Введение к работе
Актуальность темы. Проверка невырожденности интегрируемой гамильтоновой системы является первым Са иногда и единственным) этапом в применении классических результатов теории возмущений гамильтоновых систем: теоремы Пуанкаре о рождении периодических решений, теоремы Пуанкаре о несуществовании аналитических первых интегралов, теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических решений, равно как и иных результатов многих других исследователей.
Исследование зависимости частот условно-периодического движения от констант интегралов движения С называемой ниже частотным отображением) представляет также самостоятельный интерес как этап качественного исследования интегрируемой системы, следующий сразу за построением бифуркационной диаграммы интегралов. Этому этапу пока не уделялось большого внимания.
Цель исследования - отправляясь от бифуркационной диаграммы системы Лиувилля, для соответствующих ее областей дать удобные выражения для частот, вычислить поправки к частотам малых колебаний вблизи устойчивого равновесия при вариации констант интегралов, на этой основе установить невьрокденность системы Сдвухчастотность. а если проводилось понижение порядка по Раусу, то трехчастотность), наконец, наглядно изобразить частотное отображение в целом.
Научная новизна и практическая ценность. Разработана методика качественного представления частотного отображения и доказательства невьрожденности для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, допускающих разделение переменных по Лиувиллю. а также для систем, приводимых к такому виду после исключения циклической переменной. Эта методика применяется к задаче двух неподвижных центров и к ее предельным вариантам: задаче Лагранжа Сцентр плюс однородное.поле) и задаче Баррара Сцентр плюс диполь).
Полученные общие формулы позволяют проводить аналогичные исследования других интегрируемых задач классической механики.
Методы исследования в диссертации - это известные аналитические методы классической механики в их современном состоянии.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ
по классической динамике под руководством проф. В.Г.Демина, в. н. с Я. В. Татаринова, доц. Н. Н. Колесникова,
по динамическим системам классической механики под руководством проф. В.В.Козлова и доц. СВ.Болотина,
на конференции молодых ученых механико-математического факультета 1992 г. Сраздел "Динамические системы и классическая механика"3.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа изложена на Н7 страницах и содержит 29 рисунков. Библиография диссертации насчитывает 36 наименований. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-3].