Развитие спектрального метода для решения задач распределенного управления тепловыми объектами многослойной структуры Чернова Анастасия Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Состояние проблемы и задачи диссертации 15

1.1. Методы синтеза регуляторов для распределенных систем управления 15

1.2. Методы идентификации для распределенных систем управления 26

1.3. Задачи диссертации 29

1.4. Заключение главы 1 38

Глава 2. Спектральное представление распределенных объектов управления 39

2.1. Спектральное представление пространственно одномерных объектов

управления в прямоугольной системе координат 39

2.1.1. Разложение функции в ряд Фурье по одной пространственной переменной в прямоугольной системе координат 39

2.1.2. Представление произведения двух функций в спектральной форме по пространственной переменной 41

2.1.3. Спектральная характеристика первой производной по пространственной переменной x 41

2.1.4. Спектральная характеристика второй производной по пространственной переменной x 42

2.2. Спектральное представление пространственно одномерных объектов управления в цилиндрической системе координат 44

2.2.1. Разложение функции в ряд Фурье по одной пространственной переменной в цилиндрической системе координат 44

2.2.2. Представление произведения двух функций в спектральной форме по пространственной переменной 48

2.2.3. Спектральная характеристика первой производной по пространственной переменной r 48

2.2.4. Спектральная характеристика второй производной по пространственной переменной r 50

2.3. Спектральное представление пространственно двумерных объектов

управления в цилиндрической системе координат 51

2.3.1. Разложение функции в ряд Фурье по двум пространственным переменным в цилиндрической системе координат 52

2.3.2. Представление произведения двух функций в спектральной форме по пространственным переменным 53

2.3.3. Спектральная характеристика первой производной по пространственной переменной r 53

2.3.4. Спектральная характеристика второй производной по пространственной переменной r 55

2.3.5. Спектральная характеристика первой производной по пространственной переменной z 57

2.3.6. Спектральная характеристика второй производной по пространственной переменной z 59

2.4. Новая теорема о спектральном представлении пространственно

распределенных функций 62

2.4.1. Спектральная характеристика произведения производной пространственно распределенной функции по радиальной координате на другую пространственно распределенную функцию в цилиндрической системе координат для одномерного объекта 62

2.4.2. Спектральная характеристика произведения производной пространственно распределенной функции по радиальной координате на другую пространственно распределенную функцию в цилиндрической системе координат для двумерного объекта

2.5. Исследование систем разложения с точки зрения повышения точности представления функции на границах объекта управления 70

2.6. Заключение главы 2 75

Глава 3. Решение задачи синтеза пространственно одномерных систем с параметрами, зависящими от пространственных координат 76

3.1. Решение задачи синтеза регулятора для теплопроводящего стержня, параметры которого зависят от пространственной координаты 76

3.1.1. Постановка задачи 76

3.1.2. Получение модели объекта управления в безразмерном виде 77

3.1.3. Представление модели объекта в спектральном виде 78

3.1.4. Решение задачи анализа на основе спектрального метода и сравнение результатов с решением, полученным методом конечных разностей 80

3.1.5. Решение задачи синтеза на основе спектрального метода 82

3.2. Решение задачи синтеза регулятора для теплопроводящего диска, параметры которого зависят от пространственной координаты 86

3.2.1. Постановка задачи 86

3.2.2. Получение модели объекта управления в безразмерном виде 87

3.2.3. Представление модели объекта в спектральном виде 88

3.2.4. Решение задачи анализа на основе спектрального метода и сравнение результатов с решением, полученным методом конечных разностей 90

3.2.5. Решение задачи синтеза на основе спектрального метода 93

3.3. Заключение главы 3 95

Глава 4. Решение задачи идентификации пространственно двумерных объектов, параметры которых зависят от пространственных координат 96

4.1. Алгоритм решение задачи идентификации пространственно двумерных объектов, параметры которых зависят от пространственных координат 96

4.1.1. Постановка задачи 97

4.1.2. Представление в безразмерном виде модели пространственно двумерного объекта управления 97

4.1.3. Алгоритм решения задачи идентификации методом сопряженных градиентов для пространственно двумерного объекта управления 98

4.1.4. Применение спектрального метода для решения задачи идентификации пространственно двумерного объекта управления 101

4.2. Решения задачи идентификации для пространственно одномерного объекта, параметры которого зависят от пространственной координаты 102

4.2.1. Постановка задачи 102

4.2.2. Получение модели объекта управления в безразмерном виде 103

4.2.3. Алгоритм решения задачи идентификации методом сопряженных градиентов для пространственно одномерного объекта управления 103

4.2.4. Применение спектрального метода для решения задачи идентификации пространствнно одномерного объекта управления 104

4.2.5. Пример решения задачи идентификации методом сопряженных градиентов для пространственно одномерного объекта управления 106

4.3. Заключение главы 4 108

Глава 5. Решение задачи синтеза регулятора для многослойной цилиндрической оболочки, параметры которой зависят от пространственной координаты 109

5.1. Описание установки 109

5.2. Решение задачи анализа температурного поля печи без заготовки

5.2.1. Постановка задачи 112

5.2.2. Модель объекта управления в безразмерном виде 114

5.2.3. Представление модели объекта в форме пространства состояний на основе спектрального метода 116

