Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Прогрессивное цензурирование в форсированных испытаниях и
1.1. Модель пересчёта результатов форсированных испытаний 11
1.2. Испытания последовательных или параллельных технических систем 14
Глава 2. Применение оценок Каплана - Мейера при анализе форсированных
2.1. Применение статистик типа Реньи в форсированных испытаниях 20
2.2. Моделирование коэффициента ускорения для цензурированных данных 28
2.3. Критерий типа Колмогорова - Смирнова в испытаниях с переменной нагрузкой 33
Выводы 42
Глава 3. Прогрессивное цензурирование при проведении испытаний сложных систем различной длины и анализ их результатов 43
3.1. Проверка однородности двух прогрессивно цензурированных выборок 44
3.1.1. Постановка задачи 44
3.1.2. Точные распределения статистики Т 45
3.1.3. Предельное распределение статистики Т 50
3.1.4. Применение статистики Т для оценки коэффициента ускорения 56
3.2. Критерий типа Колмогорова - Смирнова для проверки модели Кокса 59
3.2.1. Постановка задачи 59
3.2.2. Метод вычисления точных распределений f 60
3.2.3. Предельное распределение статистики Т 65
3.2.4. Оценка параметра модели Кокса 69
3.3. Проверка модели Кокса между распределениями наработок до отказа при ограничении продолжительности испытаний 71
3.3.1. Постановка задачи 71 Стр.
3.3.2. Точные распределения статистики Rx 72
3.3.3. Асимптотическое распределение статистики Rx 74
3.3.4. Оценка параметра модели Кокса при неполных данных 76
3.4. Модификация результатов для параллельных систем 79
Выводы 80
Глава 4. Критерий типа Кифера - Гихмана для проверки однородности прогрессивно цензурированных выборок 81
4.2. Точные распределения статистики Т2 82
4.3. Предельное распределение Т2 85
Выводы 91
Выводы и заключение 92
- Испытания последовательных или параллельных технических систем
- Моделирование коэффициента ускорения для цензурированных данных
- Точные распределения статистики Т
- Предельное распределение Т2
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Проблема надежности технических устройств существует уже несколько веков и ей посвящено множество работ различных авторов. С каждым годом сложность технических устройств только увеличивается и возникает задача оценки и повышения показателей надежности для сложных технических систем, которые состоят из десятков и сотен тысяч элементов. Проведение испытаний сложных технических систем является основным способом определения показателей их надежности. При этом вследствие повышения надежности комплектующих, время испытаний системы может доходить до нескольких лет. Проведение таких долгосрочных испытаний является ресурсозатратным. В связи с этим начали применять форсированные испытания. Эффект ускорения испытаний в основном достигается за счт ужесточения их режимов, что приводит к более быстрому отказу всех изделий. Проблема форсированных испытаний рассматривается в работах многих авторов, как в нашей стране, так и за рубежом. Среди наиболее известных авторов можем выделить Г.Д. Карташова, В. Нельсона, Н. Сингпурвалла, Л.А. Эскобара.
С другой стороны, испытания технических систем приводят к получению
данных сложной структуры, которые требуют специальных методов
статистической обработки. Анализом результатов испытаний систем
занимались И.В. Павлов, С. Майерс, Л. Кроу. Большинство существующих
статистических методов обработки результатов испытаний сложных
технических систем являются параметрическими. Но, на практике распределение наработок до отказа элементов систем не всегда является известным, что требует создания непараметрических методов анализа надежности сложных технических систем.
Таким образом, существует необходимость в разработке статистических методов, которые позволят сократить продолжительность и объм предварительных исследований в форсированных испытаниях, а также в создании непараметрических методов проверки зависимостей между распределениями однотипных элементов, функционирующих в составе сложных систем различной длины.
Степень разработанности. Для случая нестабильного производства Г.Д. Карташовым в 1980 году предложена общая методология проведения форсированных испытаний, включающая:
-
Выбор форсированных режимов.
-
Проведение специальным образом организованных испытаний изделий одной партии (предварительных исследований) для определения инвариантного для любых других партий коэффициента ускорения форсированных испытаний.
