Разработка машинно-ориентированных методов анализа устойчивости и качества в пространстве параметров систем автоматического управления Грушун, Андрей Иванович

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ 'ШШ. Современные САУ представляют ,- збой слояныо динамические систем, обеспечивающие высокую точность и качество процессов.управления, для получения требуемых динамических Хйракте-рисгик САУ проектщхэвщику приходится находить компромиссные решения, так как требозания к точности и прямым показателям качества могут вступать в гдажние противоречия. Необходимость преодоления этих противоречий определяет актуальность разработки эффективных методов параметрического анализа и синтеза САУ. Основой таких китолов является использование при проектировании областей со значениями параметров, 'Соответствующих различны» скалярным показателям устойчивости и качества. Исследование атих областей позволяет отделить во?) совокупность параметров, соответствующих требуемым ддаами-ческим своЛ^тзам. Яри зтом решение монет осудесталяться путем построения раз:йгтных областей в пространстве параметров САУ, пере-

сечение которых дает область, удовлетворяющую .чиогим критериям (критерию устойчивости, гарантированных заласон устойчивости, колебательности, ст( єни устойчивости и др.). Построение таких областей - слоюая задача-, которая решаете? ч сбеем случае метегоми перебора, то есть путем приблгаизннсп замени ю...'ла.уадьного мзсаюстьа значений nspsw "pes хенеткм к перебора злеквнтол этого іпюаества. Не..їда перебора хорего известны инженерам и обладают больаей наглядностью. Отметим, что, нес» ря на многечкелеет'чз разработки таких методов (Воронов А.А., Дидук Г.А., Макфардейн А., Солыг.щэв Р.И., Топчеев Ю.И.), они в ряде случаев имеют "невысокую точность, ориентированы на исследование упроченных моделей, гребуиг большого объема вычислений и затрат ресурсов ЭВМ, допслялталЕого неформального анализа. Также для &гих методов во ^-пгкает задача выбора нага кзмензгом я продельних зезчєікй частоти.а перебираемых параметров, не : вищая обш*го удовлетворительного реиения. Высокие требования к эффективности проаессоз управления призедят х кзо!".:эд2моста ус-логнеяия динамических моделей н устройств узравленп.-- Поэтому при рэгекии задач построения областей у-.тоЯчпвости и качі.чітЕв в пространстве параметров'С реализация на ЭВМ указекка п^г~.еборг ». методов мадоэфТнкг.иша. Следовательно, актуальной является разработка обаих непереборних напянно-оряентировэнных методе з исследования устойчивости л качесты^;. 5 пространстве параметров С*У, свободных от вкЕэперечислэнних недостатков или значительно их .гкеньгап-якх. Нгправлтаие рооония поставленных задач связано с проблематикой знакоопределенности вещественных рацаонашшх функций (Вулга- . коз Б.В., Нееров К.В., Сильяк Д. Д.). Разработанное і рамка^-., этой проблематика подхода-и метода реиения задач анализа частота неравенств распространены на рохзняо задач построения областе.* устойчивости и кгчестза в простраястае параметров САУ.

МЕТОДУ '-."СЛЕДОВАНИЯ. Пси і..пении поставленных задач испельзо-вше метода теории автоматического управлезшя, теоріга функция комплексной переменной, линейной атгебры, теории мнохосгв, вычислительной математики.

КАУЧ АЯ ПСВИЗНА. В диссертгцея разработан обдай подход решения задач параметр: .ескога исслздозг "ия устойчивости и качества і'АУ на ЭВМ, заюжччЕцийся в определении и анализе мнояоетв еєиєствєншї решении специаяьиш гг„.глнсмязльних уравнений и систем полкномиаль-а.;.ч ург»"''''яий. у нотруируемих з соответствии с содержанием задачи. R-M"^J^K9CTEa состоят из значений параметров СУ, яолкостыс ояреде-

