Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ математических моделей и программное обеспечение, используемое для исследования устойчивости систем управления 17
1.1. Математические модели неопределенностей в системах управления 17
1.1.1. Причины возникновения неопределенностей в системах управления 17
1.1.2. Параметрическая неопределенность 21
1.1.3. Непараметрическая неопределенность 21
1.1.4. Нестационарная неопределенность 23
1.1.5. Нелинейная неопределенность 24
1.1.6. Параметр Попова 24
1.1.7. Влияние неопределенностей на области устойчивости систем управления 25
1.2. Типовые нелинейности в системах управления 35
1.3. Особенности применения w- преобразования для исследования робастной устойчивости НИСУ 37
1.4. Программные комплексы для реализации исследования систем управления c интервальными параметрами
1.4.1. Программные комплексы для исследования систем управления 40
1.4.2. Программные комплексы для символьных вычислений 46
1.5. Методы исследования НИСУ при наличии неопределенностей 49
Выводы к главе 1 52
Глава 2. Математическое описание задач исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями . 54
2.1. Математическая модель исследования НИСУ с монотонными нелинейностями. 54
2.1.1. Математическая модель исследования НИСУ 55
2.1.2. Параметр Попова и особенности его применения 57
2.2. Алгебраический метод получения полиномиального выражения критерия абсолютной устойчивости НИСУ в символьном виде 59
2.2.1. Математический аппарат получения полиномиальных выражений произвольных степеней 59
2.2.2. Алгоритм получения символьных коэффициентов полиномиального выражения 62
2.3. Интервальные полиномы и их применение для исследования НИСУ 63
2.3.1. Подход Харитонова для исследования интервального полинома 65
2.3.2. Алгоритм расчета интервальных значений коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции 66
2.4. Аналитический метод исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ 67
2.5. Графоаналитический метод исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ 69
2.5.1. Математический аппарат графоаналитического метода исследования робастной абсолютной устойчивости 69
2.5.2. Алгоритм анализа абсолютной устойчивости НИСУ на основе графоаналитического метода . 70
2.5.3. Алгоритм анализа робастной абсолютной устойчивости НИСУ на основе графоаналитического метода 71
2.6. Графический метод исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ 72
2.6.1. Математический аппарат графического метода исследования абсолютной устойчивости 72
2.6.2. Алгоритм анализа абсолютной устойчивости НИСУ на основе графического метода 74
2.6.3. Алгоритм анализа робастной абсолютной устойчивости НИСУ на основе графического метода 74
2.7. Синтез последовательного корректирующего устройства 75
2.7.1. Общий подход для синтеза последовательного корректирующего устройства НИСУ 76
2.7.2. Алгоритм синтеза последовательного корректирующего устройства НИСУ на основе графического метода 79
Выводы к главе 2. 80
Глава 3. Применение разработанных методов для исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями 82
3.1. Применение графоаналитического метода для исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями 82
3.2. Влияние параметра Попова на области робастной абсолютной устойчивости 88
3.3. Реализация графического метода в программном комплексе «Годограф Цыпкина» 94
3.4. Применение графического метода для построения семейства модифицированных амплитудно-фазовых характеристик импульсной системы 98
3.5. Сравнительная оценка разработанных методов исследования НИСУ 99
Выводы к главе 3 101
Глава 4. Применение разработанных методов для исследования промышленных объектов 103
4.1. Исследование системы регулирования температуры сушильного шкафа 105
4.2. Исследование системы регулирования температуры внутри помещения 109
4.3. Исследование системы автоматического управления прижимом вальцов окорочного станка 115
4.4. Исследование радиолокационной системы сопровождения воздушных объектов 121
Выводы к главе 4. 128
Заключение. 129
Список использованных источников 131
- Особенности применения w- преобразования для исследования робастной устойчивости НИСУ
- Алгебраический метод получения полиномиального выражения критерия абсолютной устойчивости НИСУ в символьном виде
- Алгоритм анализа абсолютной устойчивости НИСУ на основе графоаналитического метода
- Применение графического метода для построения семейства модифицированных амплитудно-фазовых характеристик импульсной системы
Введение к работе
