Введение к работе
Диссертационная работа посвящена развитию методов построения функций Ляпунова в задачах устойчивости стационарных движений механических систем. Обобщается классическая схема конструирования v-фуикций из интегралов уравнений движения, приводится обзор решенных задач на основе обобщенного подхода, а также исследуются новые задачи теории критических случаев (алгебраически неразрешимые) и задачи динамики вращений вязко-упругого спутника.
Актуальность темы. Прямой метод Ляпунова является эффективным методом исследования задач устойчивости стационарных движений механических ситем. Однако его эвристичность затрудняет построение вспомогательных функций в прикладных задачах. Поэтому центральной проблемой прямого метода считается (традиционно) проблема построения функций Ляпунова с требуемыми свойствами.
Классическая схема конструирования этих функций из интегралов уравнений движения, восходящая к работам Э. Рауса и А.М.Ляпупова позволяет строить v-функции для многих прикладных задач (Н.Г.Четаев, В.В.Румянцев, А.П.Кузьмин, Г.К.Пожарицкий, В.В.Крементуло, В.Г.Демин, А.П.Маркеев, В.Н.Рубановский, АЛ.Куницын, А.В.Карапетян и др.). Классический метод - единственный эффективный метод получения достаточных условий устойчивости.
Обобщение классической схемы и приложение ее в задачах механики представляется актуальным.
Цель работы состоит в описании нового эвристического подхода построения v-функций, в основе которого лежит теория функциональных пространств, обобщающих пространства первых интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений и исследование с его помощью задач механики.
Методы исследования. В теоретической части диссертации используются геометро-топологические методы теории уравнений с частными производными, методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В прикладной части - методы теории устойчивости, методы модального и асиптотического анализа.
Научная новизна. В диссертации впервые излагается теория функциональных пространств, обобщающих пространства первых интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений: конструируются функциональные расширения всего множества решений уравнения в частных производных первого порядка, устанавливается связь этих пространств с уравнениями Пфаффа и уравнениями в частных производных высоких порядков. Исследуются характерные свойства расширений: свойство функциональной закнутости, вырожденности этих просранств на множестве всех гладких функций.
В диссертации впервые обобщаются идеи классического подхода: стандартная схема построения v-функций из элементов классических пространств переносится на обобщенные множества.
Впервые показано, что большинство решенных задач теории устойчивости, в которых v-функции строились в явном виде, удовлетворяют обобщенной схеме.
Исследуется задача о редукции фазового потока интегрируемых систем к потоку линейных уравнений. Впервые получены трансцендентные уравнения, задающие редуцирующую замену переменных, исследуются условия их разрешимости для систем с одной и полугора степенями свободы.
С помощью обобщенного подхода построены v-функции прямого метода в алгебраически неразрешимых задачах теории критических случаев (резонансы 1:3, 1:1.) Впервые получены алгебраические критерии устойчивости на некотором подмногообразии положительной меры в пространстве параметров модельной системы.
Получены новые результаты в теории обратимых систем: наличие циклических групп симметрии (сколь угодно большого четного порядка), порождающих изолированные периодические траектории и интегральные многообразия, невозможность асимптотической устойчивости тривиального положения равновесия и т. д. С помощью нелинейной замены переменных, редуцирующей фазовый поток обратимой системы к потоку линейных уравнений, исследована устойчивость равновесия при резонансе 1:1.
Впервые исследуется резонансная задача устойчивости цилиндрической прецессии вязко-упругого спутника в центральном гравитационном поле. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости вдоль резонансных кривых исследуемой системы.
Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов и согласованием выводов с известными выводами предельных и частных случаев.
Теоретическая и практическая ценность. С помощью обобщенного подхода, развиваемого в диссертации, удастся упорядочить большинство исследованных задач устойчивости. Тем самым определяется стратегия поиска этих функций в новых задачах.
Теория обобщенных пространств представляет самостоятельный научный интерес: вносит новый вклад в проблему интегрирования классического уравнения Моижа-Ампера и его обобщенного аналога.
Исследования по алгебраически неразрешимым задачам устойчивости приводят к следующим выводам. Неразрешимость этих задач не имеет (в отличие от неразрешимости алгебраических уравнений) тотального характера: существуют алгебраические куски трансцендентной поверхности раздела. Результаты этих исследований могут быть также использованы в теории нелинейных колебаний.
Обобщенный подход позволяет достаточно просто и эффективно строить нетривиальные функции Ляпунова в алгебраически сложных задачах устойчивости.
Результаты по исследованию редуцирующих преобразований позволяют сводить изучение нелинейных систем к линейным, реіуляризовать уравнения
движения и, как следствие, применять численные и аналитические методы анализа в окрестности особых точек.
Результаты по исследованию резонансных вращений спутника н центральном гравитационном поле можно использовать в прикладной небесной механике в виде рекомендаций по эффективному функционированию околопланетных станций.
Основные результаты диссертации могут быть включены в руководства по теории устойчивости, теории нелинейных колебаний и небесной механики.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Всесоюзной школе- семинаре по динамике механических систем (Томск, 1986), Всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике (Москва, МАИ.1987), VII Чехословацкой конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Прага, 1989), Шестой Четаевской конференции по аналитической механике, устойчивости и управление движением (Казань, 1992), на Международном семинаре по устойчивости и колебаниям нелинейных систем управления (Москва,ИПУ РАН, 1992), Международной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Москва, 1994), Воронежской зимней математической школе (1995), на конференции 'Современные методы нелинейного анализа" посвященной юбилею М.А.Красносельского (Воронеж, 1995), а также на семинарах в МГУ им. М.ВЛомоносова:
по аналитической механике и теории устойчивости (руководители -академик В.В.Румянцев, д.ф-м.н. А.В.Карапстян; 1986, 1991-1995)
по классической динамике (руководители- проф. В.Г.Демин, доцент И.И. Косспко, 1995)
по динамике относительного движения (руководители - проф. В.В.Белецкий, проф. Ю.Ф.Голубев, д.ф.-м.н. В.В.Сазонов; 1995)
по качественной теории дифференциальных уравнений (руководители - проф. В.М.Миллиошциков, проф. В.А.Кондратьев; проф. Н.Х.Розов, 1987,1988)
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, приложений и списка литературы. Первые три главы составляют теоретическую часть работы, в остальных главах исследуются конкретные задачи. Работа изложена на 254 страницах, содержит 22 рисунка, список литературы из 180 наименований.