Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Автоматическое управление судами с неопределенностью в задании возмущающих воздействий 22
1.1. Математические модели систем управления судами и режимы их функционирования 23
1.2. Задачи синтеза стабилизирующих управлений при наличии неопределенных возмущающих воздействий 33
1.3. Параметрическая минимизация размера множества реакций на допустимые возмущения 45
ГЛАВА 2. Синтез базовых регуляторов по состоянию с учетом неопределенностей 52
2.1. Оптимизация размера минимального инвариантного эллипсоида с обеспечением желаемых модальных свойств 53
2.2. Синтез управлений, удовлетворяющих дополнительным динамическим требованиям при действии ступенчатых возмущений 65
2.3. Вопросы синтеза цифровых базовых законов управления 71
ГЛАВА 3. Построение законов управления для морских автопилотов 79
3.1. Нелинейные уравнения динамики морских судов, представляющие движение по курсу 80
3.2. Задача управления движением судна по заданному курсу при наличии неопределенных возмущающих воздействий 83
3.3. Учет дополнительных динамических требований при синтезе автопилотов 96
3.4. Стабилизация курса судна цифровым регулятором при учете воздействия внешних возмущений 103
Заключение 107
Литература
- Задачи синтеза стабилизирующих управлений при наличии неопределенных возмущающих воздействий
- Параметрическая минимизация размера множества реакций на допустимые возмущения
- Синтез управлений, удовлетворяющих дополнительным динамическим требованиям при действии ступенчатых возмущений
- Задача управления движением судна по заданному курсу при наличии неопределенных возмущающих воздействий
Задачи синтеза стабилизирующих управлений при наличии неопределенных возмущающих воздействий
В связи с непрерывным развитием вычислительной техники и интенсивным внедрением современных компьютерных технологий в повседневную жизнь активно развиваются различные автоматические системы управления динамическими объектами. Особое внимание при этом уделяется разработке и модернизации систем автоматического управления движением подвижных объектов, таких как морские суда, летательные аппараты или робототехнические комплексы.
Для подобных систем управления важно обеспечивать желаемое качество движения при наличии широко комплекса требований (зачастую – противоречивых), предъявляемых к динамике с учетом изменяющихся во времени внешних условий. При этом необходимо считаться с ограниченными возможностями вычислительных устройств, используемых для реализации законов управления на борту. Как показывает опыт, решение этих проблем удобно осуществлять на базе оптимизационного подхода, что обусловливает потребность разработки новых эффективных методов поиска оптимальных решений.
Это особенно важно для систем управления движением морских судов, для которых актуальны существенные технические ограничения, обусловленные их конструктивными особенностями, а также ограничения, связанные с возможностями управляющих устройств, установленных на борту, что определяется техническими, организационными и экономиче-12 скими причинами.
В диссертации исследуется задача управления морскими судами, движущимися при наличии неопределенных возмущающих воздействий. Задача о подавлении внешних возмущений с известными характеристиками относится к основным проблемам теории управления и рассматривается в различных ее разделах и приложениях. В качестве примера можно привести такие широко известные работы, как [6, 7, 26, 37, 53, 88 - 92, 96, 100].
В качестве основной математической модели морского судна в работе рассматривается система нелинейных дифференциальных уравнений х = F(t,x,6,w), (в.1) где х є En - вектор состояния судна, б є Em - вектор состояния исполнительных органов, w є El - вектор внешних возмущающих воздействий. Компонентами вектора х служат те составляющие векторов скорости (угловой и линейной), которые существенны для данного типа судов и для функциональных задач, решаемых системой управления. Размерность и состав вектора б определяется конструктивными особенностями судна.
Заметим, что в реальных практических ситуациях для внешнего возмущения характерна существенная неопределенность, связанная с непредсказуемостью поведения воздушной и водной среды, в которой осуществляется плавание судна. Данное обстоятельство существенно затрудняет анализ и проектирование системы управления, одной из центральных задач которой является подавление влияния внешних воздействий на судно.
