Динамика систем с трением Силантьева Ольга Александровна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Силантьева Ольга Александровна. Динамика систем с трением: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.02.01 / Силантьева Ольга Александровна;[Место защиты: ФГБОУ ВО Санкт-Петербургский государственный университет], 2016.- 94 с.

Содержание к диссертации

Введение

1. Задача о финальном движении тонкой эллиптической пластины . 18

1.1. Основные понятия и определения 18

1.2. Постановка задачи 22

1.3. Анализ исходной системы 24

Выводы главы 1 26

2. Предельное поведение эллиптической пластины. симметричное ортотропное трение 28

2.1. Постановка задачи 28

2.2. Вычисление сил трения. Непосредственное интегрирование

2.2.1. Равномерное распределение давления 32

2.2.2. Линейное распределение давления 33

2.3. Вычисление сил трения. Метод А.И. Лурье 34

2.3.1. Равномерное распределение давления 34

2.4. Результаты и их анализ 40

2.4.1. Случай = 0, v = 0 40

2.4.2. Случай = 0, v = 0 40

2.4.3. Случай 0, v = 0 Фазовые траектории системы 43

Выводы главы 2 55

3. Особенности предельного движения тонкой пластины. асимметричное ортотропное трение 56

3.1. Постановка задачи 56

3.2. Вычисление сил трения

3.2.1. Геометрия области и граничные условия для интегрирования 57

3.2.2. Уравнения для вычисления сил трения 76

3.3. Результаты и их анализ 78

3.3.1. Случай =0, v = 0 78

3.3.2. Сравнение симметричного и асимметричного трения 81

Выводы главы 3 83

Заключение

Список литературы

Постановка задачи
Вычисление сил трения. Непосредственное интегрирование
Равномерное распределение давления
Геометрия области и граничные условия для интегрирования

Введение к работе

Актуальность темы. Относительное движение твёрдых тел, контактирующих друг с другом приводит к возникновению трения. Широкое распространение систем с трением в современном мире является источником многочисленных задач. Большое количество журналов с высоким индексом цитирования, такие как Трение и Износ, Wear, Tribology International и другие, посвящённых исследованиям в трибологии – науки, являющейся разделом механики, изучающей системы с трением, свидетельствуют о востребованности и актуальности данного направления. Движение транспортных средств, тормозные устройства, ходьба или вибрации струн музыкальных инструментов, всенаправленные роботехнические системы – это примеры, в которых трение является важным полезным фактором. Существует и множество случаев, когда трение играет негативную роль, вызывая износ механизмов, тепловые нагрузки, шум, вибрации и разрушение материалов, с которыми необходимо бороться.

Все механические системы, которые используют в своей работе трение или включают в себя фрикционную пару, требуют аккуратной разработки, что в свою очередь стимулирует развитие математического аппарата для более точного теоретического описания процессов в контактирующей паре трения. Требуются теоретические модели, которые могут покрыть всё более широкий набор материалов и условий скольжения на макро, микро и нано-уровнях, учитывать всё более сложные эффекты, такие как коррозия, температурные изменения, анизотропность и гетерогенность материалов пары, кинематику скольжения, адгезию. Необходимость в разработке моделей для описания трения также продиктована развитием программных пакетов, таких как Ansys и Abaqus для конечно-элементного анализа или библиотеки механики в Modelica.

Диссертация посвящена изучению поведения динамической системы с сухим трением, состоящей из шероховатой анизотропной поверхности и тонкой эллиптической пластины. Такая система может быть использована в задачах, например, контакта колеса поезда и рельса, контакта стопы с поверхностью, в некоторых всенаправленных роботехнических системах. Кроме того, широко распространённая модель кругового контакта является частным случаем

указанной системы.

