Содержание к диссертации
Введение 2
1 Стационарные движения статически и динамически несбалансированного ротора 12
1.1 Описание модели жесткого ротора
с четырьмя степенями свободы 13
1.2 Вывод уравнений движения 13
1.3 Прямые синхронные прецессии 19
1.4 Множество нелинейных резонапсов 20
1.5 Самоцентрирование ротора 23
1.6 Симметричные гиперболоидальиые прецессии. Амплитудно-частотные характеристики 1.6.1 Нелинейная характеристика опор типа Герца 27
1.6.2 Нелинейная характеристика опор типа Дуффипга 28
1.7 Исследование устойчивости 31
1.7.1 Нелинейная характеристика опор типа Герца 35
1.7.2 Нелинейная характеристика типа Дуффипга 38
1.8 Влияние внешнего трения па вращение ротора. Несимметричные гиперболоидальиые
прецессии 41
1.8.1 Прямые синхронные прецессии и их свойства 42
1.8.2 Результаты численного эксперимента 43
2 Стационарные движения статически несбалансированного ротора 47
2.1 Внешнее и внутреннее трение 48
2.2 Уравнения движения и прямые синхронные прецессии 49
2.3 Цилиндрические прецессии ротора в подшипниках с нелинейной характеристикой Герца 2.3.1 Амплитудно-частотные характеристики 51
2.3.2 Устойчивость цилиндрической прецессии 54
2.3.3 Бифуркации цилиндрической прецессии 58
2.3.4 Бифуркации Андропова - Хопфа, предельные циклы и странные аттракторы 61
2.3.5 Ляпуповские показатели. Алгоритмы численной оценки ляпу-новских показателей 72
2.3.6 Нестационарные движения ротора при переходе через резонансную область 77
2.4 Цилиндрические прецессии ротора в подшипниках с нелинейной характеристикой типа Дуффипга 82
2.4.1 Амплитудно-частотные характеристики 82
2.4.2 Устойчивость и бифуркации цилиндрической прецессии 86
2.4.3 Автоколебания. Приближенное определение
предельного цикла 90
2.4.4 Хаотизация предельных циклов. Странный аттрактор 93
2.4.5 Нестационарные колебания ротора при переходе через резонансную область 102
2.5 Влияние зазора в подшипниках крепления на цилиндрические прецессии неуравновешенного ротора 105
2.5.1 Устойчивость цилиндрической прецессии ПО 3 Стационарные движения динамически
несбалансированного ротора 114
3.1 Уравнения движения и прямые синхронные прецессии 114
3.2 Симметричные конические прецессии ротора в подшипниках с нелинейной характеристикой типа Герца 1
3.2.1 Амплитудно-частотные характеристики 116
3.2.2 Устойчивость симметричной конической прецессии 119
3.2.3 Бифуркации Андропова - Хопфа симметричной конической прецессии 122
3.2.4 Нестационарные колебания ротора при переходе через резонансную область 127
3.3 Конические прецессии ротора в подшипниках с нелинейной характеристикой типа Дуффипга 130
3.3.1 Амплитудно-частотные характеристики 130
3.3.2 Устойчивость и бифуркации симметричной конической прецессии 132
3.3.3 Автоколебания. Приближенное определение предельного цикла 135
205 Стационарные движения неуравновешенного ротора, укрепленного на гибком валу 142
4.1 Описание модели ротора и вывод уравнений движения 142
4.2 Гиперболоидальпые прецессии неуравновешенного ротора в упругих линейных опорах 147
4.3 Гиперболоидальпые прецессии неуравновешенного ротора в упругих опорах типа Герца 153
5 Цилиндрические и конические прецессии неуравновешенного ротора, укрепленного на гибком валу 156
5.1 Цилиндрические прецессии статически пеуравиовешеппого ротора 156
5.1.1 Опоры с нелинейной характеристикой Герца 157
5.1.2 Опоры с нелинейной характеристикой Дуффипга 169
5.2 Конические прецессии динамически неуравновешенного ротора в нелинейных подшипниках типа Герца 174
5.2.1 Устойчивость конической прецессии вблизи нелинейных резонансов 176
5.2.2 Потеря устойчивости конической прецессии в за критической области 178
Заключение 182
Приложение 186
Введение к работе
Современный уровень развития техники, машиностроения и транспорта предъявляет высокие требования к частоте вращения роторных машин. Как правило, требуется, чтобы рабочий диапазон угловых скоростей вращения был достаточно высоким, но при этом должно быть обеспечено безопасное прохождение через резонансную область. Имеется огромное число работ, в которых исследуется влияние различных факторов иа динамику быстровращающихся роторов, таких как статический и динамический дисбаланс, гироскопические эффекты, влияние сил сопротивления различной природы и гидродинамических сил смазочного слоя, влияние собственного веса и упругости опор, наличие зазоров в подшипниках крепления и др.
