Содержание к диссертации
Введение
1. Описание геометрии и кинематики роботов-манипуляторов с использованием дуальных матриц и бикватернионов на примере стэнфордского манипулятора 30
1.1. Построение дуальных матричных и бикватернионных уравнений прямых задач кинематики роботов-манипуляторов 30
1.1.1. Схема кинематического модуля, винтовое описание элементарных конечных перемещений звеньев манипулятора 30
1.1.2. Дуальное матричное и бикватернионное описания геометрии движения звеньев манипулятора 33
1.1.3. Дуальные матричные и бикватернионные уравнения прямых задач кинематики роботов-манипуляторов
1.2. Кинематическая схема и системы координат стэнфордского робота-манипулятора 36
1.3. Решение прямой задачи кинематики стэнфордского манипулятора с использованием матриц дуальных направляющих косинусов и бикватернионов конечных перемещений 38
1.4. Кинематические уравнения движения стэнфордского манипулятора 43
1.5. Выводы 47
2. Решение обратной задачи кинематики роботов-манипуляторов с использованием бикватернионной теории кинематического управления на примере стэнфордского манипулятора 49
2.1. Уравнения движения. Общая постановка задачи управления движением твердого тела 50
2.2. Методология решения обратной задачи кинематики роботов-манипуляторов с использованием бикватернионной теории кинематического управления 54
2.3. Алгоритм решения обратной задачи кинематики роботов-манипуляторов с использованием бикватернионной теории кинематического управления 57
2.4. Выводы 61
3. Численное решение обратной задачи кинематики стэнфордского манипулятора с использованием двух бикватернионных законов управления 62
3.1. Результаты решения обратной задачи кинематики для двух бикватернионных законов управления в нормированных и ненормированных бикватернионах 62
3.2. Исследование влияния величины коэффициента усиления обратной связи на численное решение обратной задачи кинематики 65
3.2.1. Исследование влияния величины действительной части коэффициента усиления обратной связи при шаге интегрирования 0,01с 66
3.2.2. Исследование влияния величины действительной части коэффициента усиления обратной связи при шаге интегрирования 0,001с 69
3.2.3. Исследование влияния величины моментной части коэффициента усиления обратной связи при шаге интегрирования 0,01с 72
3.3. Исследование влияния выбранного начального положения выходного звена на численное решение обратной задачи кинематики 74
3.3.1. Решение обратной задачи кинематики для различных заданных начальных положений выходного звена 75
3.3.2. Исследование влияния значений начальных угловых координат на решение обратной задачи кинематики 76
3.3.3. Исследование влияния значений начальной линейной координаты на решение обратной задачи кинематики
3.4. Сравнение законов управления в нормированных и ненормированных бикватернионах 80
3.5. Выводы 81
4. Постановка и решение кинематической задачи оптимальной нелинейной стабилизации движения свободного твердого тела. Построение оптимального в смысле минимизации затрат на кинематическое управление бикватеринонного закона управления при наличии ограничения на модуль управления 82
4.1. Уравнения движения. Общая постановка задачи управления движением
твердого тела 82
4.2. Дифференциальные уравнения ошибок (возмущенного движения) в нормированных бикватернионных переменных 84
4.3. Постановка и решение бикватернионной кинематической задачи оптимальной нелинейной стабилизации движения свободного твердого тела 85
4.4. Вывод закона управления, оптимального в смысле среднеквадратических отклонений и затрат на управление, в кватернионом виде 91
4.5. Оптимальный в смысле минимизации затрат на кинематическое управление бикватеринонный закон управления при наличии ограничения на модуль управления 102
4.6. Формирование проекций угловой и линейной скоростей выходного звена робота-манипулятора для оптимальных стабилизирующего и программного законов кинематического управления 106
4.7. Выводы 108
