Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача о движении системы упругое-твердое тело вокруг центра масс в ньютоновском гравитационном поле сил 15
1.1. Вывод уравнений движения системы из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа 15
1.2. Динамика собственных форм колебаний системы при наличии вращательных и центробежнных сил инерции
1.3. Задача о движении деформируемого спутника на участке разворота 28
1.4. Плоские движения деформируемого спутника в гравитационном поле сил 33
1.5. Анализ динамической системы упругое-твердое тело в режиме переориентации 37
Глава 2. Динамика космического аппарата (ка) с упругими и диссипативными элементами в режиме ориентации 40
2.1. Уравнения движения деформируемого КА относительно центра масс при наличии гиростабилизаторов 43
2.2. Уравнения для нормальный координат 44
2.3. Исследование устойчивости режима ориентации КА 48
2.4. Задача переориентации КА при наличии осциллирующего момента от гиродинов 57
Глава 3. Орбитально-вращательное движение нежёсткого ка в гравитационном поле сил 62
3.1. Постановка Задачи 62
3.2. Уравнения поступательно-вращательного движения спутника, при наличии упругих и диссипативных элементов 65
3.3. Устойчивость стационарных движений деформируемого спутника 79
Глава 4. Долгосрочная модель параметров вращения земли пвз в задаче прогнозирования спутниковой навигации 88
4.1. Динамические модели колебаний земного полюса и неравномерности осевого вращения Земли 89
4.2. Применение долгосрочной модели ПВЗ в спутниковой навигации 95
Заключение 101
Список использованных источников
- Задача о движении деформируемого спутника на участке разворота
- Уравнения для нормальный координат
- Уравнения поступательно-вращательного движения спутника, при наличии упругих и диссипативных элементов
- Применение долгосрочной модели ПВЗ в спутниковой навигации
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Теоретическое исследование движения сложных механических
систем - трудная математическая задача. Поэтому научный и практический интерес представляет решение модельных задач, позволяющих понять характерные закономерности движения многокомпонентных тел и конструкций, т.е. систем, состоящих из твёрдых тел, материальных точек и звеньев с распределёнными параметрами, для которых процессы деформирования обратимы и существует потенциальная энергия упругой деформации.
Большое число задач динамики твёрдого деформируемого тела исследовано в работах А. И. Лурье, Ф. Л. Черноусько, Л. В. Докучаева, Д. М. Климова,
B. Ф. Журавлёва, В. Г. Вильке, В. В. Сидоренко, А. П. Маркеева и ряда других
авторов. Детальное описание движения механических систем с бесконечным
числом степеней свободы приводит к дифференциальным уравнениям, в
большинстве случаев не поддающимся аналитическому исследованию, так что
возникает необходимость численного моделирования для получения конечного
результата. Вопросы эволюции поступательно-вращательного движения
деформируемых небесных тел под действием гравитационно-приливных сил
изучались в работах Дж. Дарвина, У. Манка и Г. Макдональда, П. Голдрайха и
C. Пила, В. В. Белецкого, Ф. Л. Черноусько, Д. М. Климова, В. Г. Вильке,
А. П. Маркеева и других. Важное прикладное значение для космодинамики имеет
задача движения спутника с упругими и диссипативными элементами в
центральном гравитационном поле сил.
В ряде работ В. Г. Вильке, В. В. Сидоренко, А. П. Маркеева, посвящённых
эволюции быстрых вращений механический системы в центральном
гравитационном поле сил, спутник моделируется сплошной упругой средой или упругим-твердым телом, обладающим внутренним трением. С помощью основных теорем динамики и уравнений Лагранжа второго рода получена замкнутая система дифференциальных уравнений, описывающих движение такой среды. Для анализа уравнений движения применяется способ, аналогичный асимптотическому методу, разработанному Ф.Л. Черноусько для механических систем, содержащих упругие и диссипативные элементы. В случае слабо эллиптической орбиты исследованы эксцентриситетные колебания. Метод исследования представляет собой синтез методов модального анализа и малого параметра.