Далее будем считать, что компоненты функции F являются непрерывно дифференцируемыми по совокупности всех своих аргументов в пространстве En+m+м. Более того, будем полагать, что при любом выборе функций 5 = 6(t) и w = w(t), соответствующих рабочим режимам функционирования судна и системы управления движением, для системы (в.1) существует и единственно решение задачи Коши для начальных условий х0 = х(0), определяемых данными режимами. Кроме уравнений судна (в.1) в состав математической модели объекта управления вводятся уравнения динамики приводов 5 = F5 (t, 6, u), (в.2) где и є Ет - вектор управляющих сигналов, и уравнения измерителей у = Fy(Y,x,6), (в.3) где у є Ек - вектор измеряемых динамических переменных. Далее считается, что все компоненты функции F непрерывно-дифференцируемые, а в состав компонент функции F5 обычно входят существенные нелинейности (срезки, зоны нечувствительности и т.д.). В основном далее будем считать, что управление осуществляется в пределах линейных участков функций fM и f5, т.е. приводы можно представить простейшей линейной моделью 5 = и. (в.4) В частности, в диссертации рассматривается результат линеаризации уравнений (в.1) - (в.3) при постоянной скорости хода в окрестности нулевого положения равновесия по остальным переменным
Параметрическая минимизация размера множества реакций на допустимые возмущения
Определение 2.1.1. Множество Qap O.k стабилизирующих обратных связей с матрицами К(а,Р), определенными по формуле (2.1.14), будем называть множеством параметризованных регуляторов для задачи (2.1.9), решение которой фактически сводится к поиску на нем минимума функции F(P(a,P)).
Теперь обратимся к задаче (2.1.8) и заметим, что ее решение удобно связать с параметризацией вещественными векторами у є En+m характеристических полиномов системы, замкнутой регуляторами из допустимого множества Q.sk, введенного соотношением (2.1.4). Если модальные требования (2.1.4) определяются только указанными выше ограничениями на степень устойчивости, т.е. CА = {s = x + jy є С1 : x -ad}, то построение желаемого характеристического полинома A (s, у) должно быть непосред ственно выполнено по формулам (1.3.4) - (1.3.7) при условии nd =п + т. Если же область Сд задается в более сложных вариантах, существуют аналогичные формулы, приведенные в работах [14, 12], позволяющие выполнить построение параметризованного полинома A (s, у).
Указанная параметризация множества характеристических полиномов определяет соответствующую параметризацию множества Qsk регуляторов (2.1.2), которыми замыкается объект (2.1.1). Действительно, зададим произвольный вектор у є Еп+т и по указанным формулам построим полином A (s, у). Для того, чтобы он был характеристическим полиномом для замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы матрица К коэффициентов регулятора (2.1.2) удовлетворяла тождеству
Заметим, что система (2.1.17) всегда совместна в силу условия полной управляемости. Она содержит п + т уравнений и имеет тхп + тхт неизвестных, т.е. пс =тхп + тхт-п-т компонент вектора к, собранные в вектор hc є Еп, могут быть выбраны произвольно. Введем в рассмотрение вектор = {у, hc} є Ех, Х = п + т + пс, и, дополнительно задавая произвольный вектор hc, найдем соответствующее решение k(s) = k(y,hc) системы (2.1.17). Таким образом, найдена матрица К = K(s) = K(y,hc) коэффициентов регулятора (2.1.2) из множества 0.sk, параметризованного векторами є = {y,hc}.
Аналогично доказательству теоремы 1.3.1 можно утверждать, что если найдено решение К0 задачи (2.1.8), то в соответствии с леммой 1.3.1 существует такая точка у = у0єЕп+т, что A3(s,K0) = A (s,y0), где Д -вспомогательный полином, построенный по формулам (1.3.4) - (1.3.7). Но тогда в пространстве Ех существует точка s0 ={y0,hc0}, где hc0 - соответствующая совокупность компонент матрицы К0, для которой
Таким образом, оптимальное решение є0 задачи (2.1.19) однозначно определяет оптимальное решение К0 = К(є0) задачи (2.1.8) и наоборот. В этом плане указанные задачи эквивалентны. Но тогда любая минимизирующая последовательность {є-} для функции Jd(), которую можно построить с помощью любого численного метода спуска для задачи (2.1.19) , определяет соответствующую минимизирующую последовательность {К(є-)}, причем справедливы равенства (2.1.18).
Теорема 2.1.1 определяет основу для построения прямого алгоритма решения задачи (2.1.8), базирующегося на ее трансформации к задаче (2.1.19) на безусловный экстремум. Алгоритм 2.1.1. Взять любую точку у є и построить вспомогательный полином A (s,у) по формулам (1.3.4) - (1.3.7) либо по аналогичным формулам [14, 12] для более сложного варианта модальных условий. 2. Сформировать систему линейных уравнений (2.1.17), обеспечи вающую выполнение тождества (2.1.16), которая всегда совместна и, если ее решение не является единственным, осуществить произвольный выбор вектора hc є Еп свободных переменных (компонент матрицы К) по отношению к этой системе. 3. После подстановки в систему (2.1.17) принятого вектора є = {у,пс} є Ь ,Х = п + т + пс, найти ее решение к = (є), а, соответственно, и матрицу К = (Е) .