Существует ряд физических и механических причин почему трение между взаимодействующими телами может оказаться анизотропным, при котором коэффициенты трения зависят от направления скольжения, или гетерогенным, при котором каждой точке поверхности может соответствовать отдельный коэффициент трения, и эволюционировать в процессе контакта. Шероховатость поверхности, износ, изменение состояния приповерхностного слоя, в результате самоорганизации молекул, фазовых переходов и других изменений микроструктуры, пластические деформации — это лишь небольшой список явлений существенно влияющих на фрикционное взаимодействие. Эти физические и механические процессы ведут к эволюции трибологических свойств контакта. Они могут снижать или увеличивать трение и износ материалов.

Между тем, основной круг работ, посвящённых движению тел по шероховатой поверхности принимает трение изотропным. К вопросам, связанным с предельным или «финальным» движением тел, то есть движением непосредственно перед остановкой, по изотропной поверхности обращались такие учёные, как Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусько Ф.Л., Voyenli K., Eriksen E. и другие.

Цель работы:

Разработка теоретической модели, описывающей предельное поведение тонкой эллиптической пластины под действием сил сухого анизотропного трения
Получение уравнений для вычисления силы трения при различных законах трения.
Численное решение задачи о финальном движении пластины под действием ортотропного симметричного трения с равномерным и линейным распределениями давлений
Решение задачи о предельном поведении тонкой пластины под действием сил ортотропного асимметричного трения с равномерным давлением
Сравнение результатов, полученных для эллиптической и круговой пластины при различных видах трения.

Достоверность результатов обеспечивается последовательным решением задач от более простой постановки к более сложной путём корректного

применения методов аналитической механики и математического анализа. Кроме того, численный расчёт проводился двумя различными методами. Результаты сравнивались между собой, а также с известными данными других авторов.

Научная новизна определяется, во-первых, использованием нового подхода, учитывающего анизотропные свойства силы трения при контактном взаимодействии, при этом новым является способ расчёта, как для симметричного ортотропного, так и для асимметричного ортотропного трения, во-вторых, использованием эллиптической площадки контакта при указанных условиях.

Научная и практическая ценность диссертации состоит в теоретическом описании динамической задачи движения эллиптической пластины по анизотропной поверхности. Построена модель для исследования динамики тела при равномерном и линейном распределении давления в условиях симметричного ортотропного и асимметричного ортотропного трения. Практическое значение состоит в возможности применения результатов исследования в различных областях, например, для робототехнических систем.

Положения, выносимые на защиту:

Теоретическая модель, позволяющая вычислить силы трения, обладающие анизотропными свойствами, для широкого круга практических задач.
Результаты исследования предельного поведения эллиптической пластины при равномерном и линейном распределении давления с учётом симметричного ортотропного трения.
Результаты исследования предельного поведения эллиптической пластины при равномерном распределении давления с учётом асимметричного ортотропного трения.
Сравнение поведения эллиптической пластины и частного случая круговой пластины, что позволяет оценить погрешность аппроксимации окружностью для контактных задач.

Апробация результатов. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих Международных конференциях:

Международная конференция «VIII Окуневские Чтения», 25-28 июля 2013, Санкт-Петербург, Россия. Опубликованы тезисы.
Международная конференция «11th World Congress on Computational Mechanics», 20-25 июля 2014, Барселона, Испания. Опубликованы тезисы и статья.
Международная конференция «Седьмые Поляховские Чтения», 2-6 февраля 2015, Санкт-Петербург, Россия. Опубликованы тезисы.
Международная конференция «3rd Polish Congress of Mechanics», 8-11 Сентября 2015, Гданьск, Польша. Опубликованы тезисы и статья.

Результаты также докладывались на научных семинарах кафедры теоретической механики Санкт-Петербургского государственного университета и кафедры теоретической механики и баллистики БГТУ "Военмех" им. Д.Ф. Устинова.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах, одна из которых - в издании, рекомендованном ВАК, две - в рецензируемых научных изданиях, индексируемых в международных системах цитирования Scopus и Web Of Science.