5. Численное решение обратной задачи кинематики и задачи управления движением выходного звена стэнфордского манипулятора с использованием оптимальных законов управления 110
5.1. Применение закона управления, оптимального в смысле минимизации среднеквадратических отклонений и затрат на кинематическое управление, для решения обратной задачи кинематики стэнфордского манипулятора 111
5.1.1. Результаты решения обратной задачи кинематики стэнфордского манипулятора 111
5.1.2. Исследование влияния отношений весовых коэффициентов функционала минимизации на решение обратной задачи кинематики 113
5.2. Применение закона управления, оптимального в смысле минимизации затрат на кинематическое управление, для решения обратной задачи кинематики стэнфордского манипулятора при наличии ограничения на модуль управления 117
5.2.1. Результаты решения обратной задачи кинематики стэнфордского манипулятора 118
5.2.2. Исследование влияния заданного времени решения задачи на решение обратной задачи кинематики стэнфордского манипулятора 120
5.3. Движение выходного звена стэнфордского манипулятора под действием полного управления 121
5.3.1. Результат решения задачи управления 122
5.3.2. Исследование влияния отношения весовых коэффициентов функционала минимизации на результат решения задачи управления при использовании стабилизирующего закона управления 125
5.4. Выводы 129
Заключение 131
Список литературы
- Дуальное матричное и бикватернионное описания геометрии движения звеньев манипулятора
- Методология решения обратной задачи кинематики роботов-манипуляторов с использованием бикватернионной теории кинематического управления
- Решение обратной задачи кинематики для различных заданных начальных положений выходного звена
- Постановка и решение бикватернионной кинематической задачи оптимальной нелинейной стабилизации движения свободного твердого тела
Дуальное матричное и бикватернионное описания геометрии движения звеньев манипулятора
В случае стэнфордского манипулятора сочленения 1, 2, 4, 5, 6 являются вращательными, а сочленение 3 - поступательным. Следовательно, в нашем случае, ФІ,І = 1,2,4,5,6 и d3 - переменные величины. Обозначим Ф = Qt + срь где 0; - характеристика сочленения, постоянная для данного робота, cpt -переменная величина, характеризующая поворот і-го звена относительно (i-l)-го.
В качестве обобщенных координат манипулятора выступают углы ф; (і = 1,2,4,5,6) поворота /-го звена относительно (і - 1)-го вокруг оси zt и обобщенная координата d3, определяющая поступательное перемещение 3-го звена относительно 2-го вдоль оси z2(z3). Отметим, что обобщенные координаты ф; отсчитываются вокруг тех же осей, что и конструктивные параметры Qt.
Решение прямой задачи кинематики стэнфордского манипулятора с использованием матриц дуальных направляющих косинусов и бикватернионов конечных перемещений Прямая задача кинематики состоит в определении линейного положения и ориентации выходного звена (схвата) манипулятора относительно абсолютной системы координат х0у0г0 по известному вектору обобщенных координат q(t = q1(t,q2t,...,q6(t = fait,(p2t,d3t,(p4(t,(p5t,(p6(t)) и заданным геометрическим параметрам звеньев. Для решения прямой задачи кинематики будем использовать бикватернионы конечных перемещений, матрицы дуальных направляющих косинусов и бикватернионные матрицы. Тогда решение прямой задачи кинематики будет заключаться в определении бикватерниона конечного перемещения, матрицы дуальных направляющих косинусов и бикватернионных матриц, устанавливающих связь между абсолютной системой координат (связанной с основанием манипулятора) и системой координат, связанной с выходным звеном манипулятора. Конечное перемещение выходного звена манипулятора будет складываться из конечных перемещений звеньев манипулятора друг относительно друга: первого звена относительно основания, второго звена относительно первого и т.д. Для решения прямой задачи кинематики нами используется следующая схема конечных перемещений звеньев манипулятора: с с2 ,л2 с3 ,л3 С4 ,Л4 с5 ,л5 (1 19) Х0У020 х1У1г1 х2У2г2 Х3У323 Х4У424 . С5Д5 с6 ,л6 с,л x5y5z5 x6y6z6, x0y0z0 x6y6z6.