Актуальность темы. В современных промышленных производствах широко используются автоматические системы, которые выполняют те или иные функции по управлению самыми различными процессами. Для этих целей используются дискретные системы управления, применение которых варьируется от игрушек до современных технологических комплексов, в контуре которых находится ЭВМ. Так как в большинстве случаев эти системы являются нелинейными, исследование их необходимо поводить с учетом сопутствующих реальных нелинейностей, а также учитывая имеющиеся параметрические неопределенности, как сопутствующие, так и приобретаемые в процессе эксплуатации. Системы с параметрическими неопределенностями получили название интервальных систем (ИС). В современной теории автоматического управления одним из наиболее важных направлений является разработка методов и сследования робастной устойчивости, которая есть способность регулируемого процесса сохранять устойчивость в присутствии неопределенностей. Интерес к изучению задач исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости нашел свое отражение в многочисленных исследованиях российских и зарубежных авторов: Я.З . Цыпкина, Ю.С. Попкова, Г.В. Римского, С.В . Лучко, В. М. Муттера, А.Х. Гелига, В.А. Якубовича, Ю. Ту, Е. Джури, П. Видала, Р. Изермана, Б. Куо и др. В настоящее время известно много работ отечественных ученых в области исследования устойчивости систем управления: Бесекерского В. А., Харитонова В. Л., Колесникова А.А., Першина И.М., Чернышева А.Б., Гайдука А.Р., Веселова Г.Е, Попова А.Н., Колесова Ю.Б., Сениченкова Ю.Б., Пупкова К.А., Подчукаева В.А., Хлебалина Н.А. и зарубежных специалистов Тянь Юйпина, Со И.К., Фу И.K., Джонсона У., Прокопа Р. и ряда других ученых. Такие исследования можно осуществить на основе модификации существующих критериев абсолютной устойчивости, адаптировав их для анализа и синтеза нелинейных импульсных систем управления (НИСУ). Широко распространенные программные продукты MatLab, MathCad, Maple и другие не всегда способны решать поставленные задачи анализа и синтеза НИСУ. Поэтому необходимо уделить внимание разработке и использованию прикладных п рограмм, позволяющих разработчикам эффективно использовать их для решения указанных задач. Таким образом, задача разработки методов и алгоритмов, а также получения соответствующих критериев исследования робастной устойчивости НИСУ в условиях неопределенности моделей, позволяющая провести оценку их устойчивости является актуальной задачей, представляющей практический интерес.
Объектом исследования являются робастная абсолютная устойчивость систем, функционирующих в условиях неопределенности технологических параметров и условий внешней среды.
Предмет исследования – методы и алгоритмы для анализа и синтеза нелинейных импульсных систем управления в условиях интервальной неопределенности их параметров.
Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов для анализа и синтеза нелинейных импульсных систем управления на основе развития аналитических, графоаналитических и графических методов, обеспечивающих абсолютную и робастную абсолютную устойчивость этих систем.
Основные задачи исследования. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:
-
Исследовать причины возникновения неопределенностей в НИСУ и предложить алгоритм расчета интервальных значений коэффициентов числителя и знаменателя её передаточной функции ЛИЧ.
-
Разработать аналитический, графический и модифицировать графоаналитический методы и алгоритмы для анализа и синтеза НИСУ с монотонной нелинейностью и интервальными параметрами передаточной функции ЛИЧ.
-
Разработать алгебраический метод и алгоритм получения полиномиальных уравнений с символьными коэффициентами для исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонной нелинейностью.
-
Применить разработанные методы для исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ промышленных объектов.
Методы исследования опираются на методы системного анализа, классической и современной теории управления, z – и w– преобразования. При выполнение аналитических выкладок использовались пакеты MATHCAD, MAPLE, MAXIMA. Численное моделирование и компьютерные эксперименты проводились в средах MATLAB/SIMULINK, DELPHI и Qt.
Достоверность результатов вытекает из корректного математического обоснования предложенных методов и подтверждается соответствием теоретических результатов и результатов компьютерных экспериментов.
Научная новизна результатов исследования заключается в следующем:
-
Исследованы возможные причины появления неопределенностей в НИСУ и предложен алгоритм получения экспериментальным путем интервальных значений коэффициентов числителя и знаменателя ЛИЧ, позволяющий осуществить его реализацию для нескольких параметров, изменяющихся одновременно.