лияцйх решение задач устойчивости и качества, свободное от недостатков традиционного подхода. На эт.чпе теоретического определения Рнскижсгв некоторые их элементы могут бить определены на основе , известных теоретических результата;. Для задач построения областей гарантированных запасов устойчивости в пространстве параметров САУ теоретическое определенна элементов Я-меокэств получено впервые. Этап построения и анализа элементов Е-шюхзств связан с необходимостью разработки специальных вютслительных процедур, для решения задач параметрического тсследовл-йя устойчивости и запасов устои-чимста САУ, возникаодж па згом этапе, в диссертант разработаны "специальные аналитические пресСразования.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. 1. 'Разработана метода г вычислительные влгоратма, позволяем поеыст.ть зйекггЕйэсть параметрического анализа » синтеза на ЭВМ ішроког; класса слоніьа САУ. 2. На основе методов, предложенных в оіссетлг:,ции, разработано математическое, лингвистическое и программнсе обеспечение САИ устойчивости и качества 'САУ.

ВНЕДРЕНИЕ РЕЗШШОБ. Результата.исследовании нашш применение в практике проектирования САУ в СКВ "Прибей"; в разработке программных систем параметрического анализа САУ по госбюджетной теме "Гранит" N гос. регистрации 0193UQ07446; в цикле лаборатории работ и курсовом прс«ктированаи го курсам "Теория автоматического управления", "Прсегс'лфованио автоматических и телемеханических сие тем", "Автоматизация проектировали систем управления" и "Теория цифровых систем йві'слатического управления" (департамент технической кибернетики Севастопольского приборостроительного ткститута).

АПРОБАЦИЯ РАБС .1.! Научные результаты и основные положения робота докладывались и спадались на школе-семинаре'"Автоматизация проектирования 'информационных а управляющих систем" (Севастополь, 1S92); I Украинской научно-методической конференции "ТЭКАВТОМАТЮИ 93" (Алушта, 1993); студенческой научно-техничесжоя конференции. "Теоретическая и прикладная информатика" (Донецк, 1993); научных семинарах департамента технической кибернетики Севастопольского приборостроительного института. '

ПУБЙКАЦИ*.. По материалам диссертации опубликовано 5 печатан работ. Кроме того, содержание работы отражено в 2 отчетах по НИР, выполненных департаментом по госбюджетной теме.

ОВЬЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертационная работа содерют введение, чв'їіфе раздела, заключение, список использованной ли-

тературы 23 93 нзккеновадаЛ, .приложение. Осксзаая часть работа изложена на 95 страницах маиінописяого текста л содержим 2-3 ри-

Су«К03.

Во введении сформулирована научі і проблема, цель рн.бота, объект к освовные задачи исследования, г&дщаємїе научны* пслоїй-ния, краткое с^дврьамле ра&долий диссертации, другге обяаате.чъньге сведения.

В разделе 1 проведен анализ современных М9^г".>дсз исследования на ЭВМ устойчивости и качества в пространстве параметров САУ, на базе» которого систематизирован¹.! ограничения и нел>статки этих методов. На основе теореткко-мнохэстзеияого подходз осуществлена постановка задача ясг едовшия устойчивости к качеств в пространстве паршетров линейных САУ. Дано определено. Н-мяокэстз к продлокен общіЯ подход к исследованию ва ЭЕМ устойчивости и качества в прост-раь^таэ параметров САУ. Суть всех методов сводятся к аналізу частотных иэравенстз для рздиояальлых функций, гостро.- '.чих специальным образом дій каждого из методов, В смя очередь ..сследовЕние частотных кер'г.ненстз проводится ш эсноел анализа вещественных, нэ-огрицательных корней специальным образо:.! "остроенни: толп. :.ios. Рассмотрены ойда мутоды отделения ваяестве&шг. корней голикомов л развит метод вычисления векественках корней к их краттстяй, наиболее приемлемый для рааюкыя рассматриваемых задач.