3. Обоснование применения полученных результатов для новых партий
исследуемых изделий.
Особенностью общей схемы при проведении предварительных исследований является необходимость проведения испытаний в нормальном режиме, что приводит к неоправданным финансовым и временным затратам.
В работах В.И. Тимонина и М.А. Ермолаевой показано, что
использование оценок Каплана - Мейера для оценки функции надежности
позволяет исключить испытания в нормальном режиме из общего цикла
предварительных исследований, оставив только испытания в переменном
режиме. Для частных случаев показана возможность сократить
продолжительность предварительных исследований, используя возможности анализа цензурированных данных.
В работе разработаны статистические методы, оптимизирующие объм и
продолжительность предварительных исследований при проведении
форсированных испытаний. Методы основаны на применении оценок Каплана - Мейера функции надежности и использовании критериев типа Реньи для анализа неполных данных. Методы не требуют знания распределения наработок до отказа испытываемых элементов, что является их существенным преимуществом для применения на практике.
Разработанные в работе методы статистического анализа обработки результатов форсированных испытаний могут применяться также для решения широкого круга задач в испытаниях последовательных и параллельных сложных технических систем, многие из которых пока решены только в параметрической постановке. К этим задачам относятся проверка соотношений между распределениями наработок до отказа элементов в системах разной длины или кратности: проверка однородности распределений и проверка справедливости широко применяемой модели Кокса в двухвыборочном и многовыборочном случаях. Предложенные в работе методы позволяют находить решение этих задач без знания распределения наработок до отказа элементов систем.
Цель работы – разработка новых методов проведения испытаний в различных режимах, а также создание моделей и алгоритмов анализа их результатов, позволяющих сократить объм и продолжительность испытаний. При этом предложенные методы статистического анализа не зависят от вида законов распределения наработок до отказа, а также применимы к неполным данным.
Для достижения поставленной цели потребовалось решение двух основных задач.
Первая задача – определение функции пересчта результатов форсированных испытаний на нормальный режим в случае цензурированных справа данных. Для решения этой задачи понадобилось:
-
Модифицировать применяемые методы проведения предварительных исследований в случае ограничения их продолжительности.
-
Разработать точные и асимптотические статистические методы оценки коэффициента ускорения испытаний.
Вторая задача – разработка статистических критериев для проверки справедливости модели Кокса, и как частный случай, проверки однородности распределений наработок до отказа элементов по результатам испытаний последовательных и параллельных систем. Для решения второй задачи потребовалось:
1. Разработать статистические методы проверки гипотезы однородности и
справедливости модели Кокса в двухвыборочном и многовыборочном случаях
по прогрессивно цензурированным выборкам при их произвольных объмах.
2. Получить способ оценки параметра Кокса.
Методы исследования. Для решения задач при выполнении
диссертационной работы были использованы методы теории вероятностей и
математической статистики, математического анализа, функционального
анализа, вычислительной математики и методы математического
моделирования.
Достоверность и обоснованность научных результатов и
математических выводов подтверждается строгостью используемого
математического аппарата. Сформулированные в работе допущения
обоснованы как содержательным образом, так и методами математического моделирования.
Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту:
1. Для случая ограничения времени проведения предварительных
испытаний разработан метод оценки коэффициента ускорения, основанный на
минимизации статистики типа Реньи. Предложен метод вычисления точных
распределений этой статистики, позволяющий их табуляцию для больших
объмов выборок. Представлено асимптотическое распределение статистики.
-
Для проверки однородности распределений наработок до отказа элементов по результатам испытаний двух выборок систем различной кратности предложены два новых критерия: для полных выборок – типа Колмогорова - Смирнова, для цензурированных справа данных – типа Реньи. На основе модели случайного блуждания разработаны методы вычисления точных распределений статистик. При условии справедливости проверяемой гипотезы доказана сходимость распределения статистик к стандартным распределениям Колмогорова – Смирнова и Реньи. Для таких же испытаний новые полученные результаты обобщены на случай проверки справедливости модели Кокса.