Начало теоретическим исследованиям динамики быстровращающихся валов положила короткая заметка известного шотландского ученого Уильяма Рэпкииа, опубликованная в 1869 г. [112]. В этой работе впервые приведено описание влияния центробежных и упругих сил на вращение гибкого вала, которое приводит к появлению вращения оси вала в изогнутом состоянии. Это движение Рэпкии назвал "centrifugal whirling" и ввел этот термин в англоязычную научную литературу по динамике роторов. В современной русской литературе этому термину соответствует "прецессия оси ротора". Несомненная заслуга Рэпкииа состоит в том, что он применил теорию поперечных колебаний стержней, разработанную Пуассоном, к динамике быстровращающихся валов [111]. Рэнкин первым понял, что критическая угловая скорость вала достигается в тот момент, когда вал, как упругий стержень, теряет устойчивость своей прямолинейной формы.
Первые математические модели вращающегося вала были созданы профессором Мюнхенского университета Аугустом Фёпплем в 1895 г. [84, 85] и независимо профессором Ирландского Королевского колледжа Гепри Джеффкоттом в 1919 г. [92]. А. Фёппль первым обнаружил явление самоцентрирования ротора, когда при неограниченном росте угловой скорости ротора центр масс диска стремится занять положение на линии опор, и тем самым теоретически обосновал возможность работы со сверхкритическими скоростями.
Инженерная практика опережала теоретические исследования. В 1882 г. выдающийся шведский инженер и изобретатель Карл Лаваль создал первую импульсную паровую турбину, а в 1883 г. он получил патент иа морскую реверсивную паровую турбину с рабочей скоростью 42000 об/мии, которая была заведомо выше, чем "whirling speed" Рэнкииа. Подробно о первых работах по динамике роторов см. Приложение, стр. 186.
Начиная с работы Дапкерлея [83], который в 1894 г. предложил эмпирические формулы для расчета критических угловых скоростей вала, усилия многих выдающихся механиков XX века были направлены па создание и обоснование приближенных методов определения критических частот вращения. Следует отметить труды А. Стодолы [115], Р. Граммеля [88], А.Н. Крылова [33], Ф.М. Димеитберга [18], В.Я. Натаизопа [45].
Определение критических угловых скоростей является одной из основных задач динамического расчета роторов, однако она не исчерпывает всех проблем динамики роторов. Динамическое поведение роторов при переходе через критические зоны и при работе на сверхкритических скоростях чрезвычайно важно в практике конструирования и эксплуатации роторных машин. Интенсивные колебания валов при переходе через критические зоны и возбуждение колебаний большой амплитуды в закритической области требовали теоретического объяснения причин возникающей неустойчивости. Уже в 30-х годах XX века в работах А. Кимбалла [95, 96] было установлено, что причиной неустойчивости в закритической области может быть внутреннее трение, а в работах Б.Л. Ныокирка и Г.Д. Тейлора теоретически и экспериментально показано, что причиной автоколебаний валов, вращающихся в подшипниках скольжения, является действие смазочного слоя [102,103]. Исследованию устойчивости вращения гибких валов посвящены работы Е.Л. Николаи [47, 104], Д.М. Смита [113], П.Л. Капицы [27], Ф.М. Димеитберга [18], В.В. Болотина [10], А. Тоидла [70, 71] и многих других авторов.
