Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Описание моделей экзоскелетов и обзор научно технической литературы 12
1.1. Эволюция концепций эндо- и экзоскелета в биологических и технических системах 12
1.2. Научно-технические достижения в конструировании экзоскелетов 16
1.3. Обзор научно-технической литературы по вопросам моделирования опорно-двигательного аппарата человека и создания экзоскелета 27
Выводы по главе 35
ГЛАВА 2. Анализ многозвенных стержневых механических систем типа эндо- и экзоскелета с переменной длиной звена 36
2.1. Модель звена переменной длины 36
2.2. Анализ плоских структурных элементов стержневых систем с изменяющейся длиной звена 44
2.3. Анализ пространственных структурных элементов стержневых систем с изменяющейся длиной звена 58
2.4. Дифференциальные уравнения движения элементов плоских стержневых систем со звеньями переменной длины 69
2.5. Пример составления дифференциальных уравнений движения модели экзоскелета с шестью подвижными звеньями переменной длины в одноопорной фазе 89
2.6. Дифференциальные уравнения движения элементов плоских стержневых систем в безопорной и двухопорной фазах 91
2.7. Трехмерные модели стержневых систем со звеньями переменной длины 106
2.8. Рекуррентный метод построения уравнений стержневой механической системы с звеньями переменной длины 134
2.9. Существование и единственность решения полученной системы дифференциальных уравнений 145
Выводы по главе 147
ГЛАВА 3. Анализ изменения радиуса сфер в шарнирах механической стержневой системы 149
3.1. Постановка задачи для шарнира сферической формы 149
3.2. Решение задачи о распределении давления и совместных деформациях в слоистом шарнире сферической формы 152
3.3. Нахождение численных оценок в модели многослойного шарнира 167
Выводы по главе 177
ГЛАВА 4. Моделирование статической устойчивости кинематических цепей, образованных звеньями переменной длины 179
4.1. Постановка задачи по преодолению последствий разрушения опорно двигательного аппарата человека 179
4.2. Построение решения задачи определения зон статической устойчивости в кинематической цепи 180
4.3. Обобщение решения задачи определения зон статической устойчивости 192
4.4. Четырехзвенный экзоскелет с массами, моделирующими переносную ногу, руки и голову 193
4.5. Исследование влияния ветвления звеньев на полученное обобщение решения 197
4.6. Изменение длины звена и его влияние на полученное решение 201
Выводы по главе 203
Глава 5. Синхронизация кинематических цепей опорно двигательного аппарата человека и экзоскелета 205
5.1. Модельная задача исследование синхронизации звеньев кинематической цепи при циклических движениях 205
5.2. Синхронизация в многозвенной кинематической цепи при циклических движениях 212
5.3. Модель синхронизации звеньев кинематической цепи при произвольных движениях точки подвеса 215
Выводы по главе 218
ГЛАВА 6. Моделирование динамики эндо- и экзоскелета на основе решения обратной задачи динамики и синтеза кинематических цепей, образованных звеньями переменной длины 219
6.1. Учет трения в модели эндо- экзоскелета и его влияние на решение прямой и обратной задач динамики 219
6.2. Синтез экзоскелета с деформируемыми звеньями для всего опорно-двигательного аппарата человека 223
6.3. Модель экзоскелета с двеннадцатью подвижными звеньями переменной длины 228
6.4. Восстановление двигательных функций человека на основании решения обратной задачи динамики при помощи экзоскелета 234
6.5. Теоретико-механическая модель экзоскелета 240
Выводы по главе 243
Заключение 245
Список литературы 248
- Обзор научно-технической литературы по вопросам моделирования опорно-двигательного аппарата человека и создания экзоскелета
- Пример составления дифференциальных уравнений движения модели экзоскелета с шестью подвижными звеньями переменной длины в одноопорной фазе
- Построение решения задачи определения зон статической устойчивости в кинематической цепи
- Модель синхронизации звеньев кинематической цепи при произвольных движениях точки подвеса
Обзор научно-технической литературы по вопросам моделирования опорно-двигательного аппарата человека и создания экзоскелета
Теоретические биомеханические модели эндоскелета используются при практическом создании антропоморфных роботов. Число степеней свободы опорно-двигательного аппарата человека велико и это приводит к неустойчивости движения. Следовательно, для антропоморфного механизма необходима совершенная система управления. Поэтому сейчас актуальна и технически возможна для реализации модель объединения эндоскелета и экзоскелета, усиливающая или восстанавливающая функции опорно-двигательного аппарата человека.