В работах В.Г. Вильке, Ю.Г. Маркова изучается обобщение
рассматриваемой задачи на случай, когда механическая система представляет собой осесимметричное вязкоупругое тело, имеющее общую границу с твёрдой частью и движущееся в центральном ньютоновском гравитационном поле сил. В результате выявлен следующий эффект, свойственный деформируемым системам с диссипацией: вращение системы вокруг центра масс замедляется, при этом модуль вектора кинетического момента системы монотонно убывает. Сам вектор кинетического момента эволюционирует в сторону плоскости орбиты, а центр масс стремится занять положение, при котором угол между нормалью к плоскости орбиты и вектором кинетического момента системы равен определённой величине, зависящей от текущего значения угловой скорости вращения системы. Когда угловая скорость системы становится сопоставима с орбитальной, предположение о быстрых вращениях нарушается, наблюдается гравитационный захват системы, при котором вектор кинетического момента стремится занять положение по нормали к плоскости орбиты.
Для приложений наибольший интерес представляет исследование движения механических систем с упругими и диссипативными элементами при малых значениях углового ускорения, что обеспечивается в двух практически важных случаях: при вращении тела вокруг оси, близкой к одной из главных центральных осей инерции, и при вращении тела, близкого по своим техническим характеристикам к сфере.
Переходные процессы, связанные с изменением режима ориентации нежёсткого спутника, а именно: гашение начальных угловых скоростей, возникающих после отделения спутника от ракеты-носителя; закрутка космического аппарата (КА) до определённой угловой скорости; программные повороты, учитывающие дрейф от деформации конструкции; процесс приведения ориентации к заданной - должны учитываться в алгоритмах формирования оценок ориентации.
Данные задачи о движении деформируемых тел относительно центра масс в гравитационном поле сил являются объектом исследования диссертационной работы.
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование
динамических моделей механических систем с упругими и диссипативными
элементами относительно центра масс, движущихся в центральном
гравитационном поле сил.
Научная новизна.
-
Исследована динамика системы упругое-твёрдое тело на участке разворота при наличии осциллирующего момента. Получены аналитические выражения, позволяющие оценить отклонение движения системы от программного (для твёрдого спутника).
-
Показана возможность демпфирования угловых колебаний спутника, обладающего вязкоупругостью, за счёт внутреннего трения в материале конструкции на соответствующих временных интервалах.
-
Выведены приближенные дифференциальные уравнения, описывающие поступательно-вращательное движение КА, содержащего деформируемые элементы, в центральном гравитационном поле сил. Определяются стационарные движения системы, и исследуется их устойчивость.
-
Изучена роль фундаментальных составляющих параметров вращения Земли (колебаний земного полюса и неравномерности её осевого вращения) в задаче спутниковой навигации. Даны оценки точностных характеристик координат местоположения объекта.
Теоретическая и практическая значимость. Важное прикладное
значение имеет задача приведения космического аппарата (спутника) из произвольного движения в заданное угловое положение в инерциальной или орбитальной системе координат. Повышенные требования к точности ориентации спутников обусловливают учёт влияния упругих деформаций на движение всей конструкции как целого относительно центра масс. Поэтому разработка математических моделей, с помощью которых может быть рассмотрена динамика таких систем в задаче переориентации, повышение точности гравитационной стабилизации спутника, угловое движение при наличии органов управления, поступательно-вращательное движение деформируемого спутника является основополагающей в задачах ориентации спутника, его стабилизации и управления его движением.
Данная работа имеет теоретическое значение для развития механики систем с бесконечным числом степеней свободы.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту: На защиту выносятся следующие положения:
1. Исследованы колебательные процессы, связанные с ориентацией нежёсткого
спутника относительно центра масс. Показана возможность демпфирования угловых колебаний спутника, обладающего упругостью, за счёт внутреннего трения в материале конструкции на соответствующих временных интервалах.
-
На примере модельной задачи изучены вращательные движения космического аппарата с упругими и диссипативными элементами как целого относительно центра масс с учётом органов системы управления – двухстепенных гиростабилизаторов – в режиме ориентации. Показано, при каких предположениях упругие колебания не оказывают влияния на плоский разворот спутника и когда он невозможен. Исследован вопрос асимптотической устойчивости КА.
-
Найдены аналитические выражения, позволяющие оценить отклонение движения такой системы от программного (для твёрдого спутника – дрейф угловой скорости), обусловленные деформируемостью конструкции.
