Содержание к диссертации
Введение
1. Разработка энтропийной модели рынка труда с мобильными предпочтениями 10
1.1. Основные предположения модели 10
1.2. Эволюция предпочтений на рынке труда 17
1.3. Равновесная структура занятости 27
1.4. Параметризация модели 34
2. Разработка методов исследования стационарных решений модели 43
3. Разработка метода оценивания модели и оценивание модели на реальных данных 52
3.1. Описание данных 52
3.2. Регрессионная модель 52
3.3. Выбор методики оценивания 54
3.4. Процедура оценивания 63
3.5. Результаты 67
Заключение 73
Список использованной литературы 75
- Основные предположения модели
- Эволюция предпочтений на рынке труда
- Описание данных
- Регрессионная модель
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Проблема безработицы остается одной из наиболее острых экономических и социальных проблем, как в развивающихся, так и в развитых странах. Хотя безработица - неизбежное явление, издержки, которые несет общество вследствие безработицы, могут быть существенно снижены. Для этого необходима грамотная государственная политика в сфере труда, которая требует умения прогнозировать ситуацию на рынке труда и знания факторов, влияющих на нее.
Одним из инструментов такой политики могут быть ограничения на заработную плату или льготное налогообложение различных категорий труда. Прогнозирование того, как подобные инструменты повлияют на структуру безработицы, требует знания механизмов конкуренции между различными категориями работников на рынке труда.
В существующей литературе (в основном, западной) обычно формулируются гипотезы, описывающие такую конкуренцию между отдельными категориями рабочей силы, после чего эмпирически оцениваются соответствующие коэффициенты (эластичность спроса на труд отдельных категорий работников, коэффициенты замещения). Рынок труда при этом не рассматривается как единая система, и не делается попыток выявить общие для всех категорий труда законы, по которым развивается рынок. Это приводит к тому, что полученные закономерности справедливы лишь для отдельных категорий труда.
Таким образом, весьма актуальной является задача построения модели рынка труда, которая описывала бы динамику рынка труда в целом и была бы пригодна для прогнозирования структуры занятости и безработицы в
краткосрочном и среднесрочном периодах, в том числе в ответ на применение различных инструментов экономической политики. При этом одной из важнейших проблем является повышение точности прогноза.
Цель работы
Основной целью настоящей работы является построение модели, которая описывала бы динамику когортной структуры занятости и безработицы, но при этом была бы построена и оценена таким образом, чтобы можно было избежать ошибок спецификации модели, негативно влияющих на точность прогноза. Второй, не менее важной для повышения качества прогноза, целью является выбор из всех возможных методик оценивания наиболее эффективной, дающей наиболее точные оценки. Наконец, третья цель работы состоит в выявлении и анализе характерных черт рынка труда стран Западной Европы путем анализа полученных оценок.
Для достижения этих целей в работе решены следующие задачи:
Построена модель взаимодействия агентов на рынке труда, позволяющая представить рынок труда как макросистему, подчиняющуюся статистике Ферми-Дирака.
На микроуровне (для отдельного агента) построена модель эволюции предпочтений работодателей относительно работников на рынке труда.
Полученные результаты агрегированы в рамках модели рынка труда с энтропийным оператором, а сама модель параметризована.
Найдены условия, при которых модель имеет стационарное решение.
Построена нелинейная модель регрессии среднего, найдено преобразование этой модели, позволяющее получить состоятельные оценки параметров с использованием взвешенного нелинейного метода наименьших квадратов (ВНМНК).
Найдено асимптотическое распределение ВНМНК-оценки, с помощью него построена асимптотически эффективная оценка.
Построен алгоритм поиска эффективной оценки.
Определена наиболее корректная спецификация модели, произведено исследование прогностических свойств модели.
Проанализированы полученные оценки параметров, выявлено наличие некоторых черт, характерных для рынка труда стран Западной Европы
Методы исследования
В данной работе использованы методы теории макросистем, статистической физики, теории вероятностей, эконометрики, теории оптимизации.
Научная новизна работы
Научная новизна работы состоит в следующем;
I. Модель рынка труда с энтропийным оператором получена как следствие сделанных на уровне отдельного агента предположений относительно его поведения на рынке труда и последующего агрегирования полученных для отдельного агента результатов. Полученная модель пригодна как для исследовательских целей, так и для целей прогнозирования.