Биологические модели типа эндоскелета, передают мышечные усилия с помощью шарнирно-стержневых кинематических цепей. С этой точки зрения, опорно-двигательный аппарат человека представляет собой систему рычагов первого и второго рода с шарнирными соединениями.
Таким образом, в процессе эволюции биологических систем появились позвоночные, структура которых позволяет иметь много степеней свободы, что в принципе дает больше шансов выжить за счет более сложного поведения по сравнению с экзоскелетными.
Структуры шарнирно-стержневого типа удобно описывать с помощью обобщенных координат так, что положение свободного стержня определяется координатами центра масс, угловыми координатами, деформациями (или напряжениями), характеризующими положение стержня в пространстве. Шарниры накладывают связи, уменьшая число степеней свободы.
В настоящее время разработка экзоскелетов и антропоморфных роботов идет по различным направлениям, которые сгруппируем следующим образом: военные технологии - киберсолдаты, экзоскелеты для повышения физических возможностей военных, как для полного облачения человека, так и для отдельных частей тела. Военный экзоскелет, включая элементы защиты, предназначается в основном для повышения эффективности опорно-двигательного аппарата солдата. В сочетании с другими средствами, усиливающими профессиональные боевые качества солдата, офицера, это позволит уменьшить численность армии с одновременным повышением ее боевой эффективности; медицинские технологии - создание полных экзоскелетов для парализованных людей, заменяющий собой полностью функции опорно-двигательного аппарата; создание частей экзоскелета для восстановления подвижности отдельных органов; создание протезов, заменяющих утраченные звенья опорно-двигательного аппарата; лечебные – временно устанавливаемые при травмах, например, переломах, в одном месте фиксирующие звено, при этом позволяющие осуществлять движения этим звеном и нагружать его; геронтологические технологии - экзоскелеты, помогающие пожилым людям передвигаться, частично разгружающие опорно-двигательный аппарат человека или его отдельные звенья и компенсирующие ослабевающие функции подвижности человека; спортивное направление - защита опорно-двигательного аппарата спортсмена от травм и чрезмерных перегрузок, а так же для тренировочного процесса; производственное и бытовое направление - для выполнения работ, требующих значительных или продолжительных физических усилий.
Во многих странах (США, Германия, Италия, Франция, Норвегия, Япония, Австралия, Новая Зеландия, ЮАР, Корея, Китай и др.) проводятся масштабные исследования по созданию антропоморфных роботов и экзоскелетов. Россия в создании экзоскелетов и антропоморфных роботов находится в начале пути. Интересные теоретические разработки российских ученых, часто опережающие зарубежные теоретические изыскания, не находят практического применения и проведения соответствующих экспериментов. Несомненно, на это влияет и высокая стоимость проведения экспериментов.
Большинство исследований в моделировании и создании экзоскелетов и роботов проводятся с использованием модели абсолютно твердого тела, шар 16 ниров, управлений движением извне. Эти модели не являются адекватными реальному человеческому телу, а энергозатраты значительно превышают человеческие. Это мешает массовому производству экзоскелетов и антропоморфных роботов.
При использовании новых технологий и материалов в перспективе станет возможным создание экзоскелетов и антропоморфных роботов со звеньями переменной длины, полностью соответствующих движениям человека и с гораздо меньшими энергетическими затратами, чем современные роботы и экзоскеле-ты, созданные на основе твердого тела.
