Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Систематизация и анализ основных методов исследования фрактальных процессов 13
1.1 Выявление особенностей существующих методов анализа экспериментальных данных 13
1.2 Понятие фрактала и фрактальной размерности 15
1.3 Обзор характеристик фрактальных процессов и методов их определения 23
1.4 Анализ методов моделирования фрактальных процессов 31
1.5 Применение фрактальных характеристик в прикладных исследованиях 36
1.6 Уточнение основных направлений исследования 40
Выводы по главе 1 40
Глава 2. Разработка методов оценивания фрактальных характеристик процессов 42
2.1 Определение геометрического индекса фрактальности 42
2.2 Планирование имитационного эксперимента 45
2.3 Исследование параметра суммарной кривизны 47
2.4 Исследование свойств геометрического индекса фрактальности 51
2.5 Определение модифицированного геометрического индекса фрактальности 56
2.6 Анализ возможностей геометрических индексов при определении показателя Херста для процессов, отличных от процесса фрактального движения
2.6.1 Модельные примеры 65
2.6.2 Применение геометрических индексов фрактальности для анализа реальных процессов 73
Выводы по главе 2 .77
Глава 3. Разработка алгоритмов обнаружения разладки фрактальных временных рядов .78
3.1 Постановка задачи 78
3.2 Статистический анализ оценок индекса при вариациях ширины интервала усреднения u .80
3.3 Разработка последовательного алгоритма обнаружения разладки фрактального процесса 89
3.4 Разработка метода апостериорного обнаружения разладки фрактального процесса 101
Выводы по главе 3 .123
Глава 4. Практическое применение предложенных методов и алгоритмов 124
4.1 Программный комплекс моделирования и анализа фрактальных временных рядов .124
4.2 Применение модифицированного геометрического индекса фрактальности для разработки методов акустического неразрушающего контроля 133
4.2.1 Фрактальный анализ акустических сигналов, полученных от цилиндрических стержней 134
4.2.2 Фрактальный анализ сигналов, полученных от лопаток газотурбинного двигателя 143
4.3 Применение геометрического индекса фрактальности для анализа сигналов электроэнцефалограмм 148
4.4 Использование геометрического индекса фрактальности для анализа сигналов медицинского диагностического комплекса 151
Выводы по главе 4 .159 Заключение .161
Список литературы
- Обзор характеристик фрактальных процессов и методов их определения
- Исследование свойств геометрического индекса фрактальности
- Статистический анализ оценок индекса при вариациях ширины интервала усреднения u
- Применение модифицированного геометрического индекса фрактальности для разработки методов акустического неразрушающего контроля
Введение к работе
Актуальность темы. Обработка экспериментальных данных, анализ и моделирование различного рода процессов и сигналов являются одними из важнейших задач, от решения которых зависит прогресс во многих областях науки и техники. До последнего времени основным инструментом решения подобных задач являлись методы теории вероятностей и математической статистики. Однако, как выяснилось, для целого ряда объектов реального мира такой подход оказывается упрощенным, позволяя получить лишь грубое (усредненное) представление о свойствах исследуемого явления или процесса. Зачастую это связано с тем, что они обладают определенными фрактальными свойствами и требуют для своего изучения использования методов фрактального анализа. Фрактальный подход, как показывает накопленный опыт, нередко позволяет получить качественно новую информацию о свойствах объекта исследования или наблюдаемых процессах, выявив фрактальные особенности их поведения.
Анализ фрактальных свойств временных рядов является перспективным направлением исследований, т.к. позволяет находить содержательную информацию в сигналах, которые с точки зрения стандартных методов исследований являются не более чем белым шумом или броуновским движением. Эта способность фрактального анализа нашла широкое применение в самых разнообразных сферах: в экономике и финансах, радиофизике и радиоэлектронике, биологии и медицине, телекоммуникациях, геологии и многих других.
Степень разработанности проблемы. Основоположником фрактальной
теории в ее современном виде является Бенуа Мандельброт, связавший
воедино результаты, полученные Ф. Хаусдорфом, А.С. Безиковичем, Г.
Херстом, Л. Ричардсоном, и «аномальные» математические объекты, известные
благодаря работам Г. Кантора, Х. Коха, П. Фату, В. Серпинского, К.