5.2.4. Решение задачи анализа температурного поля сплошного цилиндра на основе спектрального представления 128

5.2.5. Решение задачи анализа температурного поля многослойного тела на основе спектрального метода 132

5.3. Решение задачи синтеза регулятора для нагревательной установки при

отжиге стеклоизделий 133

5.3.1. Постановка задачи 135

5.3.2. Получение модели объекта управления в безразмерном виде 138

5.3.3. Представление модели объекта в форме пространства состояний на основе спектрального метода 139

5.3.4. Решение задачи анализа температурного поля нагревательной установки на основе спектрального метода 144

5.3.5. Решение задачи синтеза на основе спектрального метода 146

5.4. Заключение главы 5 152

Заключение 153

Список литературы 155

• Методы идентификации для распределенных систем управления
• Спектральное представление пространственно одномерных объектов управления в цилиндрической системе координат
• Решение задачи синтеза регулятора для теплопроводящего диска, параметры которого зависят от пространственной координаты
• Алгоритм решения задачи идентификации методом сопряженных градиентов для пространственно двумерного объекта управления

Введение к работе

Актуальность темы. При управлении современными промышленными установками, в которых протекают тепловые, химические, радиационные, маг-нитогидродинамические и другие процессы, требуется учитывать зависимость различных параметров от времени, а также от пространственных переменных. Для математического описания пространственно распределенных объектов используются дифференциальные, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с частными производными.

Часто одной из конструктивных особенностей распределенных объектов управления является их многослойная структура. При решении задач управления объектами многослойной структуры возникают существенные трудности: зависимость функции, описывающей состояние объекта, от одной или двух пространственных координат, необходимость учета условий стыковки сред, нелинейности, обусловленные зависимостью параметров объекта от функции состояния.

Преодоление указанных трудностей обычно основывается на следующих допущениях. При описании объекта учитывается только одна пространственная координата или используется упрощенное описание распределенного объекта сосредоточенной математической моделью низкой размерности. Это влечет существенное снижение качества и точности управления. В ряде случаев исходная математическая модель объекта заменяется моделью, полученной на основе методов дискретизации. При этом могут возникать сложности, связанные с учетом условий стыковки сред, потерей устойчивости и даже физического смысла задачи.

Многослойные структуры с точки зрения управления исследуются в рабо
тах И.М. Першина, Е.Н. Туголукова, И.А. Данилушкина, М.В. Лежнева,
Г.В. Кузнецова, Л.А. Стефурак, Л.К. Мартинсона, О.Ю. Чигиревой, В.В. Власова,
Э.М. Карташова. При этом в большинстве работ решение задачи синтеза прово
дится при дополнительных упрощениях. Таким образом, задача синтеза распре
деленного регулятора для управления объектами многослойной структуры, таки
ми как многослойные оболочки и пластины, является актуальной.

Для решения этой задачи в работе предложено два подхода. В основе первого подхода содержится описание многослойной оболочки или многослойного диска уравнением с параметрами, изменяющимися скачкообразно в зависимости от пространственной координаты при переходе от одного слоя к другому. Второй подход заключается в составлении уравнений теплопроводности для каждого слоя. В обоих случаях для решения задачи используется спектральный метод представления исходных уравнений модели объекта управления.

Используемый в работе спектральный метод основывается на спектраль
ной теории В.В. Солодовникова, В.В.Семенова, А. Н. Дмитриева и
Н.Д. Егупова, разработанной для нестационарных сосредоточенных систем, и
примененной для пространственно распределенных систем В.А. Ковалем. В ос
нове спектрального метода лежит понятие вектора спектральной характеристи
ки по пространственным переменным, которое позволяет для распределенного
объекта в форме интегральных, интегро-дифференциальных и дифференциаль
ных уравнений с частными производными осуществить переход к системе бес
конечных дифференциальных уравнений в форме Коши.

Основным достоинством спектрального метода является аддитивное вхождение в правую часть уравнений объекта граничных условий и внешних воздействий, что позволяет использовать методы пространства состояний для решения задачи синтеза. Применение спектрального метода также позволяет учесть зависимость переменных состояния и параметров объекта от пространственных координат.

Вышеизложенное определяет цель и задачи работы.

Цель работы заключается в разработке теоретических положений для решения задач анализа и синтеза систем управления нагревом объектов многослойной структуры в цилиндрической системе координат, с учетом зависимости параметров от пространственных координат.

Задачи работы. Достижение поставленной цели осуществляется решением следующих задач.

1. Сформулировать и доказать новую теорему о спектральной характеристике произведения производной пространственно распределенной функции по радиальной координате на другую пространственно распределенную функцию, которая позволит учесть зависимость от пространственных координат параметров, входящих в уравнение объекта в виде производных.

2. Обосновать методику выбора системы разложения в ряд Фурье-Бесселя, дающую возможность уменьшить погрешности представления граничных условий при анализе объекта управления.

3. Модифицировать алгоритм идентификации параметров пространственно распределенных объектов управления с учетом их спектрального представления.

4. Разработать алгоритм анализа пространственно распределенных объектов многослойной структуры на основе спектрального представления.