Здесь С; и Л; - матрица дуальных направляющих косинусов и бикватернион конечного перемещения /-го звена манипулятора относительно (і — 1)-го, С и Л - матрица дуальных направляющих косинусов и бикватернион конечного перемещения выходного звена манипулятора относительно основания.
Нахождение матрицы С, бикватерниона Л и бикватернионных матриц в виде функций обобщенных координат манипулятора с помощью формул сложения конечных перемещений [41] и составляет предмет решения прямой задачи кинематики.
Конечное перемещение выходного звена манипулятора (системы координат x6y6z6) относительно основания (системы координат х0у0г0) является композицией относительных конечных перемещений звеньев манипулятора. В соответствии со схемой конечных перемещений (1.19) и формулой сложения конечных перемещений [41] уравнения для нахождения матрицы С, бикватерниона Л и бикватернионных матриц можно представить в следующем виде: С = С6-С5-С4-С3-С2-С1, (1.20) Л = Л1оЛ2оЛ3оЛ4оЛ5оЛ6, (1.21)
В свою очередь, каждое из относительных конечных перемещений звеньев (конечное перемещение /-го звена относительно (і — 1 -го, описываемое матрицей Q или бикватернионом Л ), представляет собой композицию двух перемещений: перемещения на дуальный угол ФІ + sdj = Qt + q f + sdj вокруг оси Z[_! (рисунок 1.5) и поворота на угол щ вокруг оси xt, полученной из оси Х;_х в результате первого перемещения (рисунок 1.6). Здесь s - символ (комплексность) Клиффорда, обладающая свойством s2 = 0.
Методология решения обратной задачи кинематики роботов-манипуляторов с использованием бикватернионной теории кинематического управления
Применение бикватеринонной теории кинематического управления к решению обратной задачи кинематики заключается в следующем: выбирается произвольное начальное положение выходного звена манипулятора (из его рабочего диапазона); за требуемое (программное) положение принимается то положение манипулятора, для которого необходимо решить обратную задачу кинематики; решается задача бикватернионного кинематического управления движением выходного звена манипулятора для выбранного начального и требуемого положения. Физически, движения выходного звена манипулятора происходить не будет, задача управления движением выходного звена решается с целью определить значения обобщенных координат, соответствующие требуемому положению выходного звена. В такой постановке обратная задача кинематики формулируется как задача Коши для системы дифференциальных уравнений (1.37) при условии, что управления а); и vt обеспечивают асимптотическую устойчивость в целом любого заданного положения выходного звена робота-манипулятора. В результате решения задачи Коши для любых заданных начальных значений обобщенных координат манипулятора из их рабочих диапазонов его обобщенные координаты примут в конечный момент времени значения, отвечающие (с заданной степенью точности) требуемому положению схвата робота-манипулятора и, следовательно, обратная задача кинематики будет решена.
Будем использовать законы управлений SUt или AU, построенные с использованием принципа обратной связи в виде некоторых функций компонент бикватерниона ошибки местоположения М или М таким образом, чтобы выходное звено манипулятора переходило из любого выбранного начального положения в любое заданное конечное асимптотически устойчивым образом, т.е. чтобы выполнялось условие M(t — +1 при t — оо, или условие М (0 — ±1 при t — 00. При использовании бикватернионной теории кинематического управления для решения обратной задачи кинематики программное положение постоянно, а значит, программное управление отсутствует (U rry rZ rt = 0). В этом сулчае полное управление будет равно стабилизирующему МХбУб2б = о ХбУб2б + svX6y6Z6 = биХбУб2б =ДиХбУб2б. Для решения обратной задачи кинематики роботов-манипуляторов будем использовать стабилизирующие законы управления, полученные в [40].
