Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Резонансные вращения спутника на эллиптической орбите 11
1.1. Уравнения движения спутника относительно центра масс на эллиптической орбите 11
1.2. Постановки задачи об устойчивости резонансных вращений 15
1.3. Гамильтониан возмущенного движения 18
Глава 2. Исследование устойчивости резонансных вращений с учетом плоских возмущений 24
2.1. Гамильтониан задачи 24
2.2. Исследование устойчивости в линейном приближении 25
2.3. О методе нелинейного анализа устойчивости периодических га-мильтоновых систем с одной степенью свободы 28
2.4. Результаты нелинейного анализа устойчивости 34
2.5. Исследование устойчивости в особом случае вырождения 36
Глава 3. Исследование устойчивости резонансных вращений несимметричного спутника при наличии пространственных возмущений 42
3.1. Линейный анализ устойчивости по отношению к пространственным возмущениям 42
3.2. Линейный анализ устойчивости при малых значениях эксцентриситета 44
3.3. Результаты линейного анализа устойчивости при произвольных значениях эксцентриситета
Глава 4. О методе исследования устойчивости периодических га мильтоновых систем с двумя степенями свободы в критических случаях 57
4.1. Метод исследования устойчивости при отсутствии в системе ре-зонансов первого и второго порядков 58
4.2. Метод исследования устойчивости в случае резонанса основного типа 65
Глава 5. Анализ устойчивости резонансных вращений в случае динамически симметричного спутника 82
5.1. Гамильтониан возмущенного движения 82
5.2. Анализ устойчивости в линейном приближении 83
5.3. Результаты нелинейного анализа устойчивости резонансного вращения типа 1:2 с учетом пространственных возмущений 88
5.4. Результаты нелинейного анализа устойчивости резонансного вращения 3:2 с учетом пространственных возмущений 92
Заключение
- Постановки задачи об устойчивости резонансных вращений
- О методе нелинейного анализа устойчивости периодических га-мильтоновых систем с одной степенью свободы
- Линейный анализ устойчивости при малых значениях эксцентриситета
- Метод исследования устойчивости в случае резонанса основного типа
Введение к работе
Актуальность темы.
В последние десятилетия наблюдается значительный прогресс в исследовании и освоении космического пространства. Открываются новые планетные системы, реализуются масштабные и комплексные космические проекты, планируются новые амбициозные космические миссии. Для решения этих задач активно применяются аналитические и численные методы небесной механики и динамики спутников. Современная динамика космических аппаратов (КА) является быстро развивающейся предметной областью, которая характеризуется очень широким спектром проблем, охватывающих как прикладные вопросы, связанные с проектированием новой космической техники и развитием методов математического моделирования движения КА, так и вопросы развития теории и методов качественного анализа движения спутников. В частности, несмотря на усложнение конструкций К А и повышение требований к их системам управления, актуальными остаются задачи исследования общих закономерностей движения спутников, моделируемых твердым телом. Одной из таких задач является задача о движении спутника относительно центра масс на эллиптической орбите, изучению которой в различных аспектах посвящено большое количество публикаций. Постановки задач и описание полученных в этой области результатов содержатся в работах В.В. Белецкого, А.П. Маркеева, ВА. Сарычева и других исследователей.
Движение спутника относительно центра масс описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, которые не интегрируются в квадратурах. В связи с этим актуальной является задача о нахождении и исследовании свойств определенных классов их частных решений. При этом особый интерес представляют решения, которые играют определяющую роль в общей динамике спутника. К таким решениям, в частности, относятся периодические решения. Нередко исследование их свойств, позволяет получать важные качественные выводы об общих закономерностях движения спутника, которые могут быть затем использованы на этапе проектирования и моделирования движения КА, а также для разработки эффективной системы управления КА.
Исследованию периодических движений спутника на эллиптической орбите посвящено много работ. Наиболее детально изучены плоские периодические движения, при которых одна из главных центральных осей инерции спутника направлена по нормали к плоскости орбиты. Подробную библиографию по их исследованию можно найти в работах А.Д. Брюно и СЮ. Садова.