В совместных публикациях автором получены системы уравнений, разработан численный алгоритм и расчетный код, выполнены расчеты для всех рассмотренных в работе задач, их сравнение с существующими данными. При выполнении работ по теме диссертации автор принимала активное участие в обсуждении результатов, подготовке печатных работ и докладов на конференциях. Дмитриеву Н.Н. принадлежат основная идея исследований и постановка задач.

Структура и объем диссертации.

Постановка задачи

Рассмотрим предельное движение по инерции тонкой пластины по горизонтальной плоскости, считая, что силы отличные от сил сухого анизотропного трения отсутствуют.

Введём подвижную прямоугольную систему координат С 7]( (рисунок 1.2), жёстко связанную с пластиной, полагая, что начало координат является центром масс пластины, а ось С( направлена перпендикулярно плоскости скольжения. Неподвижную систему координат Oxyz выберем так, чтобы оси Ох и Оу принадлежали плоскости, по которой движется пластина (на рисунке центр О совпадает с С), и матрица трения имела вид (1.4). Угол между осью Ох и осью Ct; обозначим через ip, а через - угол между вектором скорости центра масс пластины и осью Ох: vc = vc(cos#i + sin#j), (1.7) где vc - величина скорости, і, j орты осей Ох, Оу. Вектор угловой скорости пластины имеет вид о? = wk, где ш = ф, к орт оси Oz. Рис. 1.2. Система координат Формула Эйлера VM = vc + cv х СМ позволяет записать проекции скорости точек контакта пластины с плоскостью на оси Ох и Оу через вве 23 дённые выше величины: vx = vc cos — шу , vy = vc sin + Wx , x = COS if — 7] Sin (/9, y = Sinifi + 7] COS (/9, (1.8) м = c + 6о,2(ъ2 + 72) 2vcU)(rj cos($ — (f) — sin(# — tp)). Закон анизотропного трения (1.1) и формулы (1.8) позволяют записать проекции главного вектора Т и главного момента М сил трения относительно центра масс на оси неподвижной системы координат: Тх = / Txd drj, Ту = Tyd dr/, Мес, = / {ryx Txy )d$,dr), П, г, (,77)" , г, Jl{ V) (1.9) Т х = —JxP\C,iT]) 77 \} ТУ = JyP\Sirl) \i через ft обозначена область интегрирования. Уравнения движения тела в проекциях на оси естественного трехгранника запишутся следующим образом: mvc = Тт = Тх cos + Ту sin #, mvc = Тп = —Тх sin + Ту cos #, (1.10) /cj = Мс(, где m - масса пластины, I - её момент инерции относительно оси С(, ш - угловая скорость, Тт и Тп - проекции главного вектора сил трения Т на тангенциальную и нормальную оси, Мес – момент сил трения относительно оси С(, vc - скорость центра масс пластины. В системе уравнений (1.10) перейдём к безразмерным величинам с помощью соотношений: = та 1 , о, = do, і і] = аг/ , vc = vcy/ag, а dfi Гд тд (1.11) d$ Гд + і) =—\\ -, р = р dt V а Гд и = и \ —, t = t а д dt a S и введём переменную р = — = ар , здесь звездочкой обозначены безразмерен ные переменные: / - безразмерный момент инерции, ,77 – безразмерные координаты, t - безразмерное время, vCl ш - безразмерные линейная и угловая скорость, соответственно В этих формулах а - размерная величина, соответствующая длине максимального отрезка, проходящего через точку С и ограниченного контуром области контакта, S - площадь области контакта тела с плоскостью.

Уравнения (1.10) в безразмерной форме записываются следующим образом (звёздочки далее опущены): ddr), d drj, dvc г г — = — // р(4,г}) at d dt Q P( l) Q P(fx + M sin2 ЇЇ) + fxS\ + flSs + fS2 s (3(fl Sin COS ЇЇ — f) + fxS2 + /iS4 — fS\ s (1.12) dt Q V iV) I (3(fxsi + /1S3 — JSQ) + /ж( 2 + V2) + M o S ddr), здесь введены обозначения її = fy — fXl s =f32 + 2 + ті2 + 2/5si, so = cos /? — 77 sin /?, Si = Sin( — if) — 7] COs($ — (/?), S2 = C0S($ — (/?) + 7] sin( — (/?), S3 = COS if Sin — 7] Sin (/9 Sin #, S4 = COS if COS — 7] sin (/9 COS #.

