Введение к работе
Актуальность проблемы. Технические и экономические системы усложняются по количеству элементов и связей между ними. Возникает проблема расчета изменений процессов при изменении структуры связей системы. Такие проблемы возникают при расчете и анализе технических систем, электрических, транспортных сетей, предприятий нефте- и газопереработки; при анализе возможных последствий отключения элементов, подсистем. Разделение модели сложной системы на подсистемы и соединение подсистем необходимо при организации вычислений в компьютерах с параллельной архитектурой.
Для анализа деятельности экономических систем актуальны расчеты баланса производства продуктов при изменении спроса (плана), при изменении хозяйственных связей, схемы поставок, источников ресурсов. Необходим анализ деятельности промышленных предприятий, банков, страховых компаний. Актуален анализ взаимодействия финансового и реального секторов в экономике. Необходим расчет прогноза исполнения бюджета по доходам при изменении ставок налогообложения, налогооблагаемых баз, схемы поступления доходов.
На сегодня нет математической теории расчета изменения процессов при изменении структуры. Существуют методы расчета процессов в сложных системах при заданных соединениях элементов. При изменении связей уравнения процессов получают и решают заново. Уравнения поведения не содержат информации о структуре связей элементов. Структуру связи элементов в системе рассматривают в теории графов, графов связей, комбинаторной топологии, которые не содержат понятий метрики, меры расстояния между циклами, разрезами, симплексами.
Материальные, метрические параметры связывают воздействия и отклики процессов. Уравнения поведения составляют относительно независимых переменных, определяемых структурой (степени свободы, замкнутые и разомкнутые пути). При изменении структуры меняется число переменных, получить новые уравнения по старым невозможно, как и преобразовать старое решение в новое, поскольку матрицы таких преобразований прямоугольные, не имеют обратных и не образуют группу. Это не позволяет определить изменения процессов при изменении структуры.
Для расчета сложных технических систем (электрические машины, электрические сети, строительные конструкции, ядерные реакторы, лопатки турбин, уравнения Максвелла, Шредингера и др.) применяется тензорный метод, который разрабатывал Г.Крон, другие ученые. Воздействия, отклики, характеризующие процессы в системе, рассматривают как геометрические объекты с компонентами в независимых замкнутых и разомкнутых путях, определяемых структурой. Изменение структуры рассматривают как преобразование координат. Такой подход обеспечивает исследование, расчет, анализ сложных систем из разных областей единым методом.
Это позволяет использовать уже разработанные методы решения в новых областях, для новых систем. При изменении структуры в одной системе нет необходимости получать и решать уравнения поведения заново; достаточно преобразовать известное решение в решение для новой структуры. Это уменьшает объемы аналитической, алгоритмической, вычислительной работы. При расчете систем по частям тензорным методом отсутствуют итерации; это снижает объемы вычислений и позволяет применять компьютеры с параллельной архитектурой.
Таким образом, тензорный метод обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сложных технических, экономических систем. Вместе с тем тензорный метод содержал противоречия, которые препятствовали его развитию и применению. В качестве моделей сложных систем использовались электрические цепи. Постулировалось, что при изменении структуры мощность в цепи постоянна. Проблема в том, что это предположение не соответствует реальности, но полученные на его основе методы расчета дают правильные результаты. Это указывало на существование других оснований данного метода. Использование в качестве моделей электрических цепей
снижало общность метода, придавая ему инженерный характер в ущерб математической строгости.
Автор разработал тензорный метод двойственных сетей. Найденный инвариант матриц преобразования путей обеспечивает постоянство величины' вектора потока (представляющего процесс) при изменении структуры двойственных сетей. Разработана технология применения тензорного метода, которая обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сетей, сетевых моделей сложных технических, экономических систем. На основе двойственных сетей разработаны алгоритмы расчета сетей по частям, которые позволяют исключить итерации по расчету взаимодействия подсистем. Метод применен в новой области - для расчета и анализа экономических систем.
Цель работы.
-
Разработать тензорную методологию представления, расчета и анализа процессов и структуры сложных технических, экономических систем сетевыми моделями.
-
Разработать метод двойственных сетей, который обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сети как преобразование координат, заданных замкнутыми и разомкнутыми путями.
-
Найти инвариант преобразований структуры сети при изменении количества узлов. Исследовать закономерности изменения мощности при изменении структуры электрической цепи.
-
Разработать метод и алгоритмы расчета изменений процессов при изменении структуры сетей и сетевых моделей сложных систем, включая расчет по частям.
-
Применить тензорный метод двойственных сетей в новой области - для решения задач экономики: расчета межотраслевого баланса, анализа деятельности предприятий и банков, анализа и прогноза доходов бюджета.
Методы исследования: тензорный метод, тензорный анализ сетей, теория матриц, теория графов, анализ размерностей, математическое моделирование по аналогиям, исследование систем по частям - диакоптика.
Научная новизна работы заключается в том, что:
-
Разработана тензорная методология, которая основана на представлении сетевыми моделями процессов и структуры сложных технических, экономических систем.
-
Разработаны основы метода двойственных сетей (соединяющих процессы и структуру). При изменении связей в сети может меняться число вершин (узлов). Соединения элементов представлены как системы координат, заданные путями. Процессы представлены как векторы в пространстве сети; воздействия и отклики - как ковариантные и контравариантные компоненты. Если соединения меняются в двух двойственных сетях, то матрицы преобразования координат (как и метрические матрицы) связаны инвариантным соотношением, вектор процесса остается постоянным, преобразования обеспечивают расчет процессов при изменении структуры.
-
Найдена, неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при изменении структуры, двойственных электрических цепей. Эта закономерность является физическим проявлением инварианта матриц преобразования и метрических тензоров в двойственных сетях.
-
Построены алгоритмы расчета процессов в сетях при изменении структуры, в том числе при разделении сети (сетевой модели) на подсети, которые обеспечивают расчет сетей по частям без итераций.
-
Построены сетевые модели для экономики:
потоков продуктов в системе производств, поставок и ресурсов, в которой двойственные величины представляют пропорции финансовых воздействий. Это обеспечивает расчет материально-финансового баланса;
потоков денежных средств, что обеспечивает анализ результатов деятельности отдельных банков и банковской системы в целом;
потоков налоговых и неналоговых поступлений бюджета, что обеспечивает расчет вариантов для анализа и прогноза исполнения бюджета. 6. Построена сетевая. модель процесса ректификации для АСУ ТП объектов нефтепереработки.
Практическая ценность полученных результатов подтверждена при внедрении и использовании методик, сетевых моделей, алгоритмов и разработанных на их основе систем, реализованных в виде программных средств и применяемых в Департаменте финансов Правительства Москвы, в бюллетене "Банки и финансы" агентства "Мобиле", применяемых при анализе производственной и финансовой деятельности предприятий в журнале "Промышленность России" (совместное издание Министерства экономики и агентства "Мобиле"), в подсистеме АСУ ТП объектов нефтепереработки.
Алгоритмы расчета сетей (сетевых моделей) по частям обеспечивают параллельные вычисления без итераций, что повышает эффективность вычислительных систем с параллельной архитектурой.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на более чем 30 семинарах и конференциях, в том числе на II Международном Конгрессе по региональному развитию в Монтре (Швейцария) в 1997 г., на Международном совещании по вопросам экономической безопасности и управления рисками (Москва, Торгово-промышленная палата) в 1998 г.
Публикации. Результаты выполненных исследований опубликованы в 106 работах.
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 132 наименования. Содержит 292 с. основного текста, включая 57 рисунков, 14 таблиц.
