Содержание к диссертации
Введение
1 Задача о плоском движении треугольника и точки в точной постановке 10
1.1 Основные предположения и обозначения, распределение масс и моменты инерции 10
1.1.1 Потенциальная энергия ньютоновских сил 12
1.2 Приведённый потенциал. Функция Рауса. Уравнения стационарных конфигураций и их общие свойства . 13
1.3 Коллинеарный случай. 15
1.4 Ортогональный случай. Свойства плоских стационарных конфигураций
1.4.1 Кривая и её поведение на бесконечности. Общий случай 18
1.4.2 Кривая и её поведение на бесконечности. Общий случай
1.5 Условия существования “коллинеарных” стационарных конфигураций. 21
1.6 Положения равновесия и их устойчивость. Случай осевой симметрии. 23
1.7 Достаточные условия устойчивости
1.7.1 Достаточные условия устойчивости решений, удовлетворяющих условию . 29
1.7.2 Линии уровня потенциальной энергии и достаточные условия устойчивости равновесий . 31
1.8 Существование и устойчивость перманентных вращений системы как целого. 33
1.8.1 Достаточные условия устойчивости 36
1.8.2 Необходимые условия устойчивости 38
1.8.3 О существовании “косых” стационарных конфигураций 39
2 Барицентрические координаты. “Проволочный” треугольник 44
2.1 Основные обозначения и постановка задачи 44
2.2 Основные величины в барицентрических координатах
2.2.1 Момент инерции в БК для точечного треугольника 46
2.2.2 Момент инерции в БК для “проволочного” треугольника 47
2.3 Критические точки приведенного потенциала 48
2.3.1 Критические точки приведенного потенциала в случае точечного треугольника 48
2.3.2 Критические точки приведенного потенциала в случае проволочного треугольника 49
2.4 Стационарные конфигурации для точечного треугольника 50
2.4.1 Случай равностороннего треугольника с симметричным распределением масс 51
2.5 Стационарные конфигурации для проволочного треугольника 52
2.5.1 Случай равностороннего треугольника с однородными сторонами 53
2.6 Достаточные условия устойчивости
2.6.1 Достаточные условия устойчивости в случае равностороннего точечного треугольника 56
2.6.2 Достаточные условия устойчивости в случае равностороннего проволочного треугольника 58
3 Существование и устойчивость точек либраций равномерно вращающегося треугольника, оснащённого вещественными или ком плексифицированными гантелями 59
3.1 Комплексифицированная гантель 59
3.2 Комплексифицированная модель гравитационного потенциала 62
3.3 Точки либраций равномерно вращающегося РТОДГВ 63
3.4 Устойчивость относительных равновесий 66
Заключение 68
Приложение. Оценка числа относительных равновесий гравитирую щих точечного плоского твердого тела и материальной точки 70
Литература
- Приведённый потенциал. Функция Рауса. Уравнения стационарных конфигураций и их общие свойства
- Линии уровня потенциальной энергии и достаточные условия устойчивости равновесий
- Критические точки приведенного потенциала в случае точечного треугольника
- Точки либраций равномерно вращающегося РТОДГВ
Введение к работе
Актуальность темы. Современный этап изучения космического пространства отличается реализацией миссий к малым небесным телам (астероидам, кометам). К таким миссиям, в частности, относятся осуществлённые пролёт космического аппарата в окрестности астероида (Galileo, NASA/ESA, 1991), облёт и посадка космического аппарата на поверхность кометы (NEAR-Shoemaker, NASA, 2000; Rosetta, ESA, 2014), полёт космического аппарата, его посадка и последующее возвращение на Землю модуля с образцом грунта (Hayabusa, JAXA, 2007).
При проектировании полётов вблизи малых небесных тел приходится принимать во внимание:
слабость порождаемого ими поля притяжения,
неоднородность такого поля,
скудость информации о распределении масс.
Поэтому важна задача создания модели гравитационного потенциала, с одной стороны, достаточно точно отражающая его основные свойства, с другой стороны, достаточно простая для эффективной реализации в реальном времени на бортовых вычислителях.
Такими являются модели, опирающиеся на представление небесного тела с нерегулярным распределением масс в виде совокупности нескольких однородных шаров. В случае, когда таких шаров два, ряд динамических свойств, в частности, существование и устойчивость относительных равновесий, называемых точками либрации, достаточно подробно исследован В.В. Белецким, А.В. Родниковым.