Вейерштрасса и др. В дальнейшем большой вклад в развитие фрактального
анализа временных рядов внесли R.F. Voss, G. Chan, J. Istas, G. Lang, P. Flandrin, P. Hall, A.T.A. Wood, F. Sellan, Y. Meyer, М.М. Дубовиков, Н.В. Старченко, А.В. Осин, Ф.Ф. Пащенко, О.И. Шелухин и многие другие зарубежные и отечественные исследователи.
За последние десятилетия была построена теоретическая база,
позволяющая применять самые разнообразные подходы для оценки основной
характеристики фракталов – фрактальной размерности. Однако общим
недостатком большинства существующих методов оценки является
необходимость использования для получения устойчивых результатов выборок очень большого объема. Поэтому задача разработки новых методов оценки фрактальной размерности или тесно связанного с ней показателя Херста, эффективных при относительно небольших размерах выборки, представляется весьма актуальной. Разработка таких методов позволит решить и другую не менее актуальную задачу выявления момента изменения фрактальных свойств наблюдаемого процесса, т.е. задачу о разладке фрактальных процессов.
Одной из важных и актуальных областей, неразрывно связанных с
анализом временных рядов, является задача усовершенствования и
дальнейшего развития методов неразрушающего контроля. Методы
неразрушающего контроля изделий являются широко используемыми в повседневной практике. В современных реалиях возникновения все более технически совершенных механизмов растет необходимость в точных и всесторонних методах диагностики, не нарушающих целостности исследуемого объекта. Текущие методы позволяют получить информацию о сигнале с точки зрения его спектральных характеристик. Однако полезная информация содержится и во временном представлении сигнала, в его фрактальных характеристиках. До недавнего времени не существовало эффективного инструмента анализа фрактальной структуры сигналов, т.к. все методы анализа требуют для корректной работы большого массива данных, внутри которого фрактальные характеристики существенным образом меняются, на выходе мы
получаем усредненные значения, которые часто являются
малоинформативными для задачи диагностики.
В данной работе предлагается новый подход к исследованию фрактальных временных рядов, основанный на анализе геометрических свойств рядов, который позволяет получать устойчивые оценки фрактальной размерности по коротким реализациям и позволяет решать задачу нахождения разладки, и также рассматривается его применение к задачам диагностики и акустического неразрушающего контроля.
Цель исследований. Целью диссертационной работы является повышение качества обработки экспериментальных данных с помощью фрактальных методов анализа временных рядов на основе предложенных геометрических индексов фрактальности; исследование возможностей данных методов для получения устойчивых оценок фрактальной размерности по относительно коротким реализациям и решения задачи нахождения момента изменения фрактальных свойств наблюдаемых процессов; на основе теоретических и экспериментальных исследований выявление новых информативных критериев, позволяющих обнаруживать наличие дефекта в изделии при использовании метода свободных колебаний и позволяющих решать задачу диагностики при анализе биомедицинских данных.
Задачи исследований. В соответствии с указанной целью в рамках диссертационной работы поставлены и решались следующие задачи:
-
Выявление особенностей существующих методов анализа экспериментальных данных.
-
Обзор и анализ существующих методов оценки фрактальной размерности (показателя Херста) временных рядов.
-
Разработка и исследование методов оценки показателя Херста на основе геометрических индексов фрактальности, сопоставление их свойств и возможностей по сравнению с известными методами оценки показателя Херста.
-
Разработка на основе предложенных методов, априорного и апостериорного алгоритмов обнаружения изменений фрактальных свойств временных рядов, методики синтеза и использование таких алгоритмов.
-
Применение полученных математических, методических и программно-алгоритмических результатов при решении практических задач неразрушающего контроля, при проведении исследований медицинского характера и в учебном процессе.
Научная новизна данной работы заключается в следующих положениях, выносимых на защиту:
-
Разработан новый метод оценки показателя Херста, основанный на предложенном геометрическом индексе фрактальности; для процессов фрактального броуновского движения (ФБД) доказано, что геометрический индекс фрактальности линейно связан с показателем Херста и обладает высокой скоростью сходимости к своему асимптотическому значению по сравнению с известными методами, что позволяет использовать его при обработке коротких реализаций.
-
Разработан метод оценки показателя Херста, основанный на предложенном модифицированном геометрическом индексе фрактальности, инвариантном к преобразованиям амплитуды процесса типа «растяжение – сжатие», и выявлена его связь с показателем Херста для процессов ФБД; проведено сопоставление оценок показателя Херста, полученных с помощью модифицированного геометрического индекса фрактальности с традиционными методами, и выявлена близость их свойств при большей простоте вычислительного алгоритма при использовании геометрического подхода.