Большое влияние па изучение динамики вращающихся валов оказали труды Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [9, 35]. С применением асимптотических методов проводится исследование стационарных и нестационарных изгибиых колебаний валов в работе В.А. Гробова [16], а исследование автоколебаний и субгармонических колебаний — в монографии М.Я. Кушуля [37].
С развитием вычислительной техники и компьютерных методов стало возможным применять к задачам динамики роторов хорошо разработанные вычислительные методы, такие как метод конечных элементов ( например, [99, 101, 119]).
В последнее время большое внимание в работах по динамике роторов уделяется влиянию различных нелинейных факторов на устойчивость и характер движения роторных систем. Отдельное направление посвящено действию нелинейных гидродинамических сил смазки в подшипниках скольжения. Много работ посвящено изучению роторов с нелинейными упругими свойствами валов и опор, например, работы [10, 24, 26, 42, 43, 67, 71, 78, 87, 118]. Влияние зазора в подшипниках для модели ротора Джеффкотта исследовалось в работах [106, 117, 118]. Роторные системы с нелинейным внешним трением рассмотрены в работах [6, 68] (сухое трение), [20] (квадратичное трение) и нелинейным внутренним трением в работах [81, 89]. Дестабилизирующее воздействие двигателя ограниченной мощности исследовалось в
работах [43, 118]. Влияние внутреннего резонанса в модели ротора Джеффкотта с одновременным учетом нелинейных характеристик опор рассмотрено в работе [90].
Успехи теории устойчивости и теории нелинейных колебаний, теории бифуркаций и теории катастроф, нелинейной динамики ([2, 3, 4, 36, 38, 39, 40, 46, 64, 66, 74, 75]) позволили исследователям роторных систем обнаруживать и предсказывать появление асинхронных прецессий, квазипериодических и хаотических колебаний, странных аттракторов [72, 78, 90, 93, 117, 118].
Однако в большинстве работ по динамике роторов в основном используется простейшая модель ротора с двумя степенями свободы, представляющая собой диск, насаженный на гибкий вал, укрепленный в шарнирных опорах.
Настоящая работа посвящена изучению динамики ротора с четырьмя степенями свободы, при этом в первой части работы (I, II, III главы) рассматривается жесткий ротор, а во второй (IV, V главы) — ротор, насаженный на гибкий вал. Вал укреплен в упругих опорах, которые предполагаются изотропными и нелинейными. Рассматриваются два вида нелинейных характеристик — существенно нелинейные, задаваемые законом Герца и характерные для подшипников качения, а также содержащие линейный и кубический члены (типа Дуффинга), характерные для подшипников скольжения.
Первыми работами, в которых изучался жесткий ротор, вращающийся в двух упругих опорах, были работы В. Блесса в 1926 г. [80], СП. Тимошенко в 1928 г. [116] и В. Дизиоглу в 1951 г. [82]. Блесс рассматривает вынужденные колебания уравновешенного ротора, вызванные двумя малыми массами, эксцентрично присоединенными к ротору в двух параллельных плоскостях. Тимошенко и Дизиоглу рассматривают вынужденные колебания, вызванные одной малой массой, также эксцентрично присоединенной к ротору. В работах [80] и [82] не учитывалось влияние присоединенных масс на изменение моментов инерции ротора, поэтому в названных работах не был обнаружен эффект самоцентрирования, причем Дизиоглу [82] пришел к неточным выводам об отсутствии самоцентрирования, что было отмечено А.С. Кельзоиом в работе [28].