Методика приближения небесных тел тремя шарами впервые была предложена, вероятно, в работах Д. Ширса (D. Scheeres). Такая модель, пригодная для описания, в частности, распределения масс астероидов Итокава (25143) и Эрос (433), исследована в гораздо меньшей мере, чем модель грави-тирующего гантелеобразного тела, составленного из двух масс. Некоторые её свойства, такие как существование и устойчивость точек либрации, области возможного движения на конкретных примерах исследовались в работах Э. Эрреры-Сукаррат (E. Herrera-Sucarrat), М. Робертса (M. Roberts), Ф. Палме-ра (Ph. Palmer), А. Туркони (A. Turconi), Х. Баойина (H. Baoyin) и других.
Необходимостью дальнейшего исследования такой “трёхъядерной модели” обусловлена актуальность настоящей работы.
Цель работы. Диссертация посвящена изучению зависимостей от параметров:
множеств установившихся движений,
свойств устойчивости этих движений,
областей возможного движения
в ряде задач о движении небесного тела с нерегулярным распределением масс и материальной точки под действием сил взаимного притяжения.
В задаче о движении под действием взаимного притяжения треугольного тела с массами, сосредоточенными в вершинах (модель “трёх вписанных шаров” для приближения поля притяжения небесных тел), и материальной точки изучаются существование, устойчивость и ветвление стационарных вращений в зависимости от значений параметров задачи. Строятся бифуркационные диаграммы Пуанкаре и Смейла. С использованием барицентрических координат осуществлён сравнительный анализ множеств стационарных
движений и областей возможного движения в случае, когда тело – правильный треугольник с равными массами, расположенными в вершинах, и в случае, когда тело – правильный треугольник с равными массами, равномерно распределёнными по его сторонам.
В случае, когда притяжение тела с неравномерным распределением масс, моделируется комбинациями ганетлеобразных тел и т.н. комплексифи-цированных гантелей, исследован вопрос о существовании и устойчивости точек либрации в предположении о том, что тело равномерно вращается вокруг оси, проходящей через центр масс. Изучен вопрос о зависимости точек либрации и их свойств от угловой скорости вращения. Построены бифуркационные диаграммы.
Выполнено исследование относительных равновесий плоского твердого тела общего вида с дискретным распределением n точечных масс и материальной точки под действием взаимного притяжения. Показано, что в общем случае система допускает от двух до n + 1 относительных равновесий.
Методы исследования. Исследование выполнено с использованием известных аналитических методов теоретической и небесной механики, теории устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений, а также с помощью численных методов.
Достоверность результатов. Основные результаты диссертации получены аналитически с помощью методов теоретической механики и теории бифуркаций и устойчивости. Графики и изображения, иллюстрирующие полученные аналитические результаты, построены численно.
Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми.
Выполнено исследование установившихся движений взаимно гравити-рующих треугольного твердого тела и материальной точки в точной постановке, без ограничений на массы, входящих в систему тел.
В зависимости от параметров задачи изучены множество установившихся движений, их свойства устойчивости и ветвления, области возможного движения.
Представлены бифуркационные диаграммы решений в зависимости от параметра отношения масс.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение при изучении динамики вблизи астероидов, комет и малых лун планет, а также при проектировании миссий к различным небесным объектам.
Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, Институте теоретической астрономии РАН, Институте проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, Федеральном исследовательском центре “Информатика и управление” РАН, Московском физико-техническом институте, Московском авиационном институте и других научно-исследовательских центрах.
Личный вклад. Научными руководителями были предложены постановки задач и методы их исследований.
Представленные в диссертации результаты получены лично соискателем.
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах:
Научный семинар “Аналитическая механика и теория устойчивости” имени В.В. Румянцева под руководством чл.-корр. РАН, проф. В.В. Белецкого; проф. А.В. Карапетяна, Россия, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2013, 2014, 2015, 2016 г.
Научный семинар “Динамика относительного движения” под руководством чл.-корр. РАН, проф. В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева, проф. В.Е. Павловского, доц. К.Е. Якимовой, доц. Е.В. Мелкумовой, Россия, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2016 г.
Ломоносовские чтения. Секция механики, Россия, Москва, МГУ имени М.В.Ломоносова, 15-19 апреля 2013; 14-23 апреля 2014 г.
XII всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014, Россия, Москва, ИПУ РАН, 16-19 июня 2014 г.
International Astronomical Union Symposium: Complex Planetary Systems, Belgium, Namur, 07-11 July 2014.
XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Россия, Казань, 20-24 августа 2015 г.
66th International Astronautical Congress, Israel, Jerusalem International Convention Center, 12-16 October 2015.
XL Академические чтения по космонавтике, Россия, Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана, 26-29 января 2016 г.
XIII Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Россия, Москва, ИПУ РАН, 1-3 июня 2016 г.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в пяти печатных работах [1,2,4-6], размещенных в рецензируемых журналах, реко-
мендованных ВАК Минобрнауки РФ. Также список работ включает в себя некоторые опубликованные тезисы конференций.
Список работ приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, приложения и списка литературы. Полный объем диссертации — 84 страницы текста. Список литературы содержит 110 наименований. В диссертации приведено 29 рисунков.
Приведённый потенциал. Функция Рауса. Уравнения стационарных конфигураций и их общие свойства
На решении I. при 0 ц 1 имеем Wvlf О при всех значениях г 0. Кроме того, при Го г г} функция Wrr 0 и движение неустойчиво (х = 1), в то время как при г г} функция Wrr 0 и движения устойчивы по Ляпунову (х = 0).
На решении II. при 0 ц 1/2 имеем Wvv 0 при всех значениях г 0. Это означает, что степень неустойчивости х не может быть меньше единицы. При Гц г г}j и при г г п имеем Wrr 0, и движение неустойчиво (х = 1)- Вместе с тем, при г}} г г}j имеем Wrr 0, и требуется исследование необходимых условий устойчивости (х = 2). При ц 1/2 на решении II. имеем Wrr 0 при г Гц, и движения неустойчивы (х = 1). Замечание. Устойчивость движений, для которых г = г}, г = r U, г = г}} и г = Го в работе не обсуждается. Пример. На рис. 1.10a ветви бифуркационной диаграммы, отвечающие реше ниям /. и //., изображены для случая ц = 1/4, рассматривавшегося ранее ( [56]). На ветви /. 4.037131го отделяет область г г}, для которой дви жения устойчивы по Ляпунову (х = 0), от области г г}, для которой движения неустойчивы (х = 1). На ветви ІТ. при Гц г г}} = г о и при г г п 3.357757го движения неустойчивы (х = 1), в то время как для движений с fjj г rjj требуется исследование необходимых условий устойчивости (х = 2).
На рис. 1.10b изображены ветви бифуркационной диаграммы, отвечающие решениям /. и ІТ. для случая ц = 3/4. Здесь г} 2.918734го, /3/ = f3(r} ) = 1.431. Установившиеся движения /. существуют при всех значениях /3, в то время как движения ІТ. существуют лишь при /З2 /5.
Замечание. Как известно из многочисленных исследований (см., например, [15,35,62-64,72,97]), та или иная дискретная симметрия в распределении масс обеспечивает существование семейств установившихся движений, примечательных как с теоретической, так и с прикладной точки зрения. Не составляют исключения и установившиеся движения, исследуемые и в данной задаче.
Для исследования необходимых условий устойчивости установившихся движений из семейства Я. с х = 2 выпишем линеаризованные в их окрестности уравнения движения. Они имеют вид А5г — G5ip — В5г = 0, Сбір + G5r — D5ip = 0, л г? п ТІ r2fo п г? 2 гго/3 А = iXff = 1 7 = Лии = ) = гф = 75 ) J J т /32(го — 3/хг2) В = Rrr = — Urr(r,7T), D = Rvv = —Uvv{r,7r). Здесь Urr(r, 7Г) = n(r, 7Г) + ГПг(г, 7Г) + Сг(г, 7г), [/ (г, 7г) = —Г (с(г, 7г) + (г, 7г)) . Все корни характеристического уравнения Р(Л) = Л + ЬЛ +с=0, (1.83) b = G А С — В A — DC , с = BDC A чисто мнимые при одновременном выполнении условий Ъ — 4с О, Ъ О, с О, (1.84) определяющих необходимые условия устойчивости. Для каждого значения параметра ц условиями (1.84) выделяется область на плоскости (г, /З2). Так для обсуждавшегося выше случая ц = 1/4 для движений /. эта область закрашена светло-серым (рис. 4а). Естественно, эта область содержит часть бифуркационной кривой, отвечающей стационарным движениям, устойчивым в вековом смысле (х = 0).