-
На основе применения геометрического индекса фрактальности предложен алгоритм последовательного (априорного) обнаружения разладки фрактального процесса и методика синтеза соответствующих контролирующих процедур; доказана их работоспособность и эффективность.
-
Предложен алгоритм апостериорного обнаружения разладки
фрактального процесса; для увеличения точности определения точки
изменения индекса фрактальности предложен метод предварительной локализации ее местоположения.
-
Впервые определены информативные критерии, позволяющие обнаруживать наличие дефекта в изделии по анализу фрактальной структуры с применением геометрических индексов фрактальности.
-
Впервые определены информативные критерии, позволяющие обнаруживать наличие патологии при анализе биомедицинских сигналов по анализу их фрактальной структуры с применением геометрических индексов фрактальности.
Методы исследования. Полученные в диссертации результаты
основываются на применении аппарата дифференциальной геометрии, теории
вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов,
фрактального анализа, методов имитационного моделирования.
Практическая значимость работы. Результаты исследований,
выполненных в диссертационной работе, использованы при разработке
интерактивного программного комплекса моделирования и анализа
фрактальных временных рядов, предназначенного для широкого круга
исследователей. Созданные алгоритмы, методы и программные средства
применены в технической и медицинской диагностике, а также могут
применяться в научных исследованиях и при решении прикладных задач в различных областях, связанных с цифровой обработкой сигналов, а также в учебном процессе.
Реализация и внедрение результатов. Результаты работы были использованы:
- при разработке новой методики акустического неразрушающего контроля для выявления дефектов в деталях типа цилиндрических стержней и в лопатках газотурбинных двигателей в Институте теплоэнергетики ФГБОУ ВПО «Казанский государственный энергетический университет»;
- для расширения диагностических возможностей медицинского КВЧ-
диагностического комплекса в некоммерческом партнерстве «Клиника
Московского института кибернетической медицины»;
- для анализа сигналов электроэнцефалограмм при диагностике шизофрении на
ранних стадиях ее развития в рамках исследований, проводимых в лаборатории
нейрофизиологии и нейро-компьютерных интерфейсов ФГОУ ВПО
«Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова»;
- в учебном процессе кафедры Управления и информатики ФГБОУ ВО
«Национальный исследовательский университет «МЭИ»;
- в учебном процессе кафедры «Электроснабжение промышленных
предприятий» ФГБОУ ВПО «Казанский государственный энергетический
университет»;
- на основе результатов работы создан объект интеллектуальной собственности,
подтвержденный свидетельством о государственной регистрации программы
для ЭВМ.
Соответствие диссертации паспорту специальности. Диссертационная работа соответствует научной специальности 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (технические науки) в части п.п. 1, 4, 5, 10, 12 области исследования паспорта специальности:
1.Теоретические основы и методы системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.
4.Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.
5.Разработка специального математического и алгоритмического обеспечения систем анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.
10.Методы и алгоритмы интеллектуальной поддержки при принятии управленческих решений в технических системах.
12.Визуализация, трансформация и анализ информации на основе
компьютерных методов обработки информации.
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждаются:
результатами имитационного моделирования, которые для традиционных методов оценивания показателя Херста совпадают с ранее известными результатами;
данными обработки реализаций реальных временных рядов, показавшими близость оценок показателя Херста, найденных с помощью геометрического индекса фрактальности и одним из известных методов;
- результатами успешного применения разработанных методов, алгоритмов и
программных средств при решении прикладных задач;
- апробацией полученных результатов среди квалифицированных специалистов
на ряде международных научно-технических конференций и семинаров.
Апробация результатов работы. Полученные в диссертационной работе
результаты докладывались и обсуждались на XXII Международном научно-
техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления,
автоматики и обработки информации» (Алушта, 2013), Международных
конференциях «Информационные технологии в науке, образовании,
телекоммуникации и бизнесе IT+S&E» (Ялта-Гурзуф, 2013, 2014),
Международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов
«Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2014, 2015, 2016),
XXXI Международной научно-технической конференции «Проблемы
автоматизации и управления в технических системах» (Пенза, 2015), на семинарах и заседании кафедры Управления и информатики ФГБОУ ВО «НИУ «МЭИ» (Москва, 2015).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 4 работы опубликованы в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов ВАК. На разработанный программный комплекс получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 92 наименований и приложений. Диссертация содержит 186 страниц, 79 рисунков, 22 таблицы.