5. Применить разработанные методики и алгоритмы к анализу и синтезу системы управления температурным полем цилиндрической печи для управления технологическим процессом отжига стеклоизделий.

Методы исследования. Поставленные задачи решаются на основе теории дифференциальных уравнений, методов математической физики, теории систем, теории матриц, спектрального метода, методов пространства состояний.

Научная новизна результатов работы заключается в следующем:

6. Сформулирована и доказана новая теорема о спектральной характеристике произведения производной пространственно распределенной функции по радиальной координате на другую пространственно распределенную функцию в цилиндрической системе координат. Применение теоремы позволяет получить спектральное представление составляющих уравнения объекта, содержащих производные параметров, зависящих от пространственных координат с учетом того, что параметры могут изменяться скачкообразно.

7. Предложена методика выбора ортонормированных систем разложения по функциям Бесселя из условия минимизации ошибок, позволяющая учитывать ненулевые граничные условия. Проведен анализ точности представления граничных условий с использованием выбранных систем разложения для различных интервалов пространственной координаты объекта управления.

8. Модифицирован алгоритм идентификации на основе метода сопряженных градиентов, в котором учтено, что исходный объект управления представ-

ляется в спектральной форме. Получено спектральное представление уравнений с частными производными, записанными относительно функции температуры, сопряженной функции и функции чувствительности, а также функционала, используемого для вычисления градиента. Полученные выражения позволяют решить задачу параметрической идентификации для пространственно двумерных объектов в цилиндрической системе координат.

4. Разработан алгоритм анализа пространственно распределенных тепловых объектов многослойной структуры на основе спектрального представления с использованием условий стыковки сред, который позволяет перейти от исходного представления многослойного объекта управления в виде уравнений теплопроводности, записанных для каждого слоя, с начальными условиями, граничными условиями и условиями стыковки сред, к спектральному представлению в виде бесконечной системы дифференциальных уравнений в форме Коши с блочными матрицами для анализа объекта.

5. Решена задача синтеза распределенной системы управления температурным полем нагревательной камеры установки «Печь для нагрева стеклозаго-товок ЯЕАР681919.001РЭ», используемой при отжиге стеклоизделий в ООО НПП «Наноструктурная технология стекла».

Достоверность полученных результатов подтверждается согласованностью с известными результатами, полученными на основе методов математической физики, а также с результатами численного эксперимента и практического использования.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1. Новая теорема о спектральной характеристике произведения производной пространственно распределенной функции по радиальной координате на другую пространственно распределенную функцию в цилиндрической системе координат.

2. Методика выбора ортонормированной системы разложения, исходя из условия минимизации ошибок представления граничных условий при анализе объекта управления.

3. Алгоритм идентификации параметров пространственно распределенных объектов управления с учетом их спектрального представления.

4. Алгоритм и результаты анализа тепловых объектов многослойной структуры на основе спектрального представления объекта в форме пространства состояний.

5. Решение задачи синтеза распределенной системы управления температурным полем нагревательной камеры установки для отжига стеклоизделий с учетом многослойной структуры объекта.

Научно-практическая значимость полученных результатов характеризуется их конструктивностью и направленностью на решение практических задач. Доказанная теорема для получения спектральных характеристик пространственно одномерных и двумерных объектов расширяет возможности применения спектрального метода для решения задач анализа и синтеза распределенных систем. Разработанные процедуры позволяют решать задачи синтеза регуляторов пространственно одномерных и двумерных систем с учетом зависимости параметров объекта от пространственных координат. На основе полученных результатов решена задача синтеза распределенной системы управления температурным полем

нагревательной камеры технологического процесса отжига стеклоизделий.

Реализация и внедрение результатов работы. Работа выполнялась в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре «Радиоэлектроника и телекоммуникации» СГТУ имени Гагарина Ю.А. в рамках основного научного направления «Аналитическая теория автоматического управления».

Выводы и рекомендации, изложенные в диссертационной работе, использованы при разработке системы управления процессом отжига стеклоизделий в ООО НПП «Наноструктурная технология стекла», что подтверждается справкой о практическом использовании.

Результаты работы использовались в учебном процессе при чтении лекций по курсу «Распределенные системы автоматического управления» бакалаврам направления 27.03.04 «Управление в технических системах» и курсу «Спектральная теория анализа и синтеза распределенных управляемых систем» магистрантам направления 27.04.04 «Управление в технических системах».

Апробация работы. Основные результаты работы представлены и обсуждены на Международной научной конференции «Проблемы управления, передачи и обработки информации» (Саратов, 2009, 2011, 2013, 2015), Всероссийской научно – практической конференции молодых ученых «Инновации и актуальные проблемы техники и технологий» (Саратов, 2009, 2010), трудов XXIV, XXV, XXVI Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» и «Участники школы молодых ученых и программы УМНИК» (Саратов, Волгоград, Нижний Новгород, Иваново, 2011, 2012, 2013, 2014), 51-ой Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2013), Пятой традиционной всероссийской летней школе «Управление, информация и оптимизация» (Москва, 2013), а также на научных семинарах кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» СГТУ имени Гагарина Ю.А.

Материалы диссертации использовались в отчетах по проекту РФФИ №12-08-31173 «Исследование проблемы синтеза робастных регуляторов распределенных систем управления на основе алгебро-дифференциальных моделей».