В этом же случае для движений II. аналогичная область закрашена тёмно-серым (см. также рис. 1.10а). Эта область, конечно, не содержит неустойчивых стационарных движений с х = 1. Но она разбивает множество стационарных движений II. на два подмножества, на одном из которых необходимые условия устойчивости не выполнены, а на другом - выполнены. Область выполнения необходимых условий устойчивости - промежуток г Є (rj,rjj), где rjj 3.132426го Є (г},г}7).
Неравенства (1.84) выделяют область Q в пространстве (//, г, /5). В том же пространстве уравнение (1.75) при і = II задает поверхность J7, заполненную стационарными движениями.
На рис. 1.12 изображена проекция пересечения области Q и поверхности Т на полуполосу {0 /х 1} х {0 г оо}.
В этой полосе имеется точка (г , ц++) (2.44019го, 0.395317), в которой пересекаются кривые, определяемые равенствами Ъ2 — 4с = 0, 6 = 0 и с = 0 рассматриваемыми после подстановки в них величины /3, выраженной из соотношения (1.75) при г = II. При ц ц устойчивых в первом приближении установившихся движений из семейства II. нет. При уменьшении значения параметра /і диапазон значений г, при которых выполнены необходимые условия устойчивости, становится шире, одновременно сдвигаясь в область больших значений величины г (рис. 1.12b). Таким образом, при ц [і множество установившихся движений не столь богато, как в противоположном случае.
Рассмотрим вопрос о существовании решений, отличных от I. и //., т.е. “косых” стационарных конфигураций. Для этого воспользуемся введённой выше ПСО Сх\Х2Хз. Прежде всего, определим безразмерные переменные v 3 На рисунке 1.13 схематично изображены сечения приведенного потенциала (1.85) при ц = 1/4 и характерных значениях параметра /3: рис. 1.13a — /З Є (0;/3(rj7)), рис. 1.13b — /З Є (/3(rj7);/3(fj)), рис. 1.13c — /З Є (/3(fj); /3(rjj)), рис. 1.13d — /3 /3(fjj).
Символом “ ” отмечены точки максимума, символом “ ” — точки минимума приведённого потенциала (1.85).
Замечание. Для случая ц = 3/4 сечения приведённого потенциала будут только двух типов. Эти сечения по структуре схожи с сечениями на рисунках 1.13a и 1.13d.
Изучение рисунков показывает, что во всех обнаруженных численно случаях установившиеся движения - осевые. Возникает вопрос: существуют ли т.н. “косые” установившиеся движения, для которых массивная точка не располагается ни на одной из осей симметрии треугольника.
Прежде всего исследуем этот вопрос в случае, когда центр масс треугольника и массивная точка расположены неподалёку друг от друга. В малой окрестности точки С для точек плоскости 7Г представим выражение для приведённого потенциала (1.85) в виде разложения
Линии уровня потенциальной энергии и достаточные условия устойчивости равновесий
Утверждение. Если центр масс треугольника Р1Р2Р3 совпадает с центром О его описанной окружности, то существует стационарное движение, при котором точки С и Р совпадают, а сам треугольник вращается вокруг своего центра масс с постоянной угловой скоростью.
Известно [6], что барицентрические координаты имеют прозрачный геометрический смысл: Xi = Si/S (і = 1,2,3), где Si — ориентированная площадь треугольника РР2Р3 (1, 2, 3), а S ориентированная площадь треугольника -Рі-Рг-Рз. Пусть R — радиус окружности, описанной около АРіР2Р3. Тогда ПГБ2 Ш „ г л/4л — 1\ "л Г = —л /4 2R 4 V 1 2 2 2 1 \/4Д2 — \ 1 з Si = —R sin 2а = R sin а cos а = R — = —4Д2 — \, R = 2 2it 2it 4 4o Площадь AP1P2P3, согласно формуле Герона, имеет вид S = —y{t\ + 2 + з)(—\ + 2 + z){i — 2 + z){i -\- 2 — з) Тогда данное стационарное движение существует, если в вершинах Р1, Р2, Рз сосредоточены массы гаї, тег, тез такие, что те-і і(— і + 9 + з) — = ж1 = , (1,2,3). те 16о2 Нетрудно видеть, что значения масс оказываются положительными лишь в случае, когда центр описанной окружности находится внутри ДРіР2Рз, т.е. этот треугольник - остроугольный.