Обзор характеристик фрактальных процессов и методов их определения
Обработка экспериментальных данных, анализ и моделирование различного рода процессов и сигналов являются одними из важнейших задач, от решения которых зависит прогресс во многих областях науки и техники. Часто экспериментальные данные представлены временными рядами. Под временным рядом (реализацией случайного процесса с дискретным временем) будем понимать последовательно измеренные через равные промежутки времени данные, причем для каждого отсчёта указывается время измерения или порядковый номер измерения. Наличие четкой временной структуры отличает временной ряд от простой выборки данных [32].
До последнего времени основным инструментом решения задач обработки подобных данных являлись методы теории вероятностей и математической статистки. Такие методы позволяют получить информацию о сигнале с точки зрения его спектральных характеристик. Спектральный анализ или оценка спектральной плотности – это техника декомпозиции сложного сигнала на простые составляющие. Спектральный анализ основан на Фурье преобразовании. Существует множество различных техник, которые были разработаны для оценки спектральной плотности дискретизованных сигналов. Существующие методы можно разделить на непараметрические (например, периодограммные методы Бартлетта, Уэлча и т.д.) и параметрические (например, применение моделей АРПСС, Прони и др.) [43]. Непараметрические методы оценивают ковариацию или спектр процесса без предположения, что процесс имеет определенную структуру. Параметрические методы предполагают, что лежащий в основе стационарный стохастический процесс имеет определенную структуру, которая может быть описана небольшим количеством параметров. Таким образом, задача сводится к оценке параметров модели, которая описывает стохастический процесс. Своеобразным обобщением спектрального анализа является вейвлет преобразование сигналов [57]. Вейвлет-преобразование одномерного сигнала – это его представление в виде обобщенного ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций . Базисные функции конструируются из материнского вейвлета (t), который обладает определенными свойствами за счет операций сдвига во времени b и изменения временного масштаба a. Однако информация содержится и во временном представлении сигнала. Зачастую исследуемые сигналы обладают определенными фрактальными свойствами и требуют для своего изучения использования методов фрактального анализа. Фрактальный подход, как показывает накопленный опыт, нередко позволяет получить качественно новую информацию о свойствах объекта исследования или наблюдаемых процессах, выявив фрактальные особенности их поведения. В настоящее время теория фрактального анализа временных рядов переживает активный рост. Анализ публикаций показал колоссальный интерес научного сообщества к данной проблематике. Многочисленными исследователями рассмотрены вопросы развития фрактального анализа и его приложения к самым разнообразным областям науки и техники. Было выявлено, что большинство процессов обладает фрактальной структурой в самых разнообразных сферах: в экономике и финансах, радиофизике и радиоэлектронике, биологии и медицине, телекоммуникациях, геологии и многих других. За последние десятилетия была построена теоретическая база, позволяющая применять различные подходы для оценки основной характеристики фракталов – фрактальной размерности. В зависимости от конкретной решаемой задачи, существует множество методов, позволяющих получать оценки фрактальной размерности с удовлетворительной степенью точности. Однако общим недостатком большинства существующих методов является необходимость использования для получения устойчивых результатов выборок очень большого объема. До недавнего времени не существовало эффективного инструмента анализа фрактальной структуры сигналов, т.к. внутри больших выборок фрактальные характеристики существенным образом меняются, на выходе мы получаем усредненные значения, которые являются малоинформативными для задачи диагностики, позволяя получить лишь грубое (усредненное) представление о свойствах исследуемого явления или процесса.
Поэтому задача разработки новых методов оценки показателя Херста, эффективных при относительно небольших длинах выборки, представляется весьма актуальной. Целью данной работы является ссоздание такого инструмента, который позволит повысить информативность проводимого анализа, получить дополнительную информацию для классификации и диагностики тех или иных данных, найти содержательную информацию при обработке временных рядов, для которых статистические методы не дают желаемого результата.
Разработка таких методов позволит решить и другую не менее актуальную задачу выявления момента изменения фрактальных свойств наблюдаемого процесса, т.е. задачу о разладке фрактальных процессов.
