Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Об интегрируемости гамильтоновых систем с торичес ким пространством положений , 38
I. Постановка задачи. Критерий интегрируемости, 38
2. Вековое множество и его структура . 48
3. Доказательство теорем о неинтегрируемости. 57
4. Некоторые обобщения. 59
ГЛАВА II. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием . 67
I. Строение интегрируемых систем, 67
2. Необходимые условия интегрируемости , 78
3. Теория возмущений. 81
ГЛАВА III, Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды . 91
I. Числа Ковалевской. 91
2, Обобщенные цепочки Тоды. - 93
3, Основные результаты . 95
4. Доказательство теоремы 3,1, 98
5. Однозначные решения и полиномиальные интегралы. 102
ГЛАВА IV. О сохранении инвариантных многообразии гамильтоновых систем при возмущении . 106
I. Теорема о продолжаемости. 106
2, Доказательство теоремы о продолжаемости. 109
3, Некоторые приложения. 112
ГЛАВА V, Механизм разрушения резонансных торов гамильтоновых систем, 118
I. Резонансные торы и теория КАМ. 118
2. Гиперболические торы и первые интегралы. 133
3. Срествование гиперболических торов в некоторых конкретных системах . 135
4. Гиперболические торы и теория возмущений. 138
5. Доказательство теоремы 5,1. 142
6, Доказательство основной леммы. 152
7. Приложение. 158
ГЛАВА VI. Гиперболические торы и асимптотические поверхности в гамильтоновых системах. 161
I. Гиперболические торы. 161
2, Условия расщепления поверхностей, асимптотических к гиперболическому тору. 167
3. Существование гиперболических торов вблизи рас сепаратрис. 174.
Добавление. Кусочно-гладкие гамильтонианы и теория кам. 190
Литература. 203
Основные результаты диссертации.
- Вековое множество и его структура
- Необходимые условия интегрируемости
- Основные результаты
- Срествование гиперболических торов в некоторых конкретных системах
Введение к работе
Актуальность тегу. Хате известно, типичная гампльто.чо.ча система ляется пеинтегрпруемо" хан 2 сжкслз невозможности иалтн рзж.^нпя явнсм виде например, с по:ло:цзз квадратур , так :: в с:-.толе от-тствия достаточного количества кезавне:::;::: порвпх интегралов. ичхна заключается з сложно:.: позелени;: газових траектории, полузаем в с;>изическол литературе название хаотичности пли стохас-чности. Такое положение дел заставляет во-первпх, уделять особое іманхе вопросам качественного анализа, а во-вторнх, рассматрн-іть некоторые специальные хотя и достаточно жирохпо классы гатей. Гамильтоповн системы, блпзіале к ннтегрпруз:."::.:, образует ся :із такхх классоз. Широкое распространение таких споте:.: з при->жекхях сочетается с возмоэюсткэ их подробного анализа. Наломім, что А.Пуакхарз назвал задачу исследования га-лют.топова: скоїм, близких к :п:тегр:груе:.:пм "основної! задаче!: динамики".
Цель работ:*. Анализ траекторий гампльтоповнх систем, близки::
пктегрируемпм, а также исследование этих систе:.: с точіи зрения
руга вопросов, связя:п:мх с услозиями их полной интегрируемости.
Чауч-а^ чо^-чча. Сслевнне результаты диссертации такозн.
1. ІІаііден крхтзрнп полиск интегркруеглостк обратимой гампльто-
зво" системи с тор.гчззхж: пространством положении, б:плпзариант-
оіі кинетической эпергнгГ :: потенциальной энергией, пзляголейся
рпгзномзтричеекпм пзллноме:.:. С:ода относится,'в частности, задача
д_іХ':;ек:хт Езап:.:одэ::е7ву:;ц:г -:аст:л( с периодическим потенциале:.:.
-
Получена полная классификация интегрируемое гамлльтокозих истем с зкспонеіпп-іальнум взаимодействием — обобщеннее цепочек 'ода.
-
Для аналитических систем обыкновенных дидаеренцпальннх ураз-
нениЛ введен новый инварианте - число Ковалевской. Показано, чт у вполне интегрируемых обобщенных цопочек Тоды число Ковалевск максимально.