В небесной механике и динамике спутников особую роль играют устойчивые плоские резонансные периодические движения, при которых периоды орбитального обращения и вращения спутника относительно центра масс находятся в рациональном отношении. Как показано в работах В.В. Белецкого, А.А. Хентова, В.И. Арнольда, В.В. Козлова, А.И. Нейштадта и других иссле-
дователей на таких движениях спутник (или планета) попадают в область особой динамической устойчивости, которая возникает благодаря наличию указанной резонансной связи.
В задаче о движении спутника относительно центра масс известны два замечательных случая, когда уравнение В.В. Белецкого, описывающее плоские движения спутника относительно центра масс, допускает точные частные решения: если главные центральные моменты инерции спутника Л, >, С и эксцентриситет орбиты е связаны соотношением 2е = (С — А)/В, то имеется частное решение, описывающее резонансное вращение типа 1:2, если же выполнено соотношение —2е = 3(С — А)/В, существует частное решение, описывающее резонансное вращение типа 3:2. Для определенных значений параметров устойчивость указанных вращений исследовалась А.А. Хентовым, А.П. Маркеевым, B.C. Бардиным, Т.Е. Чуркиной.
Цель работы.
Целью данной диссертационной работы является исследование устойчивости вращений типа 1:2 или 3:2, определяемых точными решениями уравнения В.В. Белецкого, для неисследованных ранее значений параметров, а также разработка конструктивного алгоритма решения задачи об устойчивости периодической гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансах первого и второго порядков.
Методы исследования.
Для достижения цели работы в диссертации применялись современные методы гамильтоновой механики, методы теории устойчивости, методы теории КАМ, метод нормальных форм, метод симплектических отображений.
Достоверность результатов
Достоверность представленных в диссертации результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, высокой точностью проведенных численных расчетов, а также тем, что выводы, полученные в предельных случаях аналитически, полностью согласуются с результатами численного анализа.
Научная новизна.
В диссертации получены следующие новые научные результаты:
1. В задаче об устойчивости резонансного вращения типа 1:2 с учетом плоских возмущений были найдены три новых интервала значений эксцентриситета орбиты, в которых имеет место устойчивость по Ляпунову. Исключение составляет лишь конечное число точек, отвечающих резонансам третьего и четвертого порядков, где имеет место неустойчивость. Кроме того, для двух особенных и неисследованных ранее значений эксцентриситета на основании нелинейного анализа членов в разложении гамильтониана до шестой степени включительно была доказана устойчивость указанного вращения по Ляпунову.
-
Решена линейная задача об устойчивости резонансного вращения типа 1:2 для спутника с неравными моментами инерции с учетом как плоских, так и пространственных возмущений. В пространстве параметров построены диаграммы устойчивости.
-
Исследована устойчивость резонансных вращений динамически симметричного спутника. В рамках нелинейного анализа показано, что пространственные возмущения оказывают влияние на устойчивость движения спутника только в резонансных случаях.
-
Разработан конструктивный алгоритм исследования устойчивости периодических гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в случае резонансов первого и второго порядков.
Положения и результаты, выносимые на защиту.
-
Проведен полный нелинейный анализ устойчивости резонансного вращения типа 1:2 с учетом плоских возмущений для неисследованных ранее значений эксцентриситета. Найдены три новые области устойчивости указанного резонансного вращения при значениях эксцентриситета, близких к единице, а также получены строгие выводы об устойчивости в особых точках, где для решения задачи потребовался анализ членов до шестой степени включительно в разложении функции Гамильтона уравнений возмущенного движения.
-
Проведен анализ устойчивости в линейном приближении резонансного вращения типа 1:2 в случае спутника с неравными моментами инерции с учетом пространственных возмущений. При малых значениях эксцентриситета исследование выполнено аналитически и найдены явные выражения для границ областей неустойчивости (параметрического резонанса). При произвольных значениях эксцентриситета исследование выполнено численно. В плоскости параметров задачи построены диаграммы устойчивости.
-
Проведен строгий анализ устойчивости резонансных вращений типа 1:2 и 3:2 в случае динамически симметричного спутника с учетом пространственных возмущений. Найдены интервалы значений эксцентриситета, на которых имеет место формальная устойчивость или устойчивость для большинства начальных условий.