Получены условия существования стационарного решения для этой модели.
Получено асимптотическое распределение ВНМНК-оценки для случая, когда зависимая переменная есть вектор, а не скаляр.
Построена асимптотически эффективная ВНМНК-оценка для этого случая.
На рынке труда стран Западной Европы выявлены и оценены следующие эффекты:
отрицательная связь между уровнем безработицы и уровнем заработной платы в когорте;
частичная ориентация рабочих мест на относительно узкий половозрастной диапазон;
амортизация человеческого капитала.
Практическая значимость работы
Построенная в работе модель, а также алгоритм поиска эффективной оценки для параметров данной модели могут быть использованы для прогнозирования структуры занятости и безработицы в развитых странах. Кроме того, построенная модель является «рамочной» моделью для дальнейших исследований. Незначительная модификация модели путем введения в функцию ценности новых эффектов может быть использована для их оценки и оценки их значимости (например, для оценки влияния риска ухода в декретный отпуск на вероятность трудоустройства у женщин).
Полученная в работе оценка нормы амортизации человеческого капитала может быть использована для оценки нематериальных активов, а также для калибровки экономических моделей с человеческим капиталом.
Основные предположения модели
В каждый момент времени структура занятости в экономике определяется взаимодействием спроса и предложения на рынке труда. Спрос на труд определяется решениями работодателей относительно того, какое количество работников является оптимальным в данный момент, их предпочтениями относительно работников с различными характеристиками и т.д. При этом, конечно же, величина и структура спроса на труд зависят от того, каков размер установившейся на рынке заработной платы для различных категорий работников, а также от множества других факторов, среди которых можно выделить ожидания работодателей относительно ситуации в экономике в будущем, а также то, в какой стадии делового цикла находится экономика.
Аналогично, величина и структура предложения труда определяются количеством и структурой трудоспособного населения и решениями потенциальных работников относительно трудоустройства, которые также зависят от преобладающей на рынке структуры оплаты труда и других факторов.
При построении данной модели не ставится цель определить уровень заработной платы, величину спроса на труд или структуру предложения труда. В данной работе нас интересует распределение рабочих мест по когортам, а именно, по когортам, определяемым полом агентов и датой их рождения. Иначе говоря, необходимо определить когортную структуру занятости в равновесии и факторы, ее определяющие. Поэтому величина спроса на труд задается в модели экзогенно, точно так же, как и когортная структура предложения труда.
Заработная плата и прочие условия оплаты труда, в явном виде не присутствуя в модели, неявно предполагаются неизменными в течение каждого периода. Кроме того, предполагается постоянство «нормальной» структуры оплаты труда (т.е. отношения средней заработной платы работников данного возраста и пола к средней заработной плате по всему рынку труда) от периода к периоду, хотя одна из спецификаций допускает временные отклонения от этого профиля (см. ниже).
В таком случае, основной переменной, которая будет определять поведение модели, будут предпочтения на рынке труда (строгое определение понятия «предпочтения» для данной модели будет дано ниже). Их динамика будет интересовать нас в первую очередь. Зная ее, можно будет определить динамику занятости.
Таким образом, экзогенными (заданными) переменными модели являются количество рабочих мест в каждый момент времени, а также структура предложения труда. Эндогенными (определяемыми внутри модели) переменными будут предпочтения работодателей и структура занятости.
Такой выбор вполне оправдан для целей прогнозирования. Прогнозы уровня занятости (количества рабочих мест) наряду с прогнозами других макроэкономических параметров регулярно составляются государственными и частными аналитическими агентствами. Распределение трудоспособного населения по полу и возрасту может быть спрогнозировано на основе данных о составе населения, структуре миграции, смертности и т.д., а также данных по уровню участия (participation rate, доля числа агентов, зарегистрированных как работающие или безработные в общей численности категории) в каждой категории населения.
Общий вид модели
В наиболее общей постановке модель выглядит так. На рынке труда присутствуют два типа агентов - работодатели и наемные работники. В каждый момент времени работодатели обладают определенным количеством рабочих мест, на которые приходят работники из числа тех, что в данный момент находятся на рынке труда. Мы будем считать, что число рабочих мест всегда меньше, чем число работников, т.е. дефицита рабочей силы не наблюдается.