-
Для проверки однородности распределений наработок до отказа элементов по результатам испытаний нескольких выборок систем различной кратности впервые предложен критерий типа Кифера – Гихмана. Разработан метод вычисления точных распределений статистики критерия. Показано, что в качестве предельного распределения предложенной статистики может быть использовано предельное распределение статистики Кифера – Гихмана.
4. Методом Монте-Карло исследованы статистические свойства оценок
коэффициента ускорения по результатам предварительных исследований и
оценок параметра модели Кокса по результатам испытаний систем различной
кратности. В качестве оценок использовались значения параметров,
минимизирующие новые предложенные статистики критериев.
Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что представленные результаты могут быть использованы при оптимизации проведения форсированных испытаний и повышении точности
оценок показателей надежности при испытаниях сложных технических систем за счт применения непараметрических методов.
Апробация результатов. Результаты диссертационной работы доложены
на научных семинарах кафедры «Высшая математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана
(2014, 2015); Международной научной конференции «Фундаментальные
проблемы системной безопасности и устойчивости» (Москва, 2013);
Международной научной конференции «Акустооптические и
радиолокационные методы измерений и обработки информации» (Суздаль, 2014); Международном симпозиуме «Надежность и качество» (Пенза, 2014).
Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 8 научных работах, в том числе 5 статей в научных журналах и изданиях, которые включены в Перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертации, и материалах трех международных конференций.
Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Диссертационная работа изложена на 101 страницах, содержит 11 иллюстраций и 14 таблиц. Библиография включает 65 наименований.
Испытания последовательных или параллельных технических систем
Форсированные испытания технических систем уже десятки лет широко применяются для определения их показателей надежности [4-7, 21]. В работах известных авторов Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляева, В. Микера и др. [1,3,22] в основном представлены лишь параметрические методы анализа таких испытаний. В этих работах разработаны статистические методы оценки параметров распределений наработок до отказа в нормальном режиме по результатам испытаний в форсированных режимах. Необходимым условием является знание зависимости параметров распределений от нагрузки испытаний [6]. Уточним, что параметры этих зависимостей могут меняться для различных партий однотипных изделий.
В работах Г.Д. Карташова [8,23] был предложен другой подход. Определяется неизменяемая от партии к партии функция пересчёта 40 = (р(4 ), определяющая зависимость наработок до отказа 0, изделий в нормальном є0 и форсированном є режимах соответственно. Для определения функции 0 = (р к ) проводятся так называемые предварительные исследования, основной чертой которых являются испытания в переменном режиме. При этом распределение наработок до отказа изделий предполагается неизвестным.
Подробное описание методов проведения и оценки результатов испытаний в переменном режиме приведено в [8,23]. Основываясь на этих методах, существует следующая методология оценки неизменной от партии к партии функции пересчёта р (х).
Предположим, что справедлива гипотеза, связывающая наработки изделия 0, в режимах є0,є с помощью соотношения H0:g0 = p(&), (1.1) где p (JC) - заданная функция.
Предварительные исследования проводят следующим образом. Одна выборка испытывается в постоянном режиме є0. Обозначим её наработки до отказа 1,---, /. Кроме того, вторая выборка испытывается в переменном режиме є{і). N = mn изделий, которые разбиты случайным образом на п групп по т изделий, испытывают в нормальном режиме є0, и, при первом отказе изделия в группе, оставшиеся (т-\) изделия группы переключаются в форсированный режим є.. Обозначим ,,..., - теоретические наработки до отказа в режиме є0 изделий і-й группы,6Q,&0 + (%1,...,(У0 + 0\{т_Х) - наблюдаемые времена работы изделий / -й группы. Тогда, очевидно, ffQ = min {,...,,}. В [17] доказано что, при выполнении определенных слабых ограничений на распределение наработок до отказа в нормальном режиме, при справедливости (1.1) величины л[=Ог0+(р(вгп), …, и_1)=б,о+Ц (и-1)) будут совпадать с теоретическими наработками до отказа в нормальном режиме (каждое г) совпадает с одним из !; ). При этом TJ . называются «прогнозными» наработками изделия в нормальном режиме. Тогда гипотеза (1.1) справедлива тогда и только тогда, когда две выборки 15- -Д и Q = {el7ll---Mm-i) --- eo 71i\--- ?l"m-i)) извлечены из одной и той же совокупности, что проверяется любым критерием однородности [4]. В работе В.