Большой вклад в решение проблемы, связанной с созданием роторных машин с высоким ресурсом и большими скоростями вращения, внесли результаты, полученные А.С. Кельзоиом и его коллегами и обобщенные в монографии [32]. Был предложен новый для того времени метод расчета и конструирования линейных упругих опор, позволяющий существенно уменьшить динамические составляющие реакций опор. Одновременно наблюдалось резкое уменьшение амплитуды колебаний вместе с ростом угловой скорости, т.е. самоцентрирование статически и динамически неуравновешенного жесткого ротора. В работах А.С. Кельзоиа и А.С. Меллера [29, 30, 31] и в диссертации последнего [41] рассматривался ротор, установленный в нелинейные упругие подшипники качения с нелинейным контактом типа Герца. В задаче о вынужденных колебаниях ротора в нелинейных упругих опорах без учета сил сопротивления были получены параметры цилиндрической и конической прецессий пол иостыо уравновешенного ротора и установлена устойчивость некоторых режимов.
В данной диссертации проводится исследование динамики прецессионного движения жесткого статически и момептпо неуравновешенного ротора, укрепленного в упругих изотропных нелинейных опорах. Ротор установлен вертикально, что позволяет пе учитывать действие силы тяжести. Принимается, что перемещением ротора вдоль оси вращения можно пренебречь. Кроме того, считается, что ротор приводится во вращение двигателем, способным поддерживать заданный закон изменения угловой скорости. При таких предположениях ротор можно рассматривать как механическую систему с четырьмя степенями свободы. Изучение динамики ротора проводится в геометрически линейной постановке, при этом перемещения точек оси ротора в упругих опорах считаются малыми по сравнению с длиной ротора. Наличие дисбаланса приводит к возбуждению прямой синхронной прецессии оси ротора. Если опоры изотропны, то прямая синхронная прецессия будет круговой. Направление и частота вращения оси ротора вокруг ее равновесного положения совпадают с направлением и частотой вращения ротора, и каждая точка оси ротора движется по окружности. В системе координат, вращающейся с угловой скоростью ротора, ось вращения ротора сохраняет неизменное положение. Налицо аналогия с регулярной прецессией искусственных спутников Земли. Изучая регулярные прецессии динамически симметричного спутника под действием гравитационных моментов Ф.Л. Чер-поусько [73] установил, что возможны три типа регулярных прецессий, и по виду линейчатой поверхности, которая получается как след движения оси динамической симметрии в неподвижном пространстве, они названы гиперболоидалыгой (одпопо-лостный гиперболоид), конической (круговой конус) и цилиндрической (прямой круговой цилиндр).
В первой главе приводится описание модели ротора и вывод уравнений движения, причем в качестве обобщенных координат выбраны координаты точек оси ротора в плоскости опор, как и в работах [32, 116]. Предложен новый подход к исследованию прямой синхронной прецессии, позволяющий изучать связанные колебания ротора цилиндрического и конического типа, которые и представляют собой гиперболои-далы-гую прецессию. Установлено соответствие между типом прецессии (гиперболои-дальиая, коническая или цилиндрическая) и параметрами комплексной амплитуды, введено понятие множества нелинейных резонапсов, подтверждено явление самоцентрирования при больших угловых скоростях ротора. Показано, что в отсутствие сопротивления могут существовать симметричные гииерболоидальиые прецессии, и проведено их аналитическое исследование: построены амплитудно-частотные характеристики и нелинейные резоиаисы, по линейному приближению исследована устойчивость. Показано, что внешнее трение разрушает симметрию гиперболоидальпых прецессий. С использованием численных методов проведено исследование гиперболоидальпых прецессий при действии внешнего вязкого трения, предложен алгоритм построения амплитудно-частотных характеристик и определения границ устойчивых и неустойчивых режимов. Рассмотрены два типа подшипников с различной иелиией ной характеристикой упругих свойств опор. Существенно нелинейная характеристика контакта в опорах типа Герца присуща шариковым подшипникам качения. Нелинейная характеристика, включающая линейный и кубический члены (нелинейность типа Дуффинга), типична для подшипников скольжения. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [48, 49, 57, 58, 59, 60].
