Динамика неуравновешенных роторов, оснащенных неидеальными автобалансирующими устройствами Ковачев Александр Светославович

Содержание к диссертации

Введение

1 Автоматическая балансировка статически неуравновешенного ротора 18

1.1 Механическая модель ротора, оснащенного неидеальным шаровым автобалансировочным устройством 18

1.1.1 Точная система уравнений 19

1.1.2 Приближенная система уравнений

1.2 Стационарные режимы 26

1.3 Устойчивость стационарных режимов

1.3.1 Усточивость полусбалансированного режима 40

1.3.2 Усточивость несбалансированных режимов 42

1.4 Режимы нестационарного прохождения критической области 45

1.4.1 Движение ротора с постоянным угловым ускорением 45

1.4.2 Движение ротора под действием постоянного вращающего момента 50

2 Автоматическая балансировка динамически неуравновешенного ротора 52

2.1 Механическая модель ротора, оснащенного неидеальным шаровым автобалансировочным устройством 52

2.2 Стационарные режимы 59

2.3 Устойчивость стационарных режимов 69

2.4 Режимы нестационарного прохождения критической области

2.4.1 Движение ротора с постоянным угловым ускорением 75

2.4.2 Нестационарные режимы движения ротора с ограниченным возбуждением 78

Заключение 81

Список литературы 83

Список рисунков

• Приближенная система уравнений
• Усточивость несбалансированных режимов
• Стационарные режимы
• Движение ротора с постоянным угловым ускорением

Введение к работе

Актуальность темы. В современном мире огромную роль играют быстроходные роторные машины, используемые в энергетике, промышленности, на транспорте и в бытовой технике. Во многих случаях угловые скорости роторов таких машин в рабочих режимах превосходят критические значения. Это налагает повышенные требования к балансировке роторов, а в некоторых случаях, когда дисбаланс ротора может меняться во время движения, требует применения специальных автобалансирующих устройств

Необходимо отметить, что в большинстве работ, посвященных исследованию автоматической балансировки роторов при помощи шарового автобалансировочного устройства, предполагается, как правило, что центр АБУ лежит точно на оси симметрии ротора. На практике таким моделям с большой точностью соответствуют АБУ жестко насаженные на роторы. Однако в ряде устройств нашли применение сменные АБУ, которые крепятся к ротору при помощи резьбового соединения. Для адекватного математического моделирования подобных устройств необходимо учитывать наличие возможного эксцентриситета между осями симметрии АБУ и ротора.

Проблемы автобалансировки роторов, оснащенных неидеальными шаровыми АБУ рассматривались Ю. В. Агафоновым. На основе методов, используемых при исследовании синхронизации динамических объектов, им был констатирован факт о невозможности полной балансировки статически неуравновешенного ротора при наличии эсцентриситета беговой дорожки АБУ. В. П. Нестеренко и А. П. Соколов при помощи геометрических соображений показали, что неидеальный автобалансир в случае моментно неуравновешенного ротора при определенных условиях приводит к стационарному режиму с постоянным остаточным дисбалансом. Аналогичный вывод был получен К. О. Олссоном для случая автобалансира с эллиптичной беговой дорожкой.

Целью данной работы является исследование влияния эксцентриситета АБУ на процессы автобалансировки статически и динамически неуравновешенных роторов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Для статически неуравновешенного, симметрично закрепленного ротора, оснащенного одноплоскостным, эксцентрически насаженным шаровым автобалансировочным устройством показана практическая неосуществимость полностью сбалансированного стационарного режима. Доказана возможность существования в закритической области асимптотически устойчивого полусбалансированного стационарного режима, при

котором амплитуда прецессионного движения ротора не зависит от угловой скорости его собственного вращения и в точности равна эксцентриситету АБУ.

1. Показана возможность существования трех типов несбалансированных стационарных режимов, зависящих от положения балансировочных шариков в АБУ, и доказано, что только один из них может быть асимптотически устойчив при определенных значениях параметров системы.

2. Для динамически неуравновешенного ротора, оснащенного двухплос-костным шаровым автобалансировочным устройством, обоймы которого насажены на вал ротора с некоторым эксцентриситетом, доказана возможность существования и устойчивости полусбалансированного стационарного режима с постоянной остаточной амплитудой прецессионного движения, не зависящей от угловой скорости. Получена аналитическая формула для амплитуды прецессионного движения в зависимости от эксцентриситетов обойм АБУ и их положения относительно ротора.