-
Получены приближённые дифференциальные уравнения, описывающие поступательно-вращательное движение спутника, содержащего деформируемые элементы, в центральном гравитационном поле сил. Показано, что дифференциальные уравнения поступательного и вращательного движения спутника связаны между собой посредством членов, наличие которых обусловлено деформируемостью системы. Найдены стационарные движения и исследована их устойчивость.
-
Разработана долгосрочная модель вычисления параметров вращения Земли на длительных интервалах времени для обработки высокоточных измерений топоцентрических дальностей до искусственных спутников Земли (ИСЗ) типа Эталон. Получена оценка априорной величины остаточных отклонений для наблюдений спутника Эталон, которая составила приблизительно 1.8 м.
Достоверность и апробация результатов. Достоверность результатов обеспечивается с помощью математически обоснованных методов классической механики в сочетании с методами механики сплошных сред и снабжены необходимыми ссылками на литературу. Отмечается согласованность основных результатов с работами других авторов. Количественные результаты подтверждены численными экспериментами. Основные результаты диссертации докладывались автором на конференциях.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях в журналах из списка ВАК: две в журнале “Космонавтика и ракетостроение”, и одна в журнале “Теория и системы управления”.
-
Скоробогатых И. В., Тун Тун Вин. Орбитально-вращательное движение спутника, содержащего деформируемые элементы, в гравитационном поле сил “Космонавтика и ракетостроение” 4(69). 2012. С. 108-113.
-
Акуленко Л.Д., Крылов С.С., Марков Ю.Г., Тун Тун Вин, Филиппова А.С. Динамика космического аппарата с упругими и диссипативными элементами в
режиме ориентации // Известия РАН. Теория и системы управления. 2014. №5. С. 106-115.
3. Перепелкин В.В., Тун Тун Вин, Чазов В.В. Долгосрочная модель
прогнозирования параметров вращения Земли при решении задач спутниковой навигации //Космонавтика и ракетостроение. 1(74). 2014. С. 128-133. Результаты работы докладывались и обсуждались на:
- XXXXII Всероссийском симпозиуме “Механика и процессы управления”.
Миасс, 18-20 декабря 2012 года;
Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 5-9 июля 2013 года);
Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 3-7 июля 2015 года).
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все выносимые на защиту результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Она содержит 110 страницу машинописного текста, включающего 13 рисунков и список литературы из 79 наименований.
Задача о движении деформируемого спутника на участке разворота
Важное прикладное значение имеет задача приведения спутника из произвольного начального в заданное угловое положение в инерциальной или орбитальной системе координат. Представляется целесообразным получить в явном виде дифференциальные уравнения, описывающие малые колебания по собственным формам произвольного осесимметричного упругого КА. В эти уравнения в качестве коэффициентов входят проекции угловой скорости спутника, а также их квадраты, произведения и производные по времени. В качестве примера рассмотрена динамика такой системы на участке разворота при переориентации.