-
Найдены необходимые условия сохранения инвариантных ыног образил гамильтоковои системы при малом возмущении системы.
-
Найдены условия, при которых ішвараантннй "резонансный то интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системы при возмущения по распадается полностью, а пороздаег семейство гиперболических инвариантных торов возмущенной системы. Показано, что наличие гйзсільтоіювоп системы большого количества гиперболических торо несовместимо с ее интегрируемостью.
-
Показано, что расщепление поверхностей, асимптотических гиперболическому тору интегрируемой гамильтоновой системы, СОЕ воздаотся рождением большого количества семейств гиперболичесі торов.
7J Найдены условия применимости теории КАМ в системах с удг «км взаимодействием.
Нтоутнческяя ценность. Диссертация носит теоретический хаі тер. Ее результати могут быть использованы при изучеі.пи проблі интегрируемости гамильточовых систем; при исследовании траектс систем, близких к интегрируемым,а тайке при анализе механизма никно^екия стохастичности. Результаты главы 5 могут оказаться лезккмп при изучении гнтенсивко обсуждаемого математиками и фі ками гипотетического явления - диффузии Арнольда.
Атт^о^".:г;я ту.боты. Результаты диссер~ации докладывались: - на заседаниях семинара ".Динамические системы классической ш нпка" под руководством В.З,Козлова и С.В.Болотина в 1938-1290 ~ ко семинаре по дхнаиическиы системам под руководством Д.З.'Аз
- о -
ова и А.М.Стешна в 1989 г.
на семинаре под руководством В.В.Румянцева и Ю.Л.Архангольского
і 1988 Г. и 1992 Г.
на семинаре ЛИЛП под руководством В.О.Лазуткина в 1989 г.
на семинаре ИШ АН СССР под руководством А.Ю.Исшинского я иМ.Югкмова в 1992 г.
на семинаре по классической динамике под руїсоводством В.Г.'Деми-іа в 1992 г.
Публикации.- Основные результаты диссертации опуЗликованп в Зотах, лерэчисленных в конце автореферата.
Структура диссертации, Диссертация изложена на 209 страницах і состоит из б глав и одного добавления.' Библиография содержит Э1 наименование,:
Вековое множество и его структура
Классификация обобщенных цепочек Тоды с максимальным числом Ковалевской оказывается почти совпадающей с классификацией цепочек, удовлетворяющих необходимым условиям интегрируемости по Биркгофу главы II. Действительно, отличие состоит лишь в том, что схема л) главы II заменена в главе III на две схемы л) и м), соответствующие, между прочим, интегрируемым цепочкам. Таким образом, все цепочки, удовлетворяющие теореме 3.2, интегрируемы по Биркгофу за исключением случая з) , в котором вопрос об интегрируемости пока остается открытым.
В третьей главе рассмотрен также вопрос об условиях однозначности решений системы {{)} (9) в плоскости комплексного iвремени. При этом используется метод Ляпунова, основанный на рассмотрении уравнений в вариациях,[37]. Оказалось, что необходимое условие однозначности общего решения при комплексных t имеет вид
Глава.IV посвящена исследованию следующей задачи. Пусть - гамильтонова система, (-OJ0) и tcM инвариантное подмногообразие невозмущенной системы (М, HJ. Инвариантность многообразия L понимается в том смысле, что гамильтоново векторное поле касается U . Отсюда, в частности, следует, что Ц состоит из траекторий невозмущенной системы. Требуется найти необходимые условия того, что у возмущенной системы будет существовать инвариантное подмногообразие Li С М } диффеоморфное L и гладко зависящее от параметра .
