Содержание к диссертации
Введение 3
Глава 1. Общая постановка задачи и вводные замечания ... 16
Постановка задачи 16
Общие уравнения движения 18
Основные определения 19
Орбитальная устойчивость и метод ее исследования 20
Глава 2. Ограниченная постановка задачи об автоколебаниях
двухмассового осциллятора под действием сухого трения . 25
Уравнения движения в ограниченной постановке 25
Предельный цикл одного груза на движущейся ленте 27
Вынужденные колебания 31
Аналитическое исследование орбитальной устойчивости .... 43
Численное исследование орбитальной устойчивости 48
Глава 3. Общая постановка задачи об автоколебаниях двухмас
сового осциллятора под действием сухого трения 53
Линейные режимы движения 53
Фундаментальное свойство предельных циклов 56
Главные колебания и предельные циклы 62
Аналитическое исследование орбитальной устойчивости .... 79
Численное исследование орбитальной устойчивости 86
Заключение 94
Литература 96
Введение к работе
Актуальность работы. Изучение автоколебаний, возникающих под действием сухого трения, является актуальной задачей. Механические втоколеба-ния играют важную роль в различных областях механики, техники, оптики, акустики, радиотехники и электроники. Примерами таких колебаний служат колебания струны скрипичных музыкальных инструментов, шум ведущего колеса локомотива на рельсах при трогании с места или тормозного башмака на колесах, скрип дверных петель и т. д. Основным режимом таких колебаний является предельный цикл типа "stick-slip" с двумя переключениями. Диссертация посвящена отысканию таких предельных циклов и исследованию характера их орбитальной устойчивости.
Цель диссертационной работы. Основной целью диссертации является поиск предельных циклов типа "stick-slip" с двумя переключениями, исследование их свойств и характера устойчивости в двухмассовом осцилляторе, состоящем из двух грузов, соединенных пружиной. Первый груз движется по неподвижной прямой и соединен пружиной с неподвижной опорой. Второй груз находится на горизонтальной ленте, движущейся с постоянной скоростью. Между лентой и вторым грузом действует сила сухого трения. Первый груз подвержен действию вязкого трения.
Научная новизна. Результаты разделов 1.1-2.2 являются вспомогательными, а результаты разделов 2.3 - 3.5 являются новыми. Они базируются на общих теоремах теории колебаний и теории устойчивости предельных циклов. Среди этих результатов наиболее существенным является аналитическое обоснование фундаментального свойства симметрии предельных циклов типа "stick-slip" с двумя переключениями в отсутствии вязкого трения. Это свой-
ство позволило построить предельные циклы с двумя переключениями и провести исследование характера их орбитальной устойчивости.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты дают представление о виде, свойствах предельных циклов типа "stick-slip" с двумя переключениями и характере их орбитальной устойчивости.
Используемые методы. В работе используются методы теории колебаний, в том числе метод точечного отображения Пуанкаре для исследования орбитальной устойчивости предельных циклов.
Достоверность результатов. Результаты диссертационной работы обоснованны. Они базируются на общих теоремах теории колебаний и теории устойчивости. Все аналитические выкладки, численные расчеты и построение различных графиков, диаграмм и фазовых портретов проводились с помощью программы символьных вычислений Maple 10.
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научных семинарах и конференциях:
Семинар отдела механики ВЦ РАН под рук. проф. С. Я. Степанова, д.ф.м.п. В. С. Сергеева и проф. А. В. Карапетяна, 2006 г.
IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, 2006, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г.
Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством акад. РАН В. В. Румянцева, чл.-корр. РАН В. В. Белецкого, проф. А. В. Карапетяна, 2007 г.
Международная конференция молодых ученых «Ломоносов-2007». МГУ им. М. В. Ломоносова, 16-21 апреля 2007 г.
IX Международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Иркутск, 12-16 июня 2007 г.
Шестой международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 1-6 августа 2007 г.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в четырех печатных работах, одна из них опубликована в журнале, который входит в перечень ВАК. Список работ приведен в списке литературы [69-72].
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.
Механические автоколебания, возникающие под действием сухого трения играют важную роль в различных областях механики, техники, оптики, акустики, радиотехники и электроники. Примерами таких колебаний служат извлечение звука в музыкальных смычковых инструментах [93, 98, 105, 106, 113, 117, 128, 129, 137], шум ведущего колеса локомотива на рельсах при тро-гании с места или тормозного башмака на колесах, скрип дверных петель, колебания вала в плохо смазанных подшипниках [4, 145].