Рассмотрим частный случай, когда задача обладает симметрией. Задачам такого рода посвящены, например, работы [15,63]. Пусть те-і = тег, \ = (-2. В этом случае АР1Р2Р3 равнобедренный, и его распределение масс симметрично относительно оси геометрической симметрии. Тогда существует семейство частных решений, на которых Х\ = Х2 = X, Хз = 1 — 2х, и система уравнений (2.9) сведется к двум уравнениям (ср. с (1.75)) ( 2 X — [1\ (([Із [l\\ Pl\\ (1 — 2х) ш — G —т + 2—т х ) = О, те + М Рз Pi Pi (2.15) / 2x—ці (1 [ІЗ pi\ Pl x to G —3 + 2—г x 5 =0. те + М Рз Pi Pi Не трудно проверить, что решение х = 0 не удовлетворяет первому уравнению, в то время как значение х = 1/2 существует при 2 ((4 2 — з)тптз + 2(д(те + 2тег) + М\тз)тп2)2 2(4 — &з)ъ12{т + М) Отметим, что в силу неравенства треугольника выражение 4 — з в нуль не обращается. Ограничимся рассмотрением правильного треугольника, с равными массами в вершинах. При этом, оба уравнения системы (2.15) удовлетворяются при любом значении параметра ш, а следовательно — и Pj.
Полагая равными единице размерно-независимые величины G, М, р/3, где р = і+ 2+ з, представим условие равенства скобок нулю в виде: J2(x) Р Зх — 1 1 1 РІ Р\ Р\ (2.16) о2 о 2 о2 т/ , 3 Л , 3 1 р1 = Зж — Зж + 1, Рз = "J (ж) = 14— х 4- — 2ж 2 3 4 3 График найденной зависимости представлен на рисунке 2.2. В случае правильного треугольника, в вершинах которого лежат массы равные массе точки Р функция (2.16) обращается в нуль в точке CQ 0.428239, она также достига-ет своих локальных минимумов в точках С\ — 1.012376, Pj(ci) 8.860181 и Утверждение. Система, образованная произвольным треугольником с однородными “проволочными” сторонами равных масс и материальной точкой, обладает стационарным движением, на котором материальная точка располагается в точке пересечения медиан треугольника.
Доказательство. Под действием лишь центробежных сил система будет в равновесии, если точка Р располагается в центре масс APiP2Ps, вращающегося с произвольной угловой скоростью. Этому решению отвечает точка максимума потенциала центробежных сил. Назовем ее Кс.
Под действием лишь сил притяжения точка Р может находится в равновесии лишь если она располагается в точке, для которой результирующий вектор сил притяжения со стороны APiP2Ps обращается в нуль. Обозначим ее К . Если точки Кс и К совпадают, то существует равномерное вращение системы вокруг Ко = Кс = К с постоянной угловой скоростью. Соласно (2.4), точки Кс и К имеют координаты Mi М2 М3\ fnii ТП 2 тпзЛ 2 2 2 га га га соответственно, то в этом случае должны выполняться условия Мі ті = — (1, 2, 3), 2 m из которых следует равенство масс сторон треугольника гаї = га-2 = тез. Координаты точки К0 при этом имеют вид Xi = Х2 = Хз = 1/3. Подстановка этих значений в (2.12) позволяет убедиться в справедливости утверждения.
Пусть в рамках условий утверждения длины сторон треугольника равны \ = 2 = 3 = . Тогда плотность постоянна по всему периметру треугольника и массы сторон одинаковы. В этом случае распределение масс Д.Р1Р2Р3 симметрично относительно его осей симметрий.
Диаграмма Смейла — диаграмма зависимостей постоянных интеграла площадей и интеграла полной механической энергии на установившихся решениях — представлена на рисунке 2.4. На диаграмме изображена кривая, разбивающая плоскость параметров (P%,K), где К - постоянная интеграла энергии, на девять областей (А, В, С, D, Е, F, G, Н, I), каждой из которых соответствуют области возможности движений (ОВД закрашены на рисунке 2.5 темным цве-том)различной топологии.
Замечание. Как было показано, в случае равностороннего треугольника с равными массами в вершинах существует интервал значений угловой скорости системы (содержащий ноль), при которых внутри треугольника существует четыре особых точки приведенного потенциала, которым отвечают четыре стационарные вращающихся конфигурации. Для этих конфигураций точка Р находится внутри треугольника. Вместе с тем, для правильного треугольника с однородными сторонами общей плотности при любом значении угловой скорости системы критическая точка приведенного потенциала внутри треугольника только одна.