3. При помощи численного исследования нестационарных режимов прецессионного движения динамически неуравновешенного ротора обнаружен ступенчатый характер изменения амплитуды прецессии и углов отклонения балансировочных шариков при переходе к полусбалансированному режиму в случае вращения ротора с постоянной угловой скоростью, а также в случае движения ротора под действием постоянного вращательного момента.

Научная новизна:

1. Построены точная, приближенная и упрощенная системы уравнений, описывающие динамику статически неуравновешенного ротора, оснащенного одноплоскостным, эксцентрически насаженным шаровым автобалансировочным устройством.

2. В рамках точной модели статически неуравновешенного ротора проведено исследование стационарных режимов и показана практическая неосуществимость полностью сбалансированного режима. Несбалансированный стационарный режим, при котором амплитуда прецессионного движения не зависит от угловой скорости ротора, предложено называть полусбалансированным. Также выделены три типа несбалансированных стационарных режимов, при которых величина вибрации ротора зависит от его скорости вращения. Найдены условия существования и устойчивости полусбалансированного и несбалансированных стационарных режимов.

3. Построена математическая модель динамически неуравновешенного ротора, оснащенного неидеальным двухплоскостным эксцентрическим шаровым автобалансировочным устройством.

4. В рамках модели динамически неуравновешенного ротора показана практическая неосуществимость полностью сбалансированного режима. Проведено исследование условий существования и устойчивости полус-бансированного и несбалансированного стационарных режимов.

5. Проведено сравнение результатов исследования точных и приближенных моделей рассмативаемых систем.

Научная и практическая значимость. Результаты исследования могут быть применены при конструировании и анализе эксплуатации быстро вращающихся роторных машин и двигателей в различных областях техники, на транспорте, в энергетике, самолето- и вертолетостроении и др. На основании полученных результатов могут быть сделаны практические рекомендации относительно ширины рабочего диапазона ротора, условий прохождения через резонансные зоны, а также рекомендации по конструктивным особенностям автобалансировочных устройств и достижимого качества балансировки роторов в рабочем режиме.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата. Результаты численных экспериментов находятся в соответствии с результатами, полученными в работах предшественников.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

1. Восьмой международный симпозиум по классической и небесной механике, 2013 год, Седльце, Польша.

2. Научный семинар кафедры Теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного универститета, 2014 год.

3. Международная научная конференция по механике "Седьмые Поляхов-ские Чтения", 2015 год, Санкт-Петербург, Россия.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в шести работах [-], две из которых изданы в журнале, рекомендованном ВАК [,], и две индексированы в базе данных Scopus ,]. Работа ] выполнена без соавторов, работы ,-] написаны в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежит общая постановка задач, а также консультирование по вопросам построения математических моделей и анализа

результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 92 страницы с 34 рисунками. Список литературы содержит 60 наименований.

Приближенная система уравнений

Условие (1.19) означает принципиальную невозможность для эксцентрически насаженного АБУ обеспечить полную балансировку ротора с переменным дисбалансом. Далее будет показано, что наилучшим результатом в этом случае будет прецессионное движение ротора с малой амплитудой, равной величине эксцентриситета АБУ.

Для исследования несбалансированных стационарных режимов ( 2о 0) перепишем систему (1.15) в виде l + iv5-v2 (1.20) єі (щ cos г/joj - 0 sin I/J0J) + є2 sin(7 - г\)щ) = 0, j = 1,...,n. Выразив из первого уравнения системы (1.20) о и Щ через фок-, и подставив их в последующие уравнения, получим систему трансцендентных уравнений относительно углов отклонения балансировочных шариков.