Всего на рынке в момент времени t присутствуют Nt работников. Рабочая сила не является однородной, каждый работник характеризуется конечным числом параметров, что позволяет объединить всех работников, обладающих одинаковыми характеристиками, в т когорт. Будем считать, что внутри каждой когорты работники абсолютно идентичны.
Работодателей характеризуют предпочтения относительно работников. При этом на рынке преобладают определенные тенденции в оценке рабочей силы.
Эти тенденции будем моделировать следующим образом. Проведем мысленный эксперимент, в котором произвольно выбранный работодатель принимает решение относительно того, кого взять на рабочее место, причем он не ограничен в выборе работников, т.е. может взять на работу любого участника рынка труда.
Эволюция предпочтений на рынке труда
Как говорилось выше, предпочтения работодателей на рынке труда подвержены постоянным изменениям. Вообще говоря, такое изменение предпочтений у различных работодателей может происходить в различных направлениях, то есть для каждой пары агентов і и j существуют работодатели, изменяющие предпочтения между ними в пользу / , и работодатели, изменяющие предпочтения в пользу j. Более строго, будем рассуждать в терминах априорных вероятностей р Рассмотрим отрезок времени [?;f + Af], Будем считать, что этот отрезок достаточно мал, и изменения в системе на этом отрезке незначительны. Рассмотрим пару агентов / и j, каждый из которых присутствует на рынке в течение этого отрезка времени. Тогда каждой такой паре соответствует пара противоположно направленных и, вообще говоря, положительных потоков вероятностей K J и it j t, описывающих изменение предпочтений работодателей между агентами / и j - для части работодателей в пользу /, для части работодателей в пользу j.
Далее учтем тот факт, что на отрезке [t;t + At] часть агентов приходит на рынок труда, а часть агентов покидает его. Тогда, с одной стороны, вероятности p j у остальных агентов увеличиваются за счет того, что работодатели переориентируются с агентов, покинувших рынок, на оставшихся, с другой стороны, эти вероятности уменьшаются за счет того, что вновь пришедшие агенты привлекают внимание работодателей.
Чтобы описать эволюцию предпочтений на рынке в терминах априорных вероятностей//, введем следующие обозначения: обозначим Др 0 приращение //. за счет того, что агент / покинул рынок, и ApL - 0 " уменьшение pj за счет того, что агент к пришел на рынок труда.
Кроме того, введем индексное множество ПЛ( для того, чтобы обозначить множество агентов, находившихся на рынке труда в течение всего отрезка времени [t;t + At], Q .Ar- для агентов, покинувших рынок труда в течение этого отрезка времени, и Q. A,- для агентов, пришедших на рынок труда в этот период. Эти три множества, очевидно, не пересекаются. Индексное множество Q{ будет обозначать множество агентов, находившихся на рынке труда в момент / (при этом, очевидно, Q, = ПґЛ! иП;_А1 и П,+д, = Q!j;A! и П+д,). Тогда для j є Q , изменение вероятности p j за промежуток времени [t;t + At] будет равно (если потоки на этом отрезке можно считать неизменными):
Будем считать, что для каждого j є Q,+v в момент появления на рынке труда p j = p , где величины р заданы экзогенно. Очевидно, что должны выполняться следующие равенства:
Аналогичное предположение можно сделать и относительно величины Ар г Интуиция, стоящая за этим предположением, также прозрачна: если агенту симпатизирует большое количество работодателей, то среди них найдется немало тех, кто обратит внимание на новичка на рынке труда. Тогда, по аналогии, можно записать Ар ( = afp j для любого / є С1 А1.
Аналогично уравнению (4) можно получить
Интерпретация этого уравнения очевидна. На малом промежутке времени основную роль в изменении предпочтений играет взаимодействие агентов, присутствующих на рынке в течение всего периода. Те же агенты, которые в течение этого промежутка покинули рынок или пришли на него, лишь пропорционально изменяют величины p j. Несмотря на то, что при выводе уравнения (7) мы пренебрегали величинами второго порядка малости, в момент времени ґ + Дг, когда на рынке присутствуют агенты из множества П,+Д(, равенство единице суммы априорных вероятностей р выполняется в точности, что несложно проверить:
Описание данных
В наличии имеются данные по занятости для 9 стран Европейского Союза для временного промежутка длиной 10-14 лет (обозначим его 0,?0 + Г], Г + 1 - длина промежутка). Последним годом интервала для всех стран является 1996 г.