Перейдем к строгим определениям. Все объекты в главе IV считаются гладкими. Пусть Q + - фазовый поток исходной гамильтоновой системы, Л/ - компактное многообразие, Q0: Л/—»-А1 - вложение, Инвариантность подмногообразия / (?0(Л/)сМ по отношению к невозмущенной системе, в сущности, означает, что существует векторное поле R на А/ такое, что то есть отображение Q 0 переводит й в $ ІСиІН0. Эквивалент-ное условие состоит в следующем. Пусть 7 — фазовый поток поля R . Тогда диаграмма л/— л/ - 19 коммутативна. Предположим, что отображение Q0 можно продолжить до семейства отображений Q : А/ — М так, что диаграмма останется коммутативной, Б этом случае отображение Q0 назовем пролетаемым относительно возмущения Нх . Отображение Q0 назо-вем вполне продолжаемым, если оно продолжаемо относительно любого возмущения. Цредположим, что существует возмущение R, поля № и семейство отображений Q :Д/ — М такие, что диаграмма н ч si коммутативна для (-10у0).Здесь "1 — поток, соответствующий полю . В этом случае отображение Q0 назовем -продол-жаемым относительно /-/ Отображение Q0 назовем вполне Й-продолжаемым, если оно fi -продолжаемо для любого возмущения. Очевидно, любое продолжаемое отображение является также -продолжаемым.
Эффект R -продолжаемости отображения Q„ соответствует тому, что инвариантное подмногообразие L = Qd(A/) не разваливается, а лишь слегка деформируется при возмущении системы.
Напомним, что векторное поле U на М называется локально гамильтоновым, если I-форма CL)(/ ,U) замкнута. Два касательных вектора VifV ТМ называются косоортогональными, если
Векторное поле Ц на М назовем полем -симметрии гамильтониана Н , если оно локально гамильтоново и выполняется равенство (d(V%«o, (4) здесь Эи - дифференциальный оператор, соответствующий векторному полю U , равенство (1 I) означает, что дифференциал функции Эи М равен нулю в точках многообразия L = Q0 ( А/) .
Определение» Отображение Q0 будем называть невыродденным, если любое поле Ц -симметрии гамильтониана Н0 касается подмногообразия L. Отображение Qe назовем R -невырожденным, если любое поле 1+ -симметрии гамильтониана Цв , косоортогональ-ное в любой точке у подмногообразия L касательному пространству "JJL , касается L, ,
Основной в главе IV является i\; :,,;:;. Теорема 4,1. Пусть поле 12 сохраняет меру М на А/ такую-, что мера любого открытого подмножества А/ больше нуля и /й(Л/) «, Тогда выполняются следующие утверждения. а). Если Q0 вполне продолжаемо, то оно невыроддено; если Q0 вполне Й -продолжаемо, то оно R. -невырождено. б). Если Q0 продолжаемо (соответственно, R -продолжаемо) относительно возмущения /-(L , то для любого U - поля Ц -сим метрии (соответственно, поля L-симметрии, косоортогонального ТЦ) гамильтониана Н0 существует функция ; М - $ такая, что В частности, если поток 1 на N эргодичен, то
Теорема 4.1 дает необходимые условия различных видов продолжаемости отображения Qe или, что эквивалентно, достаточные условия отсутствия такой продолжаемости. Например, если Q0 является R -вырожденным, то теорема утверждает, что при как угодно малом возмущении инвариантное многообразие Д, , вообще говоря, развалится в том смысле, что возмущенная система не будет иметь близкое к/, и диффеоморфное ему инвариантное многообразие U , гладко зависящее от .
Основным примером инвариантных многообразий в гамильтоновых системах являются инвариантные торы различной размерности. При этом размерности О соответствуют положения равновесия, а размерности 1 - периодические решения. Применим теорему 4.1 к этому случаю.
Необходимые условия интегрируемости
Пусть W,W - двойственные m-мерные линейные пространства над полем вещественных чисел. Их элементы будем обозначать соответственно через ОС у . Пусть Ч)Х - значение ковек-тора у на векторе X. Рассмотрим функцию V: V- J? , определенную формулой М)1 где V, - отличные от нуля вещественные числа, (Х± у ,.,,(Хп — ненулевые векторы из W . Функция V будет играть роль потенциальной энергии экспоненциального взаимодействия. Набор векторов "спектР" суммы экспонент (i.lj - обозначим $7. Пусть ( , ) - скалярное произведение в пространстве W . Метрика ( ) позволяет отождествить двойственные пространства W и W . Более точно, существует линейный изоморфизм А W W такой, что у = (.у,Л" X) длявсех OС W, W Зная метрику ( , ) и потенциал V , мы можем теперь записать уравнения движения системы с экспоненциальным взаимодействием
Пусть сопряженные базисы в W и W . Положим X ZLXet и =Z. . В координатах аазовом Мространстве V v xл/ уравнения (1,2) можно представить в виде канонических уравнений Гамильтона с гамильтонианом — кинетическая энер гия системы.