Для создания модели, близкой по своим свойствам к опорно-двигательному аппарату человека, нужно учитывать много показателей, которые обычно игнорируются: не учитывается изменение длины звеньев; не рассматриваются вопросы синхронизации звеньев при движении; задачи устойчивости до конца не решены. Расчет движений экзоскелета требует так же решения задачи управления движением. Идя по пути моделирования движений человека, данную задачу можно решить экспериментально, определяя управляющие моменты для экзоскелета по импульсам при движении человека и усиливая их. Определив управляющие моменты, можно использовать их при численном решении системы дифференциальных уравнений, описывающей движения эк-зоскелета.
Пример составления дифференциальных уравнений движения модели экзоскелета с шестью подвижными звеньями переменной длины в одноопорной фазе
Для исследования плоского движения экзоскелета в одноопорной фазе введем неподвижную правую декартову систему координат xyz с началом в точке О. Движение центра масс при этом происходит в плоскости ху. Система имеет две трехзвенные весомые ноги, две двухзвенные весомые руки и весомый корпус. Все длины стержней являются функциями времени: /,- = lt(t) (/ = 1, ..., 11). Пусть О1А1 = /1, А1В = /2, В1С = /3, В2С = /4, А2В2 = /5, 02А2 = /6, CG = /7, DE1 = h, E1F1 = h, DE2 = /10, E2F2 = /11 - длины звеньев биомеханической системы. Положение в одноопорной фазе однозначно определяется углами фг и длинами стержней /,-(/= 1, ..., 11). Рассматриваемая система имеет двадцать две степени свободы. Обозначим управляющие моменты, развиваемые в /-том шарнире через М ( = 1, ..., 11).
Центры масс находятся в точках: С1 - стопы опорной ноги, С2 - голени опорной ноги, С3 - бедра опорной ноги, С4 - бедра переносной ноги, С5 - голени переносной ноги, С6 - стопы переносной ноги, С7 - корпуса, С8, С10 - плеч, С9, С11 - предплечий. Их положения будем задавать в виде отношений длины от начала соответствующего звена до центра масс ко всей длине звена, через множители ПІ, (і = 1, …, 11), (0 пг 1) (если все звенья перенумеровать по номерам индексов у соответствующих углов). Это обусловлено тем, что для человека положения центров масс конечностей определяются эмпирическим путем и задаются в виде отношения одной части звена к другой [26]. Таким образом учитывается изменение положения центра масс во время движения через известные изменения длины звена.
Массы: т1, т6; т2, т5; т3, т4; т8, т10; т9, т11; т7 — масса стопы, голени, бедра, плеч, предплечий и корпуса, соответственно. В опорно-двигательном аппарате человека момент инерции в реальности является переменным (функцией длины, толщины звена, так как при изменении длины, изменяется и ширина звена, а также функцией перераспределения мягких тканей в звене и т.д.). Многочисленные факторы влияют на изменение момента инерции реального звена конечности человека при движениях. Следовательно, нельзя считать мо-
мент инерции только функцией длины звена. Поэтому будем считать его функцией времени, чтобы наиболее полно в целом учесть поведение момента инерции при ходьбе человека. Момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс звена, обозначим Ii = Ii(t) (i = 1, …, 11). Тогда I1, I6; I2, I5; I3, I4; I8, I10; I9, I11; I7 – моменты инерции стопы, голени, бедра, плеч, предплечий и корпуса, соответственно. Правую и левую конечности экзоскелета будем считать разными.
