Введение к работе
Актуальность теш. Как известно, интегрируемые задачи составляют редкое исключение, и поэтому особую актуальность приобретают вопросы, связанные с их детальным качественным исследованием. Интегрируемые задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде и о движении материальной точки по поверхности эллипсоида под действием упругой силы привлекали внимание многих исследователей на протяжении полутора столетий. В связи с развитием в последние десятилетия новых методов качественного анализа интегрируемых динамических систем появилась возможность их применения для решения классических задач механики.
Предельный случай задачи Якоби - задача о гармоническом осцилляторе внутри эллипса - относится к интегрируемым биллиардным системам, которые интересны еще и тем, что возникают в ряде важных задач механики и физики (виброударные системы, дифракция коротких волн, геометрическая оптика}.
Цель работы. Настоящая диссертация посвящена геометрическому анализу задачи Якоби о движении материальной точки по поверхности трехосного эллипсоида под действием упругой силы, линия действия которой проходит через центр эллипсоида, изучению предельного случая этой задачи - биллиарда внутри эллипса, а также обобщению этих результатов на случай пространства постоянной положительной криви-
зны.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.
-
Для задачи Якоби о движении точки по поверхности эллипсоида -з поле упругой силы построена бифуркационная диаграмма, найдены области возможности движения и детально исследованы некоторые частные движения.
-
Для соответствующей биллиардной задачи в эллипсе построены области возможности движения и проведен анализ движений в случае зависимости первых интегралов.
-
Построена бифуркационная диаграмма обобщенной задачи Якоби (задачи о движении материальной точки по двумерной поверхности пересечения трехмерной сферы и трехмерного конуса с вершиной в центре сферы - аналогу двумерного эллипсоида в обычном трехмерном пространстве в потенциальном силовом поле).
-
Для предельных случаев обобщенной задачи Якоби найдены области возможности движения и вьгаолнен анализ особых случаев - движений, возникающих в случае зависимости первых интегралов.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ.
Основные результаты диссертации содержатся в работах автора, перечисленных в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа изложена на 208 страницах и содержит 118 рисунков. Библиография диссертации насчитывает 37 наименований.