Пусть D : W- W - невырожденный йинейный йператор и D : W -+W -оператор, сопряженный: с D, Отображение W W - W W, задаваемое формулами 3C=Dx , y (J) ) U является каноническим. В частности, в новых переменных х ,,. З? Ц/ " У(т уравнения Гамильтона (4.3 ) будут снова иметь канонический вид с тем же Гамильтонианом. Подходящим выбором оператора JD кинетическую энергию можно привести к сумме квадратов:
Гамильтоновы системы вида (12) часто встречаются, в приложениях. Например, динамика конечной периодической цепочки Тоды [5?J описывается системой уравнений (13) с функцией Гамильтона
Уравнения (4.2) встречаются также при научении некоторых однородных космологических моделей в общей, теории относительности [Ю] . Поиску случаев интегрируемости гамильтоновых систем (1,2) посвящено значительное число работ. МуЭно [73] у Г.Флашка [15] , С.В.Манаков Щ] установили полную интегрируемость цепочки Тоды: уравнения Гамильтона с гамильтонианом (1 Ч) имеют W независимых полиномиальных по импульсам первых интегралов, попарно находящихся в инволюции. Этот результат был обобщен в работах [69, ,79]. на случай, когда спектр Щ. является системой простых корней простой алгебры Ли. С этой точки зрения гамильтониан (4-.Ц) соответству - 69 ет алгебре типа Ат . Е.К..клянин [Щ указал еещ еднн оинегри Тоды: m ..2 «z i H = i f + ( 1- )+ + (i5) где СУ., A.,Odm) вт - произвольные вещественные постоянные. Метод работ ?9, 7 3 , , 4,79, б] основан на представлении уравнений Гамильтона (i.2) в виде L А пары Лакса. Элементы матриц L и А являются линейными функциями импульсов Ц .- Ут коэффициенты которых - конечные суммы вещественных экспонент:
Следовательно, следы степеней матрицы L - интегралы уравнении Гамильтона - являются полиномами по импульсам с коэффициентами вида (1.6).
Относительно интегрируемости систем (i.2J в общем случае мало что известно. В [6 т] рассмотрен случай, когда }$1 состоит из WI+ I векторов (X, , .... &m+i причем любые ЇЇІ из нин предполагаются независимыми. Доказано, что при этих предположениях критерием алгебраической интегрируемости системы (i.2J является выполнение условий. при всех к j . Алгебраическая интегрируемость означает, в частности, что переменные ys , exp Xs (l S tn) мероморфны на плоскости комплексного времени для почти всех начальных данных. Отыскание необходимых условий алгебраической интегрируемости системы (1.2) основано на классическом методе С.В.Ковалевской, примененном ею в динамике твердого тела ия Отметим, что далеко не каждая вполне интегрируемая система вида (1.1) будет алгебраически интегрируемой в смысле определения работы [Ы] . Вот простой пример системы с одной степенью свободы: где fnL ) - многочлен степени ft с простыми корнями. Эта система алгебраически неинтегрируема при /7 5". Действительно, функции: j являются ее решениями с запасом полной энергии п . Ясно, что при ft 5 для почти всех п функция многозначна на комплексной плоскости. Мы будем изучать интегрируемость системы: (1.2) в вещественной области. В [69J выявлено сложное поведение траекторий системы (i.2J с бесконечной группой Кокстера, порожденной отражениями относительно векторов CL Є т.
Гамильтонову систему уравнений (1.2) назовем интегрируемой по БиркгоФу, если она имеет ftl полиномиальных по импульсам интегралов с коэффициентами вида (І.Ь) , старшие однородные по Ц формы которых почти всюду независимы (как функции в W W )
В случае двух степеней свободы условие независимости старших форм мы заменим более слабым условием независимости дополнительного полиномиального интеграла с интегралом энергии, как аналитических функций в фазовом пространстве W W .
