Исследование устойчивости стациомерных движителей твердого тела с вихревым заполнением Савченко, Ян Алексеевич

Введение к работе

_ I

On I

л -ций -Актуальность работы. Возникшая в результате дискуссии о

"двилеіши полюсов Земли задача о движении твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеышюй однородной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, издавна привлекает внимание ученых. Особо возрос интерес к этой задаче после опытов Кельвина с эллипсоидальным волчком (1877), обнаружившего новые эффекты взаимодействия тела и жидкости, и попыток объяснения их результатов. В результате появились работы таких известных- ученых как Гринхил (1830), Гвф (1895), Слуцкий (1909), Пуанкаре (1910), Бассет (1911), Стеклов (1911) и других.

Дальнейшим импульсом, послужившим интенсификации исследований в этом направлении, стало широкое использование в современной технике ракет и снарядов с жидким заполнением, для которых необходимо было дать оценку влияния вращающейся жидкости на правильность их полета, а также создание мощных центрифуг. Осно-вополагаювдй вклад в решение задач о движении тела с жидкостью в полостях в виде фигур вращения внесли С. Л Соболев, А. Ю. Ялтинский, В. а Румянцев и их ученики. Значителен вклад в ресение задач устойчивости движений тела с эллипсоидальной полостью таких ученых как Жак, A. ft Савченко, А. О. Игнатьев, А. а Карапетяя и др. Отмеченные выше теоретические исследования были экспериментально проверены в работах С.В. Иалашенко, НЕ. Темченко.

Тем не менее до сих пор остается открытым вопрос о влиянии на динамические свойства тела с эллипсоидальной полостью,заполненной жидкостью, смещения центра полости с главной оси. Значимость этой задачи связана с тем, что в силу несовериенства технологии изготовления центр эллипсоидальной полости кокет оказаться смещенным с главной оси тела-носителя. До сих пер также не были установлены границы степени вытянутости тонкостенного эллипсоида, при которых его движения былинеустойчивы при любой скорости вращения.

Настоящая работа и посвящена исследованию стационарных движений гироскопа Лагранжа с эллипсоидальной полостью, смещенной с главной оси, а также иаучению устойчивости равномерных вращений тонкостенного эллипсоидального волчка

- 4 -Целью работы «ваяется решение следующих вопросов:

1. Вывод уравнений движения абсолютно твердого тяжелого тела, имеющего неподвижную точку и вллипсовдальную полость, целиком заполненную идеальной однородной нескишаешй жидкостью, в случае произвольного расположения полости по относенет к гжав-ным осям тела-носителя.

2. Поиск я классификация стационарных движений системы тело-жидкость, в случае, когда тело-носитель - гироскоп Лагранжа, и его главные оси параллельны.осям волости-эллипсоида вращения, центр которого не принадлежит главным осям.

3. Построение необходимых и достаточных условий устойчивости части из найденных стационарных движений.

4. Изучение равномерных вращений тонкостенного волчка в виде ?ллинооида вращения, и оценка влияния величины степени "замерзания" .жидкости в волчке на устойчивость равномерных В ра-ВДЭНЯЙ. . . . ' ' '

Методы исследования. При исследованиях, проводимых в диссертационной работе, использовались методы аналитической механики и теория устойчивости движения, Уравнения движения системы тело-жидкость записаны, исходя из вакона изменения момента количества и уравнений гидродинамики. Необходимые условия устойчивости .изучаемых стационарных' движений найдены из аналива уравнений первого приближения, достаточные условия устойчивости- построениями функций Ляпунова. При работе над уравнениями первого приближения использовался язык аналитических преобразований для ПЭВМ REDUCE, а при построении областей устойчивости -система автоматизации инженерных расчетов MATLAB и графические Пакеты На языке FORTRAN. ' ' ,

Научная новизна Получены уравнения движения абсолютно твердого тяжелого тела с неподвижной точкой и с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеальной однородной несжимаемой жидкостью, в случае произвольного расположения полости по отношению к главным осям тела-носителя. Получены уравнения движения гироскопа Лагранжа,имеющего полость в виде эллипсоида вращения, в случае, когда ось Динамической симметрии гироскопа и ось симметрии эллипсоидальной полости параллельны й не совпадают.' Найдены все стационарные движения гироскопа Лагранжа, содержащего

.-6-

емеаденную эллипсоидальную полость с жидкостью,'и Проведена их детальная классификация.

