Введение к работе
ктуальность темы.Задача о ' движешш тяжелого твердого тела с еподвижнсй точкой является одной из самых известных задач ласси- ческой механики.Этой задаче посвящены труды крупнейших атематиков и механиков двух последних столетий-Эйлера, Лагранжа, уассона, Ковалевской,,Пуенкаре,Ляпунова.В этой задаче усилиями :овалевской, Ляпунова, Г'юссона, Лиувилля, Бургатти было рказано,что случаи интегрируемости Эйлере, Лаграгека, Ковалевской динствотшо,когда решения уравнений движения выражаются двозначними функциями времени .
осле работ Ковалевской [1-31,Ляпунова [4] был пред- принят ряд
^следований с целью найти частные решения этой задачи. В
озультате этих исследований был получен целый ряд частгшх
шепни уравнений движения тяжелого твердого тела с закрепленной
очкой В.Гессом , ГЛ\ Аплельротом , С.А.Чаплыгиным ,
..А.Стендовым , Д.Бобылевым .Д.Н.Горячевым ,Н.Ковалевским
Д.Гриоли ,Е.И,Харламовой ' , О.Штауде, А.И.Докшевичпм
Б.И.Коноое вичем, Е.В.Поздняковичем
.Kopalevakl S.Sur le prohlern de la rotation d'un corpo sollde .uxour d'un point iixe//Acta Math v 12,H2,1889,p1?7 Z.Kovralevski . Sur une propriete du syateme d'equations differentІеііез qui .efinit d'un corps solide &utours d'un point lxe//Acta.Math.v14.H1.1890.p 81
Ковалевская СВ. в своем известном мемуаре ставит двь основные проблемы. 1.Найти все случаи движения твердой тела.когда решения уравнений движения тяжелого твердого тел; являются мероморфными функциями времени. 2.Найти четвертні интеграл,позволяющий ,применяя теорию последнего множителя Якоб! полностью проинтегрировать.уравнения движения. Голубев В.Е. с своей книге [біпшет.что исследователи ПОСЛІ Ковалевской сосредоточили свое внимание на второй задаче,оставиі боз внимания первую и .быть может важнейшую. "С этой точки зрениі характерно то,что о пути,который привел Ковалевскую СБ. і открытию ею нового случая ничего не говорится даже в подробны; курсах теоретической механики;"случай Ковалевской" фигурирует і них только потому,что для него существует четвертый первы! интеграл системы уравнений движения. Іаким образом,глубокие идеи Ковалевской СВ. не получили дальнейшего развития в работах последующих ученых,и задача.поставленная Ковалевской,приобрела суженый и ограниченный характер."
Голубев В.В. подчеркивает,что методы применяемые исследователями для нахождения четвертого интеграла совершенно искусственны и случайны.
Задача о существовании дополнительного интеграла в самой обще: постановке для гамильтоновых систем была впервые поставлен Пуанкаре А.[7].Пуанкаре А. показал [7],что в задаче о движени твердого тела с неподвижной точкой не существует алгебраических : даже трансцендентных однозначных первых интеградов,отличных о классических.Козлов В.В. значительно усилил этот результа доказав,что этот дополнительный интеграл не может,в общем случае быть даже аналитическим 18].
3.Kov?alevslil S. Memo ire зиг un саз partlculier du probleme de 1 rotation d'un corps pesant autour d'un point fixe,о l'integratoln s'effectue a' l'aide de rounctlons ultraelliptlque du temps//Mem.Sav.Etr.1890.v31.2.p1-62
Различные задачи динамики тяжелого твердого тола о неподвижной точкой обсуждаются в книго Ю.Л.Архангельского 191.Устойчивость іерманентних вращений тяжелого твердого тела изучена в работах 3.В.Румянцева .
большое ісоличество задач динамики твердого тела с неподвижно!! точкой с подробным их анализом дано в тсниго Г.В.Горр.Л.В.Кудряшова Л.А.Степанова И СП. Ношо результаты получены В.Н.Рубановским в задаче о двизконии твердого тела п шдкости.
tloBtie периодические решения в задачо о движении тяжелого твердого гела были получены В.В.Козловым и В.Г.Деминым . Одна из первых работ в этой области принадлежит Mettler.
4.Ляпунов A.M.Об одном свойстве дифференциальных уравнэний задачи э цвиконии тяжелого твердого тела,имеющего неподвижную точку. Собрание соч.т 1.М.:Изд-во ЛНСССР.1954,с402-417 6.Голубев В.В.Лекции по интегрированию уравнений движения тяиелого твкрдого гола около неподвижной точки.М:Гостехиздат.1953. 288с 7.Пуанкаре 4.Новые метода небесной механики .Избр.труда.Т 1.М.: Наука .1971.771 с В.Козлов В.В.Методы качественного анализа в динамике твердого тела.М:Изд-во МГУ.1982 г.232с 9.Архангельски! D.А.Аналитическая ' динамике твердого тела.1977г. М.:Наука.326с ІО.Горр Г.В.,Кудряшова Л.В..Степанова Л.А.Классические задачи динамики твердого тола.1978,Наукова дамка 294с
Научная новизна работы состоит в следующем: 1.Найдены все решения задачи о~ показателях первих членов рядої Лорана,удовлетворяющие уравнениям движения тяжелого твердого тола с неподвижной точкой.Найдены ограничения на параметрь задачи (моменты инерция тела и координаты центра масс)пр^ выполнении которых в коэффициентах рядов Лорана появляются произвольные постоянные .Найдены новые классы мероморфнш решений этой задачи и тем самым решена первая проблема А.А.Маркова относительно мемуара С.В.Ковалевской. 2.Найдеі новый критерий для обнаружения степени возможного частного интеграла в квазиоднородных гамильтсновых системах. 3.Найден новый критерий для обнаружения степени возможного общего интеграла,зависящего от времени,для некоторого классе неквазиодно- родных диссипативных систем.
4.Найден ряд новых частных интегралов для известнш гамильтоновых квазиоднородных систем:Хеннона-Хейлвса,Фоккер -Планка,системы с потенциалом четвертой степени. 5.Доказана теорема об аналогии между задачей о движении твердого тела в идеальной жидкости и задачей о движениї твердого тела под действием моментов сил Лоренца.Получень соотношения связываю- щие параметры двух задач. Практическая ценность работы.Работа носит теоретически характер. Полученные частные интегралы могут быть использовань при анализе конкретных гамильтоновых систем. Цель работы. Дополнить исследования начатые С.В.Ковалевской При помощи метода многогранников Ньютона,в задаче о движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой ,и тем самым даті полное решение пэрвой проблемы А.А.Маркова.Распространит! результаты Ковалевской С.В.,ЛяпуноваА.М..Yoshida Н. на случае существования частных интегралов квазиоднородшх v. неквазиоднородных систем.Установить связь между задачами с движении твердого тела в жидкости и задачей о движенщ твердого тела под действием моментов сил Лоренца. Метод исследования. При исследовании задачи о движенш твердого тела с закрепленной точкой используется метод наибольших и наименьших показателей ,а также метод многогранников Ньютона. Используется метод Ковалевско!
Ляпунова ,методы аналитической теории дифференциальных равнений.
пробвцня работы.Результаты работы доложены и обсуждены на [аучных семинарах механико- математического факультета МГУ, [нститута прикладной математичи им.М.В.Колдаша РАН. ітруктура работы.Работа состоит из введения и пяти глав існовного текста.Главы разбиты на пункты.Общий обьом работы 155 страницы.В библиографии 101 наименований.