Пусть спутник представляет собой динамически симметричную механическую систему, состоящую из упругой (однородной и изотропной) и твердой частей. Ось динамической симметрии является осью симметрии упругой части в недеформированном состоянии. Перемещения частиц упругой среды относительно твердого тела на части осесимметричной границы равны нулю, другая часть границы свободна. Предполагается, что центр масс спутника–точка C - обращается по заданной орбите и движение системы относительного центра масс – вращение как целого и упругие колебания – не влияет на орбитальное движение. При деформациях центр масса системы смещается из точки С в точку С на вектор ис. Для описания деформированного состояния введём систему координат С оси которой параллельны главным центральным осям инерции недеформированное системы Cxt(i= 1,2,3). Пусть и(г,Г) = (иг,и2,и3) упругое смещение частицы, характеризуемой в недеформированном состоянии радиус-вектором г относительно системы координат Сх1х2х3(гєО. = 0.1+0.2, где Qj и Q2 - области, занимаемые твердым и упругим телами соответственно). Принцип Даламбера-Лагранжа для рассматриваемой системы запишется так:
Здесь R = RR0 - радиус-вектор центра масс спутника, ) абсолютная угловая скорость системы координат Сх1х2х3 в проекциях на соответствующие оси, V[u]- градиент квадратичного функционала линейной теории упругости малых деформаций; D[u] = %ЬЕ[й]- диссипативный функционал; %- безразмерный коэффициент рассеивания в среде, соразмерная константа; 0 % zl, Ь 0; р: и р2 - плотность твердой и упругой частей соответственно, при этом
Pi, гєЦ р2, reQ2 В дальнейшем предполагается, что деформациями, вызванными силами гравитационного притяжения, можно пренебречь (при необходимости эти деформации учитываются). Решение уравнения (1.1) в случае осесимметричной упругой части с осесимметричными граничными условиями, согласно [51], будем искать в виде u(rj) = [q k(t)Yk(r) + p k(t)W k(r)\ (1.2) где qk(t),pk(t)- обобщенные (нормальные) координаты, а Ук(г) и W (r) собственные формы свободных упругих колебаний системы, соответствующие собственной частоте V к и удовлетворяющие условиям ортонормированности: QJk,Ui)= \ UkU1dx = 8kl, dkl={ Q2 Заметим, что при k = 0 собственные формы V0 и W0 описывают крутильные и продольно-поперечные деформации, при к = 1 формы У1 и Wl соответствуют деформациям изгибного типа, при к 2 формы имеют число узлов по параллеллели, равное к. Каждому к соответствует семейство собственных форм {Ykmfm 0 и {Wfa} 0 и собственных частот jv } , которые в дальнейшем для получения аналитических выкладок не учитываются, и предполагается, что каждому к соответствует одно значение т. Подставим разложение (1.2) в уравнение (1.1), выражая 5 и через вариации обобщенных координат. На области С11 и = -исне зависит от Г, причем uc=m-4p2udx,m=\pdx. С учетом равенства p2lv7E U, =vlUk из (1.1) следуют уравнения для нормальных координат: Як + ЧРІкЧк +УкУк + ч U, 1=к. Уравнение для Рк получается из (1.3) заменой V - W 1.2. Динамика собственных форм колебаний системы при наличии вращательных и центробежнных сил инерции
Коэффициенты разложения инерционных вращательных и центробежных сил по ортонормированным собственным формам представляются следующим образом [16, 19, 33]: После вычислений с использованием выражений для V и\ В цилиндрической (p,cp,z) и декартовой (х1,х2,х3) системах координат получим, что отличны от нуля только следующие коэффициенты: du=fn=n \ (Уг + УЬГ, f03=2n \ WQdx\ dx = pdpdz, где Q » получено сечением Q2 полуплоскостью, проходящей через ось симметрии. Тогда ис = p2m l(fupl,duql,f03p0) = (ulc,u2c,u3c), J (uc,Su)dx=p2m-\f03p0Sp0+fn2plSpl+du2qlSqll Q2 J ([ю,[ю,ііс]],8іі & = p2m-1{f03[dl2(Q3(Gilpl+Gi2ql) = o2 m x\j03ia12Gi311 2ч\ Q f03(tf +( 22)p0f p0 + dn[-dn(tf+( 32)pl+ (1.8) +G)l((Q2dl2ql +( 3f03p0) pl + du[-du(( 2 +co32)gr1 + +&2(G)]dl2pl + $3f03p0)f qx}, J ([ D,UC],8u)dx = p2m l[f03du(G)lql-о2р])дp0 + Q2 Выражение для J ([ D,UC],5U & ДЛЯ краткости опускается. Ранее в (1.3) было