-
На основе исследованной математической модели разработан аналитический метод и программно реализован алгоритм исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями. Метод отличаются от известных использованием w – преобразования, сведением критерия абсолютной устойчивости положения равновесия импульсной системы с монотонной нелинейной характеристикой к полиномиальному виду, что позволяет получить харитоновские полиномы, численные значения корней которых свидетельствует о робастной устойчивости или неустойчивости исследуемой системы.
-
Разработан алгебраический метод и программно реализован алгоритм получения символьных коэффициентов полиномиального выражения из критерия абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями, отличающийся от известных возможностью вариации величины сектора, в котором расположен нелинейный элемент, а также вариацией параметра Попова. Впервые получены полиномиальные виды критериальных выражений с символьными коэффициентами. Предложенный метод позволяет проводить исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ высокой размерности.
-
Модифицирован графоаналитический метод и программно реализован алгоритм исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями и интервальными параметрами. Метод отличаются от известных использованием модифицированного метода корневого годографа и позволяет варьировать несколько параметров и получать области робастной устойчивости. Впервые получены области робастной абсолютной устойчивости НИСУ для различных значений параметра Попова.
5. Разработан графический метод и программно реализован алгоритм исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными нелинейностями и интервальными параметрами, обеспечивающий вывод модифицированных амплитудно-фазовых характеристик системы с интервальными коэффициентами и отображение их относительно прямой Попова, отличающийся от известного по структуре и количеству выведенных на комплексную плоскость амплитудно-фазовых характеристик ЛИЧ. Впервые получены совместные графические отображения семейства модифицированных амплитудно-фазовых характеристик системы относительно прямой Попова.
Практическая ценность исследования заключается в прикладном характере предложенных методов и алгоритмов.
Практическую значимость представляют следующие полученные результаты:
– разработано программное обеспечение, реализующее графоаналитический метод исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ на основе использования модифицированного корневого годографа, обеспечивающего построение на комплексной плоскости областей робастной абсолютной устойчивости для различных значений параметра Попова;
– разработано программное обеспечение, реализующее графический метод исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ и обеспечивающий вывод семейства модифицированных амплитудно-фазовых характеристик исследуемой системы и прямой Попова на комплексную плоскость;
– разработано программное обеспечение, реализующее алгоритм получения символьных коэффициентов критериального выражения, позволяющее реализовать исследование НИСУ высокой размерности.
Научные положения, выносимые на защиту:
-
Предложен алгоритм расчета интервальных значений коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции ЛИЧ, учитывающий причинно-следственную связь влияния условий эксплуатации на параметры системы управления, с целью исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ (Соответствует области исследования 4 паспорта специальности – Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации).
-
Предложен а лгебраический метод и алгоритм получения в символьном виде коэффициентов критериального выражения абсолютной устойчивости НИСУ, позволяющий без промежуточных вычислений определять численные значения коэффициентов, с целью проведения анализа и синтеза исследуемых систем. (Соответствует области исследования 4 паспорта специальности – Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации).
-
Предложен аналитический метод и алгоритм исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ, обеспечивающий вычисление корней харитоновских полиномов с целью проведения анализа системы с монотонной нелинейной характеристикой, которая соответствует характеристике реального нелинейного э лемента (Соответствует области исследования 4 паспорта специальности – Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации).
-
Предложен графоаналитический метод и алгоритм исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонной нелинейной характеристикой и интервальными значениями коэффициентов числителя и
знаменателя передаточной функции ЛИЧ, отличающийся выводом корней полученных полиномов на комплексную плоскость, что позволяет отобразить области робастной абсолютной устойчивости исследуемой системы для заданного значения параметра Попова (Соответствует области исследования 12 паспорта специальности – Визуализация, трансформация и анализ информации на основе компьютерных методов обработки информации, а также области исследования 4 паспорта специальности – Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации). 5. Предложен графический метод и алгоритм исследования абсолютной и робастной абсолютной устойчивости НИСУ с монотонной нелинейной характеристикой и интервальными значениями коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции ЛИЧ, отличающийся выводом семейства модифицированных амплитудно-фазовых характеристик ЛИЧ системы и отображением их на комплексной плоскости относительно прямой Попова (Соответствует области исследования 12 паспорта специальности – Визуализация, трансформация и анализ информации на основе компьютерных методов обработки информации, а также области исследования 4 паспорта специальности – Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации).
Реализация и внедрение результатов работы.
Результаты диссертационной работы используются в ООО «ДВ.ком» для настройки систем регулирования температуры административных зданиях и промышленных объектов.