При моделировании используем два подхода к составлению уравнений: 1) проанализируем все базовые элементы модели экзоскелета с помощью теорем о движении центра масс и об изменении кинетического момента механической системы, применительно к задачам моделирования стержневых механических систем запишем дифференциальные уравнения движения для модели эк-зоскелета; 2) дифференциальные уравнения движения механической системы типа экзоскелета запишем в виде уравнений Лагранжа второго рода. Эти подходы не противоречат друг другу и совпадением результатов осуществляется контроль правильности. Кроме того, проверка осуществлялась с помощью метода размерностей. Преобразования выполняются в СКМ Mathematica [86], что гарантирует отсутствие арифметических ошибок. Использование системы компьютерной математики связано с возникающими техническими трудностями при составлении дифференциальных уравнений движения. Так, количество степеней свободы удваивается в сравнении с количеством звеньев. Кроме того, при дифференцировании по времени координат центра масс количество слагаемых удваивается за счет того, что углы и длины звеньев суть функции времени. Таким образом, количество операций, выполняемых при составлении дифференциальных уравнений движения, в сравнении с моделью с абсолютно твердыми звеньями, увеличивается многократно. И, если уравнения для одного звена еще возможно составить вручную, что и было продемонстрировано в предыдущем параграфе, то уже для двухзвенной модели затруднительно, не говоря уже о моделях с большим количеством звеньев. Система компьютерной математики на обычном офисном компьютере с аналитическими преобразова 48 ниями для одиннадцатизвенной модели с учетом операции упрощения уравнений справляется примерно за 10 минут. Таким образом, дальнейшее увеличение количества звеньев наталкивается на трудности технического характера. Кроме того, уравнения, составленные программой, непригодны для анализа и записи, требуют от исследователя дополнительной интеллектуальной работы по их группировке и приведению к структурированному виду. Имеются и другие программные средства для моделирования антропоморфных систем [69, 89, 320, 322], однако их использование также связано либо с вышеуказанными трудностями, либо с их ориентацией на численные расчеты инженерных конструкций и отсутствием возможности получения в аналитическом виде дифференциальных уравнений движения. Поэтому в работе предложен рекуррентный метод составления дифференциальных уравнений движения. Матричное представление дифференциальных уравнений рассматривается также в работах [56, 96, 100, 101, 141, 169]. Он, в отличие от классических методов, может стартовать с модели одного подвижного звена переменной длины, и далее, для составления уравнений движения используются только операции записи матриц по готовым формулам, их умножения на соответствующий вектор-столбец и сложения. В результате получаются дифференциальные уравнения в структурированном виде, пригодные для непосредственного дальнейшего использования. Подходы к составлению дифференциальных уравнений движения подобных систем не ограничиваются перечисленными выше методами. Подробный их анализ приводится, например, в работе [74]. В ней, в частности, указываются недостатки существующих методов получения уравнений, сходные с теми, о которых говорилось ранее. В этой работе описаны подходы к анализу механических систем, состоящих из цепочек твердых тел, на основании уравнений Аппеля и сравнения уравнений моделей, с количеством звеньев, отличающихся на единицу. Сравнительная таблица методов, использованных при составлении дифференциальных уравнений движения и предложенного рекуррентного метода имеет вид (табл. 2.1).
Построение решения задачи определения зон статической устойчивости в кинематической цепи
На основании теоремы о движении центра масс определяются реакции, путем решения линейной системы, состоящей из 33 уравнений с 33-мя неизвестными реакциями. Выписывать реакции не будем из-за их громоздкости. Найденные реакции подставляются в уравнения, записанные с помощью теоремы об изменении кинетического момента относительно оси вращения, проходящей через центр масс, после упрощения которых получаем систему дифференциальных уравнений движения.
Рассмотрим модели стержневых механических систем с одним, двумя, тремя и четырьмя подвижными звеньями переменной длины. Для механической системы с одиннадцатью подвижными звеньями (рис. 2.4), ввиду громоздкости, уравнения вынесены в приложение № 1.
Для исследования плоского движения экзоскелета со звеньями переменной длины в одноопорной фазе введем неподвижную правую декартову систему координат xyz с началом в точке О. Рассмотрим плоскость ху, в которой происходит движение центра масс.
Проведем анализ одного подвижного звена, с управлением в точке шарнирного крепления. Подобная модель может иметь практическое применение для предотвращения разрушения звена при значительных нагрузках или в медицине при переломах костей. Система имеет одно весомое звено АВ. Длина стержня является функцией времени: h = hit). На рис. 2.27. схематично изображено звено и введены соответствующие обозначения.
