Введение к работе
Актуальность тем». Исследованию систем на двумерной сфере методами теории воз-муиений посвящена первая глава диссертации.
Методы теории возмущений получили широкое распространение в теоретических и прикладных исследованиях механики и физики. Однако исследование систем такими методами каждый pan поднимает основную проблему: применить схему теории возмущений так., чтобы возникающая после применения схемы система имела бы связь с уже известной исследованной или интегрируемой системой.
В диссертации эта проблема решена для класса локально га-мильтоновых систем на двумерной сфере, рассотрены примеры применения построенных алгоритмов.
Особую важность для приложений имеет изучение так называемых гамильтоновых сиистем дифференциальных уравнений. Гамильто-новость системы означает, что при подходящем выборе координат она записывается в виде
p=ч--дц/др. (1)
где Н - некоторая однозначная функция, называемая гамильтонианом, р называются обобщенными импульсами, a q - обобщенными координатами системы. Как правило в механике пространство (p,q) обобщенных координат и скоростей, называемое фазовым, появляется кас Т М кокасательное расслоение к конфигурационному многообразию М .
Классикам были известны результаты о связи между интегралами и локальной структурой динамических систем. Например, а работах Биркгофа было показано, что наличие условного интеграла (производная в силу системы которого обращается в 0 только на фиксированном уровне энергии H=h) линейного по импульсам связано с существованием скрытой циклической координаты, а наличие условного квадратичного интеграла связано с существованием скрытых
разделенных переменных. Глобальные варианты отих результатов были получены В.В.Козловым,
Кроме того, Э.Ветер была установлена связь между интегралами и однопараметрнческими группами диффеоморфизмов конфигурационного пространства. В последнее время В.В.Козловым была обнаружена интересная связь между интегралами гамильтоновой системы и топологией конфигурационного пространства . В частности, из его результатов следует, что если род двумерного замкнутого ориентируемого многообразия больше единицы, то не существует дополнительного полиномиального по импульсам интеграла геодезического потока на этой поверхности.
Однако, еще классиками Якоби, Ли, Пуанкаре было замечено, что понижать порядок системы дифференциальных уравнений помогает не' только ее интеграл, но и так называемые тензорные инварианты системы уравнений (например, инвариантная мера).
Так С.Ли рассматривал наряду с фазовым потоком системы дополнительную однопараметрическую группу диффеоморфизмов фазоиого пространства, переводящую траектрии фазового потока исходной системы в себя. Им было доказано, что при определенных условиях, налагаемых на эту группу, она помогает понизить порядок системы дифференциальных уравнений. Векторное поле, соответствующее этой группе. Ли называл полем симметрии, а группу - группой симметрии системы дифференциальных уравнений.
6 работах В.В.Козлова и С.В.Болотина выявлена тесная связь между наличием полей симметрии и интегралами в системе. Также выявлены интересные связи между наличием полей симметрии и топологическими и геометрическими характеристиками системы. Эта связь обсуждается также в первом параграфе второй главы диссертации .
Нсменее важен вопрос о разработке новых методов интегрирования различных систем. Вопрос о понижения порядка системы при помощи полей симметрии является классическим. Р связи с отим
становится актуальной задача о классификации полей симметрии. В диссертации эти вопросы обсуждаются для обратимых систем на двумерных поверхностях. Научная повинна.
1. Получены условия на потенциальную функцию на сфере необходимые
для того, чтобы все орбиты движения точки по сфере в поле сил с
таким потенциалом были -замкнуты.
-
Построена общая схема теории возмущений локально гамильтоновых систем на сфере, приведены примеры применения.
-
Проведена классификация полей симметрии второй степени обратимых систем на двумерной сфере.
-
Решена задача о связи между полями симметрии четной степени и однозначными интегралами геодезических потокоп на торе для метрик в классе тригонометрических полиномов.
Практическая ценность. Полученные п диссертации результаты могут быть использованы при решении актуальных задач механики (движение тнердых тел п жидкости, движение точки в магнитном поле), а также для изучения и построения методов интегрирования различных систем.
Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре "Динамические системы классической механики" кафедры теоретической механики МГУ. Руководители семинара: доктор физико-математических наук, профессор В.В.Козлов, кандидат физико-математических наук, доцент С.В.Болотин.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1, 2).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, содержит 67 страниц текста. Список цитируемой литературы включает 13 работы.