Критические точки приведенного потенциала в случае точечного треугольника
Рассмотрим движение твёрдого тела 23 и материальной точки Р массы М под действием сил взаимного гравитационного притяжения. Для более гибкого подхода к описанию гравитационного поля, тело 23 предполагается составленным из некоторого конечного числа N точек Р1, ... ,Рдг. Каждой точке Р&, к = 1..N, ставится в соответствие единичный вектор &к и пара точек Рк : РкРк = кО-к к, где 2ak — длина гантели. Поскольку векторы е и их длины е считаются постоянными, то расположение точек Рк фиксировано в 23 или в его комплексификации соответственно.
Если точкам Рк поставить в соответствие массы пік =Ь кі к, то, как обсуждалось, каждая гантель будет порождать вещественный гармонический потенциал. Ясно, что при суммировании по всем точкам Рк гармоничность не пропадёт.
Пусть тело 23 равномерно вращается с постоянной угловой скоростью П относительно оси фиксированной как в абсолютном пространстве, так и в теле. Пусть С г]( — система отсчёта (ПСО), равномерно вращающаяся с телом 23 около оси С(. Положение точки Р в этой системе координат определяется радиус-вектором СР = (,//,). Предполагается, что движение точки Р не оказывает влияния на динамику тела 23.
Потенциал центробежных сил имеет следующий вид Uс = —МО, ( + г/ ). Гравитационный потенциал зависит от распределения масс в теле 23. Обозначим его как функцию от , г/ и (: [Удг = 7лг( V) О. Согласно теории Рауса [88] (см. также [34]), относительные равновесия точки Р определяются как критические точки изменённого потенциала U = UN + Uc Ниже рассматривается тело 23, моделируемое равносторонним треугольником, оснащенным дополнительными гантелеобразными включениями (РТОДГВ). 3.3 Точки либраций равномерно вращающегося РТОДГВ
В предыдущих главах рассматривались плоские движения взаимно гравитиру-ющих треугольника и точки. Целесообразно сопоставить обнаруженные в этой работе динамические эффекты с эффектами, возникающими в случае комплекси-фикации масс. Согласно [99], треугольные модели дают в ряде случаев удовлетворительные результаты при аппроксимации гравитационного потенциала тел, чья форма далека от шарообразной, а распределение масс нерегулярно.
Пусть тело 53 представляет собой треугольник Р\Р2Рз, расположенный в плоскости Оху трёхмерного евклидова пространства, оснащённого абсолютной системой отсчёта Oxyz (АСО). Координаты векторов Or к в проекциях на оси АСО обозначим (ХІ,УІ,0). Длины сторон рассматриваемого АР\Р2Рз записываются как (-Р1-Р2,-Р1-Р2) = \{х\ — х2) + (у і — у2) ] = з (1, 2, 3) и предполагаются неизменными во все время движения. Каждой вершине АР\Р2Рз поставим в соответствие пару точек Р и Р : Огк = (хк,Ук, кО-к), где Шк Є {г, 1} . Оснастим точки Р и Р комплексно-сопряжёнными массами пік + как и тк как. Потенциал гравитационного взаимодействия APiP2Ps и точки Р имеет вид
Рассмотрим равносторонний АРіР2Ра такой, что к = , йк = а, Цк = а, пік = т, к = 1,2,3. Гантели, которыми оснащены вершины, располагаются перпендикулярно его плоскости.
Пусть этот комплексифицированный треугольник равномерно вращается около оси, ортогональной его плоскости и проходящей через его центр, с постоянной угловой скоростью Q. Рассмотрим задачу о существовании и устойчивости точек либрации. Пусть начало ПСО — точка С — расположена в центре треугольника, ось С( сонаправлена с осью Oz и ось С параллельна стороне Р\Р2. Тогда векторы Сг\ и СР имеют следующие координаты: —— і / V 3 \ 77 ± / V 3 „ \ 77 ± / V 3 „ \ 6" 1 : —, , -jzoj\a , С Р2 : —, , ±ш2а , СР3 : 0, , -JZOJ CI 6 2 6 Измененный потенциал принимает вид U = UN МО, ( + г/ ) = MU . Относительные равновесия определяются из следующей системы алгебраических уравнений dU dU dU а : — = 0; о :— = 0; с : — = 0. (3.5) ot, or] д( Рассмотрим частные случаи: I. Ші = Ш2 = і, Шз = l (тело сплюснуто у первой и второй вершин и вытянута у третьей) II. ш\ = Ш2 = 1, Шз = і (тело вытянуто у первой и второй вершин и сплюснуто у третьей) III. Ш\ = Ш2 = Шз = г (тело сплюснуто у трёх вершин) (ср. [5]) Случаи I. и II. в определённом смысле противоположны друг другу. Во всех случаях распределение масс тела симметрично относительно плоскости Сг](. Тогда могут существовать частные решения располагающиеся в этой плоскости, для которых = 0, Pi = Р2, РЇ = Р2 и уравнение (3.5а) выполняется тождественно. При фиксированном значении П уравнения (3.56) и (3.5с) задают кривые f\ = fi(r],(,Q) и /2 = /2(7/, С). Зафиксируем величины а, т и ц. Тогда точки пересечения кривых f\ и /2, если таковые существуют, отвечают точкам либрации, зависящим от угловой скорости П и расположенным вне плоскости треугольника. Примеры таких плоскостей для некоторых характерных параметров а при ц = 0 представлены на рисунках 3.2, 3.3 и 3.4. Кривая /2 = /2(7/, С) черного цвета, в то время как кривые f\ = fi(r],(,Q) — серого, с помеченным значением Q2.