В случае, когда АБУ содержит только два балансировочных шарика (п = 2), решение системы (1.20) может быть найдено точно. Для этого преобразуем уравнения, описывающие движение шариков: умножим первое уравнение на sin 02 и вычтем из него второе уравнение, умноженное на sinфо\. Аналогично вычтем второе уравнение, умноженное на cos оъ из первого, умноженного на cosф$2- В итоге получим систему двух уравнений sin( oi - Фо2)(г]о -\ sin7) = 0, (L21) sin( oi - 02)(0 Н cos 7) = 0. Єї Уравнения (1.21) имеют два типа решений. Для решений первого типа, выполняется соотношение sin( oi - 02) = О, из которого получаем ф і = 02+ (к = 0,1), т.е. балансировочные шарики либо соприкасаются, либо располагаются на противоположных сторонах круговой полости АБУ. Решения второго типа удовлетворяют следующим соотношениям Vo = sin 7, 6 = cos75 Єї Єї или в размерном виде а0еіфо = s2e +7r\ (1.22) Таким образом, характерной чертой решений второго типа является наличие остаточной вибрации ротора, амплитуда которой в точности равна эксцентриситету АБУ. Учитывая малость последнего, несбалансированные стационарные режимы, соответствующие решениям второго типа, можно назвать полусбалансированными.

Найдём углы отклонения балансировочных шариков, соответствующие полусбалансированному стационарному режиму. Подставляя (1.22) в первое уравнение (1.20), получим комплексное уравнение эквивалентное системе двух вещественных уравнений относительно 01 и 02

На рис. 1.4 представлены графики изменение величины + в зависимости от безразмерной угловой скорости , рассчитанные для трех значений балансировочного коэффициента = 2 /(і + 2)\. Левый график соответствует случаю, когда = 0.9, центральный — = 1.1 и правый — = 1.7. Из графиков видно, что в первом случае условие (1.26) удовлетворяется только в небольшой окрестности критической частоты, во-втором область существования расширяется в закритическую сторону, а в третьем случае полусбалансированный режим существует уже во всей закритической области.

Области существования полусбалансированного режима. Рассмотрим несбалансированные режимы, отвечающие решениям системы (1.21), для которых oi = 02 = Фо- В этом случае система (1.15) может быть переписана в следующем виде:

Уравнение (1.28) имеет два корня: ф$ = а и ф$ = а + 7Г, соответствующие двум вариантам расположения балансировочных шариков относительно диска ротора. Первый вариант будем называть несбаланированным режимом первого типа, а второй — несбалансированным режимом второго типа. Режим, для которого oi = 02 ті" = Фо, обозначим как несбалансированный режим третьего типа (см. рис. 1.5).

Решение системы (1.31) сводится к решению квадратного уравнения для о и Г]о с дополнительным условием, вытекающим из (1.29), которое определяет тип несбалансированного режима: при А\В2 0 его решение соответствует несбалансированному режиму первого типа, так как в этом случае — ф$ . а при А\В2 0 решение соответствует несбаланированному режиму второго типа, так как здесь фо -у. В явном виде решение системы (1.31) будет выглядеть следующим образом:

Амплитуды прецессии а = у Q + 7Q, рассчитанные по формулам (1.33), в зависимости от v представлены на рис. 1.6 для несбалансированных стационарных режимов первого (наверху) и второго (внизу) типов соответственно. Левые графики рисунка 1.6 рассчитаны в случае, когда балансировочный коэффициент о" = 2т%г/{т\ + m2)si=0.8. Это соответствует ситауции, при которой масса балансировочных шариков недостаточна для компенсации дисбаланса (см. [55,56]). Правые графики показывают амплитуду прецессии при избыточной массе, когда а = 1.2. Пунктирные линии соотвествуют случаю, когда2 = 0, то есть АБУ установлено на ротор без эксцентриситета; сплошные линии соот

Усточивость несбалансированных режимов

Это условие показывает, что сбалансированный режим может иметь место только при фиксированном положении балансировочных шариков, что означает принципиальную невозможность осуществить на практике полную балансировку ротора с эксцентрически насаженным двуплоскостным АБУ.