Во второй главе исследуется прецессионное движение статически неуравновешенного жесткого ротора, имеющего четыре степени свободы.
Модель жесткого статически неуравновешенного ротора с двумя степенями свободы в нелинейных подшипниках при довольно общих предположениях о нелинейных характеристиках опор рассматривалась Д.Р. Меркипым [42, 43]. В линейном приближении при учете сил вязкого трения были найдены условия устойчивости цилиндрической прецессии в предположении, что ротор совершает плоско-параллельное движение. Условия устойчивости цилиндрической прецессии при тех же предположениях, по в силу полных уравнений получены В.В. Румянцевым [67]. В работе В.В. Филиппова [72] исследуется совместное действие сил внешнего и внутреннего трепия на устойчивость установившихся движений ротора в нелинейных упругих подшипниках, движение ротора также предполагается плоско-параллельным. Показано, что уравновешенный ротор может совершать асимптотически устойчивые движения типа асинхронных прецессий. Совместное влияние таких нелинейных факторов, как зазор в опорах и нелинейный контакт в опорах типа Герца, приводит к неустойчивости и хаосу, причем переход к хаосу характеризуется перемежаемостью и удвоением периода (работа Тивари и др. [117]).
Система дифференциальных уравнений движения ротора с четырьмя степенями свободы в нелинейных упругих опорах, учитывающая влияние внешнего и внутреннего трепия, представляет собой сложную нелинейную систему восьмого порядка. Показано, что среди решений системы существуют решения, описывающие прямую синхронную прецессию цилиндрического типа, и найдено уравнение поверхности, на которой могут быть локализованы эти решения. При исследовании устойчивости по линейному приближению получены аналитические выражения для бифуркационного множества, точки пересечения которого с амплитудно-частотной характеристикой определяют границы устойчивых и неустойчивых режимов цилиндрической прецессии. Прямой синхронной прецессии соответствует состояние равновесия в подвижной системе координат, вращающейся с угловой скоростью ротора, поэтому угловую скорость можно рассматривать как параметр в задаче об одиопараметрической бифуркации состояния относительного равновесия [3,15, 46]. Показано, что могут быть различные сценарии потери устойчивости. При изменении частоты вращения ротора и прохождении через точки с пулевым корнем характеристического уравнения бифуркации могут иметь "жесткий" характер, когда происходит "скачок" или "срыв" амплитуды и имеет место бистабилыюсть, но при этом тип прецессии сохраняется. Бифуркации могут быть "мягкого" типа, когда потеря устойчивости цилиндрической прецессии сопровождается одновременным отделением двух устойчивых прецессий гиперболоидалыюго типа. Потеря устойчивости такого рода не может быть обнаружена в рамках модели ротора с двумя степенями свободы, совершающего плоско-параллелыюе движение. Природа потери устойчивости в этом случае объясняется наличием у системы двух нелинейных резоиансов. Вблизи одного из них значительно смещается центр масс и наблюдается цилиндрическая прецессия большой амплитуды, вблизи другого ось ротора отклоняется от первоначального вертикального состояния, и колебания принимают характер связанных цилиндрических и конических.
Известно, что внутреннее трение при малых угловых скоростях оказывает стабилизирующее, а при больших — дестабилизирующее действие па вращение ротора [11]. Причиной автоколебаний роторов при больших угловых скоростях часто является внутреннее трение [95, 96].