Проанализировали необходимые условия устойчивости и найдены достаточные условия- устойчивости Для части установленных классов стационарных льижения, интересных с точки зрения приложений. Решена задача о построении областей устойчивости равномерных вращений тонкостенного волчка в виде эллипсоида вращения, даны оценки влияния степени "замерзания" жидкости в таком волчке на устойчивость его равномерных вракений.

Практическая ценность. Приведенные в настоящей работе результаты могут быть использованы ..при исследовании рабочих режиме й Технических устройств,.моделируемых системой тело-жидкость.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной ра
боты докладывались на 'XXV Всесоюзной научной студенческой кон
ференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск,
апрель 1987 г.) и на XXVI (Новосибирск, апрель 1988 г.), на XI
конференции молодых ученых механике-математического факультета
{ffy (Москва, "февраль 1989 г.), на Республиканской конференции
" Динамика твердого тела и устойчивость движения" (Донецк,
сентябрь 1990 г.), на семинарах отделов прикладной механики,
технической механики Института прикладной математики и механики
' АН Украины. . _

Структура диссертации.. Объем работы. Диссертация-состоит из введения, 4. глав и заключний. ОбіеЯ работы 142 страницы машинописного Текста ИолчестЕо рисунков 33, список литературы содержит 54 наименование;

Во впелгтчи обоснована октуздыюств- темьі, дан обвор. работ, относящихся к теш Диссертации, кратко изложено содержание. работы н сформулированы основные реэультаты, выносимые автором на защиту.

В первой главе диссертации рассматривается задача о движении динамической системы, состоящей из абсолютно твердого тяжелого тела с неподвижной точкой 0 и.с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеальной однородной неслииаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое двимэние, в случае произвольно . го расположения полости по отношению.к главным осям тела-носи теля.

Б пункте 1.1 дается постановка задачи, вводится система координат Оз 3 ге, , жестко связанная с телом такиы образом, чтр ее оси параллельны осям полости-эллипсоида, и вычисляется скорость частиц жидкости V , соверваюцмх вихревое 'движение ( 2bi «tottf, Q, - вектор вихря частиц жидкости).

В пункте 1,2 вычислены тензоры, использованные для нахождения кинетического ыомента систеш тело-гаїдкость. Записываются уравнения двикения тела с вдкостьв в векторном и скалярном видах. Для найденных уравнений приводятся интегралы энергии, площадей, вихря и геометрический.

В пункте 1.3 постановка задачи о движении тела с жидкостью конкретизируется, а именно полагается в дальнейшем, что тело-носитель - гироскоп Лагранка, а полость - эллипсоид вращения, ось симметрии параллельна оси симметрии гироскопа. Без нарушения общности полагается также, что координаты центра полости 0 - (0; Lki і ),. 2 >0. иИО. Расположенная таким образом в теле полость с вихревым заполнением была Названа вихревым дебалансом. Указанные предположения позволили записать уравнения двикения системы тело-жидкость в специальном виде для гироскопа Лагранжа с вихревым дебалансом (ГЛВД).

Вторая глава посвятена поиску, анализу и классификации ста-онарных движений ГЛВД.