Изучение автоколебаний было начато работами Пуанкаре [2, 49, 50]. Он предложил методы отыскания и исследования свойств предельных циклов. Термин "автоколебания" ввел в 1928 г. А.А. Андронов [2, 4]. Он заложил основы теории автоколебаний, впервые связав их с предельными циклами Пуанкаре. Оказалось, что автоколебания имеют широкую область применения. В фундаментальной работе А.А. Андронова [4], впервые опубликованной в 1937 году, систематически изложена теория нелинейных колебаний в системах с одной степенью свободы, охватывающая большое число автоколебательных систем, встречающихся в инженерной практике.
В 30-х годах XX века теория автоколебаний была дополнена в работах Ван-дер-Поля [17] в применении к радиотехнике. В трудах последователей школы Мандельштама и Папалекси [38, 39] на основе методов Пуанкаре теория автоколебательных систем стала мощным средством исследования в других областях механики, физики и техники.
Затем в СССР и на Западе появилось большое количество обобщающих монографий [4, 5, 11, 12, 18, 20-24, 28, 32, 34, 35, 41, 45, 52-55, 59, 60, 64, 67, 68, 112, 129, 137] и статей прикладного характера [83, 85, 87], посвященных механическим автоколебаниям под действием силы сухого трения.
В данной диссертационной работе сделана попытка теоретически обосно-
вать некоторые результаты экспериментальных исследований автоколебаний, возникающих в скрипичных музыкальных инструментах, с помощью аналитического исследования модели двухмассового осциллятора с сухим трением.
ИСТОРИЯ ИЗУЧЕНИЯ ВОПРОСА КОЛЕБАНИЙ СМЫЧКОВЫХ МУЗЫКАЛЬНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ
Акустика [112, 129, 137] является обширной областью применения методов исследования различных автоколебательных систем. Несмотря на то, что первые прототипы смычковых музыкальных инструментов были изобретены более двух тысяч лет назад, теория возникновения звука в смычковых инструментах, представляющая большой интерес для современной механики, до сих пор не получила полного развития. Скрипичные музыкальные инструменты, имеющие совершенные звуковые характеристики, были созданы в XVII—XVII 1-х веках итальянскими мастерами Амати, Страдивари, Гварнери. Их изготовление и усовершенствование происходило методом проб и ошибок, а знания, полученные опытным путем, передавались от мастера к ученику.
Теоретические исследования автоколебаний, возникающих в смычковых музыкальных инструментах, были начаты лишь во второй половине Х1Х-го века. Научное же исследование скрипичных инструментов более чем на век отстало от создания шедевров в скрипичном искусстве. Это связано с отсутствием математического аппарата, позволяющего описать явления, возникающие в музыкальных инструментах, а также с наличием большого числа параметров, от которых зависит звук. Сейчас во многих странах ведутся исследования физических процессов формирования звука в смычковых инструментах, разрабатываются методы их расчета. Эти работы базируются прежде всего на анализе лучших старинных инструментов.
В середине ХІХ-го века начали появляться работы, посвященные исследо-
ванию колебаний струн музыкальных инструментов. Важным трудом в этом направлении явилась работа Джона Вильяма Стрэтта (лорд Рэлей) [58], в которой достаточно полно изложены достижения в теории колебаний струн к концу Х1Х-го века. В этой работе заложен фундамент общей теории колебаний, получившей затем особенно широкое развитие в связи с электрическими колебаниями.
Простейшей схемой, моделирующей механизм возникновения колебаний
струны смычковых музыкальных инструментов, является
упруго-закрепленный груз, лежащий на движущейся ленте (рис. 1). Качественное объяснение этого механизма возбуждения автоколебаний было высказано Рэлеем [58]. Рэлей считал, что " способность смычка поддерживать колебания струны связана с тем, что трение при средних скоростях меньше, чем при малых" (рис. 2).
і №№Н0\ 1 і rri f
Рис. 1. Модель простейшей автоколебательной системы
Количественная теория механических автоколебаний была разработана в 1932 г. СП. Стрелковым для двух крайних случаев: для колебаний, близких к синусоидальным [56, 57], и для колебаний релаксационного типа [27]. Оба случая представляли собой результат распространения на механические системы общих методов теории автоколебаний, разработанной главным образом для целей радиотехники. В основе обеих работ лежало одно и то же
предположение (в том числе и у Рэлея [58]), что характеристика силы трения в функции относительной скорости в некоторой области имеет падающий участок (рис. 2). Примером колебаний близких к синусоидальным является исследованный Стрелковым СП. маятник Фроуда-Жуковского [22, 56, 57].