Система (1.12) является общей системой, вид которой не зависит от условий, накладываемых на компоненты матрицы трения. Специфика формы пятна контакта может быть учтена при интегрировании по области П. Аналитическое решение этой системы возможно лишь для некоторых простых форм контакта. В общем же случае, решение можно получить только численно.

Так как сила трения имеет отрицательную мощность, то движение при ненулевых начальных условиях заканчивается остановкой, то есть vc{t ) = 0. Поэтому второе уравнение системы (1.13) позволяет записать соотношение: Тп(в,) —У 0, (1.14) /з /з, где и /3 - предельные значения соответствующих величин, t - момент времени, соответствующий остановке пластины. Первое уравнение системы (1.13) может быть проинтегрировано UJ = UJQ ехр г d(3 (3 — Ф(/3, #) (1.15) Следует подчеркнуть, что значение функции Ф(/3, "&), кроме величин /3 и , зависит от формы области контакта тела с плоскостью, от закона распределения давления р(,г)), компонентов тензора трения fXl fy и угла /?, отвечающего за ориентацию тела на плоскости. Поэтому значение величины P1, при котором интеграл, стоящий в соотношении (1.15) становится несобственным и стремится к — оо, зависит от параметров механической системы:

Отметим, что для фиксированных Р = Р уравнение Тп (/?,#) = 0 и уравнение Р — Ф (/?,#) = 0 могут иметь несколько решений. Но сочетание условий (1.14) и (1.17) выполняется для единственных # , Р (см. например, [12]), которые в свою очередь зависят от начальных условий.

Во время поиска предельных значений параметров # , /3 из уравнений (1.14) и (1.17) может оказаться, что решения отсутствуют. В таком случае следует пользоваться уравнениями для обратной величины (1.19) и (1.21) и находить решение в области # , S . Более того, поскольку движение пластины существенно зависит от соотноешения момента инерции и коэффициентов трения, что для случая круговой пластины строго доказано в работе [13], необходимо во время вычислений отслеживать состояние обеих областей.

Кроме того случаи движения, при которых в начальный момент vc = 0, ш ф 0 или vc ф 0, ш = 0 должны рассматриваться отдельно от случая vc ф 0, ш ф 0. Это связано с тем, что при ряде условий движение может оставаться поступательным или чисто вращательным (см., например, [12]). Однако, при несимметричной области контакта или несимметричном распределении давления р( т]) при поступательном или чисто вращательном движении возникают начальное угловое ускорение или начальное ускорение центра масс соответственно.

Отметим, что исследование равенства (1.15) при изотропном трении для тонкого диска и тонкого кольца проводилось в работе [24], а для случая анизотропного трения для этих тел в [12].

В данной главе введены понятия симметричного и асимметричного ор-тотропного трения, которым посвящены дальнейшие главы диссертационного исследования. Приведена постановка задачи о предельном поведении тонкой эллиптической пластины в условиях анизотропии трения. Построена основная система уравнений движения. Выведены условия, при которых произойдёт остановка тела. В частности, показано, что нормальная компонента силы трения должна стремиться к нулю. Сделаны важные замечания о построении численного решения. В частности, указано, что для поиска предельных значений параметров /3 и , которые являются важными характеристиками движения, необходимо решать совместно уравнения (1.14) и (1.17). Кроме того, необходимо исследовать наличие корней и в области ( 5, ).