Преобразуем уравнения (2.9): умножим первое уравнение Hasin 2i и вычтем из него второе уравнение, умноженное на sin n. Затем вычтем второе уравнение, умноженное на cos n, из первого, умноженного на cos 21- Аналогично поступим для уравнений, содержащих ф\2 и ф22. В итоге получим sin( n - ф2і) (т + Ьлг]2 + si sin 71) = 0, sin( i2 - 22) {щ + h2r]2 + s2 sin 72) = 0, sin( n - V21) (1 + /ІІ& + si cos 71) = 0, sin( i2 - 22) (1 + h2& + s2 cos72) = 0. (2.10) Уравнения (2.10) имеют два решения, отвечающие двум различным типам стационарных режимов. Для режимов первого типа, выполняются соотношения sin( n -ф2і) = 0, Sin( 12 - 22) = 0, из которого получаем фц = ф2\ + 7гк(к = 0,1) и ф\2 = ф22 + 7тк(к = 0,1), т.е. балансировочные шарики либо соприкасаются, либо находятся на противоположных сторонах круговых полостей АБУ. Такой режим назовем полностью несбалансированным.

Этот режим будем называть полусбалансированным, так как полученные амплитуды прецессионных движений малы и не зависят от угловой скорости ротора. В идеальном случае, когда S\ = s2 = 0, амплитуды а\ и а2 обращаются в ноль, что соответствует полностью сбалансированному режиму

Найдём углы отклонения балансировочных шариков, соответствующие полусбалансированному стационарному режиму. Перепишем первое уравнение (2.8) в скалярном виде:

На рис. 2.4 представлены графики изменение величин с2 1 + с 2 в зависимости от угловой скорости ш, рассчитанные для трех значений балансировочного коэффициента а = 2(т2 + т3)т/m1S1. Левый график соответствует а = 0.9, центральный: а = 1.1 и правый: а = 1.7. Из графиков видно, что в первом случае условия (2.15) не удовлетворяются при любых значениях угловой скорости. При (7 = 1.1 условия удовлетворяются в закритической области, а при а = 1.7 полусбалансированный режим может существовать почти при всех значениях частот. 2

На рис. 2.5 представлена зависимость безразмерных амплитуд прецессионных движений а\ = CLI/{1\ + 12) (сплошная кривая) и а2 = а2 (пунктир) от безразмерной част/гпо для "длинного"ротора, расчитанные из соотношений (2.18) и (2.19). Правый график соответствует симметричному ротору {1\ = 12 = 0.5 м); левый — несимметричному (її = 1/3 м, 12 = 2/3 м). Расчет проведен при следующих значениях параметров: то = 10 кг, ті = т2 = 0.07 кг, р\ = р2 = 1 кг, 7 = 0.01, х = 0.02, 7i = l, 72 = 1 + тг/2, Sl = s2 = 0.005 м, (2.20) h\ = h2 = 0.45 м, г\ = г2 = 0.1 м, so = 0.01 м. Из графиков видно, что в области первой критической скорости движение несимметричного длинного ротора представляет собой суперпозицию цилин 67 дрической и конической прецессий, которую будем далее называть гипербо-лоидальной [59], а движение симметричного ротора близко к цилиндрической прецессии, так как амплитуда угловой прецессии мала. В области второй критической скорости у обоих типов роторов движение оты v = UJ/\JСц в силу малости амплитуды а\ близко к конической прецессии, которая уменьшается в закритической области.

Процесс установления полусбалансированного режима при постоянной угловой скорости вращения ротора ш = 600 с-1 продемонстрирован на рис. 2.6 в случае, когда массы шариков т\ = т = 0.375 кг. Прочие расчетные параметры аналогичны (2.20). В этом случае амплитуды прецессионного движения стремятся к значениям, определяемым соотношениями (2.12) и отмеченные на левом и среднем графиках пунктиром. Балансировочные шарики при этом занимают позиции, определяемые соотношениями (2.14), которым отвечают пунктирные линии на правом графике.

Таким образом, результаты расчетов подтверждают, что для динамически неуравновешенного ротора, оснащенного двухплоскостным эксцентрично насаженным АБУ, при выполнении условий (2.15), в закритической области устанавливается полусбалансированный режим с постоянными амплитудами остаточной вибрации, зависящими от эксцентриситетов АБУ и определяемыми формулами (2.12).

Процесс установления несбалансированного режима В случае невыполнения условий (2.15), для ротора, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш = 600 с-1, с массой шариков тп\ = тп2 = 0.175 кг. устанавливается стационарный несбалансированный режим. Амплитуды прецессионного движения ротора и углы отклонения шариков АБУ в случае несбалансированного режима продемонстрированы на рис. 2.7. Мы видим, что одна из обойм АБУ "не сработала" (левый нижний график), поскольку шарики, в силу недостаточной массы, не смогли разойтись и занять уравновешивающую позицию.