В случае использования для построения законов управления нормированных бикватернионов перемещений и трехмерных дуальных управлений (отображений кинематического винта U выходного звена манипулятора, имеющих нулевые скалярные части), имеем следующий закон стабилизирующего управления [40]: UW6 = д ХбУб2б + svX6y6Z6 = -(2KOC /M0 )MSC\ (2.6) M = M0 + Msc = N о A(t). (2.7) Здесь M0 и Msc - скалярная и винтовая части собственного бикватерниона ошибки положения выходного звена манипулятора М ; N = const -бикватернион, характеризующий программное положение выходного звена, Л -бикватернион текущего положения схвата манипулятора, который находится через текущие значения обобщенных координат манипулятора, Кос = k + sk0 -дуальный коэффициент усиления обратной связи, к - постоянная вещественная величина, к0 - постоянная положительная вещественная величина. Поскольку для вывода этого закона управления были использованы нормированные бикватернионы конечных перемещений, в дальнейшем будем называть этот закон «закон управления в нормированных бикватернионах».
Отметим, что закон управления (2.6), (2.7) вырождается при определенном положении выходного звена манипулятора (при М0 = 0).
В случае использования при построении управлений ненормированных бикватернионов конечных перемещений и четырехмерные дуальные управления (бикватернионы угловой и линейной скоростей выходного звена манипулятора с ненулевой скалярной частью) получается закон управления, не имеющий особых точек (здесь и далее «закон управления в ненормированных бикватернионах») [40]: иХбУб2б = а ХбУб2б + svX6y6Z6 = K T- screwiA о N), (2.8) где screw - винтовая часть бикватерниона, Т = Л02 + Аг2 + Л22 + Л32 - тензор (модуль) ненормированного бикватерниона положения выходного звена манипулятора, удовлетворяющий дифференциальному уравнению 2 = K0C [scal(AoN), T(t0 = 1. (2-9) Здесь seal - скалярная часть бикватерниона.
Подчеркнем, что в соотношениях (2.6)-(2.8) и в уравнении (2.9) фигурирует нормированный бикватернион Л текущего (углового и линейного) положения выходного звена манипулятора, который для стэнфордского манипулятора находится через обобщенные координаты по формулам (1.21), (1.25), а постоянный нормированный бикватернион программной ориентации выходного звена является заданным.
Отметим, что если закон управления (2.6) содержит особую точку в пространстве обобщенных координат, в которой мгновенный эйлеров угол поворота выходного звена относительно его программного положения равен (для текущего момента времени t) рад., то закон управления (2.8), (2.9) является регулярным всюду (не содержащим особых точек).
Решение обратной задачи кинематики для различных заданных начальных положений выходного звена
Учитывая результаты, приведенные в таблицах 3.7, 3.8 можно сделать вывод, что наиболее быстро обратная задача кинематики решается в тех случаях, когда начальные координаты близки к координатам, по которым вычисляется требуемое программное положение (варианты 2,3). В целом, время решения задачи не сильно изменяется при изменении начального положения и в основном зависит от выбранного закона управления и коэффициента усиления обратной связи. Полученное решение обратной задачи кинематики зависит от выбранного начального положения выходного звена манипулятора и используемого закона управления.
Исследование влияния значений начальных угловых координат на решение обратной задачи кинематики Производилось численное решение обратной задачи кинематики стэнфордского манипулятора. При этом 5 из 6 начальных координат выбирались такими же, как координаты, задающие программное положение выходного звена, а одна угловая начальная координата изменялась в своем рабочем диапазоне.
Из приведенных результатов эксперимента можно сделать вывод, что если заданное начальное положение за исключением одной координаты совпадает с набором координат, по которым вычисляется требуемое конечное положение, то полученное конечное положение будет совпадать с набором координат, по которым вычисляется требуемое конечное положение. При изменении одной начальной угловой координаты время решения задачи изменяется относительно слабо. При этом, чем ближе изменяемая координата к значению соответствующей координаты, задающей требуемое конечное положение, тем меньше время решения задачи. Если все координаты совпадают с набором координат, по которым вычисляется требуемое конечное положение, то, как и следовало ожидать, время решения задачи близко к нулю.