Q2 показано, что отличны от нуля только следующие коэффициенты в (1.4): b 2l2=b22l=c 2U=-c222, Ьш=сш, bU2 = cux Kl2=-Kll, C011=C022 C003 Свойство осесимметричности упругого тела позволяет проинтегрировать выражения (1.7) по цилиндрической координате ф от 0 до 2тг. Влияние собственных форм самих на себя описывается коэффициентами вида АШ.,ВШ.,ВШ.,СШ-, причем имеют место равенства Akkij = AkkjpDkkij = Dkkjp СтгВЩ (к = ЛЛ,-) Вычисления показывают, что при к 1 все неравные нулю из этих коэффициентов можно объединить общей формулой Атъ= Dm3 =\-2Akkn=Ti J W dx , ( = 2Д...) df (так как (VкVк) = = АШ1+Акк22 + Аккзз), Вкк\2=Скк2\=-Вкк2\=-Скк\2 =% \ UkVkCh - (1Л) При к = 0 отличны от нуля будут следующие коэффициенты: 1 4 з=А з=і-24ш=Ч 4 df Здесь учтено свойство ортонормированности V0 = (-F0sin9,F0sin9,0) и WQ = (U0 coscp,/0 sincp, 0) - в проекциях на оси системы координат Сххх2хъ. 0012 =- 0021 =C0021 =_C0012 =71 j U (k\ Лхш=Л)022=71 j и№ Аюзз = 271 j 02 =1-2Dooir Далее при к = 1 имеем: 4lll=Clll2= 121=Al22=J ( l- l) 4ii2 = Aiii= r j QU +2UlVl+3Vl2)dxP, AU33=DU33=n \ W =l-Auu-AU22, (1.11) С1І2І=йіІ12=7( + + 1 І Q2 Все остальные коэффициенты 41Ш. равны нулю после интегрирования по ф
Уравнения для нормальный координат
Для описания движения деформируемой системы Q как целого относительно центра масс с учетом органов управления, исполненных в виде двух двухстепенных гиростабилизаторов (рис. 1), воспользуемся динамическими уравнениями Эйлера [51]. Тогда получаем следующую систему уравнений: (А + J11)(61 + Ju(62 + J11co1 + J12co2 + J23 2 + Лз і г =M- Іг\ -f -Ifr -т2(Г1+Г2)-( G-,e1), (A + J22)co2 + Jnfbx + J22&2 - J,X - J23G IG 2 + Jnfbx = -Ie\ + +f 2є2 +Г2є2 +со1(Г1 + Г2)-( -,e2), dG (21) dt Іг\ = -М2 + Ypl - (Іх2 - /x3 W + щ, Щ = -Щ - Г2со2 - (Іх2 - /х3)є2со22 + т2г /ц. =-/,.-fe,-(і = U), GM=f(rxu)p c, M = m0cos\yt, n где o M "положительные постоянные величины.
В уравнениях (2.1) предполагается, что реактивные органы управления поддерживают проекцию угловой скорости КА на ось симметрии вблизи нуля, т.е. выполняется сервосвязь оо3«0. Далее, J [u] - компоненты тензора инерции деформированного спутника в системе координат Сх1х2х3 с началом в его центре масс и осями, параллельными главным центральным осям инерции не деформированной системы; Gu - поправка к кинетическому моменту, возникающая вследствие деформируемости системы; и - вектор упругого смещения при деформациях; Г j - вектор собственного кинетического момента j- того гиростабилизатора, Гj = Гj - соответствующий ему модуль; С0i(i = 1,2,3)— проекции угловой скорости КА на оси Cxi ; еi— орт оси Cxi ; е j(j = 1,2)- малый угол поворота вектора Г j ; A- экваториальный момент инерции недеформированной системы; I,Ix ,Ix - моменты инерции гироузлов стабилизаторов относительно осей подвеса; m 1и m 2 — моменты регулирования относительно осей подвеса гиродинов, отсчитываемые в направлении увеличения углов Є 1 и Є2 и пропорциональные угловым скоростям h12 и угловым перемещениям kг12, где h 0, k 0 - постоянные, m0,\/ -амплитуда и частота внешнего осциллирующего момента М, приложенного вдоль оси Cxi;Q=Q1uQ2- область, занимаемая твердой С11 и упругой Q2 частями спутника.
Уравнения движения системы (2.1) должны быть дополнены уравнениями деформаций для определения вектора и. Динамика собственных форм колебаний упругой части при наличии вращательных и центробежных сил инерции описывается счетномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальных координатах (модальный подход) [52, 66, 70]. В случае осесимметричной упругой части с осесимметричными граничными условиями вектор и представляется в виде ряда.
