

Пример 4.1: Дана двухзвенная рука робота (рис.4.1). Масса манипулятора расположена в двух концах пг1 и тп2, звенья являются жесткими и масса существенно меньше величин т1 и т2. Робот движется в плоскости хоу, и внешние силы действуют как показано на рисунке. Для этой простой модели V = 0, и пусть (хі,Уі,х2,У2) = ІЧі Ч2 Чз чд

Отношения между формами энергии в механике Лагранжа и Гамильтона

Моделирование динамики механической системы начинается с составления уравнений динамики в соответствии с условиями, предъявляемыми к движению. Движение многокомпонентной системы, цели управления которой задаются уравнениями связей, является программным движением. Соответствующая траектория точки в пространстве состояний является программной траекторией. Эти ограничения удерживают движение с заданными свойствами на траектории, ограничивая воздействия возмущений на движения системы за счет дополнительных сил, которые рассматриваются как управляющие силы.

Осуществление программного движения требует решение задачи моделирования, уточнение параметров системы, определение соответствующих управляющих сил и численное решение уравнений динамики в замкнутой форме. Необходимым условием ограничения отклонений движений системы от уравнений связей является устойчивости движения по отношению к уравнениям связей. Уравнения динамики составляются на основе известных принципов механики.

Рассмотрим дискретную механическую систему, состоящую из п частиц Рі,і = 1,2,...,п, массы которых обозначим т1,т2, ...,тп. Пусть вектор pr(t) определяет положение частицы с номером г в инерциальнои системе отсчета или в компонентной форме: где х = (х1( х2,..., xN), система имеет N — т = s степеней свободы. Положение системы в момент времени t может быть определено с помощью s независимых параметров q1,q2, ...,qs, которые являются обобщенными координатами Лагранжа.

Для представления голономной связи в дифференциальной форме необходимо и достаточно существование интеграла вида /(Уі,У2 — Уе) = Для которого будет справедливо равенство Например, предположим, что частица движется в плоскости (х, у) по где М обозначает п X п симметричную, положительно определенную, обобщенную матрицу, и / = f(q, q, t) является nx 1 столбцом обобщенных внешних сил и обобщенных сил инерции, так называемые центробежные и кориолисовы силы инерции. Обобщенное ускорение системы обозначается п-вектором a = a(q, q, t)

Во избежание проблем со стабилизацией связей в процессе численного интегрирования уравнений динамики системы следует предусмотреть условия для компенсации возможных отклонений от уравнений связей. Так, уравнение (3.1.15) можно записать в виде связей (3.1.13) накладывает дополнительные ограничения на систему, изменяя ее ускорение. Используя метод множителей Лагранжа, уравнения движения несвободной системы можно записать в виде соотношения

Эту проблему можно решить с помощью метода множителей Лагранжа, в котором вводится дополнительный набор ж переменных цк. Решая уравнение (3.1.19) для ускорения получаем q = M-1{f + ATii). (3.1.20) Если матрица М не является особой и матрица А имеет полный ранг, то уравнение (3.1.20) может быть решено aa = au + D д, (3.1.21) где D = М 1А7,ii является множителем Лагранжа и получается из (3.1.20), аи является ускорением свободной системы, которая получается из (3.1.11) и аа является фактическим ускорение системы со связями.

Предположим, система подвергается идеальным и неидеальным связям. Выражение силы f будет использоваться как сила, обусловленная идеальными связями Fc = Атц а сила, обусловленная неидеальными связями будет Qc = Qc(q, q,t).B конкретном случае Qc должно быть указано, так что в зависимости от конкретной системы, движение должно быть смоделировано соответствующим образом. где аи определяется как М-1/ и интерпретируется как вектор ускорения свободной системы. Наконец, подставляя JI в уравнения (3.1.31) и (3.1.33), получим уравнения движения для несвободной системы: Mq = f + АТ{АМ-1АТУ1{Ъ - Ааи) + [I - AT{AM-1ATY1AM-1]QC, (3.1.34) где I является пХп единичной матрицей.

Замечание: Уравнение (3.1.34) получается просто путем исключения множителей Лагранжа ц из уравнения (3.1.30). Можно показать, что уравнения движения, полученные в виде (3.1.34) эквивалентны тем, которые приведены в [73, 74].

В случае, когда матрица М в уравнении (3.1.11) положительно определена, уравнение движения системы со связями задается так называемым основным уравнением. Общие уравнения движения системы с неидеальными связями записываются как [73]: Mq = f + Мг/2В+(Ь - Аа) + МЦ\ - B+B)M1/2QC (3.1.35) где В = АМ г/2, &В+ является обратной матрицей к матрице В в смысле Мур-Пенроуза. Как и раньше, Qc = Qc(q,q,t) является силой, соответствующей неидеальным связям. Такой набор уравнений движения предполагает дальнейшее развитие, которое не связано с обобщенными обратными матрицами [74]: Mq = f + М 2РВТ{Ь - Аа) + №(\ - PBTB)M1/2QC, (3.1.36) где Р = {ВТВ + VV7)-1 , (3.1.37) при условии, что V является матрицей размерности п X (п- пг), которая является ортогональным дополнением матрицы В [13]. Таким образом, V является матрицей, имеющей ранг п-m, так, что BV = 0. (3.1.38) Взаимосвязь между выражением уравнения (3.1.34) и приведенными уравнениями (3.1.35) и (3.1.36), как показано в [12], эквивалентны друг другу. Эквивалентность можно увидеть в нескольких направлениях простой демонстрации с помощью идентичности: ВТ(ВВТ)-1 = (ВТВ + VVT)-1BT. (3.1.39) Идентичность уравнений (3.1.39) имеет простое аналитическое значение: линейная комбинация столбцов ВТ с элементами (ВВТ)-1 в качестве коэффициентов, равна линейной комбинации из рядов Вт с элементами (ВТВ + VVT)_1 в качесте коэффициентов.

Если В имеет полный ранг т, то обратная матрица ##тсуществует. Матрица ВТВ + VVT имеет полный ранг п и, следовательно, его обратная матрица (ВТВ + VVT)_1 также существует. Следовательно, (ВВТ)(ВВТ) 1 и (ВТВ + VVT)(ВтВ + VVT)_1 являются m X m единичными матрицами. Таким образом, можно утверждать, что