В пункте 2.1 была записана алгебраическая система уравнений, определяющая точки в фазовом девягимерном пространстве координат вектора угловой скорости тела-носителя со , со , сд , координат вектора вихря частиц кидкости Cs , 0,_г> Q_& и координат вектора вертикали ^ . у , У. которым соответствуй стационарные движения ГЛВД Отмечено, что стационарные двине ню определяют равномерные вращения тела-носителя вокруг оси, совпадающей с вектором вертикали ( СО И у ). При этом координат) вектора вихря в подвижной системе координат постоянны. йсході ив структуры указанной системы уравнений,была произведена пред' верительная классификация стационарных движений: первый кпасс ( 60 -0 ) система уравновешена, тело покоится, жидкость в по лости соьеркает вихревое движение; второй класс - ( сО^О v »0 ) ось вращения тела-носителя лежит в главной плоском Ох х : третий класс -( СО^О.^^0) остальные равно мерные враяний тела с гздкостыа

В пункте 2. 2 исследована структура первого класса стацио

- ? -

нарных движений ГЛВД.

В пункте 2. 3 исследована структура второго класса стацио
нарных движений. В плоскости Ой) (й_ъ были введены полярные
координаты СО , су : ій_г- CO&tHO, iD~ СйСО&Щ, в качестве ос
новного алгоритма Изучения многообразия особых точек второго
Класса полагался следующий прием - считая СО, СО произвольными
параметрами, Исследовалось, сколько решений относительно &1 .
Q, . C«L. Y,; . Y, . СО , СО соответствует тем или иным на
борам основных параметров СО . с? . ,

Был выделен первый общий случай: Ci> s ? , СО - СО ~-у$ ( CJ- - ускорение свободного падения), Q, #0 . произвольное. Ему соответствует двупараметрическое многообразие особых точек, определяющее равномерные вращения тела вокруг второй оси с фиксированной скоростью СО и вихревое движение вокруг оси, деталей в главной плоскости 0:г_д:с . Остальная часть многообразия особых точек второго класса, для которой Q rO . была классифицирована следующим образом.

Особенные случаи: первый - Cj> е^О; я} , СО ==CD₀ = І-УаТі; второй - ср = І5Г/2, CO=sCO_c=t VqTU^. Множества стационарных движений, соответствующие особенным случаям, однопараметричес-кие, они определят равномерные вращения тела, соответственно, либо вокруг третьей, либо вокруг второй оси с фиксированной угловой скоростью id , и такое вихревое движение жидкости, что Q IItO , |Q|- любое.

Особые случаи: СР '{0: ЗСІ - первый, со = *ЗГ/2- второй, в которых СО - произвольное, Q «Q (со), З_д = СЗ (сф. Множества стационарных движений, соответствующие особым случаям, однопа-раметрические, они определяют равномерные вращения тела, соответственно, либо вокруг третьей, либо вокруг второй оси с произвольной угловой скоростью, и вихревое движение кидкостн вокруг некоторой фиксированной в тет.э оси.

Второй общий случай ( эсп 2ф 0}. Каждому набору параметров (О , Ц сопоставляется по два аначения Q,, 2 у. Соответствующее ему двупараметрическое мноиество стационарных двикений второго класса определяет равномерные вращения тела вокруг произвольной оси, лежащей в главной плоскости Ох_лХ_л, и вихревое движение ЖИДКОСТИ Q Q (C^jCf). -"ибо Сі " Q (С0,іу) вокруг оси, такие лексаивй в плоскости Ох я

Над плоскостью основных параметров и со, СО. в прострая-

ствах О W₂ ft Q₃ . О <л СО, О_г исследовались многозначные поверхности Q₃*Q (о},Ц), Q*Q ((Д.Ц). Были установлены свойства 1-3, определившие множества точек пересечения с плоскостью OcOjCO этих поверхностей, асимптотический характер их поведения в окрестности осей Осо_з , Осй₂ , характерные области в ОсО^оЗд , над которыми поверхности имеют постоянный знак. Для иллюстрации установленных свойств поверхностей Qj . О_а . с привлечением машинных методов и компьютерной графики были построены их трехмерные изображения, В плоскости ОоО Cu)j были построены так называемые структурные схемы, резюмирующие свойства 1-3.