-
Был построен конструктивный алгоритм исследования устойчивости периодических гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в случае резонансов первого и второго порядков.
Теоретическая и практическая ценность. Общетеоретические результаты работы могут быть использованы для исследования устойчивости периодических гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в случае резонансов первого и второго порядков. При выполнении диссертационной работы были написаны два универсальных комплекса программ, служащие для исследования устойчивости периодических гамильтоновых систем с одной и двумя степенями свободы. Результаты исследования устойчивости могут быть полезны для качественного изучения движения небесных тел и космических аппаратов.
Апробация результатов.
Результаты диссертации докладывались
на научных семинарах кафедры теоретической механики Московского авиационного института,
на 13-й международной конференции "Авиация и космонавтика (МАИ,
2014, Москва),
на 51 всероссийской конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники (РУДЫ, 2015, Москва),
на международной конференции по математической теории и механике, (Суздаль, 2015),
на 14-й международной конференции 'Авиация и космонавтика (МАИ,
2015, Москва),
на 52 всероссийской конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники (РУДН, 2016, Москва).
в Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН.
Работа поддержана грантом РИФ № 14-21-00068. Публикации.
Основные положения диссертационного исследования опубликованы в 9 научных работах, из них 4 статьи [1-] в журналах, входящих в перечень ВАК, и 5 публикаций -] в различных сборниках и материалах конференций.
Личный вклад автора. Содержание диссертационной работы и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы и получены лично автором. Постановки задач, исследованных в рамках подготовки диссертационной работы, задавались научным руководителем.
Структура и объем работы.
Постановки задачи об устойчивости резонансных вращений
Таким образом, возникает задача об устойчивости резонансных вращений спутника с учетом только плоских возмущений, т.е. таких возмущений, при которых ось инерции сохраняет неизменным свое направление по нормали к плоскости орбиты. Другими словами, это задача об устойчивости частных решений (1.16) и (1.17) системы (1.14).
В работах [37, 54] исследовалась задача об устойчивости решения (1.16). В частности, в [37] для значений эксцентриситета из интервала [0, 0.91791], за исключением лишь двух особых точек, были получены строгие выводы об устойчивости по Ляпунову решения (1.16). В главе 2 данной диссертационной работы выполнен анализ устойчивости данного решения для неисследованного ранее интервала значений эксцентриситета, а также в особых точках. В работах [28, 36, 52] был проведен исчерпывающий анализ устойчивости по Ляпунову решения (1.16).
Если учитывать не только плоские, но и пространственные возмущения, то для решения вопроса об устойчивости резонансных вращений необходимо рассматривать полную систему уравнений движения с гамильтонианом (1.8), т.е. решать задачу об устойчивости решений (1.10) и (1.12) системы (1.7).
Для спутника с неравными моментами инерции устойчивость резонансного вращения (1.12) при наличии пространственных возмущений исследовалась в [58].
Устойчивость резонансного вращения (1.10) с учетом как плоских, так и пространственных возмущений исследуется в главе 3 данной диссертационной работы.
Отдельный интерес представляет исследование устойчивости резонансных вращений динамически симметричного спутника (А = ), когда в невозмущенном движении (резонансном вращении) ось динамической симметрии находится в плоскости орбиты центра масс. В этом случае постановка задачи об устойчивости резонансных вращений имеет некоторые отличия от общего случая несимметричного спутника. Это связано с тем, что при динамической симметрии угол собственного вращения ф является циклической координатой, а соответствующий импульсу является первым интегралом уравнений движения (1.7). Очевидно, что при рф j 0 резонансные вращения неустойчивы по отношению к возмущениям угла ф, но можно исследовать их устойчивость по отношению к возмущениям, удовлетворяющим условию Рф = 0.
