Содержание к диссертации
Введение 2
1 Исследование динамики трёхзвенного робота 11
Механическая модель 11
Принцип движения, основанный на сочетании быстрых и медленных
фаз 12
Анализ медленных движений 14
Анализ быстрых движений 16
Краткое описание результатов теоретического рассмотрения простой механической модели 20
Экспериментальное исследование движений трёхзвенника 23
Описание конструкции робота 24
Система управления 27
Закон движения 28
Условие покоя трёхзвенника в медленных фазах движения ... 30
Поперечное движение 31
Продольное движение 32
Поворот на месте 33
Обсуждение результатов экспериментов 34
1.5 Учёт сил трения в быстрой фазе движения 35
Постановка задачи 36
Результаты численных экспериментов 40
Выводы 44
1.6 Квазпстатическое перемещение трёхзвенника на плоскости с трением . 44
Механическая модель 45
Первая фаза 46
Вторая фаза 49
Третья фаза 51
Решение совокупной системы неравенств 53
2 Вибрационные роботы 65
Механическая модель 65
Стационарный режим движения системы при малом трении 68
Вибрационный робот с двумя осцилляторами 71
Динамика вибрационного робота с дебалансным вибровозбудителем . . 73
Численное моделирование 74
Экспериментальное исследование движений виброробота с одной подвижной массой 76
Исследование движений виброробота с тремя подвижными массами . . 84
Заключение 92
Список литературы 95
Я-
Введение к работе
Функционирование современного общества уже немыслимо без машин, которые позволяют человеку осуществлять очень большое разнообразие работ. Автоматы и неавтоматические механизмы являются основными и незаменимыми инструментами почти во всех областях человеческой деятельности: транспорт, строительство, сельское хозяйство — список можно продолжать бесконечно. Поэтому крайне важно всегда иметь в распоряжении как можно более полный набор всевозможных механизмов для выполнения разного рода задач.
Одна из самых важных областей применения машин — перемещение людей и грузов на различные расстояния. Спектр возможных способов выполнения этих задач очень широк. Польза от науки, в частности механики, в этой области заключается в поиске наиболее оптимальных из существующих вариантов перемещения для каждого конкретного случая, а также в разработке новых.
Для большинства целей подходит ставший традиционным способ перемещения — движение на колёсах. Для колёсных машин создана мощная инфраструктура — прежде всего это дороги. На гладкой, почти горизонтальной поверхности у колёсных машин практически нет конкурентов, так как именно такие механизмы обеспечивают наиболее быстрое, экономичное и безопасное перемещение грузов и людей на любые расстояния. Действительно, трение качения на ровных твёрдых поверхностях, на преодоление которого вынуждены расходовать энергию колёсные машины, гораздо меньше, например, трения скольжения механизма па той же плоскости. Если обеспечена качественная инфраструктура, то ход колёсных машин плавный, езда в них комфортна — можно перевозить хрупкие грузы.
Однако дорожная сеть не везде развита в достаточной мере, кроме того, существуют ситуации, когда проводить дорогу экономически нецелесообразно (например, если перевозить грузы требуется редко и всегда в разные места на сложной местности) или просто невозможно. В таких случаях приходится изобретать иные способы перемещения: с помощью воздухоплавательных средств, гусеничных, шагающих или даже ползающих машин. Например, при движении но каменистой местности наиболее подходящими видятся шагающие механизмы, но их недостатком является относительно сложная конструкция и система управления, что определяет их малую распространённость в настоящее время. Однако шагающим механизмам уделяется пристальное внимание ведущими исследовательскими центрами мира, причём акцент делается на биомеханику и подражание животным и человеку при ходьбе. Если же движение происходит по сыпучим средам, своё применение могут найти ползающие механизмы. При длительном автономном движении по очень сложным поверхностям с неровностями, участками с песком и т.д. колёсные машины непригодны — если колесо попадёт в расселину между камнями либо забуксует в песке, без помощи людей или дополнительной техники освободить её будет сложно, а гибкие многозвенные змееподобные механизмы в большинстве случаев могут справиться с этой поверхностью без труда, как нам показывают примеры из животного мира (змеи).