В пункте 2.4 исследована структура третьего кадоса стацио
нарных движений ГЛВД. Б пространстве 0 у v v, был осутест-
влен переход к сферический координатам.* * а 01пц>: У eCod^Aiil»,
#₃=С06^собі^ . При исследовании структуры двупзраметричес-
кого многообразия третьего класса параметры if и vp* считались
Произвольными, и изучалось, сколько решений относительно w, ,
W_z , ttj , , Qj ( Q_t , Q^ соответствует тем или иным па
раметрам и , ц>- . Третий класс был разбит на два случая: обший
И особенный..

В общем случае, в пространстве 0у у у . была выделена единичная полус4ерй S допустимых направлений в теле оси вертикали у , вокруг которой происходят равномерные вращения тела-носителя. В пространстве О 6Э. 0>₂ to₃ была построена поверхность допустимых еначений вектора to , сопоставлящая две своих точки каждой точке на 5(скцг-) .

Изучены особые случаи, когда центр полости O_t принадлежит прямой ( ОС )i где С - центр маос системы тело-жидкость.

В пункте 2. Б в пространстве 0 у, У^ у₃ проводится геометрическая интерпретация проведенной в пунктах 2.1-2.4 классификации равномерных вращений ГЛВД с точки врения выделения осей вращения на единичной сфере,, и приводится обобщающая результату Второй главы схема классификации стационарных движений ГЛВД.

Третья Глава посвящена исследованию необходимых и достаточных условий устойчивости для некоторых классов стационарных движений ГЛВД,

В пункте 3.1 для стационарных движений ГЛВД, принадлежащих любому случаю второго класса, исключая первый общий ( Q &0), записываются уравнения возмущенных движений. На основе анализе

- 9 -соответсгвуюЦйх уравнений первого приближения найдены необходимые условия устойчивости, имеющие вид системы неравенств, связывающих коэффициенту ,8, ( 1^2,,3,4 ) бикубического характеристического уравнения.

В пункте 3. Й изучается необходимые условия устойчивости стационарных движений второго класса, лежащих на плоскости

0оЗ_г C0_S в Малой угловой окрестности оси 0o3_s tfeC*^!^) ' Введение малых параметров к - Wltiqq( yj_t * kcJ, ) и ( п.¹ -

= <ІЇ ;І ^atu^₀, І* tKi_itni*\/8/Zlit^l* С J У позволяет строить в. плоскости основных параметров ( СО,, С2_Л ) области О выполнения необходимые условия устойчивости. Так как при a*fc-0 йнучаемь» равномерные цщщтия ГАйД переходя? в двулараметрй-ческое семейство движений ( to , Or ) гироскопа Лагранжа с симметрично расположенной полостью, совершаойей вместе с жидкостью равномерные вращения вокруг оси симметрии, а характеристическое уравнение ГЛВД переходит в детально изученное уравнение в симметричном случае (А, Я. Савченко^ А. 0. Игнатьев, Е. а Лозднякович), то утверждается, что при малых п. и к. области выполнения необходимых условий устойчивости ГЛВД и fироекогіа с симметричной полостью совпадают. Исключение составляет случай резонанса в симметричной системе, т.е. когда характеристическое уравнение имеет кратный корень ( ^ )^_в^₀**^ ). На плоскости О Q GOj ему соответствуют внутренние в Q точки ревонансной кривой R. . Для изучаемого характеристического уравнения ГЛЕЯ было установлено, что его свободный член с точностью до членов второго порядка малости на ревонансной кривой симметричной задачи есть:

S » 5„⁽¹⁾п^г+ S, к и были выписаны коэффициенты 5', S. как полиномы-по И ,k 0 на R- , что приводит к возникновению "полосы" неустойчивости в окрестности резонансной кривой.