Если положить рф = 0, то движение спутника описывается следующей системой канонических уравнений di\) дН dp-ф дН dv дрф dv дф dQ _ дН dp0 _ дН dv дрв dv дв (1.18) с гамильтонианом і щ і vl_ sin и (1 + ecosz/j (1 + ecosz/ З 2 sin2 в (1 + е cos v) 2 (і + е cos v; + - (1 + є cos v) (Ос — 1) sin ф sin в. (1.19) Частные решения этой системы, отвечающие резонансным вращениям, при выполнении условий (1.10) или (1.12) принимают соответственно вид / 1 1 (1 + ecosz/) 1 . =-2 2 6 271" rf ( } или / Х 3 (1 + ecosz/)2 1 , = 2 = 2 6 = 2 7Г Р = Таким образом, задача об устойчивости резонансных вращений динамически симметричного спутника состоит в исследовании устойчивости решений (1.20) и (1.21) системы (1.18). В такой постановке эта задача ранее не рассматривалась, ее решению посвящена глава 5 данной диссертационной работы.
В силу равенства (1-9) в задаче об устойчивости резонансного вращения (1.10) имеется два независимых параметра. В качестве таких параметров выберем эксцентриситет орбиты и новый инерционный параметр/І = 1/0,4 = В/А. Введение параметра /І обусловлено тем, что, в отличие от параметров G и Ос, он имеет ограниченную область значений, определяемую неравенством 0 ,« з , (1.22) которое является простым следствием неравенства треугольника для моментов инерции А, В, С. Аналогично, в задаче об устойчивости резонансного вращения (1.12) в качестве параметров задачи выберем е и /І. В этом случае область их значений также ограничена. С учетом равенства (1.11) и неравенства треугольника для моментов инерции А, , С она задается неравенствами 0 /І - —, 0 е -. (1.23) 1 1 + 2е 2 v Для описания движения в окрестности резонансных вращений (1.10) и (1.12) введем новые канонические переменные QiiPi (і = 1, 2, 3) по формулам ф = ф + , рф = р і, + д(1 + е cosiy)p1 + e/i sinz/g1, 1 + е COS V v 0 = 0 + - , pg = p 0 + n(l + e cosv)p2 +en smuq2, (1-24) 1 + e cos v ф = ф + , рф = pi + nil + e cos v)p3 + є її smuq3. 1 + e cos v v Замена переменных (1-24) является канонической, с валентностью/і-1, поэтому уравнения движения в переменных qi, РІ, (і = 1, 2, 3) имеют гамильтоно 19 ву форму dq1 = dH_ dp1 = _dH_ = 123) (125) dv dpi dv dq Переменные Q1iP1 определяют плоские возмущения, а переменные Я2іР2іЯ3іР3 пространственные возмущения, т.е возмущения при которых главная ось инерции Оу отклоняется от нормали к плоскости орбиты. Таким образом, в переменных QiiPi (і = 1,2,3) задача об устойчивости резонансного вращения сводится к задаче об устойчивости положения равновесия q = pi = О системы (1.25). Разложим функцию Гамильтона в ряд в окрестности q = pi = О Я = Я2 + Я3 + ... . (1.26) Квадратичная часть разложения (1.26) имеет следующую структуру #2 = #21 (tf1, P1, У) + #22(92, Я3, Р2, Р3, v), (1.27) Выпишем необходимые в дальнейшем члены разложения гамильтониана (1.26) системы уравнений возмущенного движения в окрестности резонансного вращения (1.9). Квадратичные члены этого разложения имеют следующий вид
О методе нелинейного анализа устойчивости периодических га-мильтоновых систем с одной степенью свободы
Приравнивая коэффициенты в обеих частях уравнения (2.8), получим девять обыкновенных дифференциальных уравнений на коэффициенты форм Ф/;(до,йъ v) (к = 3,4). Правые части этих уравнений содержат значения Xij(is), которые являются элементами матрицы X(z/) и определяются путем решения линеаризованной системы. Таким образом, интегрируя систему из 13 уравнений, получим коэффициенты формы Sk- В общем случае, интегрирование должно проводиться численно. Выполним следующую каноническую замену переменных q = riuQ + щ2Р, р = n2\Q + П22Р, (2.10) нормализующую линейную часть отображения (2.7). В областях устойчивости в линейном приближении, т.е. когда А 1, коэффициенты riij могут быть вычислены по формулам [28] п\\ = —5К,ХІ2(2ТТ), пуі = 0, П і\ = 5к, [жц(27г) — cos (27гА)] , n i i = —к, sin (2тт\) , к, Л/ЖІ2(27Г) sin (27гЛ) , 5 = sign [#12(271") sin(27rA)]. (2.11) В переменных Q, Р отображение принимает следующий вид }2 _ ад i d2F3 ад ад дР0 OP0dQ0 дР0 дР0 ад d2Fi dF dFA 40 Т =Г + от- о л W WW + 4 G P1 + (2.12) Ро + + Ол где 9Q0 5Q2 дР0 dQ0 F3{Q0,P0) = cS3{ri11Q0 + n12P0,n21Q0 + п22Д0), #4(Q0, Л0) = cS4(n11Q0 + n12P0,n21Q0 + п22Л0) + A, ад б» к A 9K\ / 9K 2щ2п21 П12П22 + П11П21 9Q0y V 07 V 0/ V 0/ а с - валентность канонической замены переменных (2.10), вычисленная по формуле С = (п11П22 - 21 12)_1 Нормализованная линейная часть отображения (2.12) задается матрицей G а = 5Х (2.13) cos (2тга) sin (2тта) - sin (27Гсг) cos (2тга) и представляет собой поворот на угол 2тга.