Методические разработки были также использованы в учебном процессе кафедры вычислительные системы и информационная безопасность (ДГТУ) при чтении лекций и проведения практических занятий по дисциплинам «Автоматизация управления» и «Теория автоматического управления». Акты об использовании прилагаются.
Апробация работы. Основные научные и практические результаты докладывались и обсуждались на:
научно- практической конференции «Информационные технологии в экономических исследованиях» (Ростов н/Д), 2013год;
международных научно-технических конференциях «Компьютерное
моделирование КОМОД» (Санкт-Петербург), 2013-2016 годы;
International Conference on Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (MMAS'14) (Санкт-Петербург), 2014 год;
всероссийской конференции с международным участием «Индустриальные информационные системы» – ИИС-2015 (Новосибирск), 2015 год;
международном конгрессе по интеллектуальным системам и информационным технологиям IS&IT'16 (Дивноморское, 2016).
Публикации.
По материалам диссертации опубликовано 15 работ, в том числе: 6 статей в изданиях входящих в «Перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации», утвержденных ВАК, 1 статья зарегистрирована в международной базе Scopus, 8 публикаций в материалах международных и российских конференций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих в ыводов, списка литературы из 133 наименований. Основное содержание
диссертации имеет объем 130 страниц, содержит 59 рисунков и 13 таблиц. В приложениях приведены тексты программ и акты об использовании.
Особенности применения w- преобразования для исследования робастной устойчивости НИСУ
Построение области устойчивости для оценки влияния одного параметра используется какой-либо параметр системы. Полученный годограф отображается при изменений этого параметра на координатной плоскости.
Алгоритм построения области устойчивости для оценки влияния одного параметра состоит из следующих этапов [18]: 1. Полученное характеристическое уравнение разрешить относительно определённого параметра а, которое принимает вид A(p) = N(p) + cM(p) = 0, где а- варьируемый параметр, значение которого меняется в пределах обеспечения устойчивости системы. 2. Провести замену действительной переменной р характеристического уравнения на комплексную jco. 3. Полученное выражение N(jco) + aM(jco) = 0 разделить на вещественную и мнимую части. 4. На комплексной плоскости (оси Re, Im), построить кривую a = X(co) + jY(co)при изменении частоты колебаний со в пределах от 0 до оо. (Смотрите рисунок 4) 5. Построить зеркальное отображение полученной кривой относительно оси Re, т.е. дополнить её ветвью, соответствующей изменению частоты от -оо й 0. 6. Перемещаясь по полученной кривой от точки, соответствующей -оо к точке, соответствующей оо, заштриховать левую сторону кривой, получив область окруженную штриховкой, являющуюся областью устойчивости. 7. Для проверки берется одно из значений на оси Re и, используя один из критериев устойчивости, проверяется обеспечение устойчивости исследуемой системы. Рисунок - 4 Область устойчивости системы при однопараметрическом D разбиении Наиболее частым случаем является построение области устойчивости в плоскости двух параметров.
Для этого строится граница D-разбиения, которая делит плоскость параметров на две области: устойчивости и неустойчивости. Как правило, для этого используются переменные системы, имеющие наибольшее влияние на устойчивость.
Алгоритм построения области устойчивости для оценки влияния двух параметров состоит из следующих этапов [8]: 1. Полученное характеристическое уравнение разрешить относительно параметров г/ и к, которое принимает вид А(р, г], к) = т]К(р) + kN(p) +М(р) = 0, где т], к - варьируемые параметры, значение которых меняется в пределах обеспечения устойчивости системы. 2. Провести замену действительной переменной р характеристического уравнения на комплексную jco. 3. Полученные полиномы в выражение разложить на вещественную и мнимую части 4. Решить полученное уравнение, относительно TJ и к: к1 к где rj = А -М1 -м N А , к 1= А К1 N1 К2 N 5. Нанести штриховку для определения области устойчивости, руководствуясь следующим правилом: если при движении вдоль кривой D- разбиения в направлении возрастания со якобиан А положителен, кривая штрихуется слева, при отрицательном А - справа (рисунок 5). 6. Осуществить проверку правильности определения области устойчивости, для чего берется одно из значений находящееся внутри области и, используя один из критериев устойчивости, проверяется обеспечение устойчивости исследуемой системы.