Ограничивая число рассматриваемых форм, предположим, что каждому k соответствует одна из главных форм колебаний (одно значениеm). Подставляя разложение (1.2) в уравнения, соответствующие принципу Даламбера-Лагранжа, для рассматриваемой системы после некоторых вычислений получаем уравнения для нормальных координат [51]: +cbxuxV/,+(0X(0XuxV/,+ (2.2) +2coxuxV/, - J (ис+хис + х(эхи + 2юхисх6и & = 0, Уравнение для я получается из (2.3) заменой V HaW . Заметим, что при деформациях центр масс С системы смещается в точку С" на вектор ис, который вычисляется следующим образом: ис = m l [ p2udx, т= [ pudx, р = J PI Q Q2 Q2 Р2 Є 2
Как отмечалось, С1} и О, - области, занимаемые твердой и упругой частями спутника соответственно. Коэффициенты разложения инерционных вращательных и центробежных сил по ортонормированным собственным формам представляются следующим образом, к примеру [67]: 00 3 ((0Х((0Хи),У ) = і№іАШ] + РіВШр (ю х (о х u), W ) = п7.. ( С/ь.. + /7 .), где введены обозначения для коэффициентов = -( of -G)f ), f\2 = П21 = (0 3= 31= 3 /72 = -((Dj2 -О2), П2Ъ = /732 =C02(J03, /733 = 31 = "(CO2 -of ), 4 .. = J J .J fr, %. = J WhWkjdx, C/fe.. = J VuWkJdx, DlkiJ = J WuWkJdx. і Z -і і іі і Далее, уравнения для нормальных координат, записанные в безразмерном виде, с отбрасыванием в левой части квадратичных по компонентам угловой скорости слагаемых будут иметь вид: (l+a pj+жу р +ст 2/70 -2д5(Р /?/ -а /)--а5((3 1-а 1) = а4(а 2 + (3 2), (1+ ) " + жт2д; +а2 -24озіР W -2а5а 0 ) + +2 -(а 2 + (3 д2 )-4озіРЧ-а5а Ч + 4"(а 2 + Р 2) = ах" (1+а " + жт 2/?/ +а 2 - 24оз ]0t % 2а5 (3 /?0 ) + +2А-ф р2+а д2)-АШ1а"д0+а5 "р0 + А ф"р2-а"д2) = -а ", ft+ 4 4+24i(«"ft+i+Pfft+i)+ +4"(а - (3 ч) + 2Л"+1 (а Рк+; + (3 +/) + +2 -(a ft_1 -PVi,) = 4 pk" + ж ірк +ск2рк + -Ч(Р "pk+l -a "qk+l)+ +A (a "qk_x + (3 "p ) + 2Ашф pk+[ -a %+l)- (2.3) -2A-(a qk_{ + (3 pk_{) = / , (k 2\ fq2=-2a $ b2U, fP2=W2-a 2)b2U, fqk=fPk=0ok 3. Коэффициенты а3,а4,а5,Ь2и,А ,АШ1 определяются областями Cl} и Q2; конкретные выражения приведены в [51]. Преобразуем уравнения (1.25) следующим образом. При малых угловых движениях КА относительно инерциального пространства ориентация его оси симметрии Сх3 создается двумя малыми углами поворота а вокруг Схх и р вокруг Сх2 , причем ю1=а,0)2 = Р . Введем безразмерное время т =vt, v-наинизшая собственная частота свободных упругих колебаний. Далее, пусть величина, характеризующая амплитуду угловых колебаний твердого КА при вибрациях. Тогда система уравнений (2.1) перепишется так: a"+(J12P"+Ji;a +J12 P +J23P 2+J13a P M-1 = 12 23 13 J8cosijjT-78/-r18;-r18;-p (r1+f2)+ -ip 4(i-j11 -1), 2 П П Р і 2)+аА щ , Іґ P"+(J12a"+J12 a +J22 P -J23a P M-1 = 1 (2-4) 78;+Г282-Г282Ча (Г1+Г2)-Ы-1рр; \{\-J22A-l\ s; = -p-+ria -(/X2-/X3)81a 2 + /-1(-/zv-18;- 81v-2) , 8/ = -a"-r2P -(/X2-/X3)82P 2 + /-1(-/zv-18;-fe2v-2). В (2.4) приняты обозначения 7 i 7 i 7 x T В дальнейшем ограничимся случаем сильного демпфирования на осях подвеса гироузлов, т.е. будем считать что коэффициент h достаточно велик и сравним по порядку величины с собственным кинетическим моментом гиродинов. Тогда инерционными членами, содержащими г", можно пренебречь по сравнению с членами, содержащими є/. Модули Гi = Гi будем считать постоянными и равными Г1=Г2=Г,Гi=Г. Пусть также величина Г порядка є2,а I є3.