В разделе 2 на основе общего подхода к применению 3-мнсівств рззработшш методу построения областей устойчивости ляьейнкх непрерывных САУ по параметрам, линейно входящим з характеристический, полином. Предложено 'ОбоЗденЕе этих методов на оди., класс '««прерывно-дискретных САУ.'

В раздело 3 предлоке нк методы построения областей гарантированных запасов устойчивости по амплитуда, и фазе в пространства пэ-рамлтроз.ли^ашх САУ, но -рэоувдиэ построения годографов Нійквяста а дикций слеучния вдоль транш; указанных областей, а основанные на оодем подхода, зжлглатдзмся в построении специальных систем лола-нсмиальных уразнени!!, вещественные реаеная хоторух полностью отро-Д'іля^т рзїіение задача. Предлск'чо обобщение эят методов на одан класс непрегыаяо-^юкретяых САУ.

В разделе 4 преид: 'агстся решения задач, обеспечивающих разработку эффективной САПР САУ,-математическое обеспечение которой основали ко :.:отол»у. предложенных в разделах 1...3, а также рассмат-рк^- чется применение разработанной САПР САУ ^пя анализа устойчивости

-в-

и кичества линеаризованного электропривода промышленного робота КМ-25.

В заключении сформулированы репультаты диссертадоонной работы, выносимые Еа защиту.

В приложении предст.эвлэаы акт! о внедрении результатов диссертация, приведены характеристики основных подсистем разработанной САП? Ш, а тага» распечатки результатов решения практических задач, на которые есть ссииаі в осзсвном тексте диссертации.

СОДЕИШет РАБОТЫ

В работе проведен ітьлиз эдествуигих методов параметрического анализа на ЭВМ усгоЯ'швост»; к запасов устойчивости САУ. Похаза-»і ограничения на решение задави' построения областей .устойчивости на ЭВ1 с помощь» известных но'мдов:'. проверяли устойчивости н узлах некоторой сєткіі; выходом на границу устойчивости и еле-ханиам вдоль нее; методом классического Д-разбиения; использованием интервальных гюлшгамои к интервальных матриц; методом робастного Д-разбиения. Показано, что первые три метода в большинстве случаев требуют больших затрат времени ЭШ, сталкиваются с проблемой выбора вага изменения и згедельных значений частоты в перебираемых параметров и.не являются достаточно надеяными. Последние два метода представляют собой аэше перспективные направления, ориентированше на линзйшй непрергдаие САУ и не доведены а настояяеэ время до широких инженерных пршожевий. Рассмотрено, что задача построения областей гврантироваїшіх запасов устойчивости САУ в настоящее время

решается грзфо-анапигсгческими методами и только для пристых систем, метода построения тш'.,. областей на ЭВМ практически не разработаны. Поставлена задача разработки новых методов построения областей устойчивости и запасов устойчивости, свободных от недостатков известных методов. Рищениа атой задачи предложено осуществлять на основе общего подхода, основанного на построении и анализе Н-мно-

хеств. Предложена методика исследования на ЭВМ устойчивости и-качества т» 'лространстве параметров САУ.

fc. ...глове применения И-мводаета рввены следупдие задачи. Во-первых, предложен непереборний метод построения областей устойчивости характеристического полинома САУ, линейно зависящего' от парамьтра а:

Ч(р)-а(р)кй(р)

Реоенае задачи предложено осущэ сталять на основе применения Ч-множеств для опредолестя границ G^gj)^¹ параметра а 'Ж<ях, что во всех точка^- хааюго интервала aa(g,g_{+1) характеристический полином удовлетворяв?_чши неудовле~воряе? условию устойчивости.