Основоположником теории фракталов в ее современном виде является Бенуа Мандельброт (1924 – 2010гг.). Сам термин фрактал (от лат. fractus – дробный), был введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения самоподобных математических структур. Одно из определений фрактала, данное Б. Мандельбротом, было сформулировано следующим образом [29]: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в некотором смысле подобны целому". Самоподобие является основной характеристикой фракталов и определяет неизменность геометрических (и/или статистических) характеристик объектов при изменении масштаба. Необходимо отметить, что такая неизменность характеристик достигается только для модельных фракталов. Для реальных фрактальных объектов существуют некоторые минимальный и максимальный масштабы длины, внутри пределов которых объект обладает самоподобными свойствами. Фракталы с очень большой точностью описывают и используются при моделировании многих физических явлений и природных структур: гор и облаков, корней и ветвей деревьев, кровеносных сосудов, турбулентных течений, что абсолютно не соответствует простым геометрическим фигурам. Бенуа Мандельброт впервые увидел фрактальную природу мира, он писал в своей книге [29]:
"Почему геометрию часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака не являются сферами, горы - конусами, береговые линии нельзя описать с помощью окружностей, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности".
Согласно другому, более строгому с математической точки зрения определению, данному также Б. Мандельбротом, фракталом называется множество, хаусдорфова размерность которого строго больше его топологической размерности. Поясним суть данного определения. Определим фрактальную размерность ограниченного множества как классическую хаусдорфову размерность [77]. Формализуем вспомогательные понятия для определения хаусдорфовой размерности: є- покрытие множества Х и S - размерную хаусдорфову меру множества Х.
Исследование свойств геометрического индекса фрактальности
Вплоть до конца XX века при описании и моделировании процессов и объектов различной природы использовали целочисленные меры, интегралы и производные целого порядка, представления евклидовой геометрии. Если отойти от математических абстракций, для объектов реального мира такой подход является упрощением и позволяет получить грубое представление и не позволяет увидеть внутренне устройство объектов.
Исторически впервые явление фрактальности экспериментальных данных было обнаружено Льюисом Ричардсоном [29]. При исследовании причин возникновения военных конфликтов, в качестве одного из параметров он рассматривал длину границы двух стран. Первоначально он исследовал общую границу Испании и Португалии. Им было обнаружено, что в разных источниках данные о длине этой границы сильно различаются. Таким образом было сделано следующее предположение: длина границ зависит от масштабного параметра карты. Чем меньше масштаб, тем длиннее граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать всё новые и новые детали изгибов границы. Еще более наглядно это проявляется при измерении длины береговой линии. Так, в частности, для Великобритании им была получена линейная зависимость в логарифмических осях полученной длины от масштаба измерения. Этот факт говорит о том, что при уменьшении масштаба измерения 8, значения длины береговой линии L(S) расходятся по степенному закону, что характерно именно для фрактальных объектов.
Было показано, что фрактальные структуры являются основополагающей формой окружающего мира на самых разных пространственных масштабах.
Фрактальные структуры веществ позволяют создавать материалы, способные поглощать электромагнитное излучение в достаточно широком диапазоне длин волн, новые красители, жидкокристаллические системы, наноструктуры, твердые вещества с пористостью до 99%, новые технологии борьбы с накипью в котлах и энергетических установках и многое другое [22]. Широкое применение нашли фрактальные антенны: их компактность и широкополосные свойства сделали их популярными в беспроводной связи, в Bluetooch, Wi-Fi и GSM стандартах [39,70,89].
Фракталы используются в отрасли нефтедобычи, в описании процесса разрушения горных пород. В частности, была показана неоднозначность эффективности популярного в наши дни метода увеличения добычи нефти «гидроразрыв пласта» (ГРП).
Говоря о фрактальности временных рядов, они также появляются в самых разнообразных сферах. В настоящее время теория фрактального анализа временных рядов переживает активный рост. Анализ публикаций показал колоссальный интерес научного сообщества к данной проблематике. Только за последние годы было опубликовано свыше 3000 печатных трудов, в которых рассмотрены вопросы развития фрактального анализа и его приложения к самым разнообразным областям науки и техники. Выявлено, что очень много разновидностей наблюдаемых процессов природного и техногенного характера обладает фрактальными свойствами.