И. Тимонина [9] предложено уточнение этой методологии. Показано, что для проверки (1.1) нет необходимости проводить испытания в постоянном режиме. Обработка результатов испытаний в переменном режиме проводится следующим образом. Пусть P0(t) - функция надежности изделий в режиме є0. Её можно оценить по двум выборкам. Обозначим объединенную выборку из всех наблюдаемых и «прогнозных» наработок до отказа изделий через Q = (e10,j]l...,j]1{m_1),...,e j]",...,j]"m_1)). Пусть = (вІ...Д) - выборка из наработок до первого отказа изделия в каждой группе. Выборка 0 является прогрессивно цензурированной выборкой из совокупности с F0(t) = l-P0(t). В работе [9] для оценки функции надежности по цензурированным данным предложено использовать оценку Каплана - Мейера. Тогда при справедливости гипотезы (1.1) функцию надежности P0(t) можно оценить по выборкам Q и 0 согласно формулам: Г 1, d (t) = 0; (0 = Щ l A dx(t) (n-\); (1.2) , т(п-і + ї) , 0,dx(t) = n, = 1-M1 p(t)=i— , (i.3) mn где dx[t), d2(t) - количество элементов выборок 0 и Q, меньших t. Очевидно, что dx (ґ) d2 (t). В работе [23] доказано, что при соблюдении некоторых слабых ограничений на распределение наработок гипотеза о виде функции связи (1.1) эквивалентна гипотезе однородности Н\: Pq(t) = Pg(t). (1.4) Гипотезу (1.4) можно проверять, сравнивая между собой функции (1.2) и (1.3). В случае наличия полных данных в работах [9,10] рассмотрен метод проверки (1.4), основанный на статистиках типа Колмогорова - Смирнова, общий вид которых можно задать следующим образом Т = max p(PJt),P(t)), (1.5) где р(х,у) - функция расстояния между х,у. Например, в работе [24] предложена статистика Г, = max P0(t)-PM) 0 / oo rp (Ar __ и _ p uxy 2и US/ oo qq позволяющая проверять (1.4), когда испытания проводятся методом «двоек», т.е. изделия в количестве N = 2n, разбитые случайным образом на п групп по два изделия в каждой, начинают испытывать в нормальном режиме є0, и, при отказе одного изделия в группе, оставшееся изделие переключается в форсированный режим є.. В случае произвольного числа изделий т в группе в работе [10] статистика (1.5) имеет вид ,m-l r_, = W max № У pe(t)-p(t) Представленная статистика является аналогом статистики Смирнова. При т = 2 она совпадает со статистикой, предложенной в [24]. 1.2. Испытания последовательных или параллельных технических систем
Рассмотрим задачу, когда требуется найти соотношение между распределениями наработок до отказа сложных технических систем, состоящих из одинаковых элементов, функционирующих в различных режимах. В.И. Тимониным в работе [25] предложен двухвыборочный критерий типа Колмогорова - Смирнова для проверки степенной зависимости функций распределения, который может быть применен для проверки однородности наработок до отказа элементов по испытаниям последовательных или параллельных систем, состоящих из этих элементов. При этом распределение наработок до отказа элементов неизвестно. В [26] предложен критерий типа Кифера - Гихмана, обобщающий случай проверки степенной гипотезы на несколько выборок. При этом рассматривались испытания до отказа всех элементов систем.
Моделирование коэффициента ускорения для цензурированных данных
Пусть наработки одного и того же изделия %0,% в режимах є0,є соответственно связаны соотношением Н0: 0 = р К ), где р (х) - известная функция. В разделе 1.1. первой главы подробно описана схема проведения испытаний, когда переключение в форсированный режим происходит после первого отказа в каждой группе. В настоящем разделе рассмотрен случай, когда переключение в форсированный режим в каждой группе проводится после второго отказа в группе (s = 2). Случай произвольного s m принципиально не отличается от рассмотренного случая s = 2, увеличивается лишь объём вычислений.