При Л = 1, характеристическое уравнение (2.5) имеет кратный корень р = 1 (случай резонанса первого порядка). Предположим, что по крайней мере одна из величин Ж12(27г) или Ж21(27г) не равна нулю, тогда в формулах (2.10) коэффициенты могут быть выбраны следующим образом: если Х12(2тт) ф 0, Ж21(27г) = 0, то
При А = - 1, характеристическое уравнение (2.5) имеет кратный корень р\ = Р2 = - 1 (случай резонанса второго порядка). В этом случае коэффициенты в (2.10) могут быть вычислены по формулам (2.14) если Жі2(2-7г) ф 0, Ж2і(2-7г) = 0 и по формулам (2.15) если Хуіі ті) = 0, Ж2і(27г) = 0. Если же Жі2(27г) Ж2і(27г) = 0, то коэффициенты следует выбрать такими: ПЦ =Ж12(27Г), Пі2 = 0, П2\ = -1 -Жц(27г), П22 = 1. (2.18) После выполнения замены переменных (2.10) матрица нормализованной линейной части отображения (2.12) примет вид G -1 1 0 -1 (2.19) Введем следующие обозначения (2.20) &1 — /зО - /l2, &2 /і2 + З/зо, &з /22 - /40 - /о4 , &1 = /21 - /03, &2 = /21 + З/оз, &3 = /l3 - /зі , х =8 (3/40 + /22 + 3/04) + 6 (аі&2 - «2&і) - 8а2&2+ (2.21) 9 cot (Зтга) (а? + &?) + 3 cot (тга) (а + Ь2 2 ) , xi =2 [4аз + 9 2i&i - Й2&2 + 3cot (7га) {a\(i2 - &1&2)] , 2 =86з - 9 (а\ - bf) + (а - &) + 6 cot (7г т) (сц&2 + аг&і) , Pi =2/40 + /21, #2 = /40 - 12/30/21 + 9/0 , где fij (і + j = к) - коэффициенты форм Fj (к = 3,4). В работах [27, 28] были получены следующие критерии устойчивости неподвижной точки отображения (2.12). Если в системе с гамильтонианом (2.3) отсутствуют резонанси до четвертого порядка включительно, и если я ф 0; то неподвижная точка отображения (2.12) устойчива. Пусть в системе с гамильтонианом (2.3) присутствует резонанс первого порядка (і = і = 1), и хотя бы одна из величин \2{2) или 2і(2) не равна нулю. Если зо ф О, то неподвижная точка отображения (2.12) неустойчива. Если зо = 0, то неподвижная точка отображения (2.12) устойчива при \ 0, и неустойчива при \ 0. Пусть в системе с гамильтонианом (2.3) присутствует резонанс второго порядка (і = і = —I), и хотя бы одна из величин і2(2) или 2і(2) не равна нулю. Неподвижная точка отображения (2.12) устойчива, если 2 0, и неустойчива, если 2 0. Предположим, что в системе с гамильтонианом (2.3) имеет место резонанс третьего порядка, т.е. f = 1 = 1,2). Если хотя бы одна из величин \ или \ не равна нулю, то неподвижная точка отображения (2.12) неустойчива. Если \ = \ = 0 и я ф 0, то неподвижная точка отображения (2.12) устойчива. Пусть в системе с гамильтонианом (2.3) возникает резонанс четвертого порядка, т.е. f = 1 = 1,2). Если выполняется неравенство \я\ \JK\-\-K\, то неподвижная точка отображения (2.12) устойчива; если \я\ \/ я\ + я\, то неподвижная точка неустойчива.