В экономике фрактальный анализ применяется в различных сферах, было выявлено, например, что ряды динамики цен финансовых активов обладают фрактальными свойствами. Разработаны методы формирования портфелей ценных бумаг на основе вычисления оценок фрактальной размерности временных рядов их доходностей [66]. Фрактальный анализ в данном случае является эффективным инвестиционным инструментом, позволяющим получить от портфеля определенный уровень доходности.
В нефтегазовой отрасли типичным примером фрактальных кривых могут служить графики распределения объемов добычи флюида по времени [35]. Анализируя чередование участков с различной фрактальной размерностью и тем, как на систему воздействуют внешние и внутренние факторы, можно научиться предсказывать поведение системы. И что самое главное, диагностировать и предсказывать нестабильные состояния.
Если говорить о медицине и биологии, достаточно большое распространение получили фрактальные методы анализа при исследовании вариабельности сердечного ритма (ВСР), электроэнцефалограмм, электромиограмм. В работе [26] продемонстрированы возможности применения фрактального анализа в области исследования ВСР. Исследования показывают, что фрактальный анализ дает не только тонкий диагностический инструмент, но и позволяет провести содержательную интерпретацию различных аномальных явлений в сердечно-сосудистой системе. В работе [6], проведенной в психоневрологическом институте им. В.М. Бехтерева, рассматриваются вопросы прогноза геморрагических и ишемических инсультов. Показано, что применение фрактального анализа длительности R-R кардиоинтервалов у больных в остром периоде ишемического и геморрагического инсультов позволяет получить данные о динамике состояния и прогнозировать исход заболевания еще до объективных изменений клинической симптоматики.
Современные исследования показывают, что сетевой трафик также обладает фрактальной структурой. Ранее считалось, что характеристики пакетов в сети (интервалы времени между пакетами, длина пачки пакетов и пр.) подчиняются экспоненциальным распределениям. Такие модели неплохо описывают поведение сетей небольшого размера. Применяя классические методы, вычислялись необходимые характеристики: задержки, средние длины очередей и пр. Но данный подход оказался несостоятельным для современных сетей большого размера, включающих в себя разнообразные сетевые приложения. Как показали исследования, интенсивный рост сетей и появление новых протоколов передачи данных обуславливают фрактальное поведение трафика. Фрактальный анализ трафика позволяет корректно прогнозировать его поведение и, следовательно, создавать эффективные методы управления пропускной способностью, сократить задержку передачи данных, потерю пакетов и т.д. Данное направление исследований в настоящее время интенсивно развивается. В России данная область представлена исследованиями О.И. Шелухина, А.В. Осина, С.М. Смольского, Б.С. Цибакова, А.А. Первозванского, А.Я. Городецкого, В.С. Заборовского и многих других.
Также фрактальный анализ используется в решении задач информационной безопасности [59]. Современные способы обнаружения атак и других аномалий в сети недостаточно надeжны, в частности из-за недостоверного определения момента атаки, вследствие чего вредоносное воздействие может внести ошибки в работу системы, тем самым выведя её из строя при помощи DDOS атак. Фрактальный анализ трафика позволяет выявлять несвойственные для обычного трафика пакеты и своевременно блокировать атаку. Оказалось, что во время появления аномальных выбросов трафика наблюдается скачок фрактальной размерности, что может использоваться в качестве индикатора аномальных выбросов трафика, и позволит своевременно пресечь вредоносное воздействие.
Статистический анализ оценок индекса при вариациях ширины интервала усреднения u
Задача обнаружения спонтанного изменения свойств временнго ряда, часто именуемая как задача о разладке процесса, остается весьма актуальной как в теоретическом, так и в прикладном плане. Существует два возможных варианта постановки задачи: последовательный, когда выявление разладки осуществляется в ритме с поступлением данных и важно обнаружить ее как можно быстрее, и апостериорный, когда в распоряжении исследователя имеется вся реализация процесса и необходимо максимально точно найти точку (или точки) изменения свойств временного ряда [34].