Особый интерес вызывает значение угловой скорости ротора, при котором характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. А. М. Ляпунов предложил специальные методы исследования, относящиеся к случаю, когда среди корней характеристического уравнения есть корни с равной пулю вещественной частью [39]. Ответ па вопрос, является ли значение параметра (в нашем случае это угловая скорость), которому соответствует пара чисто мнимых корней, "опасной" или "безопасной" границей устойчивости, зависит от знака первого ляпуиовского коэффициента. Н. Н. Баутип получил выражения для ляпуновских коэффициентов в замкнутой форме для систем дифференциальных уравнений второго, третьего и четвертого порядка [8]. Для диска, консольно укрепленного па гибком валу, М. Я. Кушуль при некоторых дополнительных предположениях также получил расчетные формулы для ляпуиовского коэффициента [37]. Однако в случае ротора с четырьмя степенями свободы даже при дополнительных предположениях о симметрии (например, ротор установлен в одинаковых опорах и точно посередине между опорами) получить преобразование системы к специальному виду не удалось. Однако непосредственное численное интегрирование системы обнаружило, что имеет место "безопасная" граница устойчивости. С увеличением угловой скорости бифуркация Андронова — Хопфа имеет "мягкий" характер. Во второй главе численно построена зависимость границы возбуждения автоколебаний от отношения коэффициентов внутреннего и внешнего трения, которая показывает, что даже небольшое увеличение внешнего трения существенно сдвигает границу автоколебаний в сторону высоких угловых скоростей.
Численное интегрирование было проведено для достаточно широкого спектра угловых скоростей и для всех значений были получены предельные циклы, которые проиллюстрированы на плоскости {Лі, і?і} шестимерного фазового пространства (R\ — величина отклонения от равновесного положения конца оси ротора в первой опоре). Было обнаружено, что достаточно близко от границы возбуждения автоколебаний существует диапазон угловых скоростей, где проявляется чувствительность к изменению начальных данных и происходит хаотизация предельных циклов, а затем происходит синхронизация и устанавливается предельный цикл другой структуры (с двойной петлей). Для всех аттракторов в закритической области были построены частотные спектры [17], а также с помощью алгоритма Беиеттииа [98, 105] получены оценки спектра ляпуновских показателей, которые в каждом случае подтвердили характер аттрактора.
Численным интегрированием было проведено исследование нестационарного перехода через резонансную область при равномерном изменении угловой скорости вращения и проведено сравнение с амплитудно-частотными характеристиками. Были рассмотрены случаи при наличии внутреннего трения и при его отсутствии, а также рассмотрены начальные условия, соответствующие периодическому и хаотическому вращению при постоянной угловой скорости. Результаты приведены в виде графиков.
В заключении главы приводится исследование влияния зазора в подшипнике па цилиндрическую прецессию. Постановка задачи соответствует работе [106], выполненной для ротора Джеффкотта с двумя степенями свободы.
Следует отметить, что все исследования проведены для динамически вытянутого ротора и для двух типов нелинейности: Герца и Дуффипга. Основные результаты второй главы опубликованы в статьях [48, 51, 54, 56, 59, 108].
В третьей главе методика, разработанная во второй главе для статически неуравновешенного ротора, применяется для исследования динамики прецессионного движения динамически неуравновешенного ротора. Показано, что для ротора, установленного в одинаковых опорах и укрепленного посередине между опорами, существуют прямые синхронные симметричные конические прецессии, когда концы оси ротора движутся по окружностям одинакового радиуса. При этом центр масс ротора неподвижен и находится в вершине конуса, который зачерчивает в пространстве ось вращения ротора. Для симметричной конической прецессии для двух видов нелинейных опор (типа Герца и типа Дуффипга) получены следующие результаты:
построена поверхность локализации симметричных конических прецессий;
исследована устойчивость по линейному приближению;
установлено, что при прохождении угловой скорости через значение, соответствующее нулевому корню характеристического уравнения, могут иметь место бифуркации "мягкого" и "жесткого" типа;
численным интегрированием получено, что при наличии внутреннего трения имеет место бифуркация Андропова — Хопфа "мягкого" типа;
для предельных циклов построены частотные спектры и спектры ляпуновских показателей;
для нелинейности типа Дуффипга проведено приближенное определение предельного цикла по методу, предложенному А. Топдлом [71];
проведено исследование прямого и обратного нестационарного перехода через резонансную область, при этом обнаружено, что при наличии внутреннего трения колебания в закритической области происходят с резким увеличением амплитуды.