Публикации. По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 18 научных работ, из них 4 работы в журналах из Перечня, рекомендованного ВАК РФ. Имеются 2 свидетельства о регистрации программы для ЭВМ. Опубликованные материалы полностью отражают содержание диссертации. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора заключается в формулировке и доказательстве новой теоремы о спектральной характеристике произведения производной пространственно распределенной функции по радиальной координате на другую пространственно распределенную функцию в цилиндрической системе координат; в разработке методики выбора ортонормированных систем разложения, исходя из условия минимизации ошибок представления граничных условий; в модификации алгоритма идентификации на основе метода сопряженных градиентов с учетом спектрального представления объекта управления; в разработке алгоритма анализа объектов многослойной структуры на основе спектрального представления объекта в форме пространства состояний; в разработке системы управления тем-

пературным полем нагревательной камеры установки для отжига стеклоизделий.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 157 наименований, и 4 приложений. Общий объем работы составляет 180 страниц, включая 24 рисунка, 6 таблиц.

Методы идентификации для распределенных систем управления

Для решения задачи синтеза оптимального управления часто используется идея сочетания метода функций Ляпунова и метода динамического программирования [37]. Применяя эту идею, удалось разрешить обширный круг задач синтеза оптимальных систем, которые работают по принципу обратной связи. Функционал, интерпретированный Летовым [27, 28] как интегральная квадратичная ошибка системы, при известных условиях может быть рассмотрен как функция Ляпунова. Здесь же [27, 28], показана связь функций Ляпунова с данной задачей оптимизации функционала. При этом основное функциональное уравнение обращается в уравнение в частных производных для построения функций Ляпунова. Задачу оптимизации системы и задачу устойчивости оптимальной системы можно решить одновременно, применяя метод динамического программирования. Определение устойчивости, введенное А. М. Ляпуновым, является наиболее общим, математически корректным и соответствующим физическому представлению об устойчивости. Данный метод исследования устойчивости применим и для нелинейных систем, а в последние годы метод Ляпунова распространился и на системы с распределенными параметрами.

В [30, 37] рассматривается применение метода функций Ляпунова к исследованию устойчивости процессов с распределенными параметрами. С использованием идеи метода функций Ляпунова разработан метод решения задачи АКОР для линейных систем при минимизации квадратичных интегральных форм (функционалов, измеряющих состояние объекта), при этом получается новый критерий знакоопределенности. Оптимальное управление строится по условию минимума интегрального критерия качества и наименьшего значения нормы, при этом обеспечивается устойчивость замкнутой системы.

В настоящее время имеется возможность построения квадратичных интегральных форм, аналогов функций решения линейных систем с распределенными параметрами. Такие формы достаточно универсальны, но недостатком их является отсутствие методов проверки знакоопределенности, а это в свою очередь затрудняет обеспечение устойчивости замкнутой системы. Разработка эффективных методов проверки знака интегральных форм дала бы большие возможности при решении задач исследования устойчивости процессов с распределенными параметрами, которые описываются системой линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими только от пространственных координат. К таким задачам относятся задачи аэрогазодинамикиЛяпунова, которые можно использовать при исследовании устойчивости, магнитогазодинамики, строительной механики, химических реакторов, процессов горения и т. д.

В зависимости от того, какой процесс рассматривается, детерминированный или стохастический, применяя метод функций Ляпунова и метод динамического программирования, задача синтеза оптимального управления сводится к решению функциональных уравнений. Поэтому необходимы разработка способов решения таких уравнений и определение условий существования и единственности их решения.

Параметрический синтез

Для синтеза систем управления с распределенными параметрами часто применяется метод параметрического синтеза регуляторов. Сущность метода состоит в подборе параметров регулятора, при условии, что задана структура системы управления и математическая модель объекта управления и регулятора. Значения параметров регулятора, при которых достигаются требуемые показатели качества и устойчивости, находятся перебором параметров регулятора при моделировании систем на ЦВМ [29, 61].

Для параметрического синтеза используются результаты структурной теории распределенных систем, разработанной А.Г.Бутковским [1]. На основе приведенных понятий распределенного блока, правил преобразования и соединения строятся модели различных распределенных объектов.

Исходя из регулярных методов синтеза, основанных на структурной теории распределенных систем, строятся замкнутые автономные контуры независимого регулирования отдельных гармоник разложения управляемой функции состояния – мод выхода объекта [31, 15].

В работе [38] методом структурной теории получены передаточные функции, описывающие влияние входов модели объекта управления многослойной среды противоточного теплообменника, представленной в виде системы дифференциальных уравнений с частными производными, на ее выходы.

На основании методов структурной теории распределенных систем можно предложить регулярные процедуры синтеза замкнутых систем автоматического управления объектами с распределенными параметрами для управляющих воздействий различных типов [39].

В [5] Э.Я. Рапопорт рассматривает применение метода параметрической оптимизации для процессов нестационарной теплопроводности. Показано решение задач параметрической оптимизации управления непрерывными и периодическими процессами нагрева металла.

Недостатком рассмотренного метода является то, что для заданной структуры системы может не существовать параметров регулятора, которые будут обеспечивать требуемые показатели. Выбранные параметры также могут быть физически не реализуемы [29].