Необходимо отметить, что предложенный алгоритм определяет наиболее очевидный прямой путь решения задачи (2.1.8), однако он обладает очевидными недостатками, присущими задачам конечномерной оптимизации. Основная трудность связана с тем, что функция Jd(s) в общем случае не является выпуклой, что порождает проблему остановки вычислительного процесса в точках локального экстремума.
В связи с этим обстоятельством представляется разумным связать метод решения задачи (2.1.8) с более простой задачей (2.1.9), решение которой фактически сводится к минимизации в пространстве Е2.
Рассмотрим множество Qap регуляторов (2.1.2) с матрицами К(а,Р), определенными по формуле (2.1.14). Возьмем произвольный регулятор из этого множества и сформируем характеристический полином A3(s,a,P) замкнутой системы по формуле (2.1.15), представляя его в виде А г I п+т п+т-1 \ nt A3(s,a,p) = \s s ... s 1j(1 v(a,p)) , где v(a,P) = (vw+ra_1(a,P) ... V1(a,P) v0(a,P))e En+m - вектор коэффициентов полинома. Аналогично запишем характеристический полином A3(s,K) = \s s ... s 1J(1 v(K)) с вектором коэффициентов v(K) є En+m, построенный по формуле (2.1.3) для произвольного регулятора (2.1.2) при условии К є Qk . Определение 2.1.2. Взаимным удалением регуляторов (2.1.2) с матрицами коэффициентов К(сс,Р)є Qap и KeQt или соответствующих им характеристических полиномов A3(s,a,fi) и A3(s,K) друг от друга будем называть неотрицательное вещественное число РА = Рд(а5Р5К) = v(a,P)-V(K). (2.1.20) Теорема 2.1.2. Для произвольного регулятора (2.1.2) из множества Qap на множестве Qsk всегда найдется регулятор (2.1.2), который наиболее близок к нему в смысле удаления рд. Доказательство. Заметим, что множество Q p = Qap ГШЯ может быть не пустым. Это значит, что среди регуляторов на множестве Qap могут быть как элементы, обладающие желаемыми модальными свойствами, так и не обладающие ими.
Синтез управлений, удовлетворяющих дополнительным динамическим требованиям при действии ступенчатых возмущений
Используем регулятор (3.2.5) в качестве базового для построения регулятора, обеспечивающего вместе со всеми указанными выше требованиями астатизм замкнутой системы. Преобразовав базовый регулятор (3.2.5) с помощью соотношения (2.2.9), мы получим новый регулятор, который, в соответствии с Теоремой 2.2.1, будет являться астатическим и, в то же время, будет обеспечивать желаемую степень устойчивости и компенсацию ограниченных внешних воздействий.
На рис. 3.3.2 и 3.3.3 сплошная линия представляет динамику судна (изменение курса и отклонение рулей соответственно) при использовании закона управления (3.3.1), полученного на базе управления с коэффициентами (3.2.5), в процессе компенсации указанного возмущения. Пунктирная линия представляет собой те же процессы при использовании регулятора (3.3.3), полученного из базового закона с коэффициентами (3.2.6) [54]. 1 -1
Как видно из рис. 3.3.2, при использовании управления (3.3.1) отклонение от курса составляет менее 0.5 против 2 при использовании управ ления (3.3.3). При этом время стабилизации курса судна после окончания действия ограниченного возмущения в первом случае составляет приблизительно 15 секунд, а во втором – 60 секунд. Таким образом, закон управления (3.3.1), построенный на базе (3.2.5), обеспечивает лучшую компенсацию возмущений, чем закон управления (3.3.3), полученный из управления (3.2.6), не требующего обеспечения заданной степени устойчивости.
Динамика соответствующего процесса представлена на рис. 3.3.5 и 3.3.6, иллюстрирующих соответственно отклонение курса и вертикальных рулей при использовании закона управления (3.3.1), полученного на базе управления (3.2.5) (сплошная линия) и управления (3.3.3) (пунктирная линия).
Рис. 3.3.5 и 3.3.6 показывают, что система обладает свойством аста-тизма в обоих случаях, однако при использовании алгоритма 2.1.1 переходный процесс завершается на 60 секунд быстрее. Также отметим более высокое качество работы рулей в случае использования управления (3.3.1): крайние положения в процессе маневрирования не достигаются, и перекладка рулей происходит с невысокой частотой, в отличие от регулятора (3.3.3), порождающего перерегулирование и колебательность. 1 0 -1 -2 -3 -4 -10 в) Отработка командного сигнала при действии ограниченных внешних возмущений. Пусть маневр заключается в повороте судна по курсу на заданный угол 10 под воздействием возмущений длительностью 30 секунд (рис. 3.3.1). Динамический процесс при использовании закона управления (3.3.1) и закона управления (3.3.3) представлен на рис. 3.3.6 и 3.3.7.
