Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена исследовании задач оценивания и управления для динамических статистически неопределенных систем, подверженных случайным возмущениям, одновременно неопределенным как в первых, так и во вторых моментах или распределениях. Разработка способов решения данных задач приобретает особое значение при изучении таких проблем управления по неполньм данным, когда неизвестные параметры следует оценивать по ходу процесса в реальном масштабе времени.
Систематическая постановка задач оценивания впервые дана в работах А.Н.Колмогорова, Н.Винера и К.Шеннона. Дальнейшее развитие она получила в исследованиях Р.Е.Калмака и Р.Бьюси. -Указанный круг вопросов обнаружил тесные связи с теорией синтеза управляемых систем и теорией дифференциальных игр, основы которых были развиты в трудах Н.Н.Красовского и Л.С.Понтрягина. Исследования в рассматриваемой области прикладной математики и механики стимулируются обилием приложений и запросами практики. Статистически неопределенные ситуации при управлении и оценивании естественно возникают, например, в задачах инерциальной навигации, при обработке изображений по данным случайных измерений, при передаче сообщений по каналам связи и во многих других задачах техники и экономики.
В работах школы Н.Н.Красовского систематически развивались теория и методы решения задач управления и наблхщения в условиях конфликта и неопределенности. Соответствующие подходы были глубоко разработаны А.Б.Куржанскиы применительно к задачам оценивания и управления по неполным данным, D.С.Осиновым для проблем теории дифференциальных игр в распределенных системах и совместно с А.В.Кряжимским - для задач восстановления неизвестных входов динамической системы, а также А.И.Субботиным - для теории дифференциальных игр в обыкновенных нелинейных системах. В работах указанных авторов неопределенные возмущения трактуется обычно как детерминированные. Информация о них ограничена, как правило, заданием априорных множеств, которым принадлежат эти возмущения. Наряду с упомянутым широко используется вероятностный подход к задачам управления и оценивания в работах
И.И.Гихмана, А.В.Скорохода, Ю.М.Ермольева, В.Б.Колмановского, Н.В.Крылова, Р.Ш.Липцера, В.С.Пугачева, Б.Т.Поляка, В.Н.Фомина, Я.З.Цыпкина, Ф.Л.Черноусько, А.Н.Ширяева, В.А.Якубовича, Р.Беллмана, А.Бенсуссана, М.Х.А.Девиса, Т.Кайлата, Г.Дж.Кушне-ра, В.М.Уонема, У.Флемминга, Р.Ришела.
Исследование статистически неопределенных задач оценивания и управления методами теории игр начато в пятидесятых-на-чале шестидесятое годов в работах Дж.Л.Джексона, Л.Х.Зеттер -берга, Н.Дж.Нильсона, П.Дк.Хьюбера, Д.Е.Джохансена, а также в исследованиях советских авторов Ы.Л.Лидова, В.М.Александрова, Д.С.Иргера и в ряде работ других математиков и механиков. Ще раньше минимаксный подход к задачам статистики и последовательного анализа активно разрабатывался А.Вальдом. В начале семидесятых годов были опубликованы работы И.Я.Каца и А.Б. Куржанского о двойственности задач управления и наблюдения, где, в частности, рассматривалась и статистически неопределенная ситуация при оценивании неизвестного параметра. Впоследст-' вии ими были разработаны методы рекуррентной фильтрации для статистически неопределенных многошаговых систем. Упомянутые методы получили развитие в дальнейших работах И.Я.Каца. По исследуемой проблемр следует также отметить реботы И.Н.Белогла-зова, И.А.Богуславского, Б.Н.Бублика, Г.А.Голубева, А.И.Кибзу-на, В.В.Малышева, Н.Ф.Кириченко, В.П.Кузнецова, А.Г.Наконечного, В.Г.Репина, Б.Н.Пшеничного, В.Г.Покотило, Г.П.Тартаковскоп П.Е.Эльясберга, М.Минца, С.А.'йассама, М.Морриса, К.Дж. Мартина, Д.П.Луза, Х.В.Пура. Подход П.Дж.Хьюбера получил интенсивное развитие в исследованиях Я.З.Цыпкина и Б.Т.Поляка.