Спектральное представление пространственно одномерных объектов управления в цилиндрической системе координат

Будем полагать, что функция состояния пространственно распределенного объекта управления ср (х, t) - вещественная, однозначная, непрерывная, всюду дифференцируемая по пространственным переменным и времени и ограниченная функция с интегрируемым квадратом на интервале х є [a, b] по пространственной переменной, где х - пространственная переменная, а =а-є, b =Ь + є, є -бесконечно малая величина, стремящаяся к нулю, t є [0, оо) - время. Эта функция может быть представлена в виде ряда Фурье по системе ортонормированных тригонометрических функций {P(h,x)} І [\,h = h, (2.1.1) h, //=1,оо. Ряд Фурье по пространственной переменной х с учетом (2.1.1) можно представить в виде со Р( ,О=Ф(Л,ОДМ), h =1 (2.1.2) b 5 (h,t) = \q (x,t)P(h,x)dx, /2 = 1,00. a Согласно [50], Ф(Л, ґ) - спектральная характеристика функции p(jc,0 по пространственной переменной х, зависящая от дискретного значения h = l, x и времени t, определяющая коэффициенты тригонометрического ряда Фурье. Мерой точности приближения функции p(x,t) является функционал Jn = \ р (х, t) - 2 Ф(Л, 0 (Л, Л) dx, где п - порядок усечения. Для оценки точности представления квадратично-интегрируемых функций используется относительная погрешность приближения Д(и,0 = = . (2.1.3) v ъ \ p2(x,t)dx а Приведем основные теоремы, доказанные в [50], относящиеся к спектральному представлению произведения двух функций, первой и второй производных по пространственной координате, которые будут использованы в работе. Отметим, что в спектральном представлении пространственно одномерных распределенных объектов управления участвуют выражения, зависящие от одного или двух индексов /г, /г = 1, оо. В случае, когда выражение зависит от одного индекса h = 1,00 или h = 1,00, будем говорить о векторе спектральной характеристики бесконечной размерности, для которого индекс элемента определяется индексом /г = 1, оо или h = 1,00. В случае, когда выражение зависит от двух индексов h,h = l, x , будем говорить о бесконечномерной операционной матрице, составленной из соответствующих элементов, причем h = 1,00 соответствует номеру строки, а /г = 1, оо - номеру столбца. 2.1.2. Представление произведения двух функций в спектральной форме по пространственной переменной Спектральная характеристика произведения двух функций ф,) = q\(x,t) q 2(x,t) имеет вид Sx[(p(xj)]=YJP P1(h,h, P2(hj), h,h = 1,oo, (2.1.4) h=1 где векторы спектральных характеристик функций ср(х, і), ср2 (х, і) по пространственной переменной х определяются соответственно: _ ь _ Ov(h,t) = \ p(x,t)P(h,x)dx, (2.1.5) а Ъ (S (p2(hj) = \(p2 (Tj)P(Kz)dT, (2.1.6) а а спектральная характеристика функции р1 (х, t) определяется выражением _ ъ _ _ P P1(h,h,t) = \j 1(x,t)P(h,x)P(h,x)dx, /z,/z = 1,oo. (2.1.7) а 2.1.3. Спектральная характеристика первой производной по пространственной переменной д: Выражение для спектральной характеристики первой производной функции р(х, t) по х получено в [50] с использованием понятия обобщенной производной [124]: дх дх а b где p0(x,t) - функция, совпадающая с q (x,t) на интервале xe[a,b],- (p0aS(a - х) - смещенная дельта-функция, полученная в результате дифференцирования скачкообразной функции q 0a1(a-x); cp0bS(x-b) - смещенная дельта-функция, полученная в результате дифференцирования скачкообразной функции ері 1(х - b); cp0, cpl- скачки функции на границах.

Спектральная характеристика для (2.1.8) по пространственной переменной х на основе ортонормированной системы функций {P(h2,x)} определяется выражением 0 [d p(x,t)\ 0 [d p0(x,t)\ 1 дх \ 1 ах J (2.1.9) + Sx[-(p0aS(a-x)] + Sx[(p0bS(x-b)]. В соответствии с [125] спектральную характеристику по пространственной переменной х для функции д р0(х, t)/dx можно представить в виде Sx d(p0 (xj) =YJP1(h,h) 5 p0(h,t), h,h = 1, , (2.1.10) \_ дх j h=1 где Ф (h, t) - спектральная характеристика функции (p0 (x, t), для P1(h,h) можно записать R(h,h)=[p(h,x) dx, h,h = 1, . (2.1.11) J- дх b позволяют Спектральные характеристики Sx[- paS(a-x)], Sx[ pb S(x-b)] учесть влияние граничных условий и определяются выражениями ь Sx[-(p0aS(a-x)] = -)(p0aS(a-x)P(h,x)dx, h = 1,оо; (2.1.12) a ъ 0 0 Sx[(pl8(x-b)] = \(pl8(x-b)P(h,x)dx, h = 1,оо. (2.1.13) а Отметим, что функции (p0 и р0ъ могут быть функциями времени, и при управлении с границ представляют собой амплитуды управляющих воздействий. 2.1.4. Спектральная характеристика второй производной по пространственной переменной х