Рис. 2. Модель сухого трения с падающим участком
В [26] показано, что при построении теории механических автоколебаний достаточно учета зависимости сил трения от скорости, пренебрегая зависимостью трения от времени и от других факторов. В дальнейшем этот экспериментальный факт использовался в большинстве работ при построении моделей сухого трения.
В [74] показано, что частота колебаний скрипичной струны, возбуждаемой кулоновским трением смычка о струну в области падающей зависимости силы трения от относительной скорости и определяется с высокой степенью точности только частотой собственных колебаний струны.
В 1930 г. была опубликована статья Дена Гартога [102], в которой исследовались периодические движения линейного гармонического осциллятора под действием сухого "кулоновского" и вязкого трений. Этой задаче также посвящены работы [103, 125-127]. Колебаниям скрипичной струны посвящены
также работы Витта А. А. [15, 16].
Левитан Е.С. [119] изучил устойчивость периодических движений линейного осциллятора с трением на периодически движущемся основании. Хандел М.С. [116] исследовал периодические движения осциллятора с трением, когда груз лежит на периодически колеблющейся опоре, причем груз и опора могут взаимодействовать не только с помощью сухого трения, но и с помощью силы упругости между грузом и опорой [116]. В [146, 147] изучена устойчивость таких периодических движений с помощью отображения Пуанкаре.
В работах [130, 131] изучена устойчивость кусочно-линейного осциллятора под действием сухого и вязкого трений при возмущении начальных условий.
В работе [78] удалось найти решение в аналитическом виде для линейных осцилляторов, движущихся под действием сил сухого кулоновского трения на периодически колеблющейся опоре. Предпосылки результатов этой работы заложены в [133, 140], а также в работах, посвященных движению осциллятора на ленте, движущейся с постоянной скоростью [82, 122, 148]. Позже исследование было продолжено в работах [114, 115, 149], а также [123, 124], в которых дан достаточно полный обзор литературы.
На Западе механические модели, в которых возникают автоколебания под действием сухого трения, в том числе и линейный осциллятор, получили название "stick-slip" ("прилипание-скольжение") в силу того, что в них наблюдается два типа движения: когда груз неподвижен относительно ленты и когда груз скользит относительно ленты.
Обзор работ, посвященный феномену "stick-slip", можно найти в [104]. Исследованию систем типа "stick-slip" для осциллятора с одной и двумя степенью свободы посвящены работы [76, 77, 79-81, 99, 100, 108-111, 120, 121, 139, 141, 151, 152], исследование этой задачи встречается также в ряде общих трудов по нелинейной механике [4-6, 8, 12-14, 21, 25, 28, 34, 37, 43, 45, 53,
55, 56, 59-61, 63, 67, 68, 75].
Отметим, что линейный осциллятор (рис. 1) используют не только для моделирования колебания струн смычковых музыкальных инструментах, но и для исследования закона сухого трения. История исследования законов трения достаточно полно освещена в работах [8, 9, 29, 30, 47, 62, 66, 82, 142, 143]. Отметим, что на практике не наблюдается чистого сухого трения. Во многих работах современных авторов показано, что в силе сухого трения необходимо учитывать также вязкую составляющую.
Большое количество работ, посвященных системам типа "stick-slip" (рис. 1) с одной [1, 83, 85] и двумя степенями свободы [84, 87, 90-92], принадлежат польскому ученому Я. Аурейцевичу. В его работах принята кусочно-кубическая аппроксимация закона сухого трения
f(v — х) = /о sign(v - х) — a(v — х) + (5{v — xf.
В работах [83, 85, 91] явление автоколебаний исследуется с помощью анализа производной от энергии по времени. Установлено существование устойчивых и неустойчивых положений равновесия и устойчивых и неустойчивых предельных циклов типа "stick-slip" с одной [83, 85] и двумя [91] степенями свободы. На основе метода Крылова-Боголюбова-Митропольского для системы с двумя степенями свободы [10, 91] аналитически найдена формула для амплитуды устойчивых предельных циклов. В других работах Яна Аурей-цевича исследование периодических, квазипериодических и хаотических движений автоколебательных систем проводится с помощью численного анализа [87-90]. Вопросу устойчивости периодических движений посвящена работа [86], в которой даются определения, позволяющие расширить понятие устойчивости для квазипериодического и хаотического движения.
В работе [84] исследовалась модель, изучаемая в данной диссертации во второй главе, в случае постоянства амплитуды колебаний, рационального
отношения частот и кусочно-кубической модели трения. В этой работе представлен аналитический приближенный метод нахождения периодических и квазипериодических решений. Выведены усредненные уравнения движения и уравнения стационарных движений системы.