Пусть длина рассматриваемого звена экзоскелета АВ = 1\. Положение однозначно определяется углом фі и длиной стержня 1\. Рассматриваемая система имеет две степени свободы. Обозначим через М момент, развиваемый в шарнире. Центр масс звена находится в точке С\. Его положение будем задавать в виде отношения длины от начала звена до центра его масс ко всей длине звена, через множитель п\, (0 щ 1). Такой способ следует из того, что для человека положения центров масс конечностей определяются эмпирическим путем и задаются в виде отношения одной части звена к другой [26], кроме того, он позволяет учесть изменение положения центра масс во время движения через известные деформации звена. Масса звена - т\. Момент инерции звена, относительно оси, проходящей через точку С\ перпендикулярно плоскости движения -h переменный и является функцией времени. Тогда, момент инерции звена относительно оси, проходящей через точку А, в соответствии с теоремой Штейне-ра/і + тх1\П\. При расчетах и моделировании движения экзоскелета все вышеприведенные характеристики берутся равными соответствующим экспериментальным данным человека.
Записав выражение элементарной работы для сил, приложенных к системе, получаем обобщенные силы. Qx = Mx - glxmxnxcosq b (2.44) Q2 = - k11 - gm1n1smq 1, где Мi - момент, развиваемый в шарнире, х - изменение длины звена, кх -коэффициент жесткости материала из которого изготовлен элемент экзоскелета. Пользуясь уравнениями Лагранжа второго рода, получим систему дифференциальных уравнений движения рассматриваемой стержневой системы, описывающую изменение угловой координаты и длины звена. (Ix + mxlxW)% + ghmlnlCosq l + 2llmlnl2 l Фі + IХЦ Х =М, (2-45) - lxmxnx $\ + тиі«ізіпфі + тхпхlх = - кх1ь (2.46) Общее решение системы уравнений движения зависит от 4 произвольных постоянных. Чтобы однозначно определить движение, требуется задать начальные условия. Для угловых координат формулы (2.47), для изменений длин звеньев - (2.48). Ы=о = Фіо; Ы=о = юіо; (2Л1) liU=lvliL=lV (2-48) Уравнения (2.45), (2.46) - дифференциальные уравнения движения для механической модели с одним подвижным звеном переменной длины.
Таким образом, записана замкнутая система дифференциальных уравнений. Замкнутость системы дифференциальных уравнений означает, что количество уравнений, с учетом порядка, совпадает с количеством искомых функций, имеются все начальные условия, числовые значения всех констант определены, все это позволяет получить численное решение задачи Коши для записанной системы уравнений.
Модель синхронизации звеньев кинематической цепи при произвольных движениях точки подвеса
Очевидно, что все полученные частные производные непрерывны в некоторой области D, зависящей от параметров системы. Тогда при начальных условиях (2.47) и (2.48) данная система дифференциальных уравнений, в соответствии с теоремой Пикара, имеет единственное решение задачи Коши.
Решение существует и единственно на промежутке, который можно оценить. Проведем численную оценку области существования и единственности решения, используя реальные данные из биомеханики, измерений и эксперимента, проведенных нами [26]. При этом будем использовать максимальные значения величин, не рассматривая правые части исходных уравнений, ограничимся только левой частью, то есть рассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую уравнениям (2.45) и (2.46). Это связано с тем, что управление системой, как и учет деформаций, могут быть осуществлено различными способами. Это видно и из полученных частных производных, в которых управляющие моменты, которые задаются как функции времени, отсут ствуют. Соответственно, при этом допущении: констант, взяты из эксперимента и соответствуют данным для конкретного че 147 ловека [26]. В качестве первого звена рассматривается стопа опорной ноги. Они имеют значения: масса т1 = 1,13 кг, момент инерции 11 = 0,01 кг-м2, множитель, задающий положение центра масс щ = 0,56, ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2. Угол ф1 и длина звена h являются переменными (функции времени), определялись экспериментально и задавались в виде интерполяционных многочленов для одной фазы движения, на промежутке времени 0 ґ 0,36 c. В результате расчетов, максимальные абсолютные значения частных производных
В итоге получены ограниченные в области R частные производные по переменным ф1, /1, фІ, lx на промежутке 0 t 0,36 c. Это доказывает существование и единственность решения задачи Коши для исходной системы дифференциальных уравнений (2.45) и (2.46).
