Содержание к диссертации
Введение 4
Глава 1. Уравнения движения и методы интегрирования неголономных систем 9
1. Уравнения движения неголономных систем 9
2. Тензорные инварианты и свойства динамических систем 21
-
Тензорные инварианты неголономных систем 21
-
Тензорные инварианты и динамические особенности поведения ... 22 3. Интегралы и поля симметрии, понижение порядка и интегрируемость .... 25
-
Поля симметрии и понижение порядка 25
-
Интегрируемость и приводимость 28
Глава 2. Тензорные инварианты в динамике твердого тела на абсолютно шеро
ховатой поверхности 33
1. Тело на плоскости 33
-
Уравнения движения, интегрируемость, иерархия динамики 33
-
Трехмерные точечные отображения в неголономной механике .... 36
-
Тело вращения на плоскости (С. А. Чаплыгин [115], П. Аппель[1,127]) 37
-
Качение уравновешенного динамически несимметричного шара (шар Чаплыгина [117]) 44
-
Качение динамически несимметричного неуравновешенного шара по плоскости 46
-
Произвольное тело с шаровым центральным эллипсоидом инерции. . 47
-
Качение эллипсоида по плоскости 48
1.8. Гиростатические обобщения 49
2. Тело на сфере 52
-
Уравнения движения 52
-
Качение тела вращения 54
-
Динамически несимметричный уравновешенный шар на сфере .... 5G
-
Динамически несимметричный неуравновешенный шар на сфере ... 57
-
Качение тела с плоским участком по сфере 58
2.6. Качение произвольного тела с шаровым тензором инерции (I = /uE,
їх = const, Е = ||6^\\) по сфере 61
-
Эллипсоид со специальным распределением масс на сфере 62
-
Гиростатические обобщения 62
3. Качение динамически симметричного шара по неподвижной поверхности . . 64
-
Уравнения движения 64
-
Интегралы движения и инвариантная мера 66
-
Движение шара по поверхности вращения 68
-
Качение шара по поверхностям второго порядка — неголономная задача Якоби 77
-
Движение шара по цилиндрической поверхности 83
Глава 3. Динамика кельтских камней 88
1. Постановка задачи и уравнения движения 88
2. Переменные Андуайе—Депри и трехмерные отображения Пуанкаре 91
3. Симметрии потока и отображения 93
4. Известные аналитические результаты в динамике кельтского камня 95
5. Численные исследования динамики кельтского камня 99
Приложение 1. Препятствие к гамильтоновости неголономных систем 112
Приложение 2. Динамика кругового цилиндра, взаимодействующего с точеч
ными вихрями 117
Приложение 3. Новый интеграл четвертой степени уравнений Кирхгофа и Пу
анкаре-Жуковского 134
Приложение 4. Две интегрируемые системы на двумерной сфере 136
Приложение 5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости обоб
щенных цепочек Тоды 140
Заключение ' 150
Литература 151
Введение к работе
В настоящее время достигнут большой прогресс в исследовании как интегрируемых, так и неинтегрируемых систем, описываемых уравнениями лагранжевой и гамильтоновой механики. К ним относятся прежде всего конечномерные системы из небесной механики (задача п тел), динамики твердого тела (уравнения Эйлера —Пуассона), вихревой динамики, динамики многочастичных систем и др. Аппарат лагранжевой и гамильтоновой механики существенно связан с тем, что связи, наложенные на систему, являются голономными (интегрируемыми, геометрическими). Если связи не являются интегрируемыми, т. е. не сводятся к некоторым конечным соотношениям между обобщенными координатами, то уравнения движения уже не записываются в форме уравнений Лагранжа и Гамильтона, в них добавляются «члены неголономности», которые приводят к новым интересным динамическим эффектам, систематическому изучению которых и посвящена данная работа.
В развитии неголономпой механики можно выделить два направления, в каждом из которых имеются интересные исследования. Одно из них связано с общим формализмом уравнений динамики, который отличается от лагранжева и гамильтонова метода составления уравнений движения. Исторически ряд ошибок известных математиков, среди которых можно назвать К. Неймана [ 174] и Э. Линделефа [ 169], был связан с некорректностью применения уравнений Лагранжа при наличии неинтегрируемых связей для описания задачи о качении тела без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Окончательное понимание неприменимости уравнений Лагранжа и вариационных принципов в неголономной механике принадлежит Г. Герцу, который обсуждает эти вопросы в своем фундаментальном труде «Принципы механики, изложенные в новой связи» [36]. Именно Г. Герц ввел термины голономные и неголономные связи. Замечания Герца развил А. Пуанкаре [96] в своей известной работе «Идеи Герца в механике»
Основное отличие неголономной механики от обычной лагранжевой состоит в том, что уравнения связей, записанные через обобщенные координаты qj и обобщенные скорости qj в виде fi(q,Q,t) = 0, і = 1,..., к, q = (f/i, ..., qn), (1) не могут быть представлены в конечном (интегральном) виде Fi(g,t) = 0, (2) задающем ограничения только на обобщенные координаты. В этом случае говорят, что связи являются неинтегрируемыми (дифференциальными). По Герцу [36] они также называются неголономными1.