Если я = 0, то первый критерий не дает ответа на вопрос об устойчивости. В этом особом случае необходим дополнительный анализ с учетом членов до членов выше третьей степени в правых частях симплектического отображения (2.12). Методика такого анализа изложена в параграфе 2.5 данной главы. 2.4. Результаты нелинейного анализа устойчивости
Используя подход, описанный в разделе 2.3 было проведено строгое нелинейное исследование резонансного вращения (1.10) с учетом плоских возмущений в областях Si ( = 1,... ,5). А именно, для значений эксцентриситета из указанных областей были вычислены коэффициенты ( + = ; = 3, 4) отображения (2.12) и применены упомянутые выше критерии.
Проведенные расчеты показали, что в областях Sj ( = 1,... , 5) за исключением резонансных и особых точек = 0.23340371 и = 0.907502979, в которых к = 0, резонансное вращение (1.10) устойчиво по Ляпунову.
Приведем результаты исследования в резонансных точках. Резонансы первого и второго порядков возникают в граничных точках областей Sj ( = 1,... , 5). Выводы об устойчивости в этих точках приведены в таблицах 2.1 и 2.2 соответственно.
Линейный анализ устойчивости при малых значениях эксцентриситета
Нетрудно показать, что на границе области неустойчивости характеристическое уравнение линейной системы с гамильтонианом (3.16) имеет по крайней мере два нулевых корня. Из этого условия последовательно определяются величины /ij. В итоге, получаем следующие уравнения границ области неустойчивости (параметрического резонанса) М+ = 1 + 0(е3), /i- = l--e + -e2 + 0(е3). (3.18) о У Здесь и далее через м+ обозначается верхняя (по параметру /І) граница области неустойчивости, а через М- - нижняя.
Заметим, что полученные выше формулы для границ области неустойчивости можно уточнить, если заметить, что данные границы соответствуют случаю динамически симметричного спутника. При этом динамической симметрии А = В соответствует верхняя граница, а динамической симметрии В = С — нижняя. Поэтому асимптотические выражения (3.18) можно заменить точными 1+ = 1, Д- = — у- (3.19) Для построения границы области неустойчивости, исходящей из точки (0,м ) нужно в (3.14) положить М0 = М и выполнить 27Г-периодическую заме ну переменных і = ь 2 = cos2 + sin2, (3.20) і = 1, 2 = -sin2 + cos2, приводящую гамильтониан (3.10) к виду Г22 = - ( f - \ + f - ) + (), = 0.2097075743251561, (3.21) а затем линейной близкой к тождественной 2-периодической по канонической заменой переменных (построенной методом Депри-Хори) гамильтониан приводится к нормальной форме, независящей явно от . Не приводя промежуточных вычислений, выпишем уравнения границ областей неустойчивости, полученные на основании анализа корней характеристического уравнения канонической системы с нормализованной функцией Гамильтона