Производилось численное решение обратной задачи кинематики стэнфордского манипулятора. При этом все угловые начальные координаты полагались постоянными, а линейная начальная координата d3 изменялась в своем рабочем диапазоне. Требуемое (программное) значение d3 = 0,3 м.
Результаты численного решения с использованием закона управления в нормированных бикватернионах приведены в таблице 3.11.
График зависимости времени интегрирования, при котором обеспечивается заданная точность решения задачи, от значения начальной линейной координаты имеет вид, приведенный на рисунке 3.9 График зависимости времени интегрирования (численного решения задачи) от значения начальной линейной координаты 3 для закона управления в нормированных бикватернионах Результаты численного решения с использованием закона управления в нормированных бикватернионах приведены в таблице 3.12 График зависимости времени интегрирования, при котором обеспечивается заданная точность решения задачи, от значения начальной линейной координаты имеет вид, приведенный на рисунке 3.10 36,9 36,8 36,7 36,6 36,5 36,4 36,3 36,2 36,1 0 0,5 1 1,5 2 d3, м Рисунок 3.10. График зависимости времени интегрирования (численного решения задачи) от значения начальной линейной координаты 3 для закона управления в ненормированных бикватернионах
Как видно из графиков на рисунках 3.9, 3.10 время решения задачи минимально, когда значение начальной линейной координаты 3 близко к значению координаты, задающей программное положение. При отдалении значения начальной линейной координаты 3 от требуемого значения 3 = 0,3 м., время решения задачи постепенно возрастает.
Проводя сравнение двух законов управления, можно отметить, что при одинаковых входных параметрах (начальное и программное положение выходного звена манипулятора, коэффициент усиления обратной связи, шаг интегрирования и требуемая точность), время решения обратной задачи кинематики меньше для закона управления в нормированных бикватернионах, чем для закона управления в ненормированных бикватернионах (таблицы 3.1-3.6). В то же время, максимальные амплитуды управлений (угловых и линейных скоростей) для закона управления в ненормированных бикватернионах меньше. К тому же, нужно иметь ввиду возможность попадания в особую точку 0 = 0 при решении задачи в нормированных бикватернионах, которой нет для алгоритма в ненормированных бикватернионах.
Постановка и решение бикватернионной кинематической задачи оптимальной нелинейной стабилизации движения свободного твердого тела
Из полученных законов изменения переменных т0 и т00 видно, что невозмущенное движение для оптимальных законов управления (4.17) асимптотически устойчиво при ф0 0, те. когда ф0 = V«№.
Полученное выражение для ф0 подставим в (4.21). В результате найдем оптимальные законы стабилизирующего управления в явном виде: а соответствующие им оптимальные законы изменения параметров Эйлера щ и ті0 (і = 0 , 3 ), характеризующих управляемое угловое движение свободного твердого тела, описываются соотношениями
Из этих формул видно влияние весовых коэффициентов функционала минимизации на модули главной и моментной частей управления. С увеличением коэффициента а2, характеризующего долю минимизируемых затрат на кинематическое управление, модули главной и моментной частей управления уменьшаются. С увеличением коэффициента аъ характеризующего долю минимизируемых суммарных квадратичных отклонений параметров винтового движения твердого тела от их программных значений, модули главной и моментной частей управления возрастают.
Аналитическое решение задачи оптимального в смысле минимума затрат на кинематическое управление кинематического программного разворота твердого тела в кватернионной постановке ранее приводилось Молоденковым А.В. в работе [23]. Рассмотрим задачу оптимального в смысле минимума затрат на кинематическое управление кинематического программного перемещения свободного твердого тела при наличии ограничений на модуль управления и заданном времени переходного процесса в бикватернионной постановке.