Основополагающими работами в задаче последовательного обнаружения изменения математического ожидания гауссовской независимой случайной последовательности являются работы Е. С. Пейджа [88], М. Гиршика и Г. Рубина [73], опубликованные в середине 20-го века. Пейджем был предложен метод обнаружения разладки, называемый алгоритмом кумулятивных сумм (АКС). А.Н. Ширяевым [63] и позднее Г.Лорденом [84] и др. было проведено всестороннее исследование существующих алгоритмов и установлена оптимальность АКС в классе последовательных алгоритмов в смысле минимизации среднего времени запаздывания в обнаружении заданной разладки для фиксированного среднего времени между ложными тревогами асимптотически при стремящемся к бесконечности решающем пороге по сравнению с любыми иными последовательными алгоритмами такого рода. Позднее появилось большое число работ, в которых возможности АКС были существенно расширены, во-первых, за счет рассмотрения иных характеристик гауссовских процессов [21], а во-вторых, путем рассмотрения новых моделей наблюдаемых процессов, в ряде случаев – весьма сложных [14,41,71]. Апостериорные методы обнаружения разладки стохастических процессов (случайных временных рядов) исследованы достаточно хорошо (см., например, работы [10,18]). Однако применительно к фрактальным временным рядам эта проблема в значительной степени остается нерешенной.
В настоящей работе рассматривается задача построения алгоритмов обнаружения спонтанного изменения (разладки) характеристик фрактальных временных рядов. Далее предполагается, что разладка характеризуется скачкообразным изменением показателя ХерстаЯ.
Исходная идея создания алгоритмов обнаружения изменения показателя Херста Н , как уже отмечалось, достаточно очевидна и обсуждается уже давно. Однако существенно продвинуться в этом направлении, предложив конструктивную процедуру синтеза такого алгоритма, до последнего времени не удавалось. Это в первую очередь связано с тем, что общим недостатком большинства известных методов является необходимость использования для получения устойчивых результатов выборок очень большого объема (7V 103 -104). Очевидно, что в такой ситуации на их основе весьма сложно предложить эффективный метод обнаружения разладки.
Предложенный и исследованный в предыдущей главе геометрический индекс фрактальности У , оценка которого, как было установлено, приближается к своему асимптотическому значению уже при весьма малых выборках, может оказаться вполне подходящим для успешного решения задачи о разладке фрактальных процессов.
Далее будут исследованы возможности использования оценки индекса фрактальности У для двух вариантов формальной постановки задачи: последовательной, когда выявление разладки осуществляется в ритме с поступлением данных и важно обнаружить ее как можно быстрее, и апостериорной, когда в распоряжении исследователя имеется вся реализация процесса и необходимо максимально точно найти точку (или точки) изменения показателя Херста. И в том, и другом варианте разработка соответствующего алгоритма должна основываться на детальном исследовании статистических свойств оценки / для самых разных длин наблюдаемых реализаций.
В данном случае под длиной реализации понимается ширина некоторого интервала и, что связано со спецификой определения индекса : поскольку он характеризует угол наклона некоторой прямой, для его нахождения необходимо определение значения sk(i) по формуле (2.6) на некотором интервале шириной и (и 2). Для апостериорного варианта значения и определяются конкретными особенностями исследуемого фрактального процесса и могут варьироваться в широких пределах. При последовательном методе обнаружения значение и определяет быстродействие алгоритма и, очевидно, не может быть слишком большим.
Применение модифицированного геометрического индекса фрактальности для разработки методов акустического неразрушающего контроля
Фрактальный анализ временных рядов позволяет рассматривать многие существующие явления с качественно новой стороны. Текущие методы обработки и анализа сигналов представлены разнообразием специализированных программных сред, в которых возможно вычисление фрактальных характеристик с помощью встроенных решений. Однако получаемые данные нуждаются в правильной интерпретации и критичным образом зависят от длины анализируемого ряда. Анализ известных вариантов ПО показал, что всеобъемлющий анализ фрактальных сигналов с их помощью проводить невозможно, и более того, не существует инструментов, позволяющих сегментировать фрактальный сигнал по критерию изменения фрактальных характеристик. Данного рода задачи часто встречаются в прикладных технических областях, а также во многих других, таких как медицина, биология, инженерные науки, при решении исследовательских и иных прикладных задач. Еще одной важной задачей является исследование и сопоставление различных методов оценивания фрактальных характеристик, что весьма важно, учитывая появление все новых алгоритмов и подходов. Такое исследование, как уже отмечалось ранее, чаще всего проводится с помощью имитационного эксперимента, что в свою очередь требует наличия программных средств генерации фрактальных процессов различных типов. В этой связи была поставлена и успешно решена задача создания интерактивного программного комплекса моделирования и анализа фрактальных временных рядов – ПК «МАФР».