Другой фактор, не позволяющий колёсным машинам стать единственным и безальтернативным вариантом, — это разнообразие выполняемых работ. Не всегда требуется лишь переместить полезный груз и точки А в точку Б. Часто требуется выполнять различные полезные действия прямо во время движения, а иногда именно эта работа является главной задачей механизма. В этих игучаях также альтернативные
способы перемещения могут оказаться предпочтительнее. Например, трамбовщик грунта в виде простого колёсного катка иногда может не быть наилучшим решением: с одной стороны, он должен быть очень тяжёлым, чтобы грунт (асфальтовое покрытие) уплотнялся, с другой, желательно, чтобы он был достаточно мобилен, а значит, легок. Кроме того, слитком тяжёлый каток может привести к «растеканию» слабого грунта из под колеса в силу малости площади контакта, а увеличение площади контакта колеса неизбежно влечёт увеличение габаритов. Итак, получились две пары противоречащих друг другу требований — лёгкость pi большая сила давления, большое давление и большая площадь воздействия без увеличения габаритов. Выходом из данной ситуации может стать применение машин с плоской поверхностью, находящейся в контакте с грунтом, которая воздействует на него при помощи дополнительно создаваемой вертикальной силы. Можно сделать так, что эта сила на короткое время будет значительно превышать вес всей машины. Таким образом, в этой области могут найти применение механизмы, перемещающиеся за счёт вибраций.
В данной работе рассматривается два альтернативных способа движения, которые могут быть использованы в различных специализированных практических приложениях: перемещение змееподобного трёхзвенного робота и перемещение виброробота с внутренними дебалансньши вибровозбудителями.
«Змееподобным» механизмам, представляющим собой цепь жёстких звеньев, соединённых поворотными шарнирами, в которых расположены управляющие двигатели, создающие моменты, внутренние по отношению к многозвеннику, посвящен большой цикл работ [3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30]. Между многозвенником и поверхностью, по которой он движется, действует сухое кулоновское трение. Управляя моментами в шарнирах и, тем самым, силой трения, приложенной к механизму, можно обеспечить его перемещение из произвольного начального состояния в заданное конечное положение.
В наиболее часто применяемых способах передвижения (качение, шагание) точки контакта робота с поверхностью постоянно меняются: при качении точка контакта меняется непрерывно, при шагании — от шага к шагу. Способ передвижения змей и других животных, не имеющих конечностей, принципиально другой. В отличие от шагающих животных, змеи большей частью сохраняют постоянный контакт меж-;гу их телами и землёй. Несмотря на то, что сила трения, действующая на каждый движущийся сегмент тела, направлена против скорости этого сегмента, центр масс змеи движется в избранном ею направлении. Это происходит из-за того, что результирующая сил трения, приложенных к отдельных сегментам, всегда направлена вдоль ускорения центра масс, если никакие другие силы на змею не действуют. Изменяя конфигурацию и характер движения своего тела, змея управляет ускорением своего центра масс. Для того, чтобы объяснить данное явление было предложено много самых разных моделей змееподобных движений. Например, рассматривались движения змей в изогнутых трубах [5]. Было показано, что требуемая результирующая сила может быть создана нормальной реакцией трубы. Змеи большей частью реализуют следующий способ перемещения — они изгибают свое тело и опираются на различные вертикальные препятствия (стены или наклонные объекты). Змеи всегда пытаются использовать подобные препятствия и избегают плоских поверхностей, где они чувствуют себя неуютно. Биомеханический аспект змееподобного движения был рассмотрен в (3], а механизм подобного перемещения при наличии
препятствий исследован в [24, 28]. Неголономный многозвенный змееподобный робот был сконструирован и проанализирован в [22, 30]. Этот механизм состоит из множестіза элементов, оборудованных пассивными колёсами. Изгибаясь, такой робот может выполнять змееподобные движения. В таких движениях колёса действуют подобно вертикальным препятствиям и позволяют двигаться вперёд. Кинематика неголономных змееподобных механизмов представлена в [15].
Детально исследованы двузвенные [6, 11, 12, 23] и трёхзвенные [6, 7, 9, 13, 16, 18, 23] механизмы. Для них рассмотрены режимы движения, включающие в себя быстрые фазы, на которых моменты, создаваемые приводами, много больше моментов сил трения, вследствие чего влиянием сил трения на движение механизма можно пренебречь, и медленные стадии, на которых одно из звеньев удерживается силами трения в покое [6, 7, 15, 16, 18, 23].