Пусть в 01,вг02 - первая и вторая порядковые статистики из наработок до отказа в режиме є0 изделий / -й группы объёма т, вг0 1 ff02. Аналогично случаю s = 1 обозначим ffm1 вІ2 ... #„ - наблюдаемые наработки до отказа изделий / -й группы в режиме є. (очевидно #1 = #2 =0). Пусть ... т теоретические наработки до отказа в режиме є0 изделий / -й группы, g=ff0 1 2=ff02. Определим величины г/І=в 01,г/ 2=в 02 7]г3 = вг02+(р(в:3),…,7]гт = ЄІ2+ р(вІт) - наблюдаемые и «прогнозные» наработки изделий в нормальном режиме. Пусть P0(t) - функция надежности изделий в режиме є0. Её можно оценить по двум выборкам. Обозначим объединённую выборку из наблюдаемых и «прогнозных» наработок до отказа за Є = { ,...,І,..., ;,...,С}. При справедливости гипотезы о виде функции связи (1.1) P0(t) одного изделия группы можно оценить по объединенной выборке Q при помощи стандартной эмпирической оценки функции надежности: Р (t) = 1 - . q тп Аналогично случаю s = 1, обозначим за @ = {в 01Д2,і= 1,п} выборку из наблюдаемых наработок до отказа изделий в нормальном режиме. Если d2(t) количество элементов выборки 0, меньших t, то оценка Каплана - Мейера функции надежности P0(t)имеет вид количество изделий, функционирующих в нормальном режиме непосредственно перед j -м отказом выборки 0 = {ff01,ff02,i = 1,п}. Из определения Pe(t) следует, что её значения меняются в моменты времени в 01,в 02. Отличие случая s = 2 от случая s = 1 состоит в том, что значение Sj (а значит и Pe(t)) зависит от того, сколько среди d2(t) отказов в 0 1. Поясним это на примере. Рассмотрим вариационный ряд А = (Д 82 S2n) элементов выборки Є = {в Д2,і = 1,п}. Пусть d2(t) = 3. Если 81,82,83 состоят из в\1Д1Д1, то S1=mn,S2=mn-1,S3=mn-2. Если же S1,S2,S3 состоят из в\1,в\2Д1, то S1 = mn,S2 =mn-1,S3=mn-m.
Таким образом, значения Pe(t) определяются взаимным расположением в 1Д2 в вариационном ряду А. Введём вектор Z = (z1,z2,---,z2w), который определяет их взаимное расположение. Положим 1, если 8, = 6L, і = 1,п; к = 1,...,2п. zk= 0, если 8к = 601, І = 1,w, Для упрощения в дальнейшем будем использовать вектор v = (v1,v2,...,vn), 2 v1 v2 ... vn = 2п, zv=1. Очевидно, что вектора Z и v находятся во взаимно-однозначном соответствии. Из-за особенностей анализируемых данных компоненты вектора v удовлетворяют ограничениям 2i vi n + iJ = \ji. Аналогично случаю s = \ задача проверки гипотезы (1.1) эквивалентна статистической проверке гипотезы однородности (1.4). Для проверки (1.4) при 5 = 1 в работе [44] предложен критерий типа Колмогорова - Смирнова, общий вид статистик которого записан в (1.5).
В нашем случае s = 2 точные распределения статистик (1.5) возможно вычислить только при фиксации вектора v . По этой причине для вычисления распределения статистики типа Колмогорова - Смирнова воспользуемся формулой полной вероятности, которая имеет вид Р(Т h) = P(T hlv)-P{v). (2.8) V Чтобы применить формулу (2.8), вычислим сначала P{v). 2-1 Предварительно положим Vt = zk, Vx = О, /: = 2,2п. к=\ Теорема 2.4. Распределение вероятностей случайных векторов v = (v1,v2,---,vw) имеет вид и m m-iynlYl - + l) Г\У) In П(ш-і + 1- -2)) Доказательство. Распределение статистики Т = maxp(PM\P (t)) не зависит от закона распределения наработок до отказа, поэтому будем считать его равномерным на [0,1]. Совместная плотность двух порядковых статистик в т,#о2 имеет вид f(t,т) = m(m-1)(1 )m 2,0 г ґ 1 [48].