Такие задачи встречаются в различных технических областях, например, для построения области устойчивости в плоскости параметров ки и к системы стабилизации угла тангажа, для построения границ областей устойчивости кольцевых нейронных сетей с ограниченным количеством нейронов.
Альтернативным данному построению области устойчивости является метод построения областей устойчивости по амплитудно-частотным характеристикам систем автоматического управления на основе анализа положительных вещественных корней алгебраических уравнений. При использовании данного метода передаточная функция замкнутой системы приводится к виду [20] V bx{s) + ab2{s) где, a2(s), b s), b2{s) - полиномы с вещественными коэффициентами, а-варьируемый параметр. Алгоритм построения области устойчивости для оценки влияния этих двух параметров состоит из следующих этапов: 1. Для определения граничного значения параметра а определяется множество частот Q, соответствующих точкам разрыва амплитудно-частотной характеристики, эквивалентной системе уравнений (Reb jco) + aReb2(jco) = О- jRe C/ш) lmb2{jco) - Imb jco) Reb20) = 0; { 1тЬ1исо) + 1тЬ2исо) = 0; { a = -Reb1(»/Reb2(»; 2. Определяют множество частот со, образующих вещественные неотрицательные корни первого уравнения системы, подставляя которые во второе уравнение, определяют множество граничных значений параметра а, при которых нарушается условие устойчивости. 3. Строится амплитудно-частотная характеристика и определяется множество интервалов устойчивости исследуемой САУ, которая имеет следующий вид (Смотрите рисунок 6)
Алгебраический метод получения полиномиального выражения критерия абсолютной устойчивости НИСУ в символьном виде
Применение символьного процессора, например, в системе MathCad, позволяет решить многие задачи математики аналитически, без применения численных методов и, соответственно, без больших погрешностей вычислений, что позволяет наглядно увидеть внутреннее взаимодействие используемых переменных. Рассмотрим применение символьных вычислений для получения полиномиальных выражений.
Математический аппарат получения полиномиальных выражений произвольных степеней В [87] показано, что передаточную функцию W (jv) можно представить в виде и и-1 Х 2(й /)+(2 2(й /)_1) W(jy) = M п , (2.6) у2(п-1) Yami 1=0 где /?»,ш»- полиномы четных степеней; g- полиномы нечетных степеней. Путем подстановки (2.6) в выражение (2.4) критерий абсолютной устойчивости одномерной системы сводится к следующему критериальному выражению[79] п п 1=0 1=0 п п -S(ev2(""/H)v]+S(w/v2(""/))(1+v2) 0- (2-7) 1=0 1=0 Таким образом, выражение (2.7) приводится к следующему полиномиальному виду [93] Р О) = hlBl(x) + h2B2(x) + A(x), (2.8) где А В В х)- полиномы, h=c\k , h2=c2qk, X = V2, сb с2 -коэффициенты получающиеся при приведении к моническому полиному. При известных значениях к и q задача анализа абсолютной устойчивости сводится к исследованию отсутствия вещественных положительных корней полинома. Передаточную функцию ЛИЧ можно также представить в виде w{jv) = M±lMl (2.9) a2(v) + jj32(v) Подставляя (2.9) в (2.4), после преобразований можно получить критериальное выражение в следующем виде[77] Щах(у)а2(у) + A(v)/?2(v))(l + v2) + 2q{ax(y)a2(y) + Рх(у)Р2(у)У - 2q{a2(y)Px(у) -ccjy)P2(y))v\ + + [a2 (v) + Pi (v)](l + v2) = 0. (2.10) Используя критериальное выражение (2.10), получим полиномиальные выражения в символьном виде для различных степеней п знаменателя передаточной функции. Для п=1 передаточная функция имеет вид W(jy) = jaiV + ao . Критериальное выражение (2.10) в символьном виде запишется следующим образом: Р(х) \ху2 = к\ахЪхх2 + (а0Ь0 + сф х + а0Ь0] + + Iqkla&x2 + (a0b0 + ajb - сф0 )JC] + (2-11) + b2x2+(b2+bl)x + b2. Для n=2 передаточная функция имеет вид w(v)=-a2v2+ v+a0 -b2v + jb + b0 Критериальное выражение (2.10) в символьном виде запишется как