Уравнения поступательно-вращательного движения спутника, при наличии упругих и диссипативных элементов
В крупногабаритных конструкциях имеет место деформируемость их элементов. Повышенные требования к точности ориентации спутников обуславливают учёт влияния упругих колебаний на движение всей конструкции как целого относительно центра масс.
В данной главе диссертационной работы получены приближённые дифференциальные уравнения, описывающие поступательно-вращательное движение КА с учётом его деформируемости в центральном гравитационном поле сил, и показано, что взаимосвязь между поступательным и вращательным движением КА происходит посредством деформируемости.
Пусть спутник представляет собой систему, состоящую из упругой \ (однородной и изотропной) и твёрдой Q2 частей (рис. 5). Ось динамической симметрии твердой части является также осью симметрии упругой части в не деформированном состоянии, граничные условия осесимметричны, перемещения частиц упругой среды на границе с твёрдой частью равны нулю, другая часть границы - свободна. Деформированное состояние описывается линейной теорией вязкоупругости.
Предполагается, что центр масс спутника обращается по заданной орбите а сам спутник вращается относительно центра масс. Движение К А будем описывать с помощью переменных R, ш, и. Здесь R - радиус-вектор, проведённый из притягивающего центра в центр масс системы, со - её абсолютная угловая скорость, - перемещение точки упругой среды, определяемой радиус-вектором г частицы тела, проведённым из центра масс системы в недеформированном состоянии. Рис. 5. Спутник, несущий продольные штанги для пассивной гравитационной стабилизации. 3.2. Уравнения поступательно-вращательного движения спутника, при наличии упругих и диссипативных элементов
Уравнения движения получим из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа в форме [12,66,54]: MR+ f[u+8x(r+u) + wx(wx(r+u)) + 2wxu]p ir + V/ = 0; (3.1) ft f[R+ii + ex(r + u)+cox(cox(r + u)) + 2coxu]p5u(ix+ ft (3.2) +(У[и],8и) + (УДй],8и) + (УС/,8и) = 0; f (r + u)x[R + u + ex(r+u)+cox(cox(r + u))+2coxu]p ix:] + ft (3.3) +((r + u)xV/(R + r + u) = 0; где гравитационный потенциал U имеет вид
Уравнения (3.1) соответствуют классической теореме о движении центра масс механической системы, а уравнения (3.3) - теореме об изменении кинетического момента относительно центра масс. Из уравнения (3.2) определяются упругие перемещения. Здесь обозначены: М - масса спутника, Е[и\- функционал энергии упругих деформаций, D[u]- диссипативный функционал; р- плотность, причём р = р: = const для твердой части и р = р2= const для упругой части; Q-область, занимаемая телом, 0 = 021Ц , Ц- область, занимаемая твёрдой частью, Ц- упругой частью.
Деформированное состояние упругой части опишем линейной теорией вязкоупругости малых деформаций, причем в основе лежит модальный подход. Согласно этому методу вектор и представляется в виде ряда по ортонормированным собственным формам \ы и W задачи о свободных упругих колебаниях. В нашем случае будем считать, что тело испытывает только продольные деформации, т.е. вектор перемещений может быть представлен в виде: оо U = VA()W,, W. = (0,0,W.), и причем функция wi зависит только от одной координаты х3. Материал тела подчиняется модели Кельвина-Фойгта [39, 63], т.е. Дй] = %ЬЕ[й].
Для дальнейшего преобразования системы воспользуемся наличием в ней малых параметров k=%bvи =(д /v, где % - коэффициент вязкого трения в материале, Ь 0- постоянная, v - наинизшая собственная частота упругих колебаний тела, отражающих факты медленной диссипации энергии в системе и малости угловой скорости по сравнению с наинизшей частотой свободных упругих колебаний в системе. Это позволяет считать свободные упругие колебания в системе затухшими и учитывать только вынужденные деформации, то есть перейти к квазистатике в уравнении деформаций (3.2). При этом мы отбрасываем инерционные члены с R, ІЇ, и считаем 8 0. Тогда уравнение (3.2) приобретет упрощенный вид:
Применение долгосрочной модели ПВЗ в спутниковой навигации
В случае определения ПВЗ на длительных интервалах времени выражения для l.o.d. и UT1-UTC должны рассматриваться совместно, то есть необходимо учитывать структурное свойство модели (4.1), (4.3) при оценивании неизвестных параметров. Для реальной ситуации, отвечающей современным данным МСВЗ, повышение точности прогноза достигается в рамках малопараметрической модели (4.1), (4.3) за счёт учёта структурных свойств. Это обусловлено уменьшением динамической ошибки аппроксимации процесса и сравнительно высокой точностью измерений.