Введем в рассмотрение следующие системы координат: х0у0г0 - опорная система координат, x6y6z6 - система координат, жестко связанная с твердым телом. Тогда движение свободного твердого тела под действием кинематического управления описывается уравнением: 2А = Л о иХбУб2б, иХбУб2б = U1\1 + U2\2 + U3\3. (4.29) Здесь Л = A0(t) + ЛІСОІІ + A2(t)i2 + A3(t)i3 - бикватернион текущего углового и линейного местоположения твердого тела, определенный своими компонентами Л/(ґв основной системе координат х0у0г0, UX6y6Z6(t = «x6y6z6(0 + svX6y6Z6(t) - отображение кинематического винта U на связанную систему координат x6y6z6. Бикватернион Л нормированный, то есть Л = Л02 + ЛІ2 + Л22 + Л32 = 1. Функция A(t - непрерывна, UXey6Z6(t) -кусочно-непрерывна. На модули векторов скоростей наложено ограничение: Ky6z6(0 о)0, vX6y6Z6(t) i;0, о)0,Ро = const. (4.30) Заданы начальное и требуемое конечное положение твердого тела: Л0 =Ло, A(70 = N, (4.31) где Т - заданное время переходного процесса, N - бикватернион требуемого (программного) положения твердого тела. Зададим функционал минимизации:
Требуется определить оптимальное управление U системой (4.29) при ограничениях на управления (4.30) и граничных условиях (4.31), доставляющее минимум функционалу качества (4.32). Время переходного процесса Т фиксировано.
Применим принцип перенесения Котельникова-Штуде к результатам, полученным в [23], где решалась задача оптимального кинематического программного разворота твердого тела в кватернионной постановке. Получим следующий бикватернионный закон, определяющий оптимальную траекторию свободного твердого тела: A(t = Aocoscvt - ctgcv7 incvt + N sincvt (4 33) v u v v v sincvr, где cv = - arccosscalN ЛП. Бикватернионный закон оптимального управления в соответствии с принципом перенесения Котельникова-Штуди имеет вид: 2arccos seal (NoA0 (4.34) U = Vscrew(A0 о N), Tsmarccos seal (№Л0 где seal - скалярная, а screw - винтовая часть бикватерниона, стоящего в скобках. Запишем уравнение для минимального времени решения задачи, вытекающее из решения задачи быстродействия [3, 22], с учетом ограничений на векторы скорости: larccos seal (№Л0 Tmir, — , mm UQ где U о = а) о + sv0 - величина дуального ограничения на кинематический винт скоростей. Введем обозначение Р = N о Л0 = n + sn0 Хо + sX00 = п о Х0 + sn0 Х0 + п о Х00 = = р + Sp0 = (р + SpJ) + (р1 + 5pJii + (р2 + 5Ро 2 + (Р3 + SPoi3 = = Л) + Psc , где п, п0 - главная и моментная части бикватерниона требуемого положения N, -оДоо – главная и моментная части бикватерниона начального положения твердого телаЛ0, верхняя черта означает символ кватернионного сопряжения. Перепишем выражение для времени с учетом введенных обозначений:
Получим, что для задаваемого времени должно выполняться следующее условие: T Tmin = 2asEfrCqZ(o-Ao» (4.35) где а)о - величина заданного ограничения на модуль угловой скорости тела (на модуль главной части управления). При нарушении этого условия задача превратится в задачу быстродействия. Так как время решения задачи является вещественной величиной, то мнимая часть выражения для величины Tmin должна быть равна нулю. Отсюда найдем отношение ограничений на векторы линейной и угловой скоростей:
Таким образом, получено, что ограничения на угловую и линейную скорости твердого тела взаимосвязаны. Из последнего соотношения можно найти допустимое ограничение v0 на модуль линейной скорости тела при заданном ограничении оо0 на угловую скорость тела и заданных начальных и конечных значениях параметров движения тела (заданных начальных и конечных значениях параметров начальной и конечной ориентаций и местоположений тела) и наоборот.
Из полученного решения следует, что оптимальной траекторией свободного твердого тела в рассматриваемом случае управления является перемещение с постоянной угловой и линейной скоростями. Направление и величина этих скоростей определяются начальным и требуемым конечным положениями твердого тела, а также заданным временем переходного процесса.