Р(х) х_у2 = к[а2Ъ2х3 + (-а0Ь2 + а2Ь2 + а1Ъ1 -а2Ь0)х2 + + (а0Ь0 - а0Ь2 + а1Ъ1 - а2\ )х + а0Ь0 ] + + 2qk[a2b2x3 + (-a0b2 + сф1 + ар2 - а2Ь0 - a2b1]x2 + (2.12) + (a0b0 + aj\ - а1Ь0)х] + [b2x3 + (й12 + b22 - 2b0b2)x2 + + (b02 + b12 - 2b0b2)x + Z 02 ]. Для n=3 передаточная функция имеет вид - jb3v - b2v + jb1v + b0 Критериальное выражение (2.10) в символьном виде запишется следующим образом Р(х) х_у2 = к[аф3х4 + (-аф3 + а2Ъ2 -а3Ъ1 + аф3)х3 + + (—а0Ь2 + аД — аф 3 — а2К + аФ2 а31\)х2 + + (а0Ь0 - а0Ь2 + сф1 - а2\ )х + а0Ь0 ] + 2.13) + 2дк[а3Ь3х4 + (-ар3 + а2Ъ2 - а3Ь1 -a3b2 + a2b3)x3 + + (—a0b2 — a0b3 + сф1 + ap2 — a2b0 — a2b1 + a3b0 )x2 + + (a0b0+a0b1-a1b0)x] + + [b32x4 + (b22 + b32 - 2b1b3)x3 + (b12 + b22 - 2b0b2 - 2b1b3)x2 + + (b02 + b12 - 2b0b2 )JC + b02 ] .
Приведённые выражения (2.11)-(2.13) позволяют получить полиномы для исследования абсолютной устойчивости НИСУ без промежуточных вычислений, а используя только известные значения коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции (2.9) а также значения к и q. В прилож.1 приведены в символьном виде полиномиальное выражение (2.10) для различных п.
Получение полиномиальных выражений вручную является сложной задачей, связанной с возможностью получения ошибочного выражения. В связи с этим была разработана следующая формула критериального выражения (2.7) уравнения в символьном виде [122], позволяющая пользовать ЭВМ i+k=2l i+k=2l i+k=2l+1 i+k=2l к uah (У2 +1) + 2Ф( Z иаіЬУ + Z &a,V) + SAA (v2 +1) = 0 (2.14) i,k=0 i,k=0 i,k=0 i,k=0 где ЗІ - коэффициенты числителя передаточной функции, bi - коэффициенты знаменателя передаточной функции [95].
Полученная формула критериального выражения в символьном виде, позволяет избегать промежуточных вычислений при проведении исследования абсолютной устойчивости НИСУ с монотонными характеристиками, что повышает точность проводимых расчетов на ЭВМ. Алгоритм получения коэффициентов критериального выражения в символьном виде (2.14) состоит в выполнении следующих этапов: 1. Запись передаточной функции исследуемой системы n-го порядка. Переход к выполнению этапа 2. 2. Получение суммы произведений коэффициентов числителя и i+k=21 знаменателя передаточной функции j];aA(v2+1) при коэффициенте і,к=0 к. Переход к выполнению этапа 3. 3. Получение двух сумм произведений коэффициентов числителя и i+k=21 i+k=2l+1 знаменателя передаточной функции (AV2+ ;a;V) при і,к=0 і,к=0 коэффициентах qk. Переход к выполнению этапа 4. 4. Получение сумм произведений коэффициентов знаменателя i+k=2l передаточной функции j AAO2 +1) Переход к выполнению этапа5. і,к=0 5. Формирование критериального выражения (2.14). Завершение работы алгоритма.
Таким образом, получение в символьном виде коэффициентов критериального выражения (2.14) открывает различные возможности проверки его строгой положительности для исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ, которые можно осуществить применяя либо аналитические либо графоаналитический методы.
В прилож.1 приведены коды программы, реализованной в среде Maxima, позволяющие получить критериальное выражение (2.14) для любой размерности передаточной функции ЛИЧ.
Интервальный анализ возник благодаря работе Л.В. Канторовича и сначала использовался как средство учета ошибок округлений при расчетах на ЭВМ. Интервальный анализ используется для исследования задач в математической теории управления допускающей естественную замену вещественных параметров на соответствующие интервальные значения, что оказывается адекватным с точки зрения практического применения. Этот анализ применяется для работы в условиях неопределенности с величинами, заданными допустимыми интервальными значениями. Основополагающие результаты в области интервального анализа были получены в работах А.Б. Куржанского [37], Ю.И. Шокина [106], Р. Мура [53], Е. Хансена [87] и др. [28, 91].