Имеются следующие данные: количество занятых каждого пола в каждой возрастной группе от 16 до 69 лет, а также количество безработных и количество неактивных (out of labor force) агентов в каждой группе.
В качестве предложения труда в каждой когорте для данного года возьмем сумму числа занятых и числа безработных в этой когорте (неактивных агентов нельзя считать частью предложения труда). В качестве спроса на труд (т.е. количества рабочих мест) - сумму занятых по всем когортам.
Регрессионная модель
Полученная модель описывает эволюцию априорных вероятностей. Поэтому для того, чтобы производить оценивание, необходимо оценить их из реальных данных.
Для того чтобы восстановить по структуре занятости априорные вероятности, вспомним, что эти величины связаны системой уравнений (23)-(24). Разрешив их относительно co(c,s,t), и учтя, что J] co(c,s,t) = \, мы ff{U}fC, и получим искомую оценку.
Модель (65)-(68) - это нелинейная регрессия, причем невозможно найти такое преобразование переменных, которое позволило бы свести ее к регрессии, линейной по параметрам.
Первое, что приходит на ум в данной ситуации, - применить для оценивания нелинейный метод наименьших квадратов (НМНК). Обсуждение этого метода можно найти в [1]. Суть метода состоит в том, что оценка выбирается таким образом, чтобы минимизировать просуммированный по всем наблюдениям квадрат ошибки (т.е. решается задача т Е et(b) et(b)- mm). В [1] показано, что НМНК дает состоятельные оценки (-і ь параметров в случае, если число оцениваемых параметров постоянно и не зависит от количества наблюдений.
Состоятельность означает, что с ростом числа наблюдений оценка параметра сходится по вероятности к истинному значению. И хотя в конечной выборке оценка может иметь смещение, она позволяет надеяться на то, что, если число наблюдений достаточно велико, то оценка лежит достаточно близко к истинному значению параметра.
К сожалению, применение НМНК непосредственно к (65)-(68) может приводить к плохим оценкам. Причиной является то, что, так как Nt неизвестно, к параметрам р необходимо добавить еще Т параметров, которые необходимо оценить. Так как п фиксировано, с ростом числа наблюдений (т.е. ростом Т) число этих параметров также будет расти, и их оценки не будут состоятельны. В таких условиях состоятельности /? может также не быть.
Пойдем другим путем: преобразуем систему (65)-(68) так, чтобы удалить из нее слагаемое ln(iV;). Для этого нужно из каждого уравнения системы вычесть такую линейную комбинацию уравнений, имеющих тот же индекс t, что сумма ее коэффициентов равна единице. Ранг данного преобразования - (п - \)Т. Для дальнейших вычислений нам нужно будет избавиться от Т уравнений, линейно зависимых с оставшимися, поэтому останется (п-\)Т уравнений. Если представить систему (68) в виде «панели» размера пхТ, то данное преобразование эквивалентно ее умножению слева на некоторую матрицу А размера (п-\)хп (если же пТ уравнений записать в столбец, то матрицей преобразования будет А = 1Т А, где 1Т - единичная матрица ТхТ, 0 - произведение Кронекера). Заметим, что матрицы, соответствующие двум любым таким преобразованиям связаны равенством A-GA, где G- невырожденная матрица размера (п-])х(п-[),
К полученной системе уже можно применять НМНК, при этом результаты будут зависеть от выбранной нами матрицы А. Оценки, которые мы получим, будут состоятельны. Однако, к сожалению, как показало оценивание, свойства оценки в конечной выборке не являются удовлетворительными. Это связано с тем, что имеет место сильная гетероскедастичность: Var(eu) сильно различается для разных /. Для младшего и, особенно, старшего возраста дисперсия ошибки в несколько раз выше, чем для возраста 20-55 лет. По-видимому, это связано с тем, что в младшем и старшем возрасте размыта граница между безработными и неактивными агентами - учащийся молодой человек, который еще не нашел работу, будет позиционировать себя как учащийся, а не как безработный. Аналогично, человек пенсионного возраста, который по какой-либо причине лишился работы, скорее будет считать себя пенсионером, чем безработным.