Анализ численного моделирования колебаний земного полюса (4.1) и неравномерности осевого вращения Земли (4.3) свидетельствуют о соответствии моделей результатам данных наблюдений и измерений МСВЗ. Теоретические модели по точности аппроксимации процесса обеспечивают хорошее совпадение с данными МСВЗ на различных интервалах времени.
В таблице представлены результаты обработки лазерных наблюдений спутников «Эталон-1» и «Эталон-2». Наблюдения были выполнены с помощью сети международных обсерваторий с января 2013 года [79]. Первое число в каждой колонке таблицы относится к объекту «Эталон-1», а второе - к объекту «Эталон-2». Вторая колонка содержит количество топоцентрических дальностей. В третьей и четвёртой колонках даны минимальные разности между измеренными и вычисленными значениями дальностей в метрах. Пятая колонка содержит оценки средней квадратической погрешности одного измерения в метрах. Таблица Месяц N Арmin,м Ар ,м а,
Обработка измерений топоцентрических дальностей выполнена с помощью теории движения искусственных спутников Земли и пакета вычислительных модулей, представленных в статье [7].
На рис. 12 и рис. 13 приводятся графики разностей между измеренными и вычисленными значениями топоцентрических дальностей в метрах до объектов Эталон-1 и Эталон-2 соответственно. В наблюдениях участвовало около 30 обсерваторий. Один сеанс измерений дальности на различных пунктах составлял от 10 минут до 2.5 часа. Для оптимизации объёма данных, исключения ошибочных наблюдений и увеличения точности выполняется первичная обработка. Несколько сотен единичных измерений интервалов прохождения светового луча от телескопа до спутника и обратно, полученных на интервалах времени до трёх минут, на пунктах первичной обработки информации методом осреднения преобразуются в одну «нормальную» точку. Именно массив «нормальных» точек был использован в предлагаемом исследовании. Минимальная средняя квадратическая погрешность одного измерения оказалась равной 0.7 метра. Максимальная средняя квадратическая погрешность одного измерения составила 2.1 метра.
В таблице представлены результаты обработки лазерных наблюдений спутников Эталон-1 и Эталон-2. Наблюдения были выполнены сетью международных обсерваторий с января по август 2013 года [7]. Первое число в каждой колонке таблицы относится к объекту Эталон-1, а второе значение, соответственно, к объекту Эталон-2. Вторая колонка содержит количество топоцентрических дальностей. В третьей и четвёртой колонках даны минимальные и максимальные разности между измеренными и вычисленными значениями дальностей в метрах. Пятая колонка содержит оценки средней квадратической погрешности одного измерения в метрах.
Использованная в расчётах долгосрочная модель параметров вращения Земли включает в себя оценки средних квадратических погрешностей каждого из параметров модели. В процессе фильтрации наблюдений измеряемыми 4 5 6 7 8
«Эталон-1», остаточные отклонения топоцентрических дальностей (январь-август 2013 г., 5460 точек, невязки в метрах) 12345678 Рис. 13. «Эталон-2», остаточные отклонения топоцентрических дальностей (январь-август 2013 г., 5460 точек, невязки в метрах) параметрами являются топоцентрические дальности. В линейном приближении первые производные от вычисленных дальностей по параметрам вращения Земли позволяют вычислить ковариационную матрицу и оценить априорную величину средней квадратической погрешности остаточных отклонений, обусловленных погрешностями параметров вращения Земли, вычисляемых на основе модели. Оценка априорной величины для наблюдений спутника Эталон составила приблизительно 1.8 метра [59]. Результаты обработки показывают, что апостериорные оценки находятся на одном уровне с априорной оценкой.