Сказанное выше позволяет заключить, что проблема оценивай и управления для статистически неопределенных систем привлекла внимание многих исследователей. Вместе с тем, повышение точное ти и быстродействия алгоритмов оценивания и управления в широ ко распространенной на практике статистически неопределенной ситуации заставляет искать новые или совершенствовать уже иэве стнгч подходы к рассматриваемой проблеме. Причем проделанная работа в указанном направлении еще далека от своего окончатель ного завершения. Таким образом, тематика исследования представ ляется актуальной как с теоретической,так и прикладной точек зрен.:я.
Цель работы. Целью работы является разработка, обоснование и дальнейшее развитие точных и приближенных методов оценивания для статистически неопределенных систем, направленное на повышение точности оценивания по среднеквадратичному критерию от рассогласования при одновременном расширении класса возможных неопределенностей в объекте наблюдения и канале измерения, а также разработка эффективных методов определения стратегий корректирования движения управляемых систем, функционирующих в условиях статистической неопределенности. Упомянутые вопросы рассматриваются в диссертации для объектоз імблвцения и управления, которые описываются либо линейными дифферекциальнши уравнениями Кто, либо разностными уравнениями, как линейным, так и нелинейными.
Методы исследования. В основе разрабатываемых в диссертации методов лежат концепции теории управления и наблюдения в условиях неопределенности, систематически развиваемой А.Б. Куржанским и его учениками. Активно используются понятия и результаты классической теории игр, математической статистики, статистической теории фильтрации Р.Калмана и Р.Еыоси, выпуклого и многозначного анализа, теории меры, функционального ана -лиза, детерминированной и статистической теории управления, теории случайных процессов.
На.учкая новизна.Полученные в диссертации результаты являются новыми. Среди них отметки следующие.
. I. Для линейных статистически неопределенных систем с непрерывным временем поставлены и решены минимаксные задачи фильтрации, интерполяции и прогнозирования в классе линейных по сигналу оценок. В случае совместных интегральных квадратичных ограничений на первые моменты возмущений и при проиэаоль -«ых компактных ограничениях на неизвестные вторые моменты по -лучены определяющие соотношения в форме стохастических дкффе -ренциальных уравнений для операторов в пространстве матриц, ' 'подходящей размерности.
2. Установлено, что предложенная схема оценивания охватывает как случаи детерминированного минимаксного оценивания, так и статистического оценивания при известных моментах возмущений. 'Предложен способ аппроксимации точного решения задачи' оценивания 'С раздельными интегральными или геометрическими огракичени-
.5
ями на первые моменты возмущений с помощью решений задачи при совместных интегральных ограничениях.
3. Изучены асимптотические свойства минимаксных оптималь
ных оценок текущего состояния линейной статистически неопреде
ленной системы при совместных квадратичньж ограничениях на пер
вые моменты возмущений. Найдены условия сходимости оптимальных
минимаксных оценок и ошибки минимаксного оценивания к их уста
новившимся значениям при стремлении интервала наблюдения к бе-
СНСМЄЧН0С7И.
-
Для линейных многошаговых статистически неопределимых систем поставлена и решена задача фильтрации с помощью линей -ных по сигналу оценок. В случае совместных суммарных квадратичных ограничений на первые моменты возмущений, а также при неопределенных вторых моментах и неизвестной точно динамике системы получены рекуррентные определяющие уравнения для операторов в пространстве матриц, подходящей размерности. Предложены процедуры аппроксимации точного решения задачи оцениввнияс геометрическими ограничениями на первые моменты возмущений с помощью решений задачи при суммарных квадратичных ограничениях.
-
Предложена постановка задачи минимаксного оценивания текущего состояния нелинейной многошаговой статистически неопределенной системы, включающая частные случаи - линейно-гаус-совские и детерминированные системы с неопределенными параметрами. Выделен класс допустимых нелинейных по сигналу оценок. При определенных предположениях о случайных возмущениях в системе доказанатеорема существования седловой точки целевого функционала в виде среднего от квадрата нормы рассогласования
и получены необходимые условия оптимальности для оценки фазового вектора. Установлены условия невырожденности, при которых указанные необходимые условия оптимальности становятся достаточными и точное оптимальное решение можно аппроксимировать последовательностью решений конечномерных задач; указан способ такой аппроксимации;
6. Поставлены и решены задачи коррекции движения для ли
нейных статистически неопределенных систем, в которых неопре
деленными являются только первые_ моменты возмущений, подчинен
ные геометрическим включениям. Получено необходимое условие
оптимальности в виде принципа минимума. Установлено, что задача коррекции, состоящая в синтезе марковского момента перехода к управлению по доступной информации, может бить сведена к минимаксной проблеме выбора оптимального момента остановки случайного процесса (последоватачьности) с неопределенным средним.