Кроме того, изучены квазистатические режимы управления многозвенными механизмами, при которых движение можно трактовать, как непрерывную последовательность критических состоят n't равновесия, обеспечиваемых моментами в шарнирах и силами сухого трения [9, 11, 12, 13, 17].
Кроме змееподобных механизмов, в которых звенья соединены между собой последовательно, рассматривались также трёхзвенные «звездообразные» механизмы, звенья которых имеют общую ось вращения [13].
Проведена оптимизация конструктивных параметров и режимов движения с целью максимизации средней скорости движения змееподобных механизмов [6, 23].
Изучение движений многозвенных механизмов позволит выяснить основные закономерности таких перемещений и выработать рациональные режимы управления ими, которые могут найти применение в мобильных роботах. Кроме того, результаты этих исследований могут оказаться полезными для понимания принципов движения живых существ, которые не имеют специально предназначенных для этого конечностей, но которые, тем не менее, прекрасно справляются с этой задачей, в частности, змей.
К другому классу роботов — классу вибрационных роботов — можно отнести самодвижущиеся механизмы, состоящие из корпуса и внутренних подвижных масс. Двигаясь под действием управляющих двигателей, внутренние массы взаимодействуют с корпусом, а тот, в свою очередь — с внешней средой. Управляя перемещением внутренних масс, можно управлять реакцией внешней среды на корпус механизма, обеспечивая его движение в желаемом направлении, а также регулировать его скорость. На плоскости это достигается за счёт управления силой нормального давления одновременно с силой, стремящейся сместить механизм в горизонтальном направлении.
Этому типу роботов посвящены работы [1, 2, 8, 10, 14, 19, 20, 21, 25, 29, 31, 32, 33]. В них объектом исследования стали механизмы, способные перемещаться как по плоскостям, так и в вязких средах за счёт движения внутренних масс.
В [19, 20, 29] рассматривается прямолинейное движение по горизонтальной шероховатой поверхности тела (корпуса) с подвижной внутренней массой, которая также перемещается вдоль прямой, параллельной линии движения тела. Построены периодические режимы управления относительным движением внутренней массы, при которых корпус движется с периодически меняющейся скоростью, перемещаясь за период на одно и то же расстояние в требуемом направлении. Предполагается, что в начале и в конце каждого периода скорость корпуса равна нулю. На максимальное пе-
ремещение внутренней массы наложены ограничения. Рассмотрены режимы управления по скорости и по ускорению внутренней подвижной массы. Первый режим — виброударный. В эгом случае внутренняя масса движется между двумя жесткими упорами с постоянной скоростью относительно корпуса, различной при движении в направлении перемещения корпуса и в противоположном направлении. При соприкосновении с упором относительная скорость внутренней массы скачком изменяется как по направлению, так и по величине, то есть происходит удар. Второй режим предусматривает на периоде три интервала, на которых относительное ускорение внутренней массы постоянно. На абсолютную величину этого ускорения наложено ограничение, что отражает ситуацию в реальных приложениях. Найдены оптимальные параметры обоих режимов, при которых средняя скорость движения корпуса за период максимальна. Схожая модель с учётом в общем случае ненулевого наклона шероховатой поверхности исследуется в [14]. Рассмотренная в этих работах механическая система представляет модель вибрационного робота, в котором происходит управление силой трения между корпусом и плоскостью опоры без управления силой нормального давления на подстилающую поверхность.
Работа [2] посвящена управлению прямолинейным движением твердого тела по шероховатой плоскости посредством перемещения двух внутренних масс. Данная механическая система моделирует виброробот более совершенный (и сложный), чем в [14, 29, 19, 20], так как реализует возможность управления не только движущей силой, параллельной поверхности движения, но и силой нормального давления, что является преимуществом. Найдены оптимальные законы движения двух внутренних масс, реализующих максимальную скорость движения.