Для построения границы области неустойчивости, исходящей из точки (0, ) положим в (3.14) о = и выполним замену переменных (3.23) 1 = 0.95588593618915477223 2 - 0.032277479617649743 1, 2 = 1.0061966961098455678 - 0.033976327216937882 2, і = -0.0407932982976966560171 + 1.0475273952102542624 2, 2 = -0.038753595876725391652 2 + 0.99515006233436072407 1, нормализующую в гамильтониане (3.4) члены, независящие оте. В переменных іі іі (і = 15 2) функция Гамильтона принимает вид г(1) #22 = 2 (& + « ) + (6 72 - Ьт) + е Я + 0(е (3.24) где w, = 0.7588651186541301966. Линейной близкой к тождественной 27Г-периодической канонической заменой переменных j, Г]І — X{,Y{ (і = 1,2) функция Гамильтона (3.33) приводится к виду і 22 = І(1 + 2/С2000)(Х12 + Х) + /С0020( 12 + ) + " Р№ " 2 і)+ 2 (3.25) + /сююХіУі + &ош Ж. Гамильтониан (3.25) не зависит явно от v и является аналитической функцией параметра е. Методом Депри-Хори можно вычислить разложения коэффициентов &2оооі коо20і Агою, Мшо в ряды по е до сколь угодно высокого порядка. В первом приближении по е имеем следующие выражения для коэффициентов
Уравнение границы области неустойчивости получается на основании анализа корней характеристического уравнения канонической системы с нормализованной функцией Гамильтона (3.24). Не приводя промежуточных вычислений, выпишем его явный вид с точностью до членов пятой степени по е ц = ц - 0.307549121658 е - 0.516112650718 е2 + 0.362028557898 е3 (3.31) - 0.0223315330946 е4 - 0.148718160532 е5 + 0(е6). Действуя аналогично, можно получить границу области неустойчивости, исходящую из точки (0,8/7). Для этого нужно положить в (3.14) /І0 = 8/7 и выполнить замену переменных 2 20 Х1 = — Л/ЗЛ/158 2 " 791/4 /2т71, 2 20 (3.32) х2 = 793/4 V2 - — ЗУІ58)?2, й = ЗЇ6 793/4 + 5 "2, 5 29 2/2 = — Л/ЗЛ/Ї58 2 + gig 7Q1/4 V m, приводящую гамильтониан (3.4) к виду #22 = 79(62 + т2) " 22 + е Я2(12) + 0(е2). (3.33) Далее, аналогично рассмотренным выше резонансным случаям, вычисляется нормальная форма Гамильтониана, которая явно от v не зависит. В результате анализа корней характеристического уравнения канонической системы с нормализованной функцией Гамильтона было получено следующее уравнение границы области неустойчивости
Пусть теперь параметры задачи принимают любые (не обязательно малые) допустимые значения. Для решения вопроса об устойчивости в этом случае задавались конкретные значения параметров и и путем численного интегрирования линейной системы с гамильтонианом (1.29) определялась матрица монодромии Х(2), затем вычислялись коэффициенты 1 и 2 и на основании неравенств (3.2) делались выводы об устойчивости или неустойчивости. При этом параметры выбирались из области их допустимых значении с шагом 0.001.
Результаты проведенного анализа устойчивости представлены на Рис. 1. В областях, закрашенных серым цветом, имеет место неустойчивость рассматриваемой линейной системы и, как следствие, неустойчивость резонансного вращения (1.10). В областях, обозначенных белым цветом, линейная система с гамильтонианом (1.29) устойчива. Отметим, что на Рис. 1 изображена не вся область допустимых значений параметров, а только ее часть, соответствующая значениям из интервала [0.85, 1.15], где расположены области устойчивости. Расчеты показали, что для значений вне указанного интервала неравенства (3.2) не выполняются и линейная система с гамильтонианом (1.29) неустойчива.
Метод исследования устойчивости в случае резонанса основного типа
Рассмотрим динамически симметричный спутник, т.е. такой спутник, два главных центральных момента инерции которого равны между собой (А = В). В этом случае, как было отмечено в разделе 1.2 координата ф становится циклической, а соответствующий ей обобщенный индексу считаем равным нулю.