Как видно из рис. 3.3.7 и 3.3.8, при использовании регулятора (3.3.3) вместо регулятора (3.3.1), качество динамического процесса заметно ухудшается: переходный процесс завершается почти на 50 секунд позже, и перерегулирование при более интенсивной работе рулей принимает недопустимо большое значение. г) Пусть на судно снова действует зашумленный ступенчатый сигнал, представленный на рис. 3.3.4. Пусть маневр состоит в повороте на 10 по курсу. Динамические процессы при отработке указанного командного сигнала представлены на рис. 3.3.9 и 3.3.10: сплошной линий изображены процессы при использовании управления (3.3.1), пунктирной – при управ 101
Наличие свойства астатизма позволяет точно отработать командный сигнал, что избавляет от необходимости вводить дополнительные корректировки. Как видно из рис. 3.3.9, при использовании управления (3.3.1) переходный процесс завершается на 60 секунд быстрее, чем при использовании управления (3.3.3). Кроме того, в первом случае благодаря плавной работе рулей практически отсутствует колебательность процесса.
Таким образом, астатическое управление (3.3.1), полученное с учетом требования к степени устойчивости, при различных внешних воздейст 102 виях и при отработке различных командных сигналов дает лучшие результаты, чем астатическое управление (3.3.3), сформированное без требования к степени устойчивости.
Стабилизация курса судна цифровым регулятором при учете воздействия внешних возмущений
Время, с Рис. 3.4.3. Отклонение рулей. Из рис. 3.4.2 и 3.4.3 видно, что при использовании регулятора (3.4.2), сформированного с учетом требования к степени устойчивости, переходный процесс заканчивается на 60 секунд быстрее, чем при использовании регулятора (3.4.3), сформированного без такого требования.
Задача управления движением судна по заданному курсу при наличии неопределенных возмущающих воздействий
Заметим, что в силу тождественности проводимых преобразований с использованием однородных уравнений (2.2.3), нетрудно проверить, что замкнутые системы (2.2.3), (2.1.2) и (2.2.3), (2.2.2) с матрицами ц и v (2.2.10) имеют одинаковые характеристические полиномы. Теперь введем в рассмотрение командный сигнал x(t) = х по состоянию МПО, где х - п -мерный вектор с постоянными компонентами. При отработке указанного сигнала с помощью обратной связи с использованием позиционного регулятора (2.1.2) его уравнение принимает вид [12]:
Очевидно, что в силу тождества (2.2.11), для тождественности переходных процессов в замкнутых системах (2.2.3), (2.1.2) и (2.2.3), (2.2.2) достаточно ввести командный сигнал в скоростной закон следующим образом: и = цх + уу-Кхх. (2.2.13) И, наконец, покажем, что регулятор (2.2.2) с матрицами (2.2.10) обеспечивает астатизм замкнутой системы (2.1.1), (2.2.2) по выходу у. Заметим, что если ограничения по отклонениям рулей допускают существование положения равновесия в замкнутой системе при наличии ступенчатого возмущающего воздействия, то это положение определяется следующей системой линейных алгебраических уравнений: 0 = Ах + Вб + Dw0, (2.2.14) 0 = vy. Из последнего соотношения следует, что если матрица v не вырожденная, то по отношению к переменной у система (2.2.14) имеет нулевое решение для любого вектора w0 є к , что и свидетельствует об астатизме.
Обратим внимание на то, что переход от позиционного регулятора (2.1.2), синтезированного как решение задачи (2.1.21), к скоростной эквивалентной форме (2.2.2) с матрицами (2.2.10) гарантирует дополнительное свойство астатизма замкнутой системы. Однако этим не ограничивается совокупность динамических требований, предъявляемых к ее поведению при воздействии возмущений ступенчатого характера. Помимо обеспечения нулевой статической ошибки в большинстве практических ситуаций возникает необходимость в ограничении динамических отклонений контролируемой переменной.