Алгоритм анализа абсолютной устойчивости НИСУ на основе графоаналитического метода
Будем считать, что синтезированное корректирующее устройство представленное в s- преобразования, имеет вид = a0+a1s1+...amms b0+b +..b„n s гдет п. Если применить z-преобразование, то передаточная функция D(z) запишется в виде а0 +axzl +... + а zm D{z) = bQ+bxzl+... + bnzn Переменные р и z связаны между собой следующим соотношением 1, Р = — Inz, (2.22) где Т0 - период квантования.
Более удобным способом проведения исследования импульсных систем аналитическим и графическими методами является билинейное преобразование. При использовании комплексной величины w, связанной с комплексной величиной z билинейными преобразованиями, известны следующие выражения [7] w = , (2.23) z + 1 При этом окружность единичного радиуса z - плоскости отображается на мнимую ось j v комплексной плоскости w, а область единичного круга \z\ = 1 на левую полуплоскость плоскости W.
Сделав подстановку значения z = е;ыТ, после соответствующих преобразование получим из (2.23) [7] где v = tg 0 - относительная псевдочастота. Синтез СУ - процедура определения структуры и параметров системы по заданным показателям качества управления. Для решения задачи синтеза должна быть известна передаточная функция объекта управления.
Результатом решения задачи синтеза должна быть определена передаточная функция последовательного корректирующего устройства.
Схема импульсной системы для исследования имеет вид (рисунок 19).
Структурная схема НИСУ с последовательным корректирующим устройством Обычно порядок синтеза систем управления состоит в следующем [104]: - задается математическая модель объекта (на практике это обычно модель, полученная на основе экспериментальной переходной характеристики объекта); – выбирается требуемый критерий исследования системы управления; – по модели объекта определяются структура и численные значения параметров алгоритма функционирования корректирующего устройства (регулятора), удовлетворяющие принятому критерию. Считается, что если модель достаточно близка к реальному объекту, а выбранный метод синтеза и расчеты выполнены, то исследуемая система будет работать без какой-либо существенной доводки. Однако, такой прогноз, как правило, не оправдывается. Объясняется это двумя причинами: – системным характером задачи получения математической модели объекта; это значит, что для формулировки критерия приближения последней необходимо располагать алгоритмом функционирования корректирующего устройства, для определения которого, собственно, и нужна эта модель; – практической невозможностью учета отклонения принимаемой в расчетах динамической модели корректирующего устройства от реальной (наличие импульсного преобразования сигнала на выходе корректирующего устройства, зоны нечувствительности, люфтов в механических сочленениях исполнительного механизма и т.п.).
Выход из сложившейся ситуации состоит в том, чтобы исследуемую систему управления привести к интервальному виду, учитывающему эти особенности. Решение такой задачи можно найти, используя графический метод исследования робастной абсолютной устойчивости.
Нули и полюсы передаточной функции корректирующего устройства могут быть выбраны на основе имеющегося нупольного портрета исследуемой системы, из которого определяются, куда и какие численные значения полюсов и нулей последовательного корректирующего устройства необходимо ввести для изменения траекторий ветвей модифицированного корневого годографа. Для этого необходимо ввести нули и полюсы корректирующего устройства влияющие на доминирующие комплексные полюсы передаточной функции ЛИЧ, поскольку длительность переходного процесса зависит от затухания близлежащих к мнимой оси полюсов, не компенсированных слишком близкими нулями. Причем близкие полюса уменьшают выброс, а близкие нули увеличивают его [83].
После этого осуществляется проверка исследуемой системы с введенным последовательным корректирующим устройством на абсолютную или робастную абсолютную устойчивость. В случае необходимости можно провести моделирование исследуемой системы в среде Матлаб для корректировки полученных значений.