Гамильтоновы системы из работ [ 9,"5,3 , 69, М, 9, Щ 7 как было отмечено выше, интегрируемы по Биркгофу. Определение 2.1. Вектор из Ш назовем максимальным, если он имеет наибольшую дайну среди всех векторов }$1 имеющих с ним одинаковое направление. Наш основной результат составляет Теорема 2.1. Предположим, что гамшіьтонова система (І.2) интегрируема по Биркгофу. Пусть 0. - максимальный вектор из Щ и вектор CL-єШ линейно независим с а . Тогда бледотвие I. Если система (i.2.) интегрируема по Биркгофу, то любые два линейно независимых максимальных вектора &1,-- Є-Wl удовлетворяют условию (Д.7).
Это утверждение полезно сравнить с результатом работы /65J в которой рассмотрен случай, когда Ж1 состоит из Ш +L векторов 0. .,., й т+4 причем любая подсистема из fo векторов линейно независима. В [6.7J показано, что критерием алгебраической интегрируемости системы (1.2.) является как раз уеловие (i.7)# Следствие I утверждает, что в этом случае критерием интегрируемости по Биркго- -фу также является уеловие (1.1). Эта ситуация аналогична положению дел в классической задач о вращении тяжелего твердого тела с неподвижной точкой: уравнения движения алгебраически интегрируемы тогда и только тогда, когда он имеют полный набор независимых полиномиальных интегралов (см.. например,
Основные результаты
Подставляя ряды (i ) в левую и правую части уравнений Гамильтона и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t , получим индуктивную цепочку алгебраических соотношений для последовательного нахождения пар коэффициентов ХЛ и YХ-і и каждая из этих систем разрешается однозначно, а при А = Ц она вырож дается в одно уравнение Ц)(ц = Y3 » Поэтому коэффициент Х (иж Yx можно считать произвольным параметром (модулем) и, следова тельно, при П = 2. число Ковалевской равно 1 . Если П" 3 , то с = 4 , в = 2 и При каждом из двух возможных выборов знаков уравнения опускают однопараметрические семейства формально мероморфных решений. Роль произвольного параметра играет в обоих случаях., например, коэффициент Х$ . Поскольку эти два семейсста различны (так как различны коэффициенты при старших степенях i/), то здесь
Отметим, что при П = 2. и Л = 3 общее решение системы (1.2) выражается через эллиптические функции времени. Причем в первом случае в параллелограмме периодов у функции X(i) имеется единственный полюс второго порядка, а во втором случае - два полюса первого порядка, вычеты в которых отличаются знаками. Поэтому ввиду периодичности при П-2 имеется лишь одно семейство мероморфных решений, а при П-== таких хемейств вовно ова.
Эти наблюдения можно обобщить на случай произвольной систеш дифференциальных уравнений в СП - [2] с полиномиальными пра - 93 выми частями. Подставляя формальные ряды Лорана для переменных : ( j-Я-) в уравнения и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х , найдем, во-первых, ограничения на полюсы разложений а во-вторых, получим бесконечную цепочку полиномиальных уравнений на коэффициенты рядов Лорана функций 2 , в каждое из которых будет входить лишь конечное число неизвестных коэффициентов. Все эти соотношения в совокупности выделят в бесконечномерном пространстве коэффициентов формальных рядов Лорана некоторое алгебраическое множество. Ввиду автономности рассматриваемой системы уравнений, его размерность не превосходит П-І. Числом Ковалевской
X полиномиальной: системы дифференциальных уравнений назовем количество связных компонент этого алгебраического множества, каждая из которых имеет размерность П-і . Числа Ковалевской - простейшие топологические инварианты аналитических систем дифференциальных уравнений. Отметим, что некоторые связные компоненты построенного выше алгебраического множества могут иметь размерность П.-2.. Если fa О , то общее решение исходной системы уравнений, очевидно, не может быть мероморфным. На этом простом замечании основан метод Ковалевской, впервые примененный к уравнениям движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Оказалось, что в этой задаче fa О лишь в интегрируемых случаях Эйлера,. Лагранжа ж Ковалевской [24]. Метод Ковалевской: с успехом используется для отыскания новых интегрируемых задач классической механики и математической физики (см., например, [6?J Д 70] , [72J , [ і ]) .