Для случая к 0 (первый особенный случай второго класса), когда знак S, определяется только знаком S, , приведен ряд примеров, демонстрирующих различные варианты взайморасполояения областей устойчивости G » кривых R. и R. ( 5_в =0 ), и случаи возникновения полосы неустойчивости над R.. Примеры были оформлены в виде рисунков, на которых изобретенные при помощи графопостроителя и машинных методой кривые L, (граница G ), R. и R/ являются точными решениями определяющих уравнений. В пункте 3.3 найдены достаточные условия устойчивости

- 10 і стационарных движений второго класса при Q.^O . Для первого особенного случая в плоскости основных парметров 0 2 00^ построены области выполнения Достаточных условий устойчивости.

Достаточные условия устойчивости находились построением функций Ляпунова в виде связки Уравнений возмуіщнного движения.

Было установлено, что границами областей G выполнения достаточных условий устойчивости стационарных движений йервоґо особенного случая служат резанаксЕШе кривые R. , лежащие в Областях выполнения достаточных условий устойчивости G , при Q > 0 выше прямых СО = ~тЛ >>"2 > ^и прямая Q =0 . Эти результаты были прокоММейтироьаиН На приведенных в п. 3.2 рисуіі-ках. Была проведена полная классификация "резонансных" кривых, при этом отмечено, что форма И размеры областей G не вавйсят от величины Ц- смещения центра полости.

В четвертой главе изучается устойчивость равномерных вращений гироскопа Лагранжа в виде тонкостенной эллипсоидальной оболочки с вихревым заполнением.

В пункте 4. і приводятся основные посылки задачи. Полагается, что масса оболочки пренебрежимо Ыала, й часть жидкости в полости "намерзла" на внутренний) Поверхность оболочки, т.е. рассматривается как абсолютно твердое тело. Оболочіи и внутренняя граница жидкого объема - подобные эллипсоиды вращения с центром в точке 0_Z . Неподвижная точка 0 совпадает с вершиной вллипсоида-оболочки, находящейся на его оси симметрии: 2. = С, . С целью оценки влияния формы эллипсоида На область выполнения необходимых .условий, устойчивости рассшт; зались Эллипсоиды равных .объемов V*i (м³) и различными d. - ЬьШ введен Параметр |> і характеризующий степень "замерзания" жидкости & * С./С, ( I» 1,3), где С^ - Полуоси границы жидкость-"лед". При сделанных предположениях * параметры с*, и $ однозначно определяют систему тело-кидкость, что позволило выразить механические параметры через А И Ь .

В пункте 4.2 были записаны, при сделанных в п. 4.1 предположениях, необходимые условия устойчивости равномерных вращений эллипсоида с жидкостью вокруг оси симметрии, коллинеарной в этом движении вектору вертикали ^ , в случае, когда скорости вравдния тела И жидкости совпадают ( 00= Q ).

В пункте 4.3 в плоскости основных параметров ОоС СО построены области выполнения необходимых условий устойчивости У ,

-11- ,

когда р~ і т. е. все заполнение .тадкое. Здесь 63 есть квадрат шдудя угловой скорости неуравновешенного волчка Установлен на оси Oct интервал d И; 2.Б80О] неустойчивости при любш вначеннях о) неуравновешенного эллипсоида, что согласуется с опытами Кельвина

В пункте 4.4 детально проанализировано изменение области выполнения необходимых условия устойчивости Ц в плоскости основных параыегров Ои(й^г при изменении параметра jb от 1 до О, вначению Ь=0 соответствует случая полного "вамерзания" жидкости в полости, когда критерием устойчивости изучаемых двикекий является обычный критерий Иайевсксго для абсолютно твердого неуравновешенного гироскопа Лагранжа (В случае уравновешенного гироскопа, при Ь - 0 , он устойчив при любых значениях 0 ).