Введение к работе
Диссертация посвящена качественному исследования обратимых механических систем, включая разработку резонансной теории об устойчквостії в окрестности положения равновесия и симметричного тора, теорию продолжения симметричного периодического движения по параметру в неизолированных по Пуанкаре случаях, а также исследование ряда конкретных классических задач механики.
Актуальность тепы. В диссертационной работе механические системы рассыатриваются как простейший класс линейно обратимых систем. Это позволяет более ясно понять известные факты и получить новые результаты в раде классических задач механики, а также в прикладных задачах.
Четыре обстоятельства делают такое рассмотрение обоснованным. Во-первгао параллельное существование голономной и неголоношой механики. Во-вторых, использование квазикоординат в механике. В-третьих, созданиесБкркгоф, Мозер, Брюно, Бибиков, Арнольд, Девают, Сев-рюк к др. з обратимой КАМ-теории, параллельной КАМ-тесрии гамиль-тонсвой. 'Л самое главное, з-четвертых, обратимостью, заложенной в ньютоновой механике.
Обратимая КАМ-тесрия предполагает нерезонансность, причем основную роль играет резонанси низших порядков. Многочисленные исследование Марке ев, Кугапдаа СокольсідаЧ, Хазин,Шноль и др. і привели к созданию резонансной теории об устойчивости для га'кильтоно-, вых систем и систем общего вида. Эти результаты, однако, не позволяют получить достаточно полные выводы для обратимых систем.
Свойство обратимости выделяет важный класс решешй - симметричные периодические движения,которые в типичном случае образуют семейство(Девани);з задаче о продолжении таких двиаений имеем неизолированный по Пуанкаре случай.Согласно теории Ляпунова-Пуанкаре в этом случае необходимо привлекать к анализу слагаемые , зависящие от параметра.При этом в конкретных задачах возникают серьезные(иногда - непреодолимые) трудности технического характера.Поэтому важное теоретическое и особенно прикладное значение"имеет вопрос:для каких периодических движений и в ка-
ком классе возмущений реиение задачи о продолжении определяется только свойствами порождаицвй системы.В механике класс систем выделяется свойством линейкой обратимости.
Получение новых результатов в классических задачах представляется актуальным.
Цель работы состоит в разработке качественной теории 'обратимых механических систем и исследование на ее осиозэ ряда класси ческкх задач механики.
Методы исследования- В теоретической части используются методы теоретической механики, качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости,а такта аппарат нормализующих про образований. При изучении симметричных периодических движений применяется теореьш Хейнбокла-Страбла и ее обобщения» данные автором. Исследование конкретных механических задач проведено с по нощью обратимой КАМ-теории и методов, разработанных в дассертаци
Научная новизна. В диссертации впервые установлен принципиаль ный факт линейной обратимости основных моделей классической и небесной механики и проведено систематическое качественное иссл дование обратимых механических систем.Разработана резонансная т ория об устойчивости в окрестности положения равновесия и сише ричного тора ив основной - качественная теория системы пзрєого нелинейного приближения,Поставлена и решена задача о продолжени по параметру симметричных периодических движений на основа гнал за только порождающей системы.Определены основные положення "об ратиной механики".
Получены новые результаты в ряда классических задач механики
Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов и согласованием выводов с известными в предельных и частных случаях.
Теоретическая и практическая ценность- Рассмотрение механичес ких систем как простейший класс линейно обратимых систем позволяет использовать обратимую КАМ-теорию для исследования как го-лоноыных, так и кеголоношшх систем независимо от того, используются ли координаты или квазикоординаты. Тем самым становится понятной структура окрестности равновесия и симметричного тора.
Теоретические результаты по исследованию резонансных обрати-
ыых систем могут быть эффективно использованы в теории нелинейных колебаний.
Результаты по исследования симметричных периодических двиие-пий будут применены для построения и классификации всех таких движений аналитическими и численными методами в ряде классических задаче тяжелое твердое тело с неподвижной точкой» однородный эллипсоид на шероховатой плоскости, задача Хилла. ограниченная задача трех тел и др. з, а таююэ для доказательства существования периодических орбит в различных вариантах задачи многих сп>зз тел.
Результаты по исследованию задачи трех тол и N-планетной задачи ггаогих тел можно использовать в прикладной небесной механике и космогонии.
Все основные результаты могут быть включены в соответствующие руководства по теоретической механике, теории устойчивости движения, теории нелинейных колебаний и небесной механики.
Апробация работы
Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались на И,Коллоквиуме по качественной теории дифференциальных уравнений, Сегед, 10833, УII Чехословацкой конференции по дифференциаль-кш уравнениям и их приложениям**Прага, і озаз, Республиканской конференции по динамике твердого тела и устойчивости двияенияеДонецк, іэдоз,VII Всесоюзном сьезде по теоретической и прикладной иеханикесМосква, 19913;VI Четаевсксй конфереішии по аналитической механике, устойчивости движения и управления двияениемсКазань, і Q923 .Ниш международном семинаре по устойчивости и колебаниям нелинейных системе Москва, 1902; Самара, 19943, Ш конференции по нелинейным колебаниям механических системе Нижний Новгород, іоэзэ, I Великолукском симпозиуме по прикладной небесной механике*.Великие Луки, 19943, XIX Научных чтениях по космонавтике*: Москва, иэазэ, а также на семинарах в МГУ им. М. В. Ломоносова: - по аналитической механике и теории устойчивости руководитель - академик В. В. Румянцев; і sat, і эзг, і Э9з, 1994з , . - по механике относительного движения*, руководители - проф. В. В. Белецкий, проф. Ю. Ф. Голубев, доц. С И. Трушин, доц. Л. Е. Якимова;
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введеная, восьми глав текста, заключения и списка литература-Первые четыре главы составляют теоретическую часть, в остальных главах исследуются конкретные задачи. Работа изложена на гаг страншдах, содердат зз рисунков, еялсок литературы
из ззо наименований.