Элементы Р чножестив определяется ураїш&нйе.і

Ira {-a(/oj)/b(Ju)))=0 (1)

Для применения облиго подхода к определению, элемс.-лса R-шогаств уравнение (1) сведено к полиномиальным уравнениям а веаестаонЕой области:

с^ьоР^с^^-О. (2)

iM'J^Bsr^₀z_li^t-d; (3)

где a(Ju)«-a(Jw)/b(Ju) представлено в виде a(Ju)=u(

U(_U(U)/2('J), 0(u)=C_r((i))/Z(U). C_u(^)=^¹^^. Х=*Л

Ведестззкше неотрицательные корни и их кратности у; їяисйг (2)

"о "^{(uel^,ftol^J,M ^{а (3)} К "^{(шзІ ^йгІ ^}>ЇЇі определяют R-мно-жвство. Искомые граш^л интервалов устойчг-остя опре;;.; тате, по. элементам К-мжяеств соотношением: gn=He «.(и,-,).

Предложено ооо&дгнче этого метода на случаи построения областей устойчивости САУ з пространстве дзух ц трех параи2Т}ов, от которых линейно зависят, коэффициенты характеристического пллинэка. Для построения областей устойчивости САУ в пространстве ізух -и трех параметров, в зависимости от особенностей решаема з;ушч, предлагаются несколько способов', ориентированных н_ иссоллование малинной графики ГОВЫ. Суть всех способов сводится к многократному построения границ tg^Tfi^{1 по} одному из параметров при фиксьтровал-ных других.

Зо-втср.л, преддохвнм "втойї построения областей гарантировав. них атасов устойчивости по Фазе и амплитуде в пространстве параметра, ОТ КОТОРОГО ЯШойНО ЗаВИСЯТ К03фІГ.ЩИЄНТН полиномов чисжтте-ля и знаменателя ПФ-ии прямой цепи СЛУ. Единственны;., известным средством решения -этой, задачи и" Эй* является перебор значения еэ-раметра, а.также построение а анализ для каждого такого значения годографа Найквиета. Пр(. дагаемые методу не требуют построения телеграфов Найкзистз.

оплаче резбі-тоя и;я САУ со структурной схемой вида:

u(p) е(р)

- )

У(р>

Рис. і.

.<4)

W(]),pj- —— —-

Pa, ,V)*OgiP) В (*) р - варьирувмцз параметр.

Решение задачи построения областей гарантированных запасов устойчивости по фазе закупается п том, чтобы указать интервалы

п_й ^в1в I' Рщх (^1*1 ^И!!*«^9Нвш-' параметра р такие, что для лкЗого P*^mln (* ^ияг t* ^САУ " переда точной функцмэа прямой цепи (4) СЧла устогчивог'и ойяад uia загсом устойчивости го фазе не мэньшш чем ф₅. По критерию На1!:*вис?э, для системы устойчивой в разомкнутом состоянии это означает, чго частотная годограф *(/u,P)t р* ^mia l^: Аа« 0 ^т *^огжя оіватнвать точку'(-1; J0) и пересекать дугу 7 окружности едшжчного радиуса, соответствующую центральному. углу (П-чр_э; Т1щ_а) (рас. 2).

т 1йЦЛ),р> f 10ЦМРУ

/Rei»(MP) -W(MP)

(MP)

Рис. 2. Рис. 3.

Для системи, неустойчивой в разомкнутом состоянии, для всех Р* (Р_{ю1п t}; Ртах () чгстотныи годогр&ф я (MP) не должен пересекать дугу 7 и должен охзатывать точку (-1; J0) соответствующее число раз .(рис. 3).

предлагается решение поставленной задачи на основе применения й-^ножеств осуществлять в три этапа. На первом этапе определятся интервалы устойчивости U»( (^ {5 Чпах V^}(-1 ^D0 ^Р^ТРУ Р- Н⁸ второе этапе, ваг основе применения R-мибжеств предлагается осуществить разбиение всевозможных значении параметра р*(-п; «) аа интервалы G»<_{+1>>^f₁, на каждом из которых частотный годограф 1»(МР). Р-П. ,Б_г+1) Поресекаот дугу. 7 п раз. На третьэи этапе