В [25, 31] рассматривается движение механизма, зажатого между двумя наклонными параллельными плоскостями. Механизм имеет внутреннюю массу, закреплённую на пружине с демпфером, колеблющуюся вблизи резонансной частоты. Приведены различные способы приближённого аналитического решения дифференциальных уравнений движения механизма, а также показана их согласованность с результатами численного решения 'і очной системы уравнений движения. Исследована зависимость скорости движения от параметров механизма и наклонных шероховатых плоскостей.
В [32] продемонстрирована возможность использования вибрационного принципа движения для создания платформ прецизионного позиционирования. Приведена схема такой платформы, даны выражения для расчета максимальной точности позиционирования, достижимой этой системой. В рамках этой же работы создана экспериментальная модель платформы, с помощью которой проверялись теоретические выводы. Показана хорошая согласованность теоретических и экспериментальных данных. Достигнута точность порядка десятка нанометров за шаг.
В работе [1] исследуется прямолинейное перемещение модели вибрационного робота по горизонтальной шероховатой плоскости, возбуждаемое гармоническим движением внутренних тел в горизонтальном и вертикальном направлениях с одинаковой частотой, но со сдвигом фаз. Управляя сдвигом фаз и частотой колебании внутренних тел, можно управлять средней скоростью корпуса механизма по направлению и величине. Приведены выкладки, позволяющие оценить величину этой скорости при малых коэффициентах трения корпуса с плоскостью на основе метода усреднения уравнений движения данного механизма [4]. Относительная малость сухого трения характеризуется параметром є — отношением произведения коэффициента сухого
трения на вес системы к амплитуде силы инерции, вызванной колебаниями внутренних масс в горизонтальном направлении. С ростом частоты колебаний амплитуда силы инерции растёт пропорционально квадрату частоты. Поэтому при больших частотах указанное отношение мало даже при не очень малых значениях коэффициента сухого трения. Наряду с асимптотическим анализом поведения системы при малых є с использованием усреднённого уравнения движения в [1] проводится численный анализ на основе исходной системы уравнений. Уравнение движения корпуса робота интегрировалось численно при нулевых начальных условиях. Спустя некоторое время после начала движения устанавливается периодическое по скорости движение корпуса робота, причём средняя скорость в общем случае ненулевая. Данный режим достигается спустя примерно 30 безразмерных единиц времени после начала движения. За это время вибрирующие внутренние массы совертпают около пяти колебаний. За единицу времени при обезразмеривании уравнений движения принята величина, обратная круговой частоте колебаний внутренних масс. Период колебаний при таком выборе масштаба времени равен 2тг. Кроме того, при численном анализе выяснилось, что с увеличением параметра є снижается максимальная величина средней скорости установившегося движения, и сдвигается в сторону больших значений угол сдвига фаз ір0, при котором средняя скорость максимальна, а также угол сдвига фаз , при котором изменяется направление средней скорости. В частности, при іра = 0 и є ф 0 робот движется назад (us < 0), в то время как в соответствии с асимптотическим приближением us = 0. Чем меньше є, тем меньше отличие решения, полученного численным интегрированием системы уравнений, от решения, выведенного асимптотическим методом.
В [33] изучается движение по горизонтальной шероховатой плоскости вибрационного мобильного механизма, состоящего из двух одинаковых модулей, соединенных пружиной. Каждый модуль представляет собой систему, изученную в [1], и снабжен дебалансным вибровозбудителем, основной деталью которого является ротор с центром масс, смещённым относительно оси вращения. РІсследована зависимость скорости механизма от его параметров. Показано в частности, что при переходе частоты вращения вибровозбудетелей через резонансную частоту механизма направление движения меняется на противоположное.
Вибророботы просты по конструкции, не требуют специальных движителей, таких как колёса, гусеницы, ноги. Это в частности делает вибрационные роботы пригодными для движения не только по поверхностям, но и в плотных средах, а также в трубах. Простота конструкции позволяет изготовить робот очень малых размеров, а отсутствие внешних движущихся частей позволяет добиться полной герметичности такого механизма, что может сыграть значительную роль во многих практических приложениях.
Цель данной диссертации заключается в исследовании динамики змееподобных трёхзвенных механизмов и вибрационных роботов с одним или тремя гармоническими осцилляторами путём создания математических моделей таких роботов, их натурных образцов, проведения с последними экспериментов и верификации применяемых математических моделей, а также усовершенствования их. Диссертация делится на две главы.