Явление хаотизации предельных циклов для симметричных конических прецессий не обнаружено. При специальном выборе начального положения ротора, когда ось вращения расположена по образующей конуса, происходит "затягивание неустойчивости" (см. [4]). После небольшого переходного периода устанавливается прецессия с амплитудой, соответствующей неустойчивому режиму конической прецессии, и только по прошествии некоторого времени наблюдается переход к предельному циклу. Основные результаты третьей главы опубликованы в статьях [48, 50, 53, 54, 56]. В четвертой и пятой главах рассматривается статически и динамически неуравновешенный ротор Фёппля — Джеффкотта с четырьмя степенями свободы, установленный в упругих опорах. Ротор представляет собой динамически симметричное твердое тело, укрепленное на гибком валу. Рассматривается линейно упругий вал, массой которого можно пренебречь в сравнении с массой тела. Опоры, как и в случае жесткого ротора, предполагаются изотропными и нелинейными. Для исследования динамики прецессионного движения применяется подход, разработанный для жесткого ротора с четырьмя степенями свободы. Прежде всего вводится определение гиперболоидаль-иой, цилиндрической и конической прецессии для ротора па гибком валу. Тип прецессии соответствует поверхности, заметаемой педеформировашюй осью вращения ротора или, что то же, прямой, характеризующей перемещение ротора, как твердого тела. Для описания положения ротора в пространстве вводятся восемь обобщенных координат, четыре из которых определяют перемещение ротора как твердого тела, а остальные четыре характеризуют положение ротора при изогнутой оси вала. В силу того, что рассматривается безмассовый вал, уравнения Лаграпжа 2-го рода включают в себя группу четырех дифференциальных уравнений и группу четырех алгебраических уравнений. Алгебраические уравнения можно рассматривать как уравнения связей, которые позволяют исключить часть координат и свести изучение к системе четырех дифференциальных уравнений. В силу того, что рассматривается линейно упругий вал, алгебраические уравнения являются линейными относительно координат, которые характеризуют положение ротора при изогнутой оси вала, и тем самым возможно получить их точное решение, которое затем нужно подставить в группу дифференциальных уравнений Лагранжа. Полученная система дифференциальных уравнений допускает решение, которое параметризует прямую синхронную круговую прецессию ротора. Дальше проводится процедура исследования, развитая в первых главах.
В четвертой главе приводится описание модели ротора и вывод уравнений движения. Без учета сил сопротивления исследуются гиперболоидальиые прецессии полностью неуравновешенного ротора, установленного в линейно упругих опорах. Получены параметры самоцентрирования ротора и найдены критические частоты. Для конкретных примеров проведено вычисление критических частот и показано влияние упругих опор па их значения. Проведено сравнение с известными результатами для ротора, укрепленного в жестких опорах [16, 86]. Рассмотрены также гиперболоидальиые прецессии в нелинейных упругих подшипниках с нелинейностью типа Герца. Для симметричной прецессии построены амплитудно-частотные характеристики, найдены параметры самоцентрирования и исследована устойчивость по линейному приближению как для динамически вытянутого, так и для динамически сжатого ротора.