-и-

or.. зделяется подмножество Гс<3 интервалов <_aju ( ^_mliS t^tlf саздни из которых соответствует числу пересечений п_{»0.'очевидно, .то множество точек ДОпР определяет рэвение поставленной задачи. Значения <в{>(5^4 определявдиэ множество интервалов О, соот-Е- тстьуг- изменению числа пересечении годографа К/и.Р) о дугой 7-Л,:.- определения этих значених предлагается не строить многократно

" "чс. >тина годограф, а использовать R-множвство частот О, соотавт-с'-ву>' лх изменению числа пересечений годографа 1(Л>.р) о дуто)! 7«

\".-л)*'ін. : множества Q моею'развить на два подмножества СЮ,ЦП_г. Частоты и>с0₄ соответствуют прохождению годографе хотя см через один конец дуги 7- Частоты и«О_г соответствуют хасани» годогтхфа дуги 7~(ряс. 4).

TMiMfi)

1ш*(Л>,0)

аеИ(Л>,0) W(MP)

RewTMP)

Рас. 5.

Представим ПФ (4) в заде

где u(u,p)-c_u(u>,«)/z(w,ft>, w{ii),f)-c_T(w,p>/z(u,p>.

Значения ₍ l'jfj¹ границ параметра 0 определяются совокупностью
решения двух систем уравнения. Первая система уравнения позволяет .
вичислить все граничные значения параметре piu),wQ_t, при которых
годограф W(/u,0) проходит хотя бы через один конец дуга 7 и имеет
вид ' _г

йе чмр)«Рі

(6)

где Ф»соэ(П+<р_а).

Вторая система уравнении вычисляет все значения параметра Р(ы), при которых годограф W(jw,0) имеет точки касания как с дугой 7 на частотах w«fi₂, так и с остальной частьв окружности единичного радиуса. Иными словами, эта система определяет все значения параметра р, при которых годограф W(Ju.P) имеет точки касания, но не Пересе-

чонкя с окружностью единичного радиуса. Тогда при изменении яолу-чягсда р на ^"МЗ годограф W(Ju,p) ксэтт или не пересекать или пересекать окрукностъ единичного радиуса, то есть попадать в залрет-киа сектор, задаваемый дугой ч. Точки касания могут оііїь зяданы сл^с ушзя условием: производная окружности единичного радиуса равна производной годографа W(Jw,0>. А.-алитическу» зап..»-последнего выражения можно получить, применяя теорема о дифференцировании неявных функций и 'Фунтам? уеденных параметрэтзсхи. С учетом этого, вторая И'стемэ уравнения имеет иід

u(w.0) du(o,p)

a . .;

. |W(/u.0)|*-i .-o

"эсение j.: дачя построения областей устойчивости САУ по акпла-туде заключается з том, чі.Ді указать інтервали ^(^ ^

*Wjc {*^}{=і ^хзм^^нйгая перемеїза Э тзкке. что для любого IMft^ jl fyaax't' ^{САУ с} ^ прямей цепи :4) била устойчивой а обладала заласа-ии устойчивости по а: ,-атуде ье кбньпими чей Аз, и Ал₂, где Аз, -задьнний гьлви устойчивости по амплитуде спрага от точки (-;: JQ), оаз,< (рис. ">; Дз₂ - заданягй запас устойчивости по амплитуде слзв'ї от точки (-1; JO). Шз_г<» (рис. 5). По критерию Найхвиета, для слетев устойчивой в разомкнутом состог та это означает, что частотный годограф W(Jw,0),Mf.^ ₍: fi_max () не должен охватывать точку (-і; /0) а пересекать ч.-резок "у, у=1-і-кз_г;-1*із_г 1 Еєдествеа-ио* отрицательной полуоси комплєуснои плоскости (рис. 5). Для системы, НеуСТОЙЧІІЗОЙ'В разОМКНУТОМ СОСТОЯНИИ, ДЛЯ BtdX f^{^_Dln {!