Гамильтониан возмущенного движения в случае динамически симметричного спутника для каждого из исследуемых резонансных вращений получается из соответствующего гамильтониана для спутника с неравными моментами инерции (1.26), если положить параметр/І равным единице, а переменные q% и Рз равными нулю. Таким образом, мы переходим к системе с двумя степенями свободы. Уравнения возмущенного движения имеют каноническую форму % = 9Я dp1 = _dH_ =12) (5 1) dv dpi, dv dqi, Для резонансного вращения (1.10) необходимые в дальнейшем члены разложения функции Гамильтона в ряд в окрестности q = pi = 0, (і = 1, 2) имеют вид
Вопрос об устойчивости системы (5.4) решается на основе анализа корней ее характеристического уравнения. В случае резонансного вращения (1.10) линейная система (5.4) распадается на две следующие независимые подсистемы первая из которых описывает изменение переменных qi,pi, а вторая - переменных q2,P2 Обозначим через Xi(z/) и Хг( ) фундаментальные матрицы решений систем (5.8) и (5.9) соответственно, с начальными условиями Xj(0) = Е2 (і = 1, 2), где Е2 - единичная матрица второго порядка. Тогда характеристическое уравнение системы (5.4) будет иметь вид: (р2 - 2alP + 1)(р2 - 2а2р + 1) = 0, (аг = х + х{, і = 1, 2) (5.7) где ж-ц, ж22 диагональные элементы матриц Xj(27r). Если 2i 1 или 10-21 1? то у характеристического уравнения (5.7) есть корень, превышающий по модулю единицу. В этом случае линеаризованная система (5.4) неустойчива. Из теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению следует [23], что нелинейная система (5.1) также неустойчива, что, в свою очередь, означает неустойчивость соответствующего периодического движения (1.10).
Если 2i 1 и 22І 1? то все корни характеристического уравнения комплексные с модулем равным единице. В этом случае система (5.4) устойчива [23], что не означает, однако, устойчивости соответствующей нелинейной системы (5.1).Для получения строгих выводов об устойчивости резонансного вращения (1.10) необходимо проведение нелинейного анализа с учетом членов третьей, четвертой, а иногда и более высокой степени в разложении гамильтониана.
Путем численного интегрирования систем (5.8) и (5.9) были получены коэффициенты а\ и 22- Графики их зависимости от е для резонансного вращения ""і 2 Полученные области устойчивости и неустойчивости в линейном приближении совпадают с областями Sj ( = 1,..., 5) и Uj ( = 1,..., 4), которые были найдены в разделе 2.2. Таким образом, в линейном приближении пространственные колебания не влияют на устойчивость резонансного вращения (1.10).
Перейдем к резонансному вращению (1.12). Линейная система (5.4) распадается на две следующие подсистемы:
Путем численного интегрирования систем (5.8) и (5.9) были получены коэффициенты \ и 2- Графики их зависимости от представлены на Рис. 3.
Поскольку для главных центральных моментов инерции , и выполняются неравенства треугольника, то значения эксцентриситета удовлетворяющие соотношению (1.11) принадлежат интервалу [0, 1/2]. В этом интервале существует только одна область, удовлетворяющая условиям i 1, 2 1, а именно: 0 0.06904107039.
Данная область соответствует области, полученной в [36], где исследование устойчивости резонансного вращения (1.12) проводилось с учетом только плоских возмущений. Таким образом, и в этом случае, в линейном приближении пространственные колебания не влияют на устойчивость резонансного вращения.
Результаты нелинейного анализа устойчивости резонансного вращения типа 1:2 с учетом пространственных возмущений
Нелинейный анализ устойчивости в областях Sj был проведен следующим образом. Сначала, для значений эксцентриситета из данного интервала, используя алгоритм, приведенный в разделе 4.1, было построено симплектическое отображение (4.9), затем были расчитаны коэффициенты нормальных форм (4.18),(4.19),(4.20), и, наконец, на основании достаточных условий были получены выводы об устойчивости вращения (1.10).
Для нерезонансного случая результаты анализа устойчивости приведены в таблице 5.1. За исключением нескольких резонансных и особых точек, решение (1.10) формально устойчиво в подобластях F,- (j = 1, 2, 3; і = 1, 2, 3) и устойчиво для большинства начальных условий в подобластях 1- (j = 1, 2, 3; і = 1,2). Для особых значениях эксцентриситета, приведенных в 5.1 достаточное условие не выполнено. Это означает, что при данных значениях эксцентриситета для решения вопроса об устойчивости вращения (1.10) требуется проведение нелинейного анализа с учетом членов выше четвертой степени в разложении гамильтониана. Таблица 5.1: Результаты исследования устойчивости в нерезонансных случаях