В пятой главе проведено исследование цилиндрических и конических прецессий ротора, имеющего только один тип неуравновешенности и установленного в нелинейных подшипниках. Для статически неуравновешенного ротора с учетом сил внешнего и внутреннего сопротивления исследованы цилиндрические прецессии в подшипниках типа Герца и типа Дуффипга. Построено множество нелинейных резопаисов и амплитудно-частотные характеристики. Получено уравнение для определения параметров самоцентрирования ротора. Как и в случае жесткого ротора, установлено, что потеря устойчивости может иметь "мягкий" и "жесткий" характер при прохождении частоты, при котором характеристическое уравнение имеет нулевой корень. Потеря устойчивости в закритической области, вызванная влиянием внутреннего трения, имеет "мягкий" характер. Определена граница возбуждения автоколебаний и построены предельные циклы. В ходе численного эксперимента обнаружено, что при изменении начальных условий происходит хаотизация предельных циклов. Для нелинейных опор типа Герца построен странный аттрактор, при этом наблюдаются переходы типа "хаос — хаос". Результаты представлены в виде графиков. С использованием алгоритма Бенеттипа построен полный спектр показателей Ляпунова, подтверждающий хаотический тип аттрактора. Для нелинейных опор типа Дуффипга потеря устойчивости в закритической области также происходит "мягким" образом с возбуждением автоколебаний, однако явление хаотизации не было обнаружено. Отмечено, что с ростом угловой скорости существенно возрастает среднее значение автоколебаний и уменьшается амплитуда. Кроме того, значительно возрастает время установления автоколебаний, поэтому, начиная с некоторого значения частоты, практически можно говорить о неограниченном росте амплитуды.
Конические прецессии динамически неуравновешенного ротора исследованы для нелинейных опор типа Герца. Следует отметить, что потеря устойчивости в закритической области также сопровождается возникновением автоколебаний, однако процесс установления происходит длительное время и носит хаотический характер. С ростом угловой скорости также наблюдается неограниченный рост амплитуды, но при этом прецессия по форме стремится к цилиндрической. Основные результаты четвертой и пятой глав опубликованы в работах [107, 109].
В Приложении приводится краткий исторический обзор ранних работ по динамике роторов.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Развитие модели жесткого и гибкого ротора с четырьмя степенями свободы и новый подход в исследовании прямых синхронных прецессий, позволяющий исследовать связанные цилиндрические и конические колебания ротора, вызванные его статическим и динамическим дисбалансом.
2. В рамках предложенного подхода аналитически и численно проведено иссле довапие гиперболоидалыюй, цилиндрической и конической прецессий жесткого ротора в упругих нелинейных изотропных опорах. Рассмотрены упругие характеристики опор существенно нелинейные (типа Герца) и содержащие линейный и кубический члены (типа Дуффиига). Установлены параметры самоцентрирования ротора.
3. В линейном приближении проведено исследование устойчивости прецессионного движения неуравновешенного ротора. Изучены различные сценарии потери устойчивости цилиндрической и конической прецессий во всем диапазоне угловых скоростей, в том числе появление квазипериодических и хаотических аттракторов, эффекта "затягивания неустойчивости".
4. Для статически и для динамически неуравновешенного ротора проведено численное исследование прямого и обратного нестационарного перехода через резонансную область, которое показало существенную роль внутреннего трения в процессе возникновения хаотических колебаний нарастающей амплитуды в закритической области.
5. Метод, разработанный для жесткого ротора, применен для исследования прецессий неуравновешенного ротора с четырьмя степенями свободы, насаженного па линейно упругий безмассовый вал, который в свою очередь укреплен в упругих опорах. Введено определение цилиндрической, конической и гиперболоидалыюй прецессии ротора на гибком валу.
6. Изучено влияние упругих опор па критические частоты гибкого ротора в линейных упругих опорах и проведено сравнение с известными результатами для жестких опор.
7. Проведено исследование симметричной гиперболоидалыюй прецессии полностью неуравновешенного ротора на гибком валу в нелинейных упругих опорах без учета сил сопротивления.
8. Для статически и для динамически пеуравповешеппого гибкого ротора исследованы цилиндрические и конические прецессии в подшипниках типа Герца и типа Дуффиига при учете сил внешнего и внутреннего сопротивления во всем диапазоне угловых скоростей. Показано, что в закритической области имеют место бифуркации Андронова — Хопфа, хаотизация предельных циклов, переходы типа "хаос — хаос" и практически неограниченный рост амплитуды прецессии.