Первое уравнение системы (2.7) описывает движение точки С во вращающей системе координат. Поэтому координаты і, 2 и 7ъ Ш являются медленно меняющимися функциями времени, а их производные можно считать малыми по сравнению с единицей. С учетом этого упростим уравнения (2.7), пренебрегая в них членами второго порядка малости. Тогда упрощенные уравнения в вещественном виде будут выглядеть следующим образом:

Стационарные режимы

Выражение для коэффициента a в системе (1.46) показывает, что необходимое условие устойчивости для небсалансированного стационарного режима третьего типа не выполняется, так как 0,4 0. Таким образом, данный режим неустойчив при любых параметрах системы.

Результаты расчетов нестационарного прохождения через критическую скорость ротора с АБУ, полученные в результате численного интегрирования системы (1.3), представлены на рис. 1.12-1.18. Во всех расчетах принимался линейный закон изменения угловой скорости ротора v(t) = bt, 0{t) = -bt\ Ь = const. демонстрирует графики зависимости амплитуд прецессионного движения ротора от мгновенной частоты его собственного вращения для случая a

Прохождение критической частоты с постоянным угловым ускорением для двух типов роторов ротора без АБУ (правый график) и для ротора с установленным на нем АБУ и балансировочным коэффициентом и = 1, т.е. когда масса шариков является достаточной для балансировки. Расчет производился при двух значениях углового ускорения Ъ\ = 0.001 и &2 = 0.05. Графики показывают, что при медленном прохождении критической области максимальное отклонение точки С у ротора с АБУ больше, чем у ротора без АБУ; при этом рост ускорения приводит к уменьшению максимального значения амплитуды прецессии.

Медленное прохождение критической области при вращении ротора с постоянным угловым ускорением в случае а = 0.3 Рассмотрим подробнее случаи медленного прохождения через резонанс при следующих значениях параметра Ь: Ь\ = 0.0015, Ь і = 0.0006 и &з = 0.0003. На рис. 1.13 показаны графики амплитуд прецессионного движения и углов отклонения балансировочных шариков в зависимости от времени, рассчитанные в случае, когда масса шариков недостаточна для балансировки (а = 0.3). Здесь наблюдается противоположный эффект, при возрастании до определенного предела углового ускорения растет и максимальная амплитуда отколнения ротора. Это явление обусловлено дополнительным дисбалансом вследствие движения балансировочных шариков в обойме АБУ к ъ,/1 / представляет результаты расчетов в случае, когда а = 1. На графиках видно, что после прохождения через резонанс устанавливается полусбалансированный стацинарный режим, причем как и в предыдущем случае от величины углового ускорения зависит как время установления полусбалансированного режима, так и маскимальная амплитуда прецессии.

На рис. 1.15 приведены результаты расчетов в случае а = 1.4. Аналогично предыдущему случаю, здесь так же устанавливается полусбалансированный режим, однако время его установления уменьшается. Сравнение графиков амплитуд, изображенных на рис. 1.13-1.15, с рис. 1.12 показывает, что величина максимальной амплитуды прецессии при нестационарном переходе через кри 48 0.03 Медленное прохождение критической области при вращении ротора с постоянным угловым ускорением в случае а = 1.4 тическую скорость зависит не только от углового ускорения Ь и коэффициента демпфирования в опорах ,нои от массы балансирововчных шариков в обойме АБУ.

Амплитуда прецессионного движения и углы отклонения шариков при вращении ротора с постоянным угловым ускорением и коэффициентом демпфирования в АБУ = 0.4 Исследуем теперь влияние коэффициента демпфирования в АБУ. На рис. 1.16, 1.17 и 1.18 продемонстрированы амплитуды прецессионного движения и yras отклонения шариков в зависимости от времени для случая, когда а = 1.0 и Ь = 0.0015 для трех значений коэффициента

Амплитуда прецессионного движения и углы отклонения шариков при вращении ротора с постоянным угловым ускорением и коэффициентом демпфирования в АБУ = 15 На графиках видно, что при среднем значении коэффициента демпфирования достигается наилучший режим автобалансировки, так как при слишком малом коэффициенте демпфирования после прохождения первого резонансного пика наблюдаются возрастающие быстрые осцилляции амплитуды, вызванные проскальзыванием шариков в обойме АБУ. Этот процесс заканчивается в определенный момент "срывом" амплитуды и переходом к полусбалансированному режиму. Слишком большое значение коэффициента демпфирования в свою очередь приводит к росте максимального значения амплитуды прецессии и увеличивает время, необходимое для установления полусбалансированного режима.