Точные распределения статистики Т
На испытания ставятся п1 последовательных систем длины т1 в режиме є1 и п2 последовательных систем длины т2 в режиме є2. Системы составлены из однотипных изделий. Можно считать, что т2 т1. В ходе испытаний наблюдаются наработки до отказа систем, совпадающие с минимальной наработкой до отказа составляющих её элементов. Обозначим 01=((5S1,..., ),02 = (e52,..., ) - выборки из наработок до отказа систем. Рассмотрим задачу проверки однородности распределений наработок до отказа элементов в каждом из режимов. Проверяемая гипотеза имеет вид: H0:F1(t) = F2(t)=F0(t), (3.1) где/ (7) - функция распределения наработок до отказа элементов в режиме є1, F2 (t) - функция распределения наработок до отказа в режиме є2. При справедливости (3.1) функцию надежности P0(t) = 1-F0(t) по прогрессивно цензурированным выборкам Q1 и 02 можно оценить при помощи оценок Каплана - Мейера: где d1 (7), d2 (t) - количество элементов выборок 01и 02, меньших t. [13]. Если рассматривать выборки (в1х,...,в ),(в12,...,в 2) как полные из совокупностей с функциями распределения F\F2 (не смешивать с функциями распределения наработок элементов F1,F2), то эти функции можно оценить эмпирическими функциями распределения F\F2, построенными по этим выборкам.
В [52] для проверки гипотезы (3.1) предложена статистика вида Для упрощения изложения (3.2) запишем в виде Т = maxp(Pe (t),P02 (?)). Статистика (3.2) является аналогом статистики Смирнова применительно к проверке однородности двух цензурированных независимых выборок. Заметим, что при т1 = т2 = 1 вид данной статистики совпадает с классической статистикой Смирнова.
Точные распределения статистики Т вычисляются с использованием модели случайного блуждания, схожей с моделью, представленной во второй главе.
Введём вектор Z = (Z1,Z2,...,ZH+H), состоящий из щ единиц и п2 нулей, если отказ из выборки ; { 0,если отказ из выборки 02. Важно подчеркнуть, что последовательность компонент вектора Z полностью определяет последовательность значений функции, чей максимум вычисляется в статистике (3.2). Совокупность векторов Z определяет множество всех возможных последовательностей значений этой функции, а, следовательно, и значений её максимума. Лемма 3.1. Распределение вероятностей случайных векторов
Доказательство. При справедливости гипотезы однородности (3.1) любая перестановка у1 у2 ... У + (п1- т „ из всех времен отказа %1, %2,...,%п элементов первой выборки и Л1,Л2,..,Лп2т2 элементов второй выборки имеет одинаковую вероятность . {п1т1+п2т2)! Количество перестановок Iz), приводящее к вектору Z = (z1,z2,...,zn+n), определяется следующим образом. Если z1=1, то минимальной наработкой до отказа может являться любая наработка из наработок до отказа %1,2,...,% элементов в режиме є1. Это приводит к появлению множителя {п1т 1 в N(Z). Количество размещений появившихся (п\ -1) цензурированных наработок до отказа в режиме є1 равно тх-1 1\{n1m1+n2m2-kf . Пусть зафиксированы места: первое и (щ-1) мест для к=1 цензурированных наработок. На оставшихся свободных местах таким же образом размещаем 1)т1 наработок до отказа в є1 и п2т2 наработок до отказа в режиме є2. Если z1 = 0, то рассуждения строятся аналогичным образом. Если на / -м шаге zl = 1, то отказавшим элементом может являться любой из неотказавших и нецензурированных (п1 -Vl_1)m1 элементов в режиме 1 7-11/ в
Для вычисления точных вероятностей Р(Т Ji) рассмотрим модель случайного блуждания по двумерному массиву ячеек А = {а}, і = 0,n1,j = 0,п2. Частица начинает блуждание на первом шаге из ячейки а00 и на(д + п2) -м шаге заканчивает блуждание в ячейке an1,n2 , совершая n1 скачков «вниз» и n2 скачков «вправо». Траектории частицы находятся во взаимно-однозначном соответствии с векторами Z. Равенство zk=1, к = 1,п1+п2 в векторе Z соответствует скачку «вниз» на к шаге, появление zk=0, к = 1,п1+п2 - скачку «вправо». При прохождении блуждания через ячейку я.. функция p(t) в статистике (3.2) принимает значение tr, равное
Предельное распределение Т2
В главе 4 предложена статистика для проверки гипотезы однородности нескольких независимых прогрессивно цензурированных выборок. В качестве оценок функций надежности каждой из выборок использовались оценки Каплана - Мейера. Предложенные методы позволяют вычислять точные распределения предлагаемой статистики для очень значительных объёмов выборок. Показано, что в качестве асимптотического приближения распределения статистики может быть использовано распределение Кифера -Гихмана.