Для рассмотрения указанных ограничений напомним, что переходный процесс в астатической замкнутой системе (2.1.1), (2.2.2), находящейся под воздействием ступенчатых возмущений (2.2.1), происходит при нулевых начальных условиях. Это значит, что для контролируемой переменной выполняется условие у(0) = 0, а с учетом соотношения lim у(ґ) = 0 можно утверждать, что найдется такая точка tm є[0,о), что выполняется равенство max у(011 = ІІУ(С )11 . В связи с отмеченным обстоятельством,
Функционал (2.2.15) вычисляется на движениях астатической замкнутой системы (2.1.1), (2.2.2), находящейся под воздействием ступенчатых воз мущений (2.2.1) с заданным вектором w0 є к , выбор которого определяется условиями содержательной задачи синтеза. Потребуем, чтобы синтезируемая система удовлетворяла ограничению Jp = Jp (К) Jp0, (2.2.16) где Jp0 0 - заданное вещественное число.
Соотношение (2.2.16) может быть введено как дополнительное условие, определяющее допустимое множество регуляторов при решении задач оптимизации размера минимального инвариантного эллипсоида, рассмотренных в предшествующем параграфе. В частности, его удобно использовать для задания конечной сетки Q в задаче (2.1.25), что приводит к очевидной модификации алгоритма 2.1.3. Применение модифицированного алгоритма позволяет уменьшить размер минимального эллипсоида с учетом желаемых модальных свойств и с дополнительным ограничением динамической ошибки при использовании астатического варианта обратной связи.
Практическая реализация законов управления морскими судами в настоящее время осуществляется с помощью средств цифровой вычислительной техники, что при определенных условиях требует специального учета при синтезе обратных связей. замкнутой системы (2.3.1), (2.3.2) лежат внутри единичного круга. Рассмотрим также сужение Qks множества стабилизирующих регуляторов, определяя его желаемыми модальными требованиями к замкнутой системе: где 8г(К) - корни характеристического полинома (2.3.3) замкнутой системы, СА - заданная область на комплексной плоскости. В частности, в каче стве такой области можно принять круг CA={z є С : \z\ ad}, где ad є (0,1) - заданное вещественное число, определяющее степень устойчивости замкнутой системы. Как и для аналоговых регуляторов, возможны и другие способы введения допустимой области.
Как и ранее будем считать, что внешнее возмущающее воздействие ограничено по величине, т.е. справедливо соотношение Определим функционал Jd = Jd (К), характеризующий размер минимального инвариантного эллипсоида, включающего множество 9Яеа ре акций на внешние воздействия для замкнутой системы (2.3.1), (2.3.2). По аналогии с теоремой 1.2.1 в данном случае имеем
Таким образом, теорема 2.3.1 является основой для построения алгоритмов решения задачи (2.3.8), аналогичных алгоритмам 2.1.1 - 2.1.3. Однако в алгоритмах 2.1.1 - 2.1.3 необходимо учитывать, что для цифровых систем а є (0,1). Кроме того, вместо линейного матричного уравнения (2.1.11) на соответствующих этапах необходимо решать линейное матричное уравнение (2.3.11), и вместо формул (1.3.4) - (1.3.7) для построения вспомогательного полинома необходимо использовать соотношения (2.3.15) - (2.3.17).
Рассмотрим теперь движения замкнутой системы (2.3.1), (2.3.2) при нулевых начальных условиях для векторов состояния объекта, привода и регулятора под воздействием внешних возмущений вида где de ={deуk\} - единичная ступенчатая последовательность, w0 є E -постоянный вектор. Определение 2.3.1. Будем называть замкнутую линейную систему (2.3.1), (2.3.2) астатической по вектору контролируемых координат у, если при воздействии возмущения (2.3.18) выполняется равенство lim у[k] = 0. Регулятор (2.3.2), обеспечивающий выполнение указанного равенства, будем называть астатическим по вектору у.
Определение 2.3.2. Будем говорить, что скоростной регулятор и[k] = ц(х [k +1] - х [k]) + ху [k], (2.3.19) эквивалентен позиционному регулятору (2.3.2) по отработке заданного командного сигнала, если обратная связь (2.3.19) обеспечивает такой же характеристический полином замкнутой системы, что и (2.3.2), и если переходные процессы по переменной у в соответствующих замкнутых системах при отсутствии возмущений тождественно совпадают.
Пусть для модели (2.3.1) выполняются условия k = m, rank С = m, т.е. количество измеряемых координат равно количеству управляющих воздействий. Тогда, при отсутствии внешних возмущений, регуля Гх[k]Л тор иk = Кxхk + К.6k = К можно однозначно представить в ско {&[k]J ростной эквивалентной форме (2.3.19), где матрицы ц и v однозначно определяются матрицей К. При этом регулятор (2.3.19) будет являться астатическим по вектору у, если матрица v не вырожденная