Введение к работе
Диссертация посвящена применению интегральных метрик для описания решений задач динамики. Выполнено обоснование предложенных методов аппроксимации движений. В связи с применением интегральных метрик появилась возможность систематического использования для построения движений метода Ньютона. Итерационные процессы позволяют строить разнообразные семейства решений в неаналитических задачах, задачах с разрывными правыми частями, сингулярно возмущенных задачах, задачах, сводящихся к интегро-дифференци-альным уравнениям. Проведено исследование ряда конкретных задач механики.
Актуальность темы. Традиционно интегральные метрики в классической динамике применяются в контексте метода Галеркина для аппроксимации решений динамических задач, допускающих вариационную формулировку. В качестве базисных функций применяются тригонометрические функции, ортогональные полиномы, финитные функции метода конечных элементов (О. P. Agrawal, S. N. Atluri, С. D. Bailey, G. L. Chiringhelli, M. Baruch, M. Borri, D. L. Hitzl, M. Lanz, P. Mantegazza, F. J. Mello, R. Riff, S. Saigal, Т. E. Simkins). При этом вопросы сходимости приближений к точным решениям оставались не рассмотренными. Применялись интегральные метрики, обеспечивающие сходимость в среднем квадратичном.
В диссертации предложен метод редукции к конечномерным аппроксимациям для динамических систем общего вида. Строго обоснована сходимость решений систем Галеркина к точным решениям. При этом структура интегральных метрик обеспечивает равномерную сходимость в фазовом пространстве. Более того, можно обеспечить равномерную сходимость и для производных до заданного порядка включительно.
Метрики удается строить с учетом особенностей конкретных задач. Одновременно появляется возможность применения метода Ньютона для вычисления решений в возмущенных задачах. Итерационный процесс Ньютона допускает высокоэффективную численную реализацию.
Применение интегральных метрик позволяет при анализе свойств динамической системы избежать трудностей, возникающих из-за локальных нерегулярностей различной природы. Охватываются случаи неаналитичности в правых частях дифференциальных уравнений, допускаются разрывы первого и второго рода. Сюда относятся, в частности, системы с ударными взаимодействиями. Наконец, этим же методом можно воспользоваться и в случае динамики, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями.
В упомянутых ситуациях применение методик, основанных на локальных свойствах решений, либо невозможно, либо затруднено. Поэтому возможность анализа динамической системы с единых позиций в задачах, допускающих нерегулярности различной природы, представляется актуальной.
Цель работы состоит в разработке метода аппроксимации решений задач динамики с применением интегральных метрик, обосновании этого метода и его применении в ряде конкретных задач.
Методы исследования. В теоретической части диссертации используются результаты М. А. Красносельского и др. о сходимости конечномерных аппроксимаций в методе Галеркина для нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве. Применяются стандартные методы функционального анализа, в особенности - различные формы теоремы о неявной функции. В прикладной части используются методы анализа устойчивости неавтономных линейных систем дифференциальных уравнений, методы гамильтоновой механики, вычислительные методы.
Научная новизна. Впервые предложена методика применения интегральных метрик для описания решений задач динамики. Интегральные метрики, использованные в данной работе, для аппроксимации движений в задачах классической динамики ранее не применялись. Метрики обеспечивают равномерную сходимость любого заданного порядка гладкости. В этой связи предложена методика построения конечномерных аппроксимаций решений задач динамики при помощи итерационного процесса Ньютона и интегральных метрик.
Также впервые проведено строгое обоснование методик конечномерной аппроксимации решений задач динамики при помощи интегральных метрик.
Предложена методика вычисления периодических решений с использованием интегральных метрик. Поставлена и решена задача о непрерывном продолжении колебательных движений спутника на эллиптической орбите по параметру эксцентриситета в предельном, сингулярно возмущенном, случае. Проведена регуляризация предельной задачи о колебаниях спутника на эллиптической орбите с учетом сил светового давления. Решена задача о непрерывном продолжении колебательных движений спутника на эллиптической орбите по параметру эксцентриситета в предельном, сингулярно возмущенном, случае с учетом сил светового давления. Проведено продолжение семейств симметричных периодических решений задачи о колебаниях спутника с учетом сил светового давления по параметру эксцентриситета вплоть до предельного значения.
Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов и согласованием выводов с известными результатами для ранее рассмотренных частных и предельных случаев.
Теоретическая и практическая ценность. Проведенное в диссертации обоснование сходимости приближенных решений к точным обеспечивает общую схему анализа решений динамических систем при помощи интегральных метрик. Теоретическая ценность состоит в активном использовании теоремы о неявной функции, точнее ее важнейших условий - невырожденности и непрерывности производной Фреше - для регуляризации процедур построения решений в подходящих пространствах функций при помощи метода Ньютона. Регулярность достигается ослаблением метрических свойств пространства. В этом случае остается возможность построения семейств решений, обладающих заданными свойствами, в зависимости от параметра возмущения.
В работе даны рекомендации по реализации алгоритмов построения семейств решений, зависящих от одного или нескольких параметров. Учитываются различные случаи нерегулярности. Показано, как следует подбирать функциональный базис, обеспечивающий регулярность итерационного процесса
Ньютона. Методика применения интегральных метрик для анализа динамических систем продемонстрирована на нескольких механических примерах: уравнении Матье, задаче Кеплера, задаче о колебаниях спутника на эллиптической орбите, задаче о колебаниях спутника на эллиптической орбите с учетом момента сил светового давления (помимо гравитационного).
Результаты диссертация можно использовать в аналитической механике, теории колебаний, динамике полета, небесной механике для построения семейств решений, зависящих от параметра, и для анализа их свойств в неаналитических задачах, в задачах с разрывными правыми частями, сингулярно возмущенных задачах, задачах, сводящихся к интегро-дифференциальным уравнениям.
Основные результаты могут быть включены в руководства по теоретической механике, нелинейным колебаниям, динамике полета, небесной механике.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на XIV научных чтениях по космонавтике, посвященных памяти академика С. П. Королева и других советских ученых - пионеров освоения космического пространства (Москва, 1990), на Всероссийской конференции с международным участием "Компьютерные методы небесной механики - 95" (Санкт-Петербург, 1995), на Втором симпозиуме по классической и небесной механике (Великие Луки, 1996), на Всероссийской конференции с международным участием "Компьютерные методы небесной механики - 97" (Санкт-Петербург, 1997), на Третьем международном симпозиуме по классической и небесной механике (Великие Луки, 1998), на семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям (руководители: проф. Дубинский Ю. А., проф. Амосов А. А., 1998), на VII международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1999), на XXIV академических чтениях по космонавтике, посвященных памяти академика С. П. Королева и других выдающихся отечественных ученых - пионеров освоения космического пространства (Москва, 2000), на Вторых Поляхов-ских чтениях (Санкт-Петербург, 2000). Результаты также докладывались на семинарах в МГУ им. М. В. Ломоносова:
по аналитической механике и теории устойчивости (руководители: акад. В. В. Румянцев, чл.-корр. РАН В. В. Белецкий, проф. А. В. Карапе-тян; 1993-1999);
по динамике относительного движения (руководители: чл.-корр. РАН В. В. Белецкий, проф. Ю. Ф. Голубев, доц. К. Е. Якимова; 1997 - 1999);
по динамическим системам классической механики (руководители: чл.-корр. РАН В. В. Козлов, доц. С. В. Болотин; 1995, 1999);
по механике космического полета (руководители: проф. В. А. Егоров, чл.-корр. РАН В. В. Белецкий, доц. К. Г. Григорьев, проф. В. В. Сазонов; 1997 - 1999);
по вычислительной математике (руководители: акад. Н. С. Бахвалов, проф. Г. В. Кобельков; 1994).
Структура її объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы. Первые три главы составляют теоретическую часть работы, в остальных главах исследуются конкретные задачи. Работа изложена на 215 страницах, содержит 9 рисунков, список литературы состоит из 38 наименований.