Представление второй производной получено в [50] с использованием понятия обобщенной второй производной функции (2.1.8) по пространственной переменной X d2(p(x,t) d2 p0(x,t) 1 y2 =2 - 1 % - x) + pbS(x -b) дх dx (2.1.14) a dx b dx где q \, p1b - скачки первой производной на границе х = а-0 и х = Ь + 0. Индекс (1) символизирует амплитуду скачка первой производной dcp(x,t)/dx на границе х = а-0 и х = Ь + 0. Спектральная характеристика для (2.1.14) по пространственной переменной х на основе ортонормированной системы функций {P(h,x)} определяется выражением L дх J L дх J (2.1.15) - p0„—S(a-x) а дх + s\ p0—8(x-b) Ч Ъ — Спектральную характеристику по пространственной переменной х для функции d2cp0(x,t)/dx2 можно представить в виде Га 0(х,)] 0 sx\ 02 = 2 2(М) 1 (Л,), л,л = 1,oo, (2.1.16) _ дх J A=1 0 где Ф (Л,) - спектральная характеристика функции %О,), для P2(h,h) можно записать P2(h,h) = P12 (h,h), Л, Л = 1,оо. (2.1.17) Спектральные характеристики второго и третьего слагаемых выражения (2.1.15) будут иметь вид Ъ _ Sx[- p1aS(a-x)] = -\j)1aS(a-x)P(h,x)dx; Л=1,оо, (2.1.18) а Ь _ Sx[(p1bS(x-b)] = \(p1bS(x-b)P(h,x)dx, Л=1,оо. (2.1.19) Спектральные характеристики четвертого и пятого слагаемых выражения (2.1.15) будут иметь вид sx -f0Ls(a-x) x a дх ь -\ya—[8(a-x)]P(h,x)dx, h =1,oo, (2.1.20) a s\cp0 b—8(x-b) д дх ь \ pZ—[S(x-b)]P(h,x)dx, h =1,oo. (2.1.21) a І В соответствии с [50] из элементов полученных выражений могут быть составлены бесконечномерные матрицы и векторы.

В приложении 1 доказывается, что такая система функций является ортонормированной, и определяется нормирующий множитель. На рисунке 2.1 представлены первые пять функций системы С1, ортонормированных на интервале г є [0.95,1].

Решение задачи синтеза регулятора для теплопроводящего диска, параметры которого зависят от пространственной координаты

Отметим, что в выражениях (2.3.44) - (2.3.47) спектральные характеристики зависят от двух индексов, поскольку в качестве внешних воздействий рассматриваются функции p0(r,i) = p0(i), pl(r,i) = p0(i), не зависящие от переменной г. Таким образом, для представления слагаемых (2.3.35), учитывающих влияние граничных условий, в спектральном виде, не требуется использование дополнительного индекса.

Спектральная характеристика произведения производной пространственно распределенной функции по радиальной координате на другую пространственно распределенную функцию в цилиндрической системе координат для одномерного объекта Спектральная характеристика произведения производной пространственно распределенной функции g\(r,t) по радиальной координате на другую пространственно распределенную функцию q 2(r,t) в цилиндрической системе координат для пространственно одномерного объекта имеет вид где Фгп2(кЛ) - компоненты вектора спектральных характеристик для функции (p2(r,t), P0(h,h,t), P1t(h,K) - спектральные характеристики функций

Используя фильтрующее свойство 5-функции в цилиндрической системе координат, представленное в приложении 2, запишем P1(r,t) в виде — т 1 R0 гє(Д0Д), [Д0Д]. (2.4.11) Возьмем производную по r от левой и правой части (2.4.11), получим выражение д дг tf(r,t)dT = rdS(r 1V,) т дг R0 т 8(т-г) дг t/r. (2.4.12) После подстановки (2.4.12) в (2.4.9) и смены порядка интегрирования, запишем А И Р10(Л,Л,)= J Jr5v( r)5v( r) L- dr T T dr J tf(T,t)dr. (2.4.13) Выражение (2.4.13) преобразуем к виду - R1 1 Я г і Р10(А,К ) = Bv(ahr)Bv(ahr) - Г Bv(a-hr)Bv(а„т)$(г, t)dr. (2.4.14) Производную во втором слагаемом, стоящем под знаком интеграла, можно преобразовать следующим образом A{т2В(а-кт)В(аьт)}= {т2В(а-кт)}в(аьт) + т2 В(а т) = = тBv(a-hr)Bv(ahr) + т2 дВ т)Ву(а-кт) + T2 Bv(a-hr)dBMhT) = (2.4.15) = т Bv (a-hr)Bv (ahT) + r2j {т Bv (a-hr)Bv (ahr)\ С учетом (2.4.15) выражение (2.4.14) преобразуется к виду - R1 1 Я Г 1 Р0 (A, h,t) = [ Bv (a-hr)Bv (ahr) -- — [T2BV (a-hr)Bv (ahT)\ p? (r, t)dr = d дт 1 д, (a-hz)Bv (ahz) - 2BV (a-hz)Bv (ahz) -т fo (a-hz)Bv (aAr )]jr0 (r, t)dr = 1{M -r-Ы г. Г) Г 1 = -[ — [тВМ ВМ.тШт т. Производная в подынтегральной части выражения может быть представлена в виде — [тВу (a-hT)Bv (ahr)] =BV (a-hr)Bv (ahr) + \dBv(a-hr) dB (ahr) д (2.4.16) [ дт n дт Таким образом, получим P10(h,hJ) = (2.4.17) R1 dBv(a-hT) dB (ahr) - \BV (a-hr)Bv (ahr) + r\ j 1 Bv (ahr) + Bv (a-hr) Л h } {{ І дт h дт JJ (p?(T,t)dT. Для функции ср2 (г, t) спектральная характеристика по системе ортонормированных функций {Bv(ahr)} находится по выражению Фй(Л,)= 1(p2{r,t)Bv(ahr)dr. (2.4.18) Спектральная характеристика для произведения производной от функции на имеет вид d(p1(rj) p2(r,t) дг другую функцию Sr Ф(Л,) = ГР1 0 (Л,Л,) + Х 1,-(Л,Л) Ф (Л,), (2.4.19) V г =1 У где спектральные характеристики P0(h,h,t), P1t(h,K) находятся по формулам (2.4.17) и (2.4.1) соответственно. Выражение (2.4.19) может быть представлено в матричном виде с учетом выражения (2.3.1).