В первой главе исследуются движения трёхзвенного шарнирного механизма, способного передвигаться по плоской горизонтальной поверхности только за счёт сил сухого трения, действующих между роботом и подстилающей поверхностью. Глава
делится на четыре основные части.
В первой части описывается принцип движения на основе сочетания быстрых и медленных фаз, введённый в [6, 15, 16, 18, 23], также приводятся основные результаты этих работ.
Во второй части изложены результаты экспериментального исследования трёх-звенного змееподобного робота, созданного на основе теоретических посылок предыдущей части. Приведены результаты экспериментов, показано, что они существенно отличаются от результатов рассмотрения простой механической модели количественно, однако на качественном уровне была подтверждена возможность использования концепции быстрых и медленных фаз для реальных роботов. Качественные зависимости параметров движения от параметров роботов, полученные в эксперименте, также совпадают с теорией. Фотография использованного в исследовании робота представлена на рис. 6, стр. 25.
В третьей части сделана попытка определить причину рассогласованности теории и практики. Для этого было выполнено численное моделирование поперечного движения трёхзвенника. В результате было показано, что основным источником расхождений является влияние силы трения на движение робота в быстрых фазах. Мощность управляющих двигателей оказалась недостаточной, чтобы обеспечить очень малую длительность быстрых фаз, поэтому -введённая в первой части концепция оказалась ограниченно применимой для данного конкретного трёхзвенного робота. Дополнительным результатом явилось создание модели для численных расчётов, которая показывает очень хорошую согласованность с экспериментом, поэтому её очень удобно использовать при проектировании роботов, снижая риски ошибок конструирования.
Четвёртая часть посвящена разработке пригодного для практического применения способа квазистатического перемещения трёхзвенного робота на плоскости. Предложена кинематическая схема передвижения такого механизма только за счёт медленных движений, что несёт в себе определённые преимущества, основные из которых это снижение требований к управляющим двигателям (а значит и сложности, стоимости), к несущей конструкции механизма и к системе управления, так как контролировать очень быстрые процессы много сложнее, чем медленные.
Во второй главе изучаются вибрационные роботы, перемещающиеся за счёт внутренних осциллирующих масс. Эта глава делится на три части.
В первой части ріселедуетея теоретическая модель вибрационного робота, спо
собного перемещаться вверх по наклонной плоскости за счёт гармонических
колебаний двух внутренних масс. Эта работа явилась продолжением [1], в ко
торой рассматривалась аналогичная модель, но для движения по горизонталь
ной плоскости. Поскольку на практике идеально горизонтальных (да и просто
плоских) поверхностей почти не встречается, рассмотрение случая наклонной
плоскости определённо имеет смысл. В исследовании использовалась методика,
аналогичная [1], — осреднение по малому параметру (трение, наклон плоско
сти). Было показано, что движение вверх по наклонной плоскости возможно.
Выяснилось, что угол наклона серьёзно влияет как на максимально достижимую скорость подъёма, так и на максимальный угол наклона, на котором ещё возможно перемещение вверх, однако можно подобрать параметры виброробота так, чтобы он въезжал на скаты с углом наклона более 10 градусов. Были найдены зависимости апрокснмированнои средней скорости от угла наклона плоскости, разности фаз между осцилляторами, массой и амплитудой колебаний осцилляторов и др. На основе этого был предложен способ оптимизации средней скорости движения робота. Выяснилось, что основные зависимости скорости движения от параметров механизма и окружающей среды совпадают для случаев наклонной плоскости и горизонтальной, в том числе совпадают оптимальные параметры. Этот факт очень удобен в реальных приложениях, поскольку позволяет оптимизировать конструкцию робота сразу для движения и по наклонным, и по горизонтальным плоскостям. Все аналитические выкладки подтверждались численным моделированием, не использующим допущение о малости трения.
Вторая часть представляет собой экспериментальное исследование вибрационного робота с одним дебалансным вибровозбудителем, вращение которого с большой частотой приводит механизм в движение. Натурная модель использовалась для верификации теоретических результатов первой части этой главы. Результаты эксперимента и теории качественно совпали, причём сходимость улучшалась с возрастанием частоты вращения дебалансного вибровозбудителя, что также хорошо согласуется с аналитическими выкладками. Таким образом, было продемонстрировано, что можно использовать осреднение уравнений движения вибрационного робота для оценки возможных реальных параметров движения механизма. Кроме того, продемонстрирован на практике один из способов перемещения, не требующий никаких внешних движителей.