Исторически первой общей формой уравнений неголономной механики следует считать уравнения Феррерса с неопределенными множителями Аь ..., А^ (1872 г.) Jtiw) ~ Wi=Qi + ^XjW (3)
В уравнениях (3) Т — кинетическая энергия, Qt — обобщенные силы, а А.,- являются неопределенными множителями, которые, вообще говоря, однозначно восстанавливаются из условий связи fi(q, q) = 0. Рассматриваемые в неголономной механике связи, как правило, являются линейными по обобщенным скоростям
Именно такие связи реализуются в содержательных задачах. Тем не менее, Больцманом и Гамелем был указан несколько искусственный пример нелинейной неголономной связи. Феррерс также исключил неопределенные множители и получил некоторый аналог лагран-жевых уравнений движения [ 156]. Неголономные уравнения изучались также М. В. Остроградским.
Кроме уравнений Феррерса в неголономной механике используются также уравнения Аппеля, Чаплыгина, Маджи, Вольтерра, Больцмана —Гамеля. Все эти формы связаны с различными способами исключения неопределенных множителей. Наиболее полный обзор всевозможных форм уравнений с подробными обсуждениями и примерами приведен в монографии [44]. В этой монографии также строится теория составления уравнений движения для некоторого нового класса задач, которые характеризуются связями высокого порядка.
Второе направление представляет собой исследования, связанные с анализом конкретных неголономных систем, с развитием компьютеров оно приобретает все большее значение. Первые постановки подобных задач восходят к Э.Раусу, С.А.Чаплыгину, П.В.Воронцу, П.Аппелю и Г.К.Суслову, которые нашли замечательные интегрируемые ситуации и дали их аналитическое и качественное описание. Большинство из этих задач связано с качением тел. Кроме нахождения интегрируемых случаев было выполнено множество исследований устойчивости частных решений (как правило, стационарных вращений) для общих, неинтегрируемых, систем. Среди них наиболее известны исследования, связанные с устойчивостью вращений вокруг вертикальной оси так называемого кельтского камня (т. е. тела, характеризующегося несовпадением геометрических и динамиче- 1 Термин голономный происходит от двух греческих слов дХоС, (целый, интегрируемый) и иор,оС, (закон). ских осей), который демонстрирует удивительную зависимость устойчивости от направления вращения. Наиболее полные аналитические результаты получены здесь Дж. Уол-кером, В. В. Румянцевым, А. В. Карапетяном, И. С. Астаповым, А. П. Маркеевым, М. Паскаль, которые, тем не менее, не решили полностью проблему описания эволюции такой системы (предварительные численные результаты имеются в [168]). До сих пор имеется ряд свойств кельтских камней, не получивших надлежащего теоретического объяснения.
В последние два десятилетия развитие исследований неголономных систем связано с нахождением новых интегрируемых задач, которые принадлежат В. В. Козлову, А. П. Мар-кееву, А. П. и Л. Е. Веселовым, Ю. Н. Федорову, Я. В. Татаринову, а также с компьютерными и качественными исследованиями как в интегрируемых, так и в неинтегрируемых ситуациях.
Укажем также на ряд работ [129, 128, 130, 148], в которых приводятся различные способы записи неголономных систем и методы редукции уравнений при наличии симметрии. В работе [190] предложена почти гамильтонова форма записи уравнений неголономной механики (кососимметричная форма записи без сохранения тождества Якоби), без обсуждения препятствий к гамильтоновости. Один из важных динамических эффектов, препятствующих существованию пуассоновой структуры, связанный с несуществованием инвариантной меры и асимптотическими свойствами был отмечен В. В. Козловым в фундаментальной работе [54].
Укажем здесь на также сравнительно недавние замечательные исследования В. А. Яро-щук [122, 121], обнаружившей новые случаи существования инвариантной меры, а также работы А. В. Карапетяна [47] и В. В. Козлова [64], посвященных вопросу реализации неголономных связей. Эти работы развивают более ранние исследования К. Каратеодори [ 146], который связывал вопрос происхождения неинтегрируемых связей с наличием сил вязкого трения с бесконечно большим коэффициентом вязкости. Относительно других моделей динамики систем с неинтегрируемыми связами — о механике Дирака и вакономной механике можно прочитать в обзорах [ 15, 192]. Отметим также работы Я. В. Татаринова [ 109], в которых рассматриваются вопросы строения интегральных многообразий интегрируемых неголономных систем (в частности для некоторых интегрируемых вариантов задачи Суслова они не являются торами как в гамильтоповом случае), а также введено представление о слабо неголономных системах и методами усреднения исследована их эволюция.