Применим эти общие соображения к гамильтоновым системам с гамиль тонианами H=/ZL УІ + ИЧ хр аа: . (2.1) векторы из JP 0C = (CiJl..J3Cm) канонические координаты, сопряженные с = ( v; m) -стандартное скалярное произведение в J?m . Системы такого вида часто встречаются в приложениях, см 159] ,1
Систему с гамильтонианом (2Л) назовем обобщенной цепочкой Тоды» если выполнены следующие условия: векторы (X . .,..} &m+i таковы, что любая их подсистема из Я! векторов линейно независима и l+ Psa$ =0 , где все ps 0; векторы ai),..)aA группируются в семейства F {S-l, , . ../ft+i) такие, что кавдый вектор CL- из F имеет одинаковое направление с as и ajU/as ; at) Us 0 для всех 5 = i,..Мm+i.
Сюда относятся обычные замкнутые цепочки Тоды и их интегрируемые обобщения, найденные в работах [6?] , ІЗД,[W]
Отметим, что во всех проинтегрированных случаях импульсы ] ,... ...,утn. экспоненты ехр а ,Х , ...еЄХр а ,ОС оказываются меро-морфными функциями комплексифицированного времени f , В связи с этим замечанием возникает интересная задача об условиях существования у гамильтоновой системы с функцией Гамильтона (2 Л) к различных семейств формально каждое из множеств F состоит из единственного вектора XS . Оказалось» что если уравнения Гамильтона имеют достаточное количество различных семейств мероморфных решений, то они допускают т независимых и полиномиальных по импульсам интегралов и поэтому являются интегрируемыми по Лиувиллю, Обратное утверждение не имеет места. Действительно, при т і каждая система интегрируема по Лиувиллю, однако, как будет показано в 3, предположение к і налагает довольно жесткие ограничения на структуру множества век
Срествование гиперболических торов в некоторых конкретных системах
В работе Адлера и ван Мёрбеке [Ы] рассмотрены трехмерный и четырехмерный случаи системы Гросс-Невё. С помощью анзаца Ковалевской доказано, что для почти всех начальных условий переменные U/, и eXpl tX,) не являются мероморфными функциями комплексного времени. В частности, система Гросс-Ыевё алгебраически неинтегрируема.
Сопоставим базису eL , - Єг - ../-б отношение -- ,чевидноо векторы с =е,-Єг , _ . удовлетворяют условиям I), 2), 3), следовательно, в силу теоремы 5,4 и ее следствия данная система, является неинтегрируемой по Пуанкаре, причем интегрируемости препятствует существование при малых большого количества гипербо-лических торов ЧГ у ()
Отметим, что рассматриваемая система обладает линейным, первым интегралом F= у + -+#m . После понижения порядка с использованием F торы Тит"4()с1проектируются на гиперболические (т-2)-мерные торы редуцированной системы.
Гиперболические торы и теория возмущений. Докажем теорему 5.4. а) В силу теоремы 5Л, а также замечания 6, для того, чтобы от резонансного тора М = М невозмущенной системы, частоты которого удовлетворяют одному резонансному соотношению VJ =0 , eZmy при малом возмущении отщепилось семейство гиперболических торов ТП ( ) , необходимо выполнение условия невырожденности критических точек соответствующей усредненной функции ti6. Можно считать, что компоненты вектора tf взаимно просты. Тогда в качестве матрицы К (см. 1) можно взять вектор Jf. Для выполнения условия 10фО необходимо, чтобы вектор X или параллельный ему лежал в ДОГ.