7. Рассмотрено приложение ряда разработанных в диссертации методов к задаче выставки гироплатформи на подвижном основании в двухступенчатой транспортної! системе корабль-самолет. Проведено численное моделирование некоторых минимаксных алгоритмов оценивания и коррекции движения.
Теоретическая и практическая ценность. Для линейных статистически неопределенных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями Ито или разностными уравнениями, с неполной информацией разработан единый подход к решению минимаксных задач оценивания по минимуму среднеквадратичного критерия от рассогласования, подход, который в случае полной статистики возмущений приводит к известньм результатам теории стохастической фильтрации, а в случае отсутствия статистики -к известньм результатам теории гарантированного детерминиро -ванного оценивания. Выделены случаи, когда получаемые алгоритмы оценивания имеют рекуррентную структуру, что позволяет использовать их на практике для получения оценок в темпе реального времени. Для нелинейных многоиаговых статистически неопределенных систем предложена новая постановка задачи оценивания в духе А.Вальда, причем указана процедура конечномерной аппроксимации точного решения. Установлена принципиальная воэмож -ность улучшения качества минимаксного оценивания за счет виборе класса допусткмьт оценок. Предлагаемый подход, применимый к частным случаям - линейно-гауссовскі-м и детерминированнш системам с неопределенными параметрами, позволяет учитывать разработанные приближенные методы определения условного среднего при нахождении оптимальных минимаксных оценок.
Отмечена интерпретация минимаксных методов оценивания как процедур регуляризации некорректных задач и на примерах показано, что применение указанных методов дает существенное улучшение сходимости оценок на бесконечности и позволяет создать ус-
тойчивый (робастный) алгоритм фильтрации.
Исследованы минимаксные задачи коррекции движения статистически неопределенных линейных систем с неполной информацией, для которых неопределенными являются только первые моменты возмущений. Особенностью изученных задач является разделенность процессов управления и наблюдения по времени, причем предполагается, что наблюдение предшествует управлению. С помощью аппарата выпуклого анализа получены определяющие соотношения,позволяющие ефективно находить решение задачи. Установлено, что синтез марковского момента перехода к управлению сводится л ми-' нимаксной проблеме выбора оптимального момента остановки случайного процесса с неопределенным средним, что позволяет использовать известные результаты И.И.Гихыана и А.В.Скорохода, Н.В.Крылова, А.Н.Ширяева для окончательного решения задачи синтеза.
Практическое значение результатов работы подтверждается успешным их применением для решения задачи выставки гироплат-формы на подвижном основании в двухступенчатой транспортной "' системе корабль-самолет. Кроме того, ряд результатов работы использовался в отчетах по прикладным темам, которые разрабатывались в Институте математики и механики УрО АН СССР.
Апробация работы. Результаты, составляющие содержание работы, обсуждались на всесоюзных и международных конференциях, школах, совещаниях, семинарах. Они докладывались на 5 Всесоюзном совещании по статистическим методам в системах управления (Алма-Ата, 1981), на Всесоюзных конференциях по управлению в механических системах (Москва, 1932; Казань, 1985), на б съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, I9Q6), на 12 Всесоюзной математической иколе по теории управления и исследованию операций (Ижевск, 1939), на международной конференции "Стохастическая оптимизация" (Киев, 1984), на международной конференции по динамике машин (Франкфурт-на-Одере, ГДР, 1985), на 2 симпозиуме К5АК по стохастическому управлению (Вильнюс, 1936), на семинаре академика АН УССР Ю.М.Ермольева в Институте кибернетики АН УССР, на семинаре кафедры кибернетики Московского института электронного машиностроения, на семинаре члена-корреспондента АН СССР Я.З.Цыпкмна в Институте проблем управления АН СССР, неоднократно излагались на семинаре, руководимом
членом-корреспондентом АН СССР А.Б.Куржанским в Институте математики и механики УрО АН СССР.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ. Основные результаты диссертации содержатся в 15 работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, которые, в свою очередь, разделяются на пункты, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации составляет 268 страниц маши -нописного текста. Библиография состоит из 106 наименований. В основной текст включено 9 рисункоа и таблицы.