Программный комплекс построен по модульному принципу. Общая структурная схема разработанного комплекса представлена на рисунке 4.1. Все модули, входящие в комплекс, можно разделить на 3 функциональные группы. Первая группа модулей обеспечивает взаимодействие с пользователем (пользовательский интерфейс). Вторая группа модулей реализует моделирование и тестирование сигналов различных типов. В эту группу входят модуль моделирования сигналов, блок наложения помех, буфер накопления отсчетов выборки.
Модуль моделирования сигналов обеспечивает генерацию фрактальных процессов различных типов из числа описанных в главах 1 и 2 (ФБД, розовый шум, функции Вейерштрасса и др.). Имеется возможность выбора одного из представленных алгоритмов генерации фрактального процесса, а также выбора длины временного ряда и задания других параметров, необходимых для реализации конкретного метода моделирования.
Помимо моделирования фрактальных процессов данный модуль позволяет также генерировать классические дискретные временные ряды (гауссовский белый шум, процессы типа АРПСС(p,d,q) и др.), а также детерминированные сигналы, использующиеся в качестве тестовых.
Окно программы при моделировании сигнала ФБД Блок наложения помех позволяет добавлять к входному сигналу помехи различного рода – линейные монотонные и синусоидальные тренды, белый шум, коррелированные процессы типа АРПСС(p,d,q). Существенным при конфигурировании работы блока является задание следующих параметров: значение амплитуды сигналов помех, величины тренда, параметров p, d и q. Предусмотрена возможность выбора и комбинирования различного вида помех. Окно программы для тестового добавления сигналов помех изображено на рисунке 4.4.
Буфер отсчетов выборки позволяет накапливать и хранить в памяти сигнал выбранной длины N для дальнейшей обработки и анализа.
К третьей группе модулей относятся модули фрактального анализа сигналов. Блок анализа сигналов позволяет получать оценки фрактальных характеристик всеми рассмотренными в главе 1 методами, а также осуществлять вычисления предложенных в работе индексов у, Ум и соответствующих оценок показателя Херста Я. Кроме того, модуль анализа осуществляет статистический анализ оценок фрактальных характеристик путем вычисления на множестве полученных значений выборочного среднего, СКО, построения соответствующей гистограммы и т.д.
Для запуска модуля используется кнопка «Анализ». В системе предусмотрен выбор одного из двух типов анализируемых данных: смоделированных в системе процессов и сигналов, загруженных в программу извне. Для переключения между ними используется опция «Выбор сигнала».
Программный комплекс позволяет осуществлять предварительный статистический анализ сигнала, который включает в себя оценку его основных статистических характеристик: выборочного среднего, дисперсии, автокорреляционной функции и спектральной плотности мощности. В данном блоке предусмотрено также использование сглаживающих окон.
Особое место среди модулей 3-ей группы занимают модули, обеспечивающие реализацию предложенного в данной работе геометрического подхода к анализу фрактальных свойств процессов и фрактального алгоритма кумулятивных сумм. Эти модули осуществляют вычисление показателей суммарной кривизны, индексов /, ум, и соответствующих оценок показателя Херста Н - все это с возможным сегментированием входного сигнала на отдельные участки выбранной длины
Расчет индекса у начинается с вычисления соответствующего показателя кривизны для каждого очередного отсчета и построения графика суммарной кривизны sk(i). При рассмотрении индекса ум строятся графики зависимости уи (а) - от коэффициента растяжения/сжатия a.
Внешний вид окна программы для фрактального анализа данных с помощью определения геометрических индексов фрактальности Уи и уМи приведен на рисунке 4.5.
В соответствии с полученными значениями фрактальной размерности дается интерпретация полученных результатов. Для осуществления анализа поведения индексов Уи и уМи в скользящем окне заданной ширины и существует специальная опция, вид соответствующего окна программы приведен на рисунке 4.6.
Для полученного ряда значений {Уи} дополнительно вычисляются и выводятся пользователю в отдельном окне данные об основных статистических характеристиках полученного массива (математическое ожидание, СКО, эксцесс и асимметрия).
Предусмотрена возможность импорта и анализа серии наблюдений, когда в систему загружается не один временной ряд, а импортируется серия рядов из файлов с расширениями .txt, .xls, .xlsx, .bdf. Данная опция позволяет задать папку, в которой хранятся файлы, предназначенные для анализа, выбрать желаемые опции и согласно им сформировать отдельный итоговый файл с результатами анализа. В качестве опций можно задать вычисление фрактальных характеристик и построение графиков.