Теперь рассмотрим случай движения ротора, когда к нему приложен постоянный вращающий момент. На рис. 1.19 представлены рассчитанные из соотношений (1.3) графики амплитуд вибраций ротора и его скорости вращения # для трех значений безразмерного вращающего момента Л4 и балансировочного коэффициента а = 1.0. Верхний ряд графиков соответсвует случаю, когда Л4 = 0.05. Из графиков видно, что величина вращающего момента недостаточна для прохождения через резонанс (см. [57,58]), в результате чего автоматической балансировки не происходит. Средний ряд рассчитан при значении Л4 = 0.25. В данном случае величины момента достаточно для преодоления резонанса, в результате чего устанавливается полусбалансированный режим. В нижнем ряду представлены графики, рассчитанные приЛ = 0.35. Здесь также устанавливается полусбалансироавнный режим, однако время его установления уменьшается. 0.005

Предполагается, что ротор имеет динамическую неуравновешенность, для компенсации которой он оснащен двухплоскостным АБУ, представляющем собой две закрепленные на одной оси с ротором круговые обоймы, в которых могут свободно передвигаться балансировочные шарики. Также предполагается, что обе обоймы АБУ насажены на вал с некоторым эксцентриситетом.

Обозначим через G - центр масс ротора; Ej (j=l,2) - геометрический центр j-ой обоймы АБУ; С и Cj - точки пересечения оси вращения с перпендикулярными к ней плоскостями, проходящими через точки G и Ej соответственно; 1\ и І2 - расстояния от точки С до центров опор 0\ и Оъ в недеформированном состоянии; С\ и с - коэффициенты жесткости в опорах; So = \CG\ - статический эсцентриситет; \ - угол между осью вращения и полярной осью инерции ротора (моментный эксцентриситет); 7 угол между плоскостью моментного эксцентриситета и плоскостью, проходящей через ось вращения и центр масс ротора (фазовый сдвиг моментного эксцентриситета по отношению к статическому [59]); fj и hj - радиус и смещение круговой полости j-ой обоймы АБУ. Будем считать ротор симметрично закрепленным, если 1\ = 1 . Для описания эксцентриситетов обойм АБУ введем параметры Sj — расстояния между точками Cj и Ej.

Введем следующие системы координат ( [60]): OXYZ - неподвижная абсолютная система координат, ось OZ которой направлена по оси, соединяющие центры опор 0\ и О2 в недеформированном состоянии; CX\Y\Zi - подвижная невращающаяся система координат с началом в точке С, сонаправленная с осями неподвижной системы OXYZ (рис. 2.2а); Cxyz - жестко связанная с ротором система координат (рис. 2.26).

G r]( - система главных центральных осей инерции ротора; Система Cxyz при повороте на угол \ относительно оси Су переходит в систему, оси которой сонаправлены главным осям инерции ротора. Угол 7 рассматривается в плоскости статического эксцентриситета, а углы 7j (между отрезком CjEj и осью CjX) — в плоскости j-oro АБУ. Описанная механическая система имеет (5 + 2п)

Движение ротора с постоянным угловым ускорением

Процесс установления полусбалансированного режима при постоянной угловой скорости вращения ротора ш = 600 с-1 продемонстрирован на рис. 2.6 в случае, когда массы шариков т\ = т = 0.375 кг. Прочие расчетные параметры аналогичны (2.20). В этом случае амплитуды прецессионного движения стремятся к значениям, определяемым соотношениями (2.12) и отмеченные на левом и среднем графиках пунктиром. Балансировочные шарики при этом занимают позиции, определяемые соотношениями (2.14), которым отвечают пунктирные линии на правом графике.

Таким образом, результаты расчетов подтверждают, что для динамически неуравновешенного ротора, оснащенного двухплоскостным эксцентрично насаженным АБУ, при выполнении условий (2.15), в закритической области устанавливается полусбалансированный режим с постоянными амплитудами остаточной вибрации, зависящими от эксцентриситетов АБУ и определяемыми формулами (2.12).