Так как функция Ц действительнозначна, то множество № инвариантно относительно отображения Т— --Т,а величины j-\ и Н"Т комплексносопряженот
Лемма п.2к Пус ть множество )fl содержит лишь одну пару ненуле-выЛ векторов Панельных У Тогда еуществуеь &Цп у такое чтх при всех положилельных ( ) везмущенная система таl/ (З І) ибладапо гиперболическими торами TTV) Ац У =0 причем величины U которым миоторамтвую эти торы образуют 0 множестве положительнок меры ма плоскости э Ац Xі о О а
Десттвиполонот в нилу условий лемш 5 2 йушщи { .течностью до коэффициента равна СК о»-».) U Лф ямеет нс Т ровно \\ невыровненных критических точек Матрица V в нашем случае есть превто числоы Для одной хотовины из ртих критиченких Сепоставим подготппк XіЖ С Ж 4 матрицу . (ом і) Каж лаС точка плооподя «WIN UdPm- U yу-ot в m Каждатствтеа плоска TOW [еволенной иотеш причем uз сооб - 140 ражении теории меры следует, что соотношениям сильной нерезонанс ности и не удовлетворяют ни при каких Л// О О точки, образующие на это! гиперплоскости подмножество меры нуль. Таким образом, почти из каждого тора, задаваемого условием U -у У с7Г (}( ), при малом возмущении системы отщепляется семейство ги перболических On-і) -мерных торов возмущенной системы. Пусть W(0 - множество точек плоскости ТГ( ) таких, что для каждого Ц W(e) при всех 0 0 существует гишр-болическшї тор ХаМ" (). МеРа множества 7Гф Ч U W ( l) на плоскости Т( ) равна нулю, следовательно, для некоторого множество имеет положительную меру и в ка честве \&) можно взять 4/к0 . Лемма 5.2 доказана. б) Так как множество )$1 конечно, то, используя лемму 5,2, можно получить не более, чем конечное число гиперплоскостей ТГ( ) , которые содержат точки у , порождающие семейства Ти ( )„ Чтобы продвинуться дальше, обратимся к классической схеме теории возмущений.
Будем искать каноническую замену координат ( Ц Х Ynod27Г) - - - (Y,XftW27r) такую, чтобы в новых координатах гамильтониан (1.І) не зависел от угловых переменных. Рассмотрим производящую
Будем считать, что все функции Sf, имеют нулевое среднее по переменным X. Замену координат проведем по формулам Имеем уравнение Ho(Y+ +...)+H1(Y+4...J o)+...= (4.2) - 141 В нулевом приближении по равенство ( .2) имеее тид Нв = К0 . В первом приближении получаем Таким образом, если произвести каноническую замену координат ( i.l) с производящей функцией Y,st + «$/ то гамильтониан станет равным h\eiY) lKl(YH 1H/2 (У,ХК ,где Н - некоторая функция, внра аяоячер езН. Л, и иж хроизводные.
Во втором приближении уравнение (.НЛ) имеет вид следовательно, - усреднение функ ции Н по переменным X , и н;- н; = _ . Аналогично замена координат (4.I) с производящей функцией ОС -f Sj[+ ...+ о переводит гамильтониан H,(Y) + (Y)+,.. M (y) mlWU(Y.X)+- , &3J Лемма 5.3. Для системы с гамильтонианом (1.4) , (3 J) (t) функции 5 и /-/ имеют вид (Іс) если ОС и А - элементы множества $7 , удовлетворяющие свойствам I) и 2), то функции Hf T отличны от нуля при всех ненулевых значениях переменной и таких, что /у, & +Д -Q # Доказательство пункта (I) леммы 5.3 следует из формулы (2.5) главы I и равенства ( Z. ) настоящей главы; пункт (II) следует из основной леммы главы I. в) Вернемся к доказательству теоремы 5.2, Пусть 0 удов летворяют условиям I), 2), 3)и М - одно из чисел, при которых выполняется з). Каноническая замена координат с іфоизводящей функ цией У,0С +г5і + ...+ .МSм приводит исходный гамильтониан к ви ду (Ц.Ь). Применим к нему теорему 5.1 с учетом замечания 4 и лем му 5.2. В качестве вектора $ возьмем АІ06 4 (Ь . Условия леммы 5.2 выполняются в силу свойства 3) и леммы 5.3. Таким образом, плоскость 0 такова, что существует ее подмно жество "W положительной меры такое, что при С/ А/ и 0 0. 0 0, гиперболические торы Ту () существуют. Теорема 5.4 доказана.