Результаты расчётов показали, что предложенная асимптотика достаточно хорошо приближает точные значения вероятностей. Однако предпочтительнее все же использовать точные квантили распределения статистики. Выводы и заключение
При анализе форсированных испытаний технических систем распределение наработок до отказа элементов систем далеко не всегда является известным. В работе разработаны непараметрические методы проверки различных гипотез о связях между распределениями наработок до отказа изделий в различных режимах, не требующие знания этих распределений. Кроме того, разработаны новые методы проверки гипотез о связях между распределениями наработок до отказа элементов, входящих в состав последовательных или параллельных систем различной кратности.
Особенностью предлагаемых методов является использование оценок Каплана - Мейера функции надежности, которые применяются в случае цензурирования результатов испытаний. Это позволяет сократить продолжительность предварительных исследований при использовании форсированных режимов и учесть потерю информации при испытаниях последовательных и параллельных систем, состоящих из однотипных исследуемых элементов.
В работе представлены следующие основные результаты:
1. Для предварительных исследований предложен критерий типа Реньи, позволяющий оценивать коэффициент ускорения форсированных испытаний в случае, когда предварительные исследования ограничены по времени. Представлены методы вычисления как точных, так и асимптотических распределений его статистики.
2. По результатам испытаний в различных режимах двух выборок последовательных систем различной кратности, составленных из однотипных элементов, решена задача проверки непараметрических гипотез (однородности или Кокса) о распределениях наработок элементов. Для этого разработан критерий типа Колмогорова - Смирнова, использующий оценки Каплана Мейера функций надежности по двум прогрессивно цензурированным выборкам. Предложен метод вычисления точных распределений его статистики при справедливости проверяемых гипотез. Доказана сходимость распределения статистики критерия к стандартному распределению Колмогорова – Смирнова. Методами Монте-Карло исследованы свойства оценки параметра модели Кокса, основанной на минимизации статистики критерия.
3. Получен критерий, позволяющий проверять однородность нескольких прогрессивно цензурированных выборок. На основе модели случайного блуждания по q-мерному массиву ячеек разработан метод вычисления точных распределений статистики критерия. Показано, что предложенное приближение асимптотического распределения даёт погрешность порядка 0.03 даже при значительных объёмах выборок. По этой причине следует пользоваться точными распределениями.
Результаты, представленные в работе, дают решение ряда задач, возникающих при статистическом анализе результатов испытаний систем и составляющих их элементов. Вместе с тем потребности практики требуют дальнейшего развития разработанных методов. В частности, требуют своего решения следующие проблемы.
1. Развитие методов оценки результатов предварительных исследований при произвольном моменте изменения режимов испытаний.
2. При сравнении распределений наработок до отказа элементов по результатам испытаний систем рассмотрен только случай последовательного или параллельного соединения элементов. Представляется необходимым распространение полученных результатов на случай более сложных структур последовательно-параллельных систем.
3. Многовыборочные задачи проверки однородности распределений наработок до отказа элементов по результатам испытаний систем решены для частного случая испытаний до отказа всех систем. Следует обобщить полученные результаты для случая ограниченных по продолжительности испытаний.
4. Желательно распространить полученные в главе 4 результаты проверки однородности прогрессивно цензурированных выборок для проверки справедливости модели Кокса, как это сделано в диссертации для двухвыборочного случая.