Алгоритм синтеза последовательного корректирующего устройства НИСУ на основе графического метода Алгоритм синтеза последовательного корректирующего устройства устойчивости НИСУ на основе графического метода имеет следующие этапы: 1. Для исследуемой НИСУ с учетом расположения её нулей и полюсов выбираются соответствующие нули и полюсы последовательного корректирующего устройства. Переход к выполнению этапа 2. 2. Находятся передаточные функции исследуемой системы с учетом результатов строгой теоремы Харитонова. Переход к выполнению этапа 3. 3. Осуществляется проверка устойчивости линейной импульсной части системы для каждой передаточной функции второго этапа. Переход к выполнению этапа 4. 4. Для найденных передаточных функций строятся модифицированные амплитудно-фазовые характеристики системы Переход к выполнению этапа 5. 5. После построения всех амплитудно-фазовых характеристик проводится прямая Попова с наклоном 1/q, проходящая через точку -Ilk, расположенной на действительной оси. Переход к выполнению этапа 6. 6. Сделать заключение об робастной абсолютной устойчивости исследуемой системы. При отрицательном заключении осуществляется переход на этап 1, иначе завершается выполнения алгоритма.
Применение графического метода для построения семейства модифицированных амплитудно-фазовых характеристик импульсной системы
Исследование конкретных промышленных объектов и систем автоматики связано со значительными трудностями представления их математической модели в связи с особенностями их функционирования и тем, что неопределенности, встречающиеся в таких системах, имеют некоторый диапазон разброса значений, который необходимо учитывать.
В настоящее время методами математического моделирования проводят исследования таких сложных нелинейных систем, к которым можно отнести процессы теплообмена в отапливаемом помещении [88]. Применение вычислительной техники для исследования динамики процесса отопления помещения и возможных методов регулирования является эффективным и удобным инженерным методом. Математическое моделирование позволяет исследовать систему при изменяющихся ее параметрах, а также возмущающих воздействиях, что позволит использовать разработанные методы для регулирования температуры помещений.
В химической промышленности широко используют системы двухпозиционного регулирования температуры процессов восстановления и сепарации губчатого титана. Вопросы повышения качества двухпозиционного управления температурным режимом процессов восстановления и вакуумной сепарации исследованы недостаточно, что существенно снижает технико-экономические показатели производства. Поэтому актуальной задачей производства губчатого титана является разработка методов построения интервальных моделей объектов в условиях неопределенности, а также методов синтеза робастных регуляторов [28]. Аналогичные проблемы возникают при управлении активной мощностью гидроагрегата ГЭС с поворотно-лопастной турбиной. Активной мощностью управляют путем изменения величины открытия направляющего аппарата (НА) и угла установки лопастей рабочего колеса (РК) турбины за счет формирования и подачи управляющих воздействий на сервомоторы механизмов открытия НА и разворота лопастей РК. Процессы износа и старения оборудования влияют на характеристики системы управления, что подтверждает анализ данных, полученных с Волжской ГЭС, показывающий, что точность работы системы открытия направляющего аппарата на агрегатах, недавно прошедших капитальный ремонт с заменой золотников и сервомоторов, намного выше по сравнению с гидроагрегатами, находящимися длительное время в эксплуатации (1-1.5% против 18-20%) [9].
В лесном комплексе специфическое место занимает окорка лесоматериалов, без которой комплексная и эффективная переработка древесного сырья невозможна. Это было доказано за последние годы на примерах частых остановок многих импортных технологических линий при эксплуатации в российской отрасли, а также заметным снижением эффективности производства вследствие пренебрежения такой операцией.
Для очистки древесины от коры в отечественном производстве и мировой практике применяются роторные окорочные станки (РОС). Проблема научного обоснования воздействий и нагрузок в конструкции РОС в зависимости от параметров лесоматериалов, технологических параметров, конструкций рабочих органов становится весьма важной в случае совершенствования станков на базе новых типов приводов с системами автоматического регулирования. Однако, как показывает анализ, такой фактор, как неопределенность, остается практически вне поля зрения исследователей [67].
Радиолокационные системы предназначены для обнаружения и сопровождения воздушных объектов, как на малых, так и на больших высотах. Для этих систем характерными являются неопределенности зависящие от погодных условий (ветровые и температурные нагрузки), а также априорная неопределенность (внутренние помехи) [8]. Поэтому в инженерной практике требуется разработка САУ, предназначенных для обнаружения и измерения радиолокационных сигналов, обеспечивающих функционирования радиолокационной системы в условиях априорной неопределенности и неопределенности параметров внешней среды.
Все такие промышленные объекты объединяет то, что в математической модели, представленной в виде передаточной функции, можно учесть сопутствующие неопределенности в виде коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции с интервальными значениями. Исследуем некоторые описанные здесь промышленные объекты разработанными методами.