Отметим также вклад в развитие неголономной механики Санкт-Петербургской школы механики, в результате чего многие неголономные проблемы вошли известный университетский курс теоретической механики [90]. Различные физические и математические аспек^ ты неголономных задач исследованы в работах A.M. Вершика, В.Я- Гершковича, С.А. Зег-жды, Н.Н.Поляхова, М.П.Юшкова [91, 92,93,45, 119]. Особо отметим новые результаты о нелинейных неголономных связях, развивающие пример Больцмана—Гамеля, а также о связях высшего порядка, изложенные в монографии [44]. В этой монографии имеется также ряд примеров из робототехники и механики космического полета, которые иллюстрируют важность подобных более общих постановок задач.
С современными достижениями в исследовании устойчивости неголономных систем можно познакомиться по книге [49], более элементарные вопросы разобраны в [86, 101 ].
Укажем также ряд исследований по устойчивости и странным аттракторам, выполненных в Санкт-Петербургской математической школе [73,74,75,89]. Отметим, что в работах Г.А.Леонова проблемы существования странных аттракторов связываются с классическими результатами теории устойчивости, а также обсуждаются методы практического их обнаружения и математического описания.
В данной работе систематически изучаются уравнения движения твердого тела, движущегося по неподвижной поверхности при условии отсутствия проскальзывания в точке контакта. В этом случае уравнения движения являются неголономными, хотя и обладают интегралом энергии (т. е. свойством консервативности). Данная система в зависимости от динамических и геометрических параметров имеет целую иерархию динамического поведения, связанную с наличием (или отсутствием) тензорных законов сохранения (инвариантов). В частности большое значение имеет анализ существования скалярных инвариантов — первых интегралов. Однако, для неголономных систем не менее важное значение имеют другие инварианты — инвариантные меры, поля симметрии, пуассоновы структуры.
Остановимся несколько подробней на структуре диссертации.
В главе I приведены основные формы уравнений движения неголономных систем (применительно к задачам качения) и рассмотрены типичные случаи понижения порядка, связанные с действием различных групп симметрии. Затронуты также общие вопросы явного интегрирования уравнений неголономной механики, которое возможно (в отличие от га-мильтоновой ситуации и теоремы Лиувилля) различными способами. Эта глава в целом носит методический характер, хотя некоторые результаты и являются новыми. Они связаны с исследованием общей формы уравнений динамики в групповых переменных (уравнения типа Пуанкаре—Четаева) и современным способом алгебраического понижения порядка.
В главе II рассматриваются различные упрощенные постановки задачи о движении без проскальзывания твердого тела по неподвижной поверхности, в которых уравнения движения имеют форму, близкую к уравнениям Эйлера —Пуассона (т.е. шесть дифференциальных уравнений, обладающих интегралом энергии и геометрическим интегралом). К ним относятся системы, описывающие произвольное твердое тело, катящееся без проскальзывания по плоскости и сфере, а также описывающие качение динамически симметричного шара по произвольной (фиксированной) поверхности. В этой главе указаны новые случаи существования тензорных инвариантов: первых интегралов, инвариантных мер. полей симметрии, пуассоновых структур (найденные с использованием аналитических и компьютерных методов). Вместе с результатами классиков (С.А.Чаплыгин, П. В. Воронец и др.) эти результаты представлены в виде нескольких таблиц, иллюстрирующих иерархию динамического поведения.
В главе III более подробно изучена наиболее сложная ситуация — полного отсутствия дополнительных тензорных инвариантов — в динамике твердого тела на плоскости. Такая ситуация типична для кельтских камней, характеризующихся несовпадением в точке контакта геометрических и динамических осей. В этой главе описаны наиболее важные аналитические результаты по устойчивости вертикальных вращений, начиная с результатов Дж.Уолкера, впервые заметившего асимптотический характер устойчивости в такой системе. С помощью методов компьютерного анализа с привлечением общих теорем современной теории динамических систем для динамики кельтского камня установлено существование сложных стохастических движений, в которых хаотически чередуются вертикальные вращения и горизонтальные колебания. Оказалось, что такие движения связаны с появлением в фазовом пространстве трехмерного точечного отображения Пуанкаре странных аттракторов, аналогичных хорошо известному аттрактору Лоренца. Полученные результаты позволяют более полно изучить глобальную динамику кельтского камня.
В приложениях собраны результаты автора о новых интегрируемых случаях в динамике обобщенных цепочек Тоды, в динамике твердого тела, имеющего полости, заполненные вихревой идеальной жидкостью (уравнения Пуанкаре—Жуковского), в искривленной небесной механике. Рассмотрена также новая задача о плоском циркуляционном движении твердого тела в жидкости, взаимодействующего с точечными вихрями, для которой указана нетривиальная пуассонова структура и один случай интегрируемости. Разобраны также результаты численных экспериментов для классической интегрируемой задачи о качении по плоскости шара Чаплыгина, позволяющие указать негамильтонов характер этой задачи. Несмотря на интегрируемость в этом случае имеется различие в периодах движения по различным траекториям, лежащим на резонансном торе, приводящее к явлению слабого перемешивания и к отсутствию глобальной приводимости к гамильтонову виду.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13, 16, 17, 18, 19, 21, 27, 76,77,79,133, 134,141,143,172]