Процесс установления несбалансированного режима В случае невыполнения условий (2.15), для ротора, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш = 600 с-1, с массой шариков тп\ = тп2 = 0.175 кг. устанавливается стационарный несбалансированный режим. Амплитуды прецессионного движения ротора и углы отклонения шариков АБУ в случае несбалансированного режима продемонстрированы на рис. 2.7. Мы видим, что одна из обойм АБУ "не сработала" (левый нижний график), поскольку шарики, в силу недостаточной массы, не смогли разойтись и занять уравновешивающую позицию.

Первое уравнение системы (2.7) описывает движение точки С во вращающей системе координат. Поэтому координаты і, 2 и 7ъ Ш являются медленно меняющимися функциями времени, а их производные можно считать малыми по сравнению с единицей. С учетом этого упростим уравнения (2.7), пренебрегая в них членами второго порядка малости. Тогда упрощенные уравнения в вещественном виде будут выглядеть следующим образом:

Объединив системы (2.22) и (2.23), получим полную линейную систему уравнений в вариациях. Для иследования устойчивости полусбалансированного режима, подставим в качестве стационарных значений а также значения для углов по, ф2ю, фш и 22о, рассчитанные по формулам (2.14). Характеристический полином полной системы, состоящей из уравнений (2.22) и (2.23), имеет восьмой порядок, а следовательно мы имеем девять его коэффициентов: 2о5 &ъ а2і - Воспользуемся критерием Рауса и рассчитаем коэффициенты Ck,i по рекурсивной формуле

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости полусбалансированного режима имеют вид: Результаты численных расчетов, представленные на рис. 2.8 и 2.9 в виде двупараметических диаграмм устойчивости, получены для случая, когда d\ = d i и d,4 = d$. На левом графике рис. 2.8 штриховкой показана область устойчивости полусбалансированного режима для симметричного ротора в зависисмости от безразмерных параметров 5\, 82 и и, где 62 = di/moih + /2)2\/cii/mo Левый график рассчитан при = 0.1, а правый — при 5\ = 0.1. Остальные параметры соответствуют значениям (2.20).

На рис. 2.9 штриховкой изображены области ассимптотической устойчивости полусбалансированного режима для случая несимметричного ротора. Левая часть рисунка соответствует плоскости параметров (z/, 5\) при = 0.1, а правая соответствует (1 162) при 5\ = Двупараметрические диаграммы устойчивости полусбалансированного стационарного режима для несимметричного ротора

Из рисунков видно, что при нарушении симметрии ротора область устойчивости сдвигается дальше в закритическую обсласть. 2.4 Режимы нестационарного прохождения критической области Для исследования режимов нестационарного прохождения критической области, рассмотрим ротор, вращающийся с постоянным угловым ускорением в = Ь. Тогда систему уравнений (2.5) можно представить в виде (М0 + J2 fjM№ + (D " ibtG)4 + Cq = F0((bt)2

Численное интегрирование системы (2.26) при значении параметра Ь = 200 с-2 представлено на рис. 2.10 и 2.11. Рис. 2.10 демонстрирует процесс установления полусбалансированного режима для несимметрично закрепленного ротора с идеальным и неидеальным АБУ. В обоих случаях в области первой критической скорости наблюдается гиперболоидальная прецессия (аі 0, CL2 0), а при переходе ко второй критической скорости вследствие малости амплитуды а\ движение близко к конической прецессии (а\ 0, CL2 0). В случае неидеального АБУ (левый график) после прохождения резонансной области устанавливается полусбалансированный режим (2.12), тогда как для идеального АБУ (правый график) происходит полная балансировка ротора. демонстрирует процесс установления полусбалансированного режима при разгоне с постоянным угловым ускорением для случая симметрично "1 Прохождение резонансной области несимметрично закрепленного ротора с неидеальным и идеальным АБУ закрепленного ротора с неидеальным АБУ. При прохождении через первую критическую скорость движение близко к цилиндрической прецессии, так как амплитуда а мала в сравнении с й\, однако при прохождении через вторую критическую скорость наблюдается обратная ситуация и движение близко к конической прецессии.