Точки либраций равномерно вращающегося РТОДГВ
Пусть Л,2 — максимум силовой функции на этом множестве. Уменьшая г и увеличивая R, добьемся выполнимости неравенства h2 h\ и положим ho = vaax{h\, /12} + 1. Для любого h ho неравенство U(x,y) h определяет некоторую замкнутую область Dh . Рассмотрим границу области Dh : T(Dfl ) = {(х,у) : U(x,y) = h }. На ней U(x,y) Л-2. Следовательно, граница не содержит критических точек силовой функции и представляет собой гладкую кривую. Рассмотрим множество Dh \ W. По построению в этой области и на ее границе градиент силовой функции не обращается в нуль. Граница этого множества несвязна и состоит из двух непересекающихся замкнутых кривых Г(1\ ) и Т\у, причем на Тщ градиент силовой функции направлен внутрь области D \ W, а на T(Dfl ) — во внешнюю часть. Следовательно, кривые Г и T(Dfl ) диффео-морфны. Диффеоморфизм устанавливается сдвигом вдоль градиентного потока силовой функции [65].
Граница Yw множества W представляет собой п + 1 окружность. Следовательно, при h ho кривая T(Dfl ) также представляет собой семейство из п + 1 гладкой кривой, диффеоморфных окружности. Введем ось Oz так, чтобы система координат Oxyz была правой тройкой. Пусть F(x,y,z) = z — U(x,у), тогда gradF = (—Ux,—Uy,l) ф 0. Возьмем произвольное число h ho и зададим поверхность S/j = {(х, у, z) : F = z — U(x, у) = 0, U(x, у) h}. По построению граница Г(1\) не содержит критических точек силовой функции. Поэтому S/j — гладкое многообразие с краем.
Поверхность \z\ = h— U(x,y) кусочно-гладкая. Нарушение гладкости происходит в точках, у которых z = 0. Сгладим эту поверхность в поясе Пє = {(х, у, z) Є E/j, \z\ є}. Подберем є 0 так, чтобы любая Г , где h Є [h — є; h + є], не содержала критических точек. Для s Є R зададим такую выпуклую неотрицательную гладкую функцию v(s), которая при \s\ є совпадает с функцией \s\. Подчеркнем, что в поясе Пє нет критических точек силовой функции.
Двумерное многообразие М2, задаваемое уравнением ve{z) = h— U(x,y), является гладким компактным связным, но неодносвязным многообразием. Категория Люстерника-Шнирельмана такого многообразия равна трем. Следовательно, произвольная гладкая функция f(x,y,z) = z, заданная на таком многообразии М2 имеет не менее трех различных критических точек [65]. Ввиду симметричности многообразия М2 относительно плоскости z = 0 число критических точек должно быть четным. Значит, функция / на М2 имеет не менее четырех различных критических точек. Следовательно, в области D функция U(x,y) имеет не менее двух различных критических точек.
Доказательство первой части утверждения завершено. Пусть теперь тело Т допускает симметричный поворот вокруг центра масс на угол а = 7Г/q, q Є N. Поскольку две найденные выше критические точки различны, то при повороте как минимум одна точка также повернется и перейдет в новое положение относительного равновесия. Поэтому положений относительного равновесия будет не менее q + 1. Следствие. Если точки твердого тела имеют одинаковые массы и расположены в вершинах равностороннего гг-угольника, то точка С имеет как минимум п + 1 положение относительного равновесия.