Регрессионная модель
Имея полученные выше результаты, можно приступать к оцениванию модели. Прежде чем перейти к описанию алгоритма процедуры оценивания, заметим, что важным шагом в этой процедуре является поиск матриц Q и W. При этом возникает следующая проблема: число измерений уИ равно пТ. Для того, чтобы на один параметр приходилось хотя бы 4 измерения, число параметров, включая все оцениваемые элементы О или W не должно превышать (с учетом того, что после преобразовании уравнении станет на Т меньше). Так как в нашем случае Г лежит в диапазоне от 6 до 13, а п = 106, оценить элементы Q или W без дополнительных предположений не удастся. Однако правильным представляется предположение о том, что матрица П имеет диагональный вид (т.е. cov(eJ()e,,) = 0 при ІФ j), поэтому оценивать будем только ее диагональные элементы.
Заметим также, что, применив состоятельный метод оценивания к преобразованной системе и оценив ковариацию полученных ошибок, мы получим состоятельную оценку матрицы AQA . Однако просто взять [ЖХ4 ]_ невозможно, так как в силу малости Т матрица AQA будет вырожденной с рангом не более Т.
Теперь перейдем к процедуре оценивания. Она состоит из трех шагов: Шаг 0. На нулевом шаге проводится МНК-регрессия векторов yt на константу. Полученные ошибки можно использовать для построения оценки ковариации ошибок Q0. Она не будет состоятельной в силу неправильной спецификации модели, но, так как доля объясненной дисперсии в правильной спецификации будет не очень велика, в нашем случае Q0 является хорошим первым приближением для Q.
Шаг 1. На первом шаге ищется ВНМНК-оценка для преобразованной системы. Так как оценка инвариантна по отношению к выбору матрицы А, можно выбрать любую подходящую, например
Матрица весов берется равной Wx = [AQ0A ] . Оценка, полученная на этом шаге, уже является состоятельной, но эффективность ее может быть повышена, так как Q0He является лучшей из доступных оценок Q.
Выборочная ковариационная матрица ошибок, полученных на этом А шаге, Л,, является состоятельной оценкой матрицы АС1А . Ее можно использовать для получения оценки Q = diag(6v..,an). Для этого воспользуемся следующей процедурой.
Умножением слева и справа на соответствующие матрицы G и С, получим из Л[ матрицу ковариации ошибок для преобразованной системы со следующей матрицей преобразования:
Преобразование А построено так, чтобы из каждого уравнения вычиталась линейная комбинация уравнений с тем же индексом обладающая наименьшей дисперсией ошибки. Далее путем приравнивания диагональных элементов матриц Adiag( Ju,.. 6n])A и GAfi c добавлением уравнения сти0 = ап,, можно найти Cll = diag(a,ut..t6H]).
Шаг 2. На этом шаге ищется ВНМНК-оценка для той же системы, что и на шаге 1. Матрица весов берется равной W2=[ACllA,] . Полученная оценка принимается в качестве окончательной оценки вектора параметров.
Далее на этом шаге конструируется оценка ковариационной матрицы для вектора параметров с использованием формулы (76). В качестве оценки
Q берется оценка, полученная с помощью процедуры, описанной на предыдущем шаге, но с использованием ошибок из последней регрессии. Полученную оценку ковариации уже можно использовать для проверки значимости коэффициентов и тестирования гипотез.
Скажем несколько слов об алгоритме поиска ВНМНК-оценки, т.е. численного решения задачи (70). Целевая функция является, вообще говоря, многомодальной. Поэтому для решения задачи необходимо организовать процедуру глобального поиска. Кроме того, большая размерность задачи приводит к тому, что вычисление градиента функции занимает много времени, и обычный поиск локального минимума методом наискорейшего спуска является слишком медленным, так как для его сходимости необходимо большое количество итераций. Это значит, что процедуру поиска локального максимума необходимо усовершенствовать.
В качестве такого усовершенствованного алгоритма поиска локального минимума был использован алгоритм «эластичного спуска». Он широко используется при обучении нейронных сетей методом «эластичного обратного распространения ошибки» (resilient backpropagation) для нахождения минимума функции ошибки обучения. Достоинством этого алгоритма является то, что он способен быстро находить решения в случае «овражистых» целевых функций, а также в случаях, когда вдалеке от точки оптимума градиент функции близок к нулю.