Вычисление сил трения. Непосредственное интегрирование

Система (1.12) решалась численно в пакете Matlab. При этом силы вычислялись первоначально непосредственным интегрированием и решалась система (2.8), затем было построено решение системы (1.12), где силы вычислялись методом Лурье (2.24), (2.25). На рисунке 2.3 показано влияние разных способов вычисления сил трения на численное решение динамической задачи для эллипса е = 0.86 и /х = 0.06 с начальными условиями ifo = тт/3 о = 7г/4,г;о = 1, о = 1. Видно, что оба метода дают очень близкий результат, однако, метод Лурье ведёт себя гораздо стабильнее непосредственно перед остановкой. Выброс по величине /3 при непосредственном интегрировании связан с накоплением ошибки при вычислении интегралов, поскольку в системах (1.12) или (2.8) возникает неопределённость. Поэтому в дальнейшем метод непосредственного интегрирования применялся только для верификации и быстрой оценки поведения системы, т.к. этим способом расчёт происходит быстрее. Тем не менее, решение при линейном распределении давления удалось получить только методом непосредственного интегрирования, поэтому на рисунках 2.9a) и 2.9b) видны выбросы значений в динамической задаче при приближении к остановке.

На рисунке 2.4 представлено решение системы (1.12) для некоторых 7Г 7Г значений /і и начальных условий: t = 0, vc = 1, = т, w = 1, tp = 3 . 2.4a) и c) соответствуют круговой площадке контакта, 2.4 4 ) и d) - эллиптической с эксцентриситетом е = 0.866. Сплошной линией показан случай, когда сила трения изотропна.

Видно, что для диска угол остаётся неизменным, а в анизотропных случаях обращается в ноль. Эти результаты согласуются с данными статьи [13], однако, там использовался другой способ для вычисления сил трения.

Отметим, что движение диска по шероховатой горизонтальной плоскости характеризуется тем, что скорость центра масс и угловая скорость обращаются в ноль одновременно, что показано, например, в случае равномерного распределения давления для изотропного трения в [18, 24], а для анизотропного в [12, 13]. Этот вывод подтверждён экспериментально в работе [43], однако, указано, что соотношение между коэффициентом трения и моментом инерции диска может иметь решающее значение и приводить к чистому вращению или чистому скольжению. 0.6 0.55

Зависимость соотношения между v и ш непосредственно перед моментом остановки от величины /х = fy — fx (fy fx) при fx = 0,42 представлены в таблице 2.1. Как и в работах [12, 43, 42, 16] значение величины /3 в изотропном случае оказалось 0.653. Это значение хорошо видно и в решении динамической задачи на рисунке 2.4a). Совпадение решения с результатами других авторов позволяет сделать вывод о верности предложенного подхода.

В случае эллиптической площадки контакта остановка скольжения и вращения также происходит одновременно, однако характерные значение параметра /3, расстояния до мгновенного центра скоростей, заметно ниже. Видно, что при движении эллиптической пластины даже в случае изотропного трения угол меняется: вектор скорости поворачивается в сторону противоположную угловой скорости пластины. Данный результат согласуется с исследованием Г.М. Розенблата [38], в котором изучалось движение узкой прямоугольной пластины по плоскости.

В таблице 2.2 представлены характерные значения величины /3 при финальном значении угла /? = —. Параметры р ,# непосредственно перед 2 остановкой существенно зависят от ориентации эллипса непосредственно перед окончанием скольжения. В свою очередь, угол (р зависит от начальных условий: = О, (/? = (/? о , и = Шо , v = Vo , т.е. (/? = (fi (vo, Шо, (/?о, /ж,

На рисунке 2.5 показана эволюция нормальной компоненты силы трения, а также уравнения /3 — Ф(/3, #) = 0 для диска и эллиптической площадки и некоторых значений /х при начальных условиях г о = 1, о = l o = 7г/3,#о = 7г/4. Звёздочкой отмечена характерная для анизотропного трения ситуация, когда уравнение (1.17) имеет два корня, при этом уравнение (1.14) имеет только один. Для эллипса такая ситуация имеет место и при изотропном трении. Во всех случаях, как для круговой площадки, так и для пластины, имеющей форму эллипса, к моменту остановки нормальная составляющая силы трения стремится к нулю. При этом движение тонкого диска при изотропном трении характеризуется тем, что Тп = 0 при t Є [0, ), что согласуется с [24]. Непосредственное решение системы уравнений (1.12) подтверждает справедливость пределов (1.14) и (1.17).