Утверждение 2. При ш = 0 и п 1 существует, по крайней мере, одно положение равновесия. Доказательство. Пусть ТГ(Р) = {(х,у) : {хр — х)2 + (ур — у)2 = г2} — окружность с началом в точке Р = (хр,ур) радиуса г. Подберем г = г І, так, чтобы вектор gradf/w=o в каждой точке окружности ТІ = Tr.(Ai) был направлен внутрь замкнутого круга Di, ограниченного окружностью ГІ, г = 1,...,п. Для центра масс О тела подберем радиус г = Го, настолько большим, чтобы вектор gradf/w=o в каждой точке окружности Го = ТГо(0) был направлен внутрь области, ограниченной Го, и все круги Di г = 1,...,п, лежали внутри замкнутого круга D0, ограниченного окружностью Г0. Поскольку функция и\ш=о непрерывна во всех точках, за исключением притягивающих центров, то числа Го, Ті, ..., тп существуют.
Рассмотрим область D = Do \ (Di U ... U Dn) с границей Го, Гі, ..., Тп. Положительным будем считать обход границы, при котором область D остается слева. Число вращения вектора gradf/w=o при обходе окружности Г0 равно +1, а при обходе окружностей ГІ равно —1, г = 1,...,п. Суммарное число вращения вектора gradf/w=o при обходе границы области D равно 1 — п. При п 1 получаем, что число вращения отлично от нуля. Следовательно, внутри области D есть одна или несколько особых точек векторного поля gradf/w=o, причем суммарный индекс этих особых точек равен п — 1 [51].
Рассмотрим общий случай движения плоского твердого тела и материальной точки под действием их взаимного гравитационного притяжения. Точка и тело движутся в неподвижной плоскости. Если система находится в относительном равновесии, то система вращается как единое твердое тело с некоторой угловой скоростью ш вокруг общего центра масс О. Утверждение 3. При п 1 для любого значения ш 0 существует не менее двух различных положений относительного равновесия системы тело-точка. Если поворот вокруг центра масс тела на угол а = —, где q Є N, является симметрией Q для тела, то существует не менее q + 1 положения относительного равновесия системы. Доказательство. Пусть О — центр масс системы и Оху — система координат с началом в точке О, вращающаяся с угловой скоростью ш. Относительные равновесия системы тело-точка — это равновесия в системе Оху. Если система тело-точка находится в положении равновесия, то все положения, получающиеся из данного поворотом системы тело-точка как твердого тела вокруг точки О на любой угол, также являются положениями равновесия. Такие положения равновесия мы не будем различать.
Добавим к активным силам, действующим на точки механической системы, кориолисову и переносную силы инерции. Тогда можно считать, что система Оху инерциальна. Положение системы тело-точка в этой системе координат будем задавать тремя обобщенными координатами , г/, р, которые вводятся следующим образом. Свяжем с телом систему координат Suv, начало которой находится в центре масс S тела. Пусть в системе Оху точка имеет координаты (х,у) и угол между осью Ох и осью Su равен р (при повороте на угол р против часовой стрелки ось Ох станет сонаправлена оси Su). Обозначим через Pv такое положение системы тело-точка. Тогда (,//) — точка, в которую перейдет точка (х,у) при повороте на угол —р вокруг точки О: = х cos р — у sin р, г/ = х sin р + у cos р.
Поясним геометрический смысл обобщенных координат , г\, р. Рассмотрим положение Ро системы тело-точка, в котором ось Ои сонаправлена с осью Ох и материальная точка имеет координаты (,//). Тогда при повороте системы тело-точка как единого твердого тела вокруг точки О на угол р система из положения Ро перейдет в положение Pp. Требуется показать, что при р = 0 система тело-точка имеет не менее двух различных положений равновесия. Пусть, как и раньше, U = UT+UC — силовая функция системы, UT — силовая функция ньютоновского тяготения, Uc — силовая функция переносных сил инерции. При повороте системы тело-точка как единого твердого тела вокруг точки О работа сил ньютоновского тяготения будет равна нулю, поскольку они являются внутренними силами системы. Работа переносных сил инерции, также равна нулю, поскольку эти силы являются центральными с центром в точке О. Значит, UT и UC не меняются при изменении обобщенной координаты р. Следовательно, силовая функция системы не зависит от р, т.е. U = U(, г/). Определим эту функцию, считая, что р = 0.