В третьей части эксперименты с вибрационными роботами были продолжены. На этот раз изучался робот, перемещающийся за счёт модулируемого колебания внутренней массы вдоль наклонной прямой. Модуляция производилась с помощью трёх роторов со смещённым относительно оси центром масс, два из которых синхронно вращаются в одном направлении, а третий, расположенный между первыми двумя, — в противоположном. Схема с тремя вибровозбудителями использовалась для минимизации возможных моментов, направленных перпендикулярно плоскости движения, которые могут сбивать робот с курса. Управляя сдвигом фаз между боковыми и центральным роторами можно управлять как скоростью перемещения робота (по величине и направлению), так и нормальным давлением на подстилающую поверхность. Осреднение уравнений движения для такого механизма на основе предположения о малости трения даёт нулевую скорость при любых параметрах робота. Однако на практике робот был способен перемещаться довольно быстро. Численное моделирование и эксперименты показали, что такой класс роботов использует нелинейность трения в гораздо большей степени, чем робот с одним маховиком. Кроме того, такая схема позволяет управлять силой нормального давления на плоскость, что может найти приложение на практике.
Автор планирует и вдальнейшем исследовать динамику многозвенных змееподобных и вибрационных роботов. В частности, для трёхзвенника ведётся работа над аналитическим решением задачи учёта сил трения в быстрых фазах при условии малости углов отклонения концевых звеньев. Совместно с коллегами из Курского государственного университета планируется постановка ряда экспериментов с трехзвенпым роботом, оснащённым более совершенной системой управления. Также автор планирует исследование динамики вибророботов с помощью натурных моделей (которые ещё предстоит сконструировать), изучение их движения по наклонным плоскостям, в вязких средах.
Основные результаты диссертации были опубликованы в [7, 8, 9, 10]: Соболев Н. А., Сорокин К. С. Экспериментальное исследование змееподобных движении трехзвенного механизма // Известия РАН. Теория и системы заправлення. 2006. №5 С. 168-176.
Соболев Ы. А., Сорокин К. С. Экспериментальное исследование модели виброробота с вращающимися массами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. №5 С. 161-170.
Сорокин К. С. Управление перемещением трёхзвенника на плоскости с трением // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. №3 С. 165-176. Сорокин К. С. Перемещение механизма по наклонной шероховатой плоскости за счёт движения внутренних осциллирующих масс // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. №6
Первые две публикации посвящены экспериментальным исследованиям, которые выполнялись совместно с Соболевым Н. А. Помимо совместной с Соболевым Н. А. работы по проведению экспериментов автором диссертации самостоятельно был сконструирован вибрационный робо г с одним дебалансным вибровозбудителем, выполнено компьютерное моделирование перемещений этого механизма и проведены расчёты с помощью метода осреднения уравнений движения при малом трении; была предложена конструктивная схема робота с тремя дебалансными вибровозбудителями, проведено численное моделирование его движений. Для трехзвенного робота автором проанализирована механическая модель, учитывающая силы трения в быстрой фазе боковых перемещений, проведено численное моделирование уравнений движения, результаты которого сопоставлены с экспериментальными данными.
Результаты диссертации автор также излагал на следующих конференциях и семинарах:
VII научная конференция «Нелинейные колебания механических систем» в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского в докладе «Движение многозвенников при наличии сил сухого трения» в 2005 г.;
XLVIII научная конференция Московского физико-технического института (государственного унинверситета) «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» в докладе «Экспериментальное исследование трехзвенного ползающего робота на плоскости с трением» в 2005 г.;
IX всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского в докладе «Экспериментальные исследования управляемых движений трехзвенного мобильного робота» в 2006 г.;
международная конференция «Управление динамическими системами» в Институте проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН в докладе «Квазистатическое пе-
ремещение трёхзвепника на плоскости с трением» в 2009 г.;
семинар «Теория управления и динамика систем» Института проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН в докладе «Динамика змееподобных и вибрационных роботов» в 2009 г.