Кроме того из рисунка 2.5 легко видеть влияние «эллиптичности» на поведение кривых: у нормальной компоненты силы трения появляется минимум, а кривая /3 — Ф получает прогиб в противоположную в сравнении с диском сторону. Из этого можно сделать вывод о том, что эллиптическая площадка будет иметь несколько иную траекторию движения, соответственно, можно предположить, что в контактной задаче с эллиптическим пятном будет иметь место износ с другими характеристиками.

Равномерное распределение давления

Система (3.46) решалась в пакете Matlab с различными начальными условиями для круговой и эллиптической площадок контакта. Эта задача в условиях асимметричного трения решается впервые.

На рисунке 3.22 показана эволюция параметров /3, при движении пластины по поверхности с асимметричным трением. Рисунки 3.22a), c) соответствуют пластины с круглым основанием, 3.22b), d) - кривые эллиптической пластины е = 0.6. Начальные условия во всех случаях одинаковы:

Видно, что в случае эллиптической площадки контакта предельное положение мгновенного центра скоростей, определяемое параметром /3 значительно ниже. Кроме того, видно, что при малых значениях /х+ в конце происходит резкое изменение в соотношении угловой и линейной скоростей, однако, тем не менее остановка скольжения и вращения происходит одновременно. Некоторые предельные значения /3, представлены в таблице 3.1. Интересно отметить, что вектор скорости ориентируется в третий квадрант, что можно проследить по изменению значений , причём это характерно и для круговой и для эллиптической площадки. При этом можно отметить, что для эллиптической площадки характерен больший разворот вектора скорости. Кроме того, в таблице 3.1 указаны области, в которых располагается (t), circle мгновенный центр скоростей в момент остановки. Для обоих форм площадок эти области одинаковы.

На рисунке 3.23 показана эволюция нормальной компоненты силы трения для тех же начальных условий (3.47) Tn(t) и уравнения (/3 — )() (уравнения (1.14), (1.17)). Рисунки 3.23a), c) соответствуют площадке с круговым, 3.23b), d) - с эллиптическим основанием е = 0.6 при тех же начальных условиях (3.47).

Видно, что во всех случаях нормальная компонента силы трения стремится к нулю. Уравнение (1.17) (J3 — ) во всех представленных случаях имеет 2 корня. Однако, условия (1.14) и (1.17) выполняются единственным Таблица 3.1. Параметры Д , # для круговой и эллиптической площадки (е = 0.6). (#0=4 А) = І, vo = 1) о = 1) Circle Ellipse м+ /5 # Area /5 # Area 0.03 0.887 -2.46 13 0.81 -2.71 13 0.06 0.908 -2.57 13 0.83 -2.77 13 0.09 0.937 -2.65 13 0.86 -2.82 13 0.12 0.976 -2.71 13 0.89 -2.86 13 0.15 1.042 -2.78 12 0.91 -2.88 12 0.18 1.197 -2.86 19 0.99 -2.93 19 образом, что подтверждает выводы сделанные в параграфе 1.3.

Заметим, что для небольших значений /х+ кривая /3 — в случае эллиптической площадки контакта имеет многочисленные перегибы, а в конце движения резкий пик между 2мя корнями. Кривая Tn(t) так же показывает не плавное изменение в финальной стадии движения. Это поведение отражается и на кривой (3(t) на рисунке 3.22, где также видно резкое изменение в соотношении между скоростями.

На рисунке 3.24 представлены траектории движения эллиптической и круговой площадки при значениях параметра /х+ = 0.03, /х+ = 0.18. Видно, что траектории как круговой, так и эллиптической площадки контакта отклоняются от прямой линии, причём, чем для большего значения /і характерно большее отклонение. Очевидно, что это происходит из-за асимметрии трения на поверхности. В случае эллиптической площадки эффект усиливается из-за кривизны эллипса.

На рисунке 3.25 представлены фазовые траектории движения для на 7Г 7Г чальных условий v = 4 , /?= 3 , красной штриховой линией показаны траектории эллипса е = 0.6, сплошной линией показан случай диска. Рисунки 3.25a), b) соответствуют значению /х = 0.12, 3.25c), d) - /х = 0.03. Видно, что фазовые траектории диска и эллипса в конце движения существенно отличаются, хотя всё ещё показывают похожее поведение, но кривизна фазовой траектории пластины с эллиптическим основанием во всех случаях выше, чем у диска с круговым основанием. показывает изменение параметров /3, в зависимости от начального соотношения скоростей, которое соответствует фазовым траекториям рисунка 3.25. Интересно поведение угла : в случае, когда начальная угловая скорость значительно больше линейной появляется дополнительный перегиб, но тем не менее в конце движения вектор скорости ориентирован в третий квадрант.

На рисунке 3.27 показано сравнение основных параметров движения для симметричного и асимметричного трения в случае круговой и эллипти 0.1 ческой площадок. Рисунки 3.27a), c) соответствуют симметричному случаю, а 3.27b), d) - асимметричному. Видно, что во всех случаях чем более сильная анизотропия на поверхности, тем быстрее происходит остановка. Заметим, что во всех случаях скольжение при асимметричном трении длительнее, а изменение параметра /3 в заключительной части движения более резкое. Это происходит, поскольку направления «назад» или «вниз» являются направлениями с меньшими коэффициентом трения, чем исходный симметричный случай, соответственно, движение в этом направлении оказывается проще, что позволяет, как скользить дольше, так и разворачиваться на больший угол.

Геометрия области и граничные условия для интегрирования

Влияние анизотропии сил трения на эволюцию параметров /3 и для диска и эллипса (е = 0.6): 1) /х+ = 0.03, 2) /х+ = 0.09, 3) /х+ = 0.18. VQ = 1, шо = 1, ifo = 7г/3, $о = тг/4 мгновенный центр скоростей в момент остановки. Для обоих форм площадок эти области одинаковы. На рисунке 3.23 показана эволюция нормальной компоненты силы трения для тех же начальных условий (3.47) Tn(t) и уравнения (/3 — )() (уравнения (1.14), (1.17)). Рисунки 3.23a), c) соответствуют площадке с круговым, 3.23b), d) - с эллиптическим основанием е = 0.6 при тех же начальных условиях (3.47).

Рисунок 3.26 показывает изменение параметров /3, в зависимости от начального соотношения скоростей, которое соответствует фазовым траекториям рисунка 3.25. Интересно поведение угла : в случае, когда начальная угловая скорость значительно больше линейной появляется дополнительный перегиб, но тем не менее в конце движения вектор скорости ориентирован в третий квадрант.

В главе изучено предельное поведение тонкой пластины с круговым и эллиптическим основанием в случае асимметричного ортотропного трения при равномерном распределении давления. Получены выражения для сил и момента трения в указанной постановке. Показано, что поскольку коэффициенты трения зависят от направления и знака компонент скорости, необходимо область интегрирования разбивать на подобласти, в которых коэффициенты трения остаются постоянными, тем не менее, в каждой локальной области можно определить силу и момент трения, воспользовавшись методом А.И. Лурье, использованным ранее для симметричного случая. P(t), i = 0.12

Численно решена система уравнений движения пластины для различного набора начальных условий. Показано, что остановка скольжения и вращения происходит одновременно как для диска, так и для эллипса при всех представленных начальных условиях, при этом одновеременно выполнены условия, налагаемые на нормальную компоненту силы трения Тп и уравнение /3 — , показанные в параграфе 1.3: во всех случаях нормальная компонента силы трения обращается в ноль в конце движения, так же как и уравнение