Ряд работ [19, 31, 33, 44, 48, 93, 96, 105, 106, 112, 113, ИЗ, 128, 129, 137] посвящен основам акустики и исследованию скрипичных музыкальных инструментов, в которых можно найти практические советы по изготовлению смычковых инструментов. В этих работах приведены результаты экспериментальных исследований зависимости свойств звука от параметров смычковых инструментов и приведены основные количественные и качественные характеристики инструментов. В результате экспериментальных исследований найдены следующие интересующие нас результаты:
амплитуда колебаний струны определяется силами давления смычка, коэффициентами трения покоя и скольжения и скоростью движения смычка;
величина упругости связи струны с декой оказывает существенное влияние на тембровые качества инструмента. С увеличением жесткости звук становится ярче, и выделяются высокие частоты.
В диссертации делается попытка аналитически проверить эти результаты экспериментальных исследований с помощью изучения двух модельных автоколебательных систем с двумя степенями свободы с кусочно-постоянной моделью сухого трения.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 152 наименований. Общий объем диссертации 111 страниц.
Во введении обосновывается актуальность темы, определена цель диссертации, обоснована научная новизна, дан краткий обзор работ, связанных с исследованием фрикционных автоколебательных систем, в которых возникают колебания типа "stick-slip", а также приведено краткое содержание диссертации.
В первой главе дается общая постановка задачи об автоколебаниях двух-массового осциллятора под действием сухого и вязкого трений, выбрана кусочно-постоянная модель сухого кулоновского трения, записаны общие уравнения движения, введены основные определения, описан метод точечного отображения Пуанкаре, который используется для исследования орбитальной устойчивости предельных циклов.
Во второй главе рассмотрена ограниченная постановка задачи, аналитически исследованы движения двухмассового осциллятора под действием сухого трения (между второй массой и лентой, движущейся с постоянной скоростью) и вязкого трения между первой массой и опорной плоскостью в предположении, что масса второго груза во много раз меньше массы первого, а жесткость второй пружины, соединяющей грузы между собой, много меньше жесткости первой пружины (рис. 1.1). В нулевом приближении эти уравнения представляют собой уравнение колебаний первого груза под действием сил упругости пружины и вязкого трения [4, 5, 12, 18, 21, 45, 55, 60]. В первом приближении уравнения разделяются. Уравнение второго груза отделяется от уравнения первого груза и соответствует известной задаче о колебании гармонического осциллятора на движущейся с постоянной скоростью ленте под действием сухого трения [4,15,16, 21, 34, 69]. Уравнение первого груза представляет собой
уравнение вынужденных колебаний первого груза под действием колебаний второго груза. Найден предельных цикл второго груза, построен его фазовый портрет и найден период колебаний этого цикла. Исследованы вынужденные колебания первого груза под воздействием возбуждений второго груза. Найден предельный цикл типа "stick-slip" с двумя переключениями первого груза. Построены его фазовые траектории и формы колебаний при различных значениях параметров задачи. Численно исследованы условия орбитальной устойчивости найденных предельных циклов. Показано, что при различных параметрах, кроме случаев отсутствия вязкого трения предельные циклы ор-битально устойчивы, причем скорость стремления фазовых траекторий к предельному циклу прямо пропорциональна разности коэффициентов трения покоя и скольжения и обратно пропорциональна скорости ленты.
В третьей главе рассмотрена общая постановка задачи в случае отсутствия вязкого трения. Общая постановка близка к той, что рассмотрена в работе Я. Аурейцевича [84], где исследовалась та же модель в случае постоянства амплитуды колебаний, рационального отношения частот и кусочно-кубической модели трения. В диссертационной работе аналитически доказано свойство симметрии фазовых траекторий предельных циклов типа "stick-slip" с двумя переключениями, на основании которого определены два типа предельных циклов: прямой и обратный. Аналитически найдены формулы для начальных условий предельных циклов, численно изучены фазовые траектории, формы и период колебаний в зависимости от различных параметров задачи. Показано, что обратный цикл существует во всей области значений параметров задачи, а прямой цикл лишь в некоторой ограниченной области. Численно изучен характер орбитальной устойчивости найденных предельных циклов. Изучена зависимость скорости стремления фазовых траекторий к предельным циклам от отношения разности коэффициентов трения покоя и скольжения к скорости ленты. Установлено, что в общей постановке при ма-
лом значении этого отношения предельные циклы орбитально устойчивы, а при большом значении отношения, кроме случая равных масс, наблюдается орбитальная неустойчивость.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы.