Устойчивость и стабилизация дифференциальных повторяющихся процессов Емельянов Михаил Александрович

Содержание к диссертации

Введение

1 Общая характеристика состояния проблемы и описание основных моделей 13

1.1 Линейные модели 2D систем 13

1.1.1 Модель Роессера 14

1.1.2 Модель Форназини-Маркезини 16

1.1.3 Модель в форме линейного повторяющегося процесса 17

1.2 Устойчивость линейных 2D систем. Уравнения Ляпунова 21

1.2.1 Устойчивость систем Роессера и Форназини-Маркезини 21

1.2.2 Устойчивость линейных повторяющихся процессов 26

1.3 Некоторые недавние результаты 29

2 Устойчивость нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов 32

2.1 Экспоненциальная устойчивость повторяющихся процессов 32

2.2 Устойчивость дифференциальных повторяющихся процессов с нарушениями 40

3 Пассивность и стабилизация нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов 46

3.1 Пассивность и стабилизация нелинейных дифференциальных детерминированных повторяющихся процессов 46

3.2 Пассивность и стабилизация повторяющихся процессов с возможными нарушениями 53

4 Управление с итеративным обучением нелинейными дифференциальными повторяющимися процессами 59

4.1 Управление с итеративным обучением при наличии неопределенностей 59

4.2 Управление с итеративным обучением на основе линеаризации обратной связью 65

4.3 Основная идея и постановка задачи 65

4.4 Синтез управления с итеративным обучением на основе линейных матричных неравенств 69

4.5 Управление манипулятором с жестким приводом 72

4.6 Управление манипулятором с гибким приводом 76

Заключение 80

Список литературы

• Модель в форме линейного повторяющегося процесса
• Устойчивость линейных повторяющихся процессов
• Устойчивость дифференциальных повторяющихся процессов с нарушениями
• Пассивность и стабилизация повторяющихся процессов с возможными нарушениями

Введение к работе

Актуальность проблемы. Многие автоматические системы многократно выполняют одну и ту же операцию одинаковой продолжительности. В литературе, посвященной исследованию и проектированию таких систем эту операцию обычно называют циклом или повторением После окончания каждого цикла, перед тем как начать выполнение нового, система возвращается в начальное состояние. Выходная переменная в таких системах называется профилем повторения. Характерным примером является конвейер для резки угля, где профилем повторения (прохода) является верхняя часть угольного пласта выше нулевой линии, и целью является извлечение максимального количества угля за проход. Режущая машина опирается на предыдущий профиль прохода для того, чтобы произвести следующий проход, при этом не исключено, что могут возникнуть колебания профиля, амплитуда которых будет возрастать от повторения к повторению. При появлении подобных колебаний, процесс должен быть остановлен для того, чтобы скорректировать профиль вручную для их гашения с целью восстановления нормального процесса резания и предотвращения возможных механических повреждений режущей машины. Альтернативой является использование управляющих воздействий, направленных на подавление указанных колебаний, но задача стабилизации в данном случае не может быть решена стандартными методами теории управления. В самом деле, здесь протекает два связанных динамических процесса: процесс резки пласта на текущем проходе и процесс смены проходов. Таким образом, динамика системы зависит от двух переменных: времени на текущем цикле и номера цикла. Системы, обладающие подобной особенностью, называются двумерными или 2D системами.

Такие системы относятся к классу так называемых повторяющихся процессов. Структура этих процессов является неоднородной (гибридной), поскольку каждый цикл - это динамический процесс с непрерывным временем, а процесс смены циклов - дискретный процесс. Повторяющиеся процессы представляют существенный интерес как с теоретической так и с инженерной точки зрения. Они встречаются во многих промышленных установках, в технологических процессах и устройствах, например многопроходная сварка, или высокоточное лазерное напыление металла, управление турбиной ветрового электрогенератора.

Подавляющее большинство исследований, посвященных изучению повторяющихся процессов ограничивается лишь линейными моделями таких си-^[1]Rogers, E. Control Systems Theory and Applications for Linear Repetitive Processes. Lecture Note in Control and Information Sciences / Rogers E., Galkowski K., Owens D.H. // Springer-Verlag. – 2007. – V. 349.

стем с постоянными параметрами Число работ, посвященных исследованию нелинейных систем относительно невелико. Важно также отметить, что во многих работах рассматриваются дискретные нелинейные модели, в то же время, как уже было отмечено, исходные модели являются непрерывно-дискретными. В нелинейном случае перейти к однородной дискретной модели достаточно сложно или невозможно. Поэтому необходимо априори рассматривать гибридные непрерывно-дискретные модели, получившие название дифференциальных повторяющихся процессов. Именно такие модели рассматриваются в данной работе. Таким образом, тема исследования является актуальной.

Цель работы состоит в получении конструктивных условий устойчивости и стабилизации нелинейных дифференциальных 2D систем в форме повторяющихся процессов с последующим применением результатов к задачам управления с итеративным обучением.

Задачи работы.

1. Развить метод функций Ляпунова для исследования устойчивости нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов.

2. Развить метод функций накопления для исследования пассивности нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов и решения задач стабилизации.

3. Применить полученные результаты к задачам управления с итеративным обучением.

Методы исследования. Особенности дифференциальных повторяющихся процессов состоят в том, что их математические модели не разрешены явно относительно первой разности одной из компонент состояния и первой производной другой компоненты состояния. В связи с этим стандартное применение второго метода Ляпунова не представляется возможным, поскольку для нахождения полного приращения или полной производной функции Ляпунова в силу системы, пришлось бы находить решение системы, в результате чего теряется главное преимущество метода. В связи с этим, предлагается использовать векторные функции Ляпунова и пытаться сделать заключение об устойчивости на основе изучения свойств аналога дивергенции этих функций. Для исследования пассивности, следуя тем же соображениям, предлагается использовать векторные функции накопления.

^[2]Hladowski L. Experimentally supported 2D-systems Based Iterative Learning Control Law Design for Error Convergence and Performance / Hladowski L., Galkowski K., Cai Z., et al. // Control Engineer. Practice. 2010. V. 18. P. 339 – 348.

Научная новизна. Новые научные результаты работы состоят в следующем:

4. Предложены условия экспоненциальной устойчивости нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов в терминах векторных функций Ляпунова в рамках детерминированных моделей и с учетом случайных нарушений.

5. Предложены условия пассивности и стабилизации нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов в терминах векторных функций накопления в рамках детерминированных моделей и с учетом случайных нарушений.

6. Полученные условия устойчивости и стабилизации применены для решения задач управления с итеративным обучением.

Одновременно с автором исследования устойчивости дифференциальных повторяющихся процессов проводились в работах S. Knorn и R.H. Middleton.^[3] В диссертации показано, что полученные ими условия менее конструктивны, чем результаты автора. Так, в линейном случае условия автора сводятся к решению линейных матричных неравенств (ЛМН), а условия упомянутых авторов приводят либо к билинейным матричным неравенствам, либо к ЛМН, включающим параметры, способ выбора которых не указан. Условия устойчивости и стабилизации для систем со случайными нарушениями, а также условия пассивности и стабилизации не имеют аналогов в литературе.

Практическая значимость работы состоит в том, что ее результаты могут служить основой программно-алгоритмического обеспечения решения задач управления с итеративным обучением. В частности, важно отметить следующее. Для линейных систем рассматриваемого класса известны необходимые и достаточные условия устойчивости, но их крайне трудно свести к вычислимым результатам. В недавней работе G. Chesi и R.H. Middleton предложен вариант таких условий, который можно свести к решению линейных матричных неравенств, но уже для систем выше второго порядка вычисления становятся чрезвычайно сложными и остается открытым вопрос о их применении для решения задач стабилизации. В то же время полученные автором результаты позволяют легко получить конструктивные алгоритмы для решения задач стабилизации в форме линейных мат-^[3]Knorn S. Two-Dimensional Analysis of String Stability of Nonlinear Vehicle Strings /Knorn S., Middleton R.H. // 52nd IEEE Conference on Decision and Control. 2013 P. 5864 – 5869.

^[4]Chesi G. Necessary and Sufcient LMI Conditions for Stability and Performance Analysis of 2-D Mixed Continuous-Discrete-Time Systems /Chesi G., Middleton R.H., // IEEE Transactions on Automatic Control. – 2014. – V. 59. P. 996 –1007.

ричных неравенств для линейных систем с аффинными или политопными нестационарными неопределенностями.

Основные результаты, выносимые на защиту.

7. Условия экспоненциальной устойчивости в терминах векторных функций Ляпунова для нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов в рамках детерминированных моделей и с учетом случайных нарушений.

8. Условия пассивности и стабилизации нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов в терминах векторных функций накопления в рамках детерминированных моделей и с учетом возможных нарушений.

9. Методы синтеза управления с итеративным обучением на основе предложенных условий устойчивости и стабилизации.

Достоверность результатов подтверждается:

10. строгостью доказательств утверждений, корректным использованием математического аппарата;

11. результатами численного моделирования в программной среде MATLAB;

Апробация полученных результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях.

Международные конференции за рубежом: 12th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, Eindhoven, The Netherlands, June 29 – July 1, 2016; 54th IEEE Annual Conference on Decision and Control (CDC), Osaka, Japan, December 15–18, 2015; 9th IEEE International Workshop on Multidimensional (nD) Systems (nDS15), Vila Real, Portugal, September 7–9, 2015; 2014 IEEE Multi-conference on Systems and Control, Nice/Antibes, France, October 8–10, 2014; 19th World Congress of the International Federation of Automatic Control, Cape Town, South Africa, 24–29 August, 2014.

Международные конференции в России: 1st IFAC Conference on Modelling, Identifcation and Control of Nonlinear Systems MICNON-2015, Saint-Petersburg, Russia, June 24–26, 2015; Международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии» ИСТ-2015, Россия, Нижний Новгород, НГТУ им. Р.Е. Алексеева, 17 апреля, 2015.

Всероссийские конференции: XII Всероссийская школа-конференция молодых ученых, Самара, Россия, 5–9 сентября 2016; XII Всероссийское совещание по проблемам управления, Москва, Россия, ИПУ РАН, 16–19 июня 2014; XV конференция молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург, Россия, ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 11–14 марта, 2014; XI Всероссийская школа-конференция молодых ученых, Арзамас, Россия, АПИ НГТУ им. Р.Е. Алексеева, 9–12 сентября 2014.

Региональные конференции: 5-й межвузовский семинар «Информационные технологии и прикладная математика», Арзамас, Россия, Арзамасский филиал ННГУ, 2015.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 17 научных статьях. Из них 11 статей входят в издания из перечня ВАК [1-11], из которых 6 статей входит в мировую научную базу данных Web of Science [2-4,7,10,11], 10 статей — в базу данных Scopus [2-11], 4 статьи входят в научную базу РИНЦ [14-17]. Кроме того, получено 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ [18,19].

Личный вклад автора. Научному руководителю принадлежат постановки задач и общая идея исследования. Доказательства теорем об устойчивости, о пассивности и стабилизации, разработка алгоритмов на основе указанных теорем и программного обеспечения для синтеза алгоритмов управления и моделирования принадлежат автору. В трех коллективных публикациях он указан как первый автор, в четырех как второй, чем подчеркнуто признание его лидирующей роли в совместном исследовании. Ряд публикаций (всего 6) выполнен соискателем без соавторов.

Соискатель является руководителем проекта молодых ученых, поддержанного Российским фондом фундаментальных исследований №16-38-00304-мол_а, исполнителем конкурсной части государственного задания Министерства образования и науки России №2.1748. 2014/К.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В диссертации теоретические основы автоматического управления применены и развиты для исследования нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов. Полученные теоретические результаты подтверждены расчетами и моделированием в среде MATLAB (области исследования 1, 2, 4, 5 специальности 05.13.01).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения. Работа изложена на 91 странице, содержит 9 рисунков. Библиография включает 71 наименование.

Модель в форме линейного повторяющегося процесса

Асимптотическая устойчивость Теория устойчивости линейных повторяющихся процессов подробно изложена в [65]. Здесь кратко представим некоторые необходимые далее результаты.

Определение 1.2. Линейный повторяющийся процесс с конечной продолжительностью повторения а называется асимптотически устойчивым, если существует вещественный скаляр 5 0 такой, что для любого заданного начального профиля повторения уо и любой сильно сходящейся при к — оо последовательности {Ьк\к \ последовательность {Ук}к 1, порожденная возмущенным процессом Ук+1 = {La + і)Ук + bk+1, к 0, сильно сходится к уоо при к — оо, когда Ц7Ц S. Функция Уоо{р) называется предельным профилем в теории повторяющихся процессов.

В большинстве случаев асимптотическая устойчивость исследуется при помощи теории 1D систем с применением 1D эквивалентной модели. Однако асимптотическая устойчивость не может гарантировать того, что профиль повторения будет иметь приемлемые характеристики как для дискретных, так и для непрерывных систем.

Причина, по которой асимптотическая устойчивость не обеспечивает предельный профиль, является конечная длительность повторения.

Устойчивость по профилю повторения Для того, чтобы обеспечить скорость сходимости уровня к заданному независимо от а было введено понятие устойчивости относительно повторений [65].

Определение 1.3. Линейный повторяющийся процесс называется устойчивым относительно повторений, если существуют вещественные скаляры MQQ и Лоо Є (0,1) независящие от а такие, что для каждой постоянной последовательности bk+i = ЬО0) к 0 выполняется условие \\Ук — Уоо\\ MQQX [ \\уо\\ + — ) , к 0. — Лоо Необходимые и достаточные условия устойчивости вдоль повторений схожи с условиями теоремы 1.1 и имеют вид [65]:

Теорема 1.4. Пусть пара (А, Во) полностью управляема, а пара (С, А) полностью наблюдаема. При этом линейный повторяющийся процесс, определяемый уравнениями (1.2), является устойчивым относительно повторений тогда и только тогда, когда характеристический полином системы (1.2)

В настоящее время конструктивные условия устойчивости линейных 2D находятся в стадии активной разработки, поскольку существующие достаточно сложны для применения. В недавней работе G. Chesi и R.H. Middleton [34] был предложен вариант условий устойчивости для непрерывно-дискретной 2D системы (дифференциального повторяющегося процесса) описываемой следующей моделью: Xk{t) = A%k{t) + оЩ;(), (1.6) Vk+i{t) = Cxkit) + Doyk{t), где, к - номер повторения (итерации) и на к-ой итерации Xk{t) - вектор состояния, у kit) - вектор профиля повторения. Определение 1.4. Система (1.6) экспоненциально устойчива, если существуют /3,7 Є R, /3 О и7 0 такие, что Xk(t) у kit) для всех начальных условий ж&(0) Є Rnxl и yo(t) Є Rmxl для всех t О и к 0 где = max{0i, 02І? Qi = SUP І2/о( )І2, Q2 = sup ж&(0)І2. t 0 к 0 Можно показать, что это определение эквивалентно определению устойчивости вдоль повторений. Переходя по переменной t в область преобразования Лапласа перепишем систему (1.6) в следующем виде: Yk-\-i(s) = Fi(s)Yk(s), где Fi(s) Є Cmxm имеет вид Fi(s) = C(sl — А) Во + Do. Справедливо следующее утверждение.

В работе показано, что эти условия можно свести к решению линейных матричных неравенств, но уже для систем выше второго-третьего порядка вычисления становятся достаточно сложными и остается во многих аспектах открытым вопрос об их применении для решения задач стабилизации. Некоторые результаты в этом направлении на основе линейных матричных неравенств с использованием введенных в [36] специальных робаст-ных стабилизирующих функций предложены в [35], но упомянутые вычислительные трудности остаются. Поэтому даже в линейном случае остается актуальным развитие конструктивных алгоритмов анализа и синтеза на основе метода функций Ляпунова, большую роль здесь играет возможность применения техники линейных матричных неравенств как для решения задач устойчивости, так и для решения задач стабилизации. Более того эта техника легко обобщается на случай линейных систем с аффинными или политопными моделями неопределенностей. В работе [37] техника [34] развивается для вычисления и 2 норм линейных дифференциальных 2 систем. Упомянутые вычислительные трудности сохраняются.

Таким образом, выбранное направление исследований представляется актуальным, поскольку даже в рамках линейных моделей, теория устойчивости рассматриваемого класса систем не является вполне завершенной. Результаты, связанные с исследованием устойчивости нелинейных систем совсем немногочисленны. Устойчивость нелинейных дискретных Форназини-Маркезини изучалась в [56, 59]. В [42–44,69] изучалась устойчивость нелинейных дискретных систем Роессера и нелинейных дискретных повторяющихся процессов; устойчивость непрерывных систем Роессе-ра рассматривалась в [14]. Устойчивость нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов практически одновременно с работами автора изучалась в [54,55]. Сравнение результатов этих работ с результатами автора представлено в следующей главе. Результаты, связанные с развитием теории пассивности нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов на момент написания диссертации не имели аналогов в литературе.

Устойчивость линейных повторяющихся процессов

В данном разделе полученные результаты применяются для построения закона управления с итеративным обучением [25,26,32] для линейной системы, описываемой следующей моделью в пространстве состояний x(t) = Ax(t) + Bu(t), (4.1) y(t) = C(r(t))x(t), где x Є Шп - вектор состояния, и Є М.т - вектор входных значений, у Є Шр - вектор выходных значений и r(t) - марковская цепь с конечным числом состояний N = {1,..., v\ соответствующим числу возможных нарушений и вероятностями перехода, описываемыми (2.27). Чтобы сформулировать задачу синтеза управления с итеративным обучением, введем целочисленную величину к, определяющую номер повторения, а также Uk{t),Xk{t) и Ук{р) – входной вектор, вектор состояний, и выходной вектор соответствен но, 0 t Т оо, где Т - длина повторения. Динамика системы с учетом повторений будет иметь вид Xk{t) = A%k{t) + Blik{t), (4.2) у kit) = Cir(t))xkit) с граничными условиями yo(t) = 0, 0 t Т, 3 (0) = жо, А; = 0,1,... (4.3)

Пусть yref{t) - подаваемый опорный сигнал при 0 t Т, где каждый элемент yref{t) дифференцируем. Тогда ekit) = yrefit) —yk{t) - ошибка на текущем шаге к и целью является построение последовательности входных функций, таких что качество управляемого процесса будет улучшаться при каждом успешном повторении, для этого в отсутствии нарушений должны выполняться следующие условия сходимости lim e (t) = 0, lim \uk{t) — Моо( ) = 0. (4.4) к—? оо к—? оо Задачей закона управления с итеративным обучением является формирования входного управления на текущем шаге, используя информацию с предыдущего шага: Uk+iit) = Uk{t) + Auk+iit), (4.5) где Auk+iit) - корректирующая поправка. Важной особенностью управления с итеративным обучением является использование информации с пройденного шага для расчёта Auk+iit). Это позволяет использовать информацию, которая не является причинно-следственной в общепринятом смысле, а создается и хранится на предыдущем шаге. Учитывая стохастический характер нарушений введем понятие сходимости в соответствии со следующим определением. Определение 4.1. Закон управления (4.5) системой (4.2) называется сходящимся если для всех 0 t Т Е[е/;() ] = Е[г/ге/() — (01 ] 0, к — оо (4.6) Е[м/;( ) — Иоо(/:) ] — О, А; — оо. (4.7) Чтобы описать динамику управления с итеративным обучением в стандартной форме повторяющегося дифференциального процесса введем в рассмотрение вспомогательный вектор вида Vk+i{t) = %k+i{t) — Xk{t), (4.8) и k+i(t) — ek{t) = —C{r{t))A (xk+i(r) — Xk(r))dr— o t — C(r(t))B / (uk+i(r) — Uk{r))dr. (4.9) Тогда, с учетом того, что в силу повторяющегося характера функционирования системы, Xk+i(0) = Xk{0), динамика управления с итеративным обучением может быть записана в виде линейного дифференциального повторяющегося процесса с неопределённостями

Эти уравнения справедливы, если С (і) В / 0,і Є N, т.е., если относительный порядок системы равен единице. Для систем более высокого относительного порядка должны использоваться производные от ошибки. Техника построения 2D модели в этом случае продемонстрирована в разделе 4 при рассмотрении примера. Представим корректирующую поправку в виде суммы двух компонент Auk+i(t) = AiUk+i(t) + A2iik+i{t). (4.11) Компонента AiUk+i{t) должна обеспечивать экспоненциальную устойчивость в среднем квадратическом (4.10) при A2iik+i{t) = 0.

Предположим также, что вектор состояния х доступен измерению, тогда компоненту Ai можно сформировать в виде A\Uk+\{t) = Fi(i)vk+i(t) + F2(i)ek{t),если r(t) = і. (4.12) Если (4.12) гарантирует экспоненциальную устойчивость в среднем квадратическом системы (4.10) тогда, согласно определению 4.1, закон управления с итеративным обучением является сходящимся.

Для нахождения матриц усиления стабилизирующего управления F\{i) и F2(i), і Є N, воспользуемся условиями теоремы 3.2.

Выберем векторную функцию Ляпунова (2.29) где Vi(vk+i{t),r(t)) = v +1(t)Pi(r(t))vk+i(t), V2(ek(t),r(t)) = e (t)P2(r(t))ek(t), при P\ У- 0, Р2У-0. Для вычисления стохастического оператора дивергенции Т вдоль траектории системы (4.10) и (4.12) запишем, в соответствии с теоремой 2, условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом 0 Обозначив Х\{ї) = P{ (і),Х2(і) = Р2 (і), Уі = Fi(i)Xi(i), (і) = F2(i)X2(i), после громоздких, но простых преобразований с использованием леммы о дополнении Шура [30] получим набор линейных матричных неравенств относительно переменных Х/(г),У/(г), / = 1,2.

Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 4.1. Рассмотрим систему (4.10) и предположим, что соотношения (4.14) при і Є N, разрешимы относительно переменных Xi(i), Yi(i), I = 1,2 и F\{i) = Yi{i)Xi (і) и F2(i) = 12(2) 2" (0? 2 Є N. Тогда закон управления с итеративным (4.5) обучением сходится. Доказательство. Из разрешимости (4.14) следует справедливость (4.13), что гарантирует экспоненциальную устойчивость в среднем квадратичном системы (4.10). Отсюда немедленно следует предельное свойство (4.6) и, с учетом (4.5), (4.8) и (4.10), предельное свойство (53), что означает сходи мость закона управления (4.5) системой (4.2). Компонента A2iik+i{t) в законе управления может быть использована для обеспечения пассивности и по теореме 3.2 это дает робастность управления относительно возможных нелинейностей на входе. Рассмотрим вспомогательный вектор Zk+i(t) = 2В (r{t))I P(r(t))xk+i(t)+ + 2В (r{t))I0,lP{r{t))Ac/i(r{t))xk+i{t)+ -\—В {r{t))I P(r(t))B(r(t))wk+i(t), (4.15) ґі Г ґі\ ҐІ\ІТ ґі (t \ / \ 7 7= / ґі где УАЧ-І(С) = \Vk+-\[t) 6k [t , Wk+-\[t) = L l\oUk+} [T )ат, B[r[t)) = в для которого —C(r(t))B Т Т DV(,r),і) = [Acl(i)P(i) + P(i)Aci(i)+ V + AC2(i)P(i)Ac2(i) + / itijl P(i) — 3=1 — I P(i)] + z w z w — Q(i), где, как и ранее, Тогда согласно теореме 3.2, при G = I обеспечивается G-пассивность в среднем квадратическом и для A2Uk+i(t) = —[І + В (і)І Р(і)В(і)] [В (і)І Р(і)+ + _В (і)/ P(i)A2(i)]xk+i(t), если r() = і (4.16) обеспечивается экспоненциальная устойчивость в среднем квадратическом. Существенно отметить две особенности, которые могут создать определенные трудности при практической реализации алгоритма управления. Первая состоит в необходимости использования производной от ошибки. Эта принципиальная особенность управления с итеративным обучением хорошо известна и широко обсуждается в литературе [25,26,32]. Вторая особенность состоит в том, что моменты смены состояний марковской цепи, моделирующей нарушения, должны наблюдаться. Эта особенность характерна и для обычных систем с марковскими переключениями. В случае, когда эти моменты не наблюдаются, который более широко распространен на практике, можно делать попытку построения алгоритма постоянной структуры, а если она оказывается безуспешной, строить алгоритм оценивания состояния марковской цепи

Устойчивость дифференциальных повторяющихся процессов с нарушениями

Рассмотрим однозвенный манипулятор с гибким приводом (имеющий гибкое соединение с валом двигателя), выполняющий операции в вертикальной плоскости. Главным отличием такой модели от системы, работающей в горизонтальной плоскости, является гравитация, которая добавляет нелинейность в уравнения динамики. Обобщенные координаты - угловое отклонение вала двигателя в и рассогласование а отклонений вала двигателя и звена манипулятора, связанного с валом через гибкое соединение, представлены на рисунке 7. Математическая модель динамики рассматриваемой системы может быть легко получена из уравнения Лагранжа [51]. Ji{6 + а) + Ksa + mghsin(6 + а) = О, (Jh + Ji)0 + JI6L + mghsin(6 + a) = r, (4.46) где m - масса вала, g - гравитационная постоянная, h - высота центра тяжести маятника относительно текущего положения, Jh -момент инер ции двигателя, – момент инерции плеча, – коэффициент жесткости гибкого соединения, – крутящий момент двигателя. Крутящий момент регулируется напряжением , которое является входным управлением системы. Отношение крутящего момента и рабочего напряжения представлено в следующем виде

Процессы изменения управления, выходного сигнала и ошибки в зависимости от числа повторений представлены на рисунках 8, 9 соответственно. Видно, что процесс обучения сходится достаточно быстро. В то же время полученные результаты требуют дальнейшего изучения. Прежде всего открытым остается вопрос робастности, поскольку закон управления основан на точном знании модели. Другой очень важный вопрос это влияние а) Желаемая траектория Времяt б) Динамика изменения выходного сигнала Рис. 8 – Выходной сигнал манипулятора с гибким приводом Время а) Динамика изменения управления Номер шага I б) Динамика изменения ошибки обучения

Управление и ошибка обучения манипулятора с гибким приводом шумов, которое может здесь оказаться существенным в связи с использованием производных. Заключение

В работе на основе развития метода векторных функций Ляпунова и векторных функций накопления получены новые условия устойчивости и стабилизации нелинейных дифференциальных повторяющихся процессов. Показана возможность их эффективного применения при решении такой важной задачи как синтез управления с итеративным обучением.

Важными перспективными направлениями дальнейших исследований являются развитие теории слабой устойчивости и стабилизации в условиях неопределенности и ее применение к задачам управления с итеративным обучением. Эта форма устойчивости должна учитывать, что продолжительность цикла повторения конечна, в то время как экспоненциальная устойчивость накладывает ограничения на бесконечном интервале времени. Таким образом, слабая устойчивость должна обеспечить менее консервативные условия. Первые результаты в этом направлении уже получены и представлены к публикации.

Другим важным направлением является получение обратных теорем об устойчивости. Как и для обычных нелинейных систем эти теоремы не упростят нахождение функций Ляпунова, но они будут давать гарантии конструктивности подхода. Для дискретных нелинейных систем Форназини-Маркезини и Роессера и такие теоремы были получены в [59,69] соответственно.

Пассивность и стабилизация повторяющихся процессов с возможными нарушениями

Непосредственное применение этого условия к задачам анализа и синтеза управления достаточно сложно.

Для модели в пространстве состояний естественный интерес представляет аналог уравнения Ляпунова. Однако, при попытке его получения возникает проблема, связанная с тем, что для нахождения полного приращения функции Ляпунова в силу системы (1.1) необходимо знать решение этой системы. Выходом из положения может служить применение векторных функций Ляпунова с использованием их частных приращений. Рассмотрим векторную функцию вида: V(i,j) = xh (i,j)Pixh(i,j) Xv (i,j)P2Xv(i,j) где 1 и 2 – положительно определенные симметричные матрицы соответствующих размеров. Аналог дивергенции этой функции вдоль траекторий системы имеет вид: AV(i,j) = x (і + l,j)P\x (і + l,j)xv (г,j + l)P2Xv(i,j + 1) — V(i,j). Раскрыв правую часть с учетом (1.1), имеем: AV(i,j) = x (i,j)(A PA — P)x(i,j), Ац Ayi A i\ А22 где =1 2, = символ – означает прямую сумму матриц. Уравнение А РА — Р = —Q, (1.3) где Q - симметричная положительно определенная матрица, а Р имеет указанную выше специальную форму - 2D уравнением Ляпунова. Разрешимость этого уравнения гарантирует устойчивость (1.1) в указанном выше смысле.

В [23] получены условия разрешимости этого уравнения. Для их формулировки потребуется следующее определение

Определение 1.1. Пусть S(z l) - квадратная матрица, элементами которой являются рациональные вещественные функции комплексной переменной z l. Матричная функция S(z l) называется строго вещественно ограниченной, если 1. все полюсы S{z l) располагаются в области \z l\ 1; 2. матрица I — ST [е ш)3{еРш) является положительно определенной для всех си Є [0,27г]. Условия, при которых (1.3) разрешимо дает следующее утверждение [23]. Теорема 1.2. Рассмотрим дискретную 2D систему, описываемую уравнением (1.1). Если для некоторой невырожденной матрицы Т матричная функция S(z ), определяемая формулой: S(z2 ) = [ 11 + A12iz2 I -22)" A21]T , является строго вещественно ограниченной, пара ( 22, 21) является полностью управляемой и пара (Л22, 12) – полностью наблюдаемой, то существуют положительно определенные матрицы P1,P2 и Q, такие, что Р1Р2 и Q удовлетворяют 2D уравнению Ляпунова (1.3). Обратно, если уравнение Ляпунова (1.3) выполняется для некоторых положительно определенных матриц Р1 0 Р2 и Q, то существует невырожденная матрица Т, такая что S(z ) является строго вещественно ограниченной.

Отсюда видно, что при выполнении условий теоремы 1.2 характеристи-ческий полином C{Z1,Z2) не имеет корней в области и . В общем случае обратное утверждение неверно.

Необходимые и достаточные условия определяются условиями разрешимости уравнения Ляпунова в комплексной области. Суть подхода здесь состоит в том, что вначале осуществляется переход в комплексную область по одной из переменных. Для определенности рассмотрим модель Роессера (1.1) и перейдем в область -преобразования по переменной j при xv(i,0) = 0, в результате получим X (і + 1, z) = А11Х (І, Z) + A12Xv(i, z), zXv(i, z) = A21X (i, z) + A22Xv(i, z). (1.4) Выражая Xv(i,z) из второго уравнения (1.4) и подставляя в первое, полу чим разностное уравнение относительно Xh(i, z) в комплексной области X (і + 1, z) = [АЦ + Au(zl — A i i) A i{\X (i, z). Обозначим: Н{еРш) = Ац + Ауі{езшІ — A i i) А ц. Справедливо следующее утверждение [23,65]. Теорема 1.3. Система (1.1) устойчива тогда и только тогда, когда собственные значения матрицы А22 по модулю меньше единицы и матричное уравнение Н {e JUJ)P{eJUJ)H{eJUJ) — P{eJUJ) = —Q(eJ0J) (1.5) для всех си Є [0, 2ТТ] имеет эрмитово положительно определенное решение Р(е?ш) для любой эрмитовой положительно определенной матрицы Q{e ). Уравнение 1.5 получило название 1D уравнения Ляпунова. В силу зависимости параметров этого уравнения от си получение конструктивных условий его разрешимости - непростая задача.

Вернемся к 2D уравнению Ляпунова (1.3). Учитывая, что оно разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимы неравенства А РА — Р О, Р = Pi 0 Р і О, получим набор консервативных условий устойчивости в виде линейных матричных неравенств: AT21P2A 21 Aj1Р1А11 — Р1 Л P1 Л12 А12 1А11 AT12 1A12 + AT21P2A 22 A00P2A21 A09P2A22 — P2 0, т P1 = P1 0, P2 = P2 0.

Оценить насколько достаточные условия близки к необходимым в общем случае сложно. Для частного случая, если либо либо – скаляр, то условия разрешимости уравнения (1.3) совпадают с условиями теоремы 1.1. В случае системы Форназини-Маркезини ситуация аналогична. Различается лишь форма записи характеристического полинома и вид функции Ляпунова.

Пусть – банахово пространство и – линейное подпространство. Норму в обозначим как и рассматриваемая модель будет иметь вид: yfc+1 = Layk + bk+1 к 0, где у/; Є Pa -профиль повторения, La - ограниченный линейный оператор, который отображает Еа в себя, Ьк+1 Є Wa - входное воздействие на к + 1-м повторении. В случае, когда рассматриваемый процесс имеет вид 1.2, Еа = I, т.е. является пространством m-мерных векторов, заданных на

Асимптотическая устойчивость Теория устойчивости линейных повторяющихся процессов подробно изложена в [65]. Здесь кратко представим некоторые необходимые далее результаты.

Определение 1.2. Линейный повторяющийся процесс с конечной продолжительностью повторения а называется асимптотически устойчивым, если существует вещественный скаляр 5 0 такой, что для любого заданного начального профиля повторения уо и любой сильно сходящейся при к — оо последовательности {Ьк\к \ последовательность {Ук}к 1, порожденная возмущенным процессом