Спектральная характеристика произведения производной пространственно распределенной функции по радиальной координате на другую пространственно распределенную функцию в цилиндрической системе координат для двумерного объекта Теорема 1.2. Спектральная характеристика произведения производной пространственно распределенной функции g\(r,z,t) по радиальной координате на другую пространственно распределенную функцию q 2(r,z,t) в цилиндрической системе координат для пространственно двумерного объекта имеет вид ограниченную на интервалах г є , ], z є [a,b], содержащую точки разрыва первого рода, которая может быть записана в виде pl(r,z,t) = fi(r,z,t) + pi(z,t)l(r-ri), (2.4.22) І=\ где p?(r,z,t) - непрерывная функция, совпадающая с функцией q\(r,z,t) на интервалах гє[7!0Д], ze[a,b]; q t - амплитуды скачков функции q\{r,z,t) в точках г є ДД], ze[a,b], i = \k. Найдем производную от функции q x{r,z,t) по г, продифференцировав (2.4.22) дг дг JXl г (23) Запишем выражение для определения спектральной характеристики производной (2.4.23) аналогично выражению (2.4.6): КЛ d p?(r,z,t) 8{r-rt) dq\(r,z,t)

Исследование систем разложения с точки зрения повышения точности представления функции на границах объекта управления На границах г = R0 и г = R1 функция (p(r,z) может иметь различное представление в зависимости от системы разложения В ц(ак г), описанной выражением (2.2.2), различные варианты которой рассмотрены в разделе 2.2. По графикам функций Бесселя B (ahr), представленным на рисунках 2.1 - 2.4, видно, что значения В ц (ah г) на границах г = R0 и г = R1 не равны нулю для системы С2 на границе г = R1 и для системы С4 на границе г = R0, что дает возможность представить ненулевое значение переменной состояния на этих границах. В остальных случаях вне зависимости от числа гармоник ряда, значения функций Бесселя на границах r = R0 и г = R1 равны нулю, и, следовательно, на этих границах переменную состояния можно вычислить лишь приближенно в точках R0A=R0 + Аг и R1A= R1-Ar, где Аг - некоторая величина.

Алгоритм решения задачи идентификации методом сопряженных градиентов для пространственно двумерного объекта управления

Используя теоремы для получения спектральных характеристик [50], перечисленные в главе 2, а также учитывая вид граничных условий, получим спектральное представление выражений и функций, используемых в вычислительных процедурах алгоритма решения задачи идентификации [144, 145] методом сопряженных градиентов.

Для решения прямой задачи уравнение (4.1.5) представляется в форме пространства состояний в виде 6 — cу [P/РP +PP+PPi)+PpPio + ] l ( . .24 ) где Фв є Rh , h = 1, со - вектор спектральной характеристики функции 0{р, , г); PXQ,PQX - операционные матрицы дифференцирования первого порядка по р и Рє+Т20+Т10 размерности nхn (n = 1,оо), вычисляемые на основе выражений (2.3.12) и (2.3.28) соответственно; P2о Pо2 – операционные матрицы дифференцирования второго порядка по р и Е, размерности nхn (n = 1,оо), вычисляемые на основе выражений (2.3.19) и (2.3.37) соответственно; Pх, - операционная матрица сомножителя А/р, вычисляемая по выражению (2.3.9); PдхідР- Pдхід, – операционные матрицы производных по р и Е, размерности nхn(n = 1,оо), учитывающие скачки; гіо, Г2о – векторы граничных условий, вычисленные с учетом выражений (2.3.14) и (2.3.25). Для решения сопряженной задачи уравнение (4.1.10) представляется в форме пространства состояний в виде ц/ cу [P PO +PP 20 +PP 02)+PЛ/8РP 10+PЛ/8їP 0іЬ „ + M (4.1.25) m=\ где Ф є Rh, h = 1, оо - вектор спектральной характеристики функции у/(р, 4, т). 102 Спектральное представление выражения (4.1.13) имеет вид: С? = )Р10Ф,+Г1001)ТР10Ф +(Р01Ф,)ТР01Ф ] . (4.1.26) о Для решения задачи чувствительности уравнение (4.1.19) представляется в форме пространства состояний в виде v су \PxlpPlO +РлР20+РлРо2)+РдЛ/дрРіО + РдЛ РоМг + (4 1 27) + Аа(рл/рР10+РлР20+РлР02)фв, где Фу є Rh, h = 1, оо - вектор спектральной характеристики функции у(р, т). Решения задачи идентификации для пространственно одномерного объекта, параметры которого зависят от пространственной координаты