Проверяя полученный результат для двухзвенной механической системы, также получаем непрерывность и ограниченность всех частных производных. Данное исследование не приводится ввиду громоздкости получаемых выражений. Ранее получены обобщения уравнений для и-звенного механизма (2.75), (2.76) и установлено, что их структура не отличается от уравнений, рассмотренных выше. Поэтому, проделывая всё по аналогии с уже рассмотренным случаем, приходим к заключению, что решение задачи Коши существует и единственно для и-звенного экзоскелета.
Таким образом, доказано существование и единственность решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений движения экзоскелета с изменяющими длину звеньями.
Проведен анализ динамики отдельных подвижных звеньев переменной длины стержневых систем типа экзоскелета на плоскости и в пространстве. В результате определяются реакции звеньев, используемые в дальнейших рас 148 четах, и составляются дифференциальные уравнения движения математической модели экзоскелета.
Проведен анализ дифференциальных уравнений движения. Выявлена их структура, которая позволила представить их в векторно-матричном виде. Впервые установлены общие закономерности построения матриц и получены обобщения выражений для элементов матриц в двухмерном и трехмерном случаях. Все это позволяет предложить эффективный алгоритм записи дифференциальных уравнений движения для механизма n подвижными звеньями типа экзоскелета, минуя этап составления уравнений при помощи уравнений Ла-гранжа второго рода, общих теорем динамики и т.п.
Анализ уравнений показал возможность представления, составления уравнений в реккурентной форме записи, и как следствие – алгоритмизации составления уравнений движения на основе рекурсии.
Рассмотрены все возможные реальные условия функционирования эк-зоскелета: одноопорная, безопорная, двухопорная фазы движения. Предложены теоретико-механические математические модели в виде дифференциальных уравнений движения для каждой из фаз с учетом изменения длины звеньев. Получены обобщения для составления уравнений движения системы с любым произвольным конечным количеством звеньев. Это делает предлагаемую модель универсальной и приближает её к реальным движениям человека.
Впервые получены выражения для оценки погрешности, связанной с изменением количества звеньев. В перспективе на практике это можно будет использовать для определения оптимального количества звеньев в модели эк-зоскелета, необходимого для выполнения заданных движений.
Показано существование и единственность решения задачи Коши для полученной системы дифференциальных уравнений, описывающей движения экзоскелета и его отдельных звеньев.
Цель данной главы получить оценки изменения радиуса шарнира-сустава на основе определения компонентов тензоров напряжений и деформаций для произвольного, конечного количества оболочек, находящихся под внешним давлением, определения давления сфер друг на друга, считая внешнее давление известным и расчетов совместной деформации сфер.
Рассмотрим модель механической системы, приближенную к реальным движениям человека. При этом возникает необходимость моделирования шарниров-суставов, позволяющих осуществлять движения звеньев во всех координатных плоскостях. Вопросы моделирования суставов опорно-двигательного аппарата человека рассматриваются в следующих работах [61, 88, 90, 137, 143, 145, 150-152, 159, 200, 213, 237, 241]. В данной главе разработана математическая модель шарнира-сустава для выяснения нагрузок и напряжений, возникающих в многослойной конструкции.
Так как кость в реальном опорно-двигательном аппарате человека при ходьбе практически не деформируется, основные деформации возникают в шарнирах-суставах, то деформации звена можно моделировать изменением радиусов сфер. Оценить изменения длин звеньев можно, рассматривая радиальные деформации, характеризующие изменения радиусов сфер в шарнирах-суставах.
В качестве основы для моделирования шарнира используем эмпирическую информацию о суставе опорно-двигательного аппарата человека.
В экспериментальных работах Центрального института травматологии и ортопедии установлено, что головка тазобедренного сустава является практически идеальной сферой, за исключением шейки бедра [61] (рис. 3.1).