Введение к работе
Актуальность работы. Часто в прикладных задачах исследуемые математические модели включают влияние различных неопределенных факторов: внешних возмущающих сил, неконтролируемых вариаций параметров (например, коэффициентов жесткости или затухания в механических системах, сопротивления, емкости или индуктивности в электрических цепях, коэффициентов обратной связи в системах автоматического управления и т.д.). При этом необходимо определить, куда могут попасть траектории систем при наложенных на них ограничениях и различных реализациях возмущений. При описании построения закона управления, лежащего в границах известного множества, возникает сходная математическая модель. Эти проблемы могут быть сведены к оцениванию фазовых состояний динамических систем.
В работе рассматриваются и оцениваются множества достижимости динамических систем, то есть множества возможных значений фазового вектора. Исследуемые системы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Эти уравнения содержат неопределенности, входящие в их правые части аддитивно (например, возмущающие силы), и мультипликативно (например, ограниченные возмущения на матрицу системы или управления, изменяющие ее элементы).
В работе получено уравнение в частных производных, описывающее эволюцию границы множества достижимости. При решении этого уравнения объем необходимых вычислительных ресурсов быстро увеличивается с ростом размерности. Поэтому целесообразно применять оценки множества достижимости произвольной формы эволюционным семейством множеств канонического вида. Получить такие оценки позволяет метод эллипсоидов, развитый в работах Ф. Швеппе, А.Б. Кур-жанского, Ф.Л. Черноусько и других. Аппроксимация при помощи эл-
липсоидов имеет ряд преимуществ, среди которых простота и явный вид полученных аппроксимаций, гладкость границы, инвариантность класса эллипсоидов по отношению к аффинным преобразованиям, небольшое число параметров, которые описывают эллипсоид. В [1] для матрицы и центра оптимального эллипсоида внешней и внутренней аппроксимации были получены уравнения эволюции в случае, когда возмущения входят в систему только аддитивно. Задача построение оптимальных эллипсоидальных оценок множества достижимости при мультипликативной неопределенности была впервые поставлена и решена в работе [2] для случая покомпонентных ограничений на матриц) возмущений.
В диссертации (для систем, содержащих возмущения нх матриц) строятся локально оптимальные внешние оценки множества достижимости.Оценки оптимальны в смысле критерия общего вида.
Во многих практических задачах с неопределенными параметрами возникает необходимость определения максимальных возможных отклонений фазового вектора при заданных ограничениях или возможностей управления всей совокупностью, то есть ансамблем траекторий Актуальность поставленных и решенных в диссертации задач обусловлена важностью исследования механических систем с неопределенными параметрами (систем с трением и затуханием, систем, содержащих электрические цепи и т.д.)
Цель работы. Постановка и решение задач исследования множеств достижимости линейных динамических систем с неопределенной матрицей. Получение уравнений эволюции опорной функции множества достижимости и его эллипсоидальных оценок, оптимальных пс различным критериям. Численное исследование построенных уравнений для некотрых задач динамики.
Методы исследования. В диссертации использованы методы теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений
и теории устойчивости, компьютерное моделирование.
Научная новизна. Решена алгебраическая задача построения образа при отображении произвольного ограниченного множества семейством матриц. Построено уравнение эволюции опорной функции множества достижимости линейной динамической системы с неопределенной матрицей. Построено уравнение эволюции оптимальных эллипсоидальных оценок этого множества для широкого класса критериев оптимальности и ограничений на матрицу возмущений. Получено точное решение уравнений эллипсоидальных оценок одного класса систем.
Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при постановке и решении задач оценки "наихудшей" реализации движения системы при заданных ограничениях на неопределенности в системе. Эти результаты могут быть использованы для оценки возможностей управления ансамблями динамических систем при произвольной реализации помехи.
Полученное точное решение уравнения эллипсоидальных оценок для одного класса систем позволяет отходить от особой точки при численном интегрировании уравнений внешних и внутренних оценок множества достижимости для одного класса линейных систем.
Достоверность полученных результатов. Полученные результаты основываются на корректности постановок исследуемых задач, строгом использовании математических методов.Результаты компьютерного моделирования подтверждают теоретические выводы.
Публикации. Имеется 5 публикаций [3-7].
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на IV Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" ( Москва, 4 - 7 июня 1996 г.), IV конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 17 - 19 сентября 1996 г.), Пятой Международной олимпиаде студентов и аспирантов по автоматике и управлению (Санкт-
Петербург, 2-4 октября 1996 г.), Юбилейной научной конференции МФТИ (Москва, 29 - 30 ноября 1996 г.), Международной конференции "Управление колебаниями и хаос" (СОС 97, Санкт-Петербург, 27 - 2S августа 1997 г.).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и содержит 72 страницы машинописного текста.