Рассмотрим случай, когда параметры пространственно двумерного теплового объекта - теплопроводящего стержня - зависит только от одной пространственной координаты. При этом в силу тонкости стержня зависимостью по радиальной координате г можно пренебречь.

Рассмотрим уравнение теплопроводности стержня соГо—4,( ) = g(z,0, (4.2.1) z є (а, Ъ\ t є (0, оо), где Т - температура (град), z - пространственная координата (м), с0 -теплоемкость (Дж-кг град-1), у0 - плотность (кг/м3), Л0 - коэффициент теплопроводности (Вт-м-1град-1),е(2,ґ) - внешнее распределенное возмущение. с начальными условиями T(z, 0) = Т0 = const, z є [О, L], (4.2.2) и граничными условиями dT(z,t) dz z=a dT(z,t) dz = Tb(t), te[0,oo). (4.2.3) z=b 103 Требуется оценить коэффициент температуропроводности a(z) = по измерению функции T(z, t) в нескольких точках на боковой поверхности стержня.

Для решения задачи представим исходный объект управления (4.2.1) -(4.2.3) в безразмерном виде: дв({, г) а26?( г) дт а д%2 (4.2.4) г є (0, оо), є (0,1), где а() = Y T ; ф(,т) = f ; в = Т/Т , g = z/L, Л = Л0/Л0 су Lc У \ СУ1С Ут\ z = t/t , с = сQ/сQ , у = у0 /у0 - безразмерные величины; Т ,, t ,A0\ с0 , у0 , g - номинальные значения переменных Т, ,t,A0, с0, у0, g соответственно. с начальными условиями 0( 0) = Т0/Т0\ є (О, L). (4.2.5) и граничными условиями дв(,т) д =о 3 9(,г) а = м(г), г є [0, оо), (4.2.6) где u = LTb/T - безразмерная величина.

Решение задачи идентификации будем проводить, используя алгоритм решения задачи идентификации методом сопряженных градиентов, приведенный в пункте 4.1.3. При этом Шаг 1, 3, 5, 6 и пункт 5 Шага 2 выполняются без изменений. Рассмотрим Шаг 2 и Шаг 4 для конкретной задачи. Шаг 2. 1. Решение прямой задачи (4.2.4) в прямом времени для получения температуры в{4т,г,&п), где %т, т = \,М - точки расположения датчиков. 104 2. Вычисление ошибки ет{т;ап) из уравнения ет(т;а") = в( т,т;а")-вт(т), тп = \,М, (42.7) где 6(т,т;ап) - решение прямой задачи (4.2.4), вт{т) - функция, определяемая показаниями датчиков. 3. Решение сопряженной задачи в обратном времени для получения сопряженной функции у/(, т;ап): _ду/(4,т)_ д (, ) = уе (т\.5(р-р ) (4.2.8) дт д 2 i где (//(, г)- сопряженная функция; 8( - J- дельта-функция. 4. Вычисление J\{an) [70] из выражения J x(an) = -G + a0(a-aest), (4.2.9) где G= { ШІІІ ІІІІІСІТ. (4.2.10) Шаг 4. Вычисление размера шага z" є R. В случае решения задачи идентификации коэффициента температуропроводности функция чувствительности vie,, т) зависит от температуры в{ , т) и определяется из решения уравнения дУ т)-а( )д У :т) = Аадв :Т. (4.2.11) дт df df Следуя алгоритму, Аа = рп( ,т). Решение задачи чувствительности (4.2.11) обозначим как v" ( т). Значение х" определяется в соответствии с выражениями (4.1.20), (4.1.21).

Применение спектрального метода для решения задачи идентификации пространствнно одномерного объекта управления На основе спектрального представления, полученного для выражений и функций, используемых в вычислительных процедурах алгоритма решения 105 задачи идентификации методом сопряженных градиентов в общем случае, найдем спектральное представление выражений и функций, используемых для данного частного случая решения задачи идентификации, когда параметры объекта управления зависят только от одной пространственной координаты [146]. Для решения прямой задачи уравнение (4.2.4) представляется в форме пространства состояний в виде Фв(т) = а(р2Фв+Т21Ь0)+Фф, (4.2.12) где Фв, Фф eRh,h=\ o - векторы спектральной характеристики функций в{ , т), ф{ , т) соответственно; Р2 - операционная матрица дифференцирования второго порядка по размерности п х п {п = 1, оо), вычисляемая на основе выражения (2.2.20); Г - вектор граничных условий, вычисленный на основе выражения (2.1.21).