Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методология построения экономичных планов эксперимента для создания математических моделей объектов и явлений 10
1.1 Анализ известных критериев планирования эксперимента и выбор из них таких, которые позволяют решить поставленную задачу 12
1.2 Анализ известных планов эксперимента с первого по третий порядок включительно 17
-Полный Факторный Эксперимент(ПФЭ) 18
-Дробный Факторный Эксперимент(ДФЭ) 21
-Ортогональные Центральные Композиционные Планы (ОЦКП) 22
-Ортогональные Планы Третьего Порядка 27
1.3 Анализ количества опытов в планах первого, второго и третьего порядков .31
1.4 Разработка, исследование и обоснование новых экономичных планов эксперимента для исследования сложных объектов и явлений 35
Глава 2. Теоретические исследования, обоснование и построение полных и неполных планов для построения моделей 3 ого порядка в виде уравнения регрессии 37
2. 1Использование двухфакторных ортогональных центральных композиционных планов (ОЦКП) для построения неполных и полных моделей третьего порядка 37
-Построение полных ортогональных планов іретьего порядка для двух факторов 41
2.2Использование трехфакторных ортогональных центральных композиционных планов (ОЦКП) для построения неполных моделей третьего порядка 46
2.3Использование четырехфакторных ортогональных центральных композиционных планов для построения неполных моделей третьего порядка 51
2.4Использование пятифакторных ортогональных центральных композиционных планов для построения неполных моделей третьего порядка 58
Глава 3. Экспериментальная проверка разработаных структур планов эксперимента 63
3.1 Проверка точности разработанных структур всех планов эксперимента 63
3.1.1 Построение математической модели второго порядка для двух переменных 63
3.1.2 Построение неполной математической модели третьего порядка для двух переменных 70
3.1.3 Построение полной модели третьего порядка для двух переменных 76
3.1.4 Построение неполной модели третьего порядка для трех переменных .85
3.1.5 Построение неполной модели третьего порядка для четырех переменных 92
3.1.6 Методика построения неполных моделей третьего порядка на основе многофакторных ОЦКП второго порядка 98
Глава 4. Исследование и анализ методов построения математических моделей для управления односекциопным ускорителем электронов и оптимизация режимов работы 103
4.1 Общие сведения по ускорителям заряженных частиц 103
4.2 Построение математической модели энергии пучка электронов односекционного линейного ускорителя электронов 109
4.2.1 Анализ формирования входных параметров ускорителя 111
4.2.2 Исследование и обоснование методов планирования эксперимента для получения адекватной математической модели ЛУЭ 112
4.3 Оптимизация режимов работы односекционного ускорителя электронов по математической модели 120
4.3.1 Постановка и обоснование задачи оптимизации ЛУЭ с построением системы уравнений, обеспечивающей оптимальный режим линейного ускорителя 120
4.3.2 Метод построения и использования номограмм для определения режимов работы ЛУЭ 125
Глава 5. Программное обеспечение методов планирования эксперимента 129
5.1 Программа для вычисления оценок коэффициентов для двух переменных неполной модели третьего порядка на языке Visual Basic 131
5.2 Программа для вычисления оценок коэффициентов для двух переменных полной модели третьего порядка на языке Visual Basic 138
5.3 Программа для вычисления оценок коэффициентов для трех и четырех переменных неполной модели третьего порядка на языке Visual Basic 144
5.4 Математическое моделирование как мегод 146
Заключение по работе 149
Список литературы 151
Приложение 156
- Анализ известных критериев планирования эксперимента и выбор из них таких, которые позволяют решить поставленную задачу
- 1Использование двухфакторных ортогональных центральных композиционных планов (ОЦКП) для построения неполных и полных моделей третьего порядка
- Построение математической модели второго порядка для двух переменных
- Построение математической модели энергии пучка электронов односекционного линейного ускорителя электронов
Введение к работе
В последние годы наблюдается все более широкое применение средств вычислительной техники для расчета, проектирования и управления различными физическими установками. По всему миру все более пристальное внимание в науке уделяется вопросами системного анализа, управления и обработки информации. Бурное развитие и усложнение техники, существенное расширение масштабов проводимых мероприятий и спектра их возможных последствий, внедрение автоматизированного управления во все области практики — все это приводит к необходимости всестороннего анализа сложных систем с учетом отраслевой специфики.
Основа такого анализа — выполнение теоретических и прикладных исследований системных связей и закономерностей функционирования и развития объектов и процессов, ориентированных на повышение эффективности их управления с использованием современных методов обработки информации.
Одна из наиболее важных на сегодняшний день практических производственных задач - надежная и безопасная работа оборудования. От правильного ее решения зависят не только высокие экономические показатели предприятия, но, достаточно часто, здоровье и жизни многих людей. Для квалифицированной оценки работоспособности оборудования, грамотной организации его обслуживания и правильного планирования сроков и объемов ремонтных работ особенно важно применять современные достижения науки в области обработки информации, принятия решений на основе обработанной информации, оптимизации и прогнозирования.
Актуальность работы заключалась в том, чтобы автор мог предложить требуемый математический аппарат идентификации для решения поставленной задачи [1,3,6] и для анализа существующих методов идентификации объектов. Разработка новых структур планов эксперимента повышающих эффективность идентификации, т.е уменьшение объема эксперимента и увеличивающих порядок математической модели.
Значительный вклад в теорию и практику методов планирования эксперимента информационных систем, работающих с различными видами
5 приложений, внесли видные Российские ученые и специалисты Налимов В.В., Круг Г.К., Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В., Лецкий Э. и др. и зарубежные ученые G.E.P. Box, К.В. Wilson, J.S. Hunter, G.F. Franklin, J.D. Powel, Хартман К., Шефер В. и другие. В России планирование эксперимента развивается с 1960 г. [1] под руководством В.В. Налимова.
Целью является изучение методов планирования эксперимента для получения математического описания в виде уравнений регрессии (первого, второго, третьего порядков) и использование полученного описания для предсказания оптимальных параметров.
Какие основные задачи с помощью этих методов могут быть поставлены и решены?
1.Внедрение статических методов планирования эксперимента позволяет в значительной степени исключить интуитивный, волевой подход, заменить его научно-обоснованной программой проведения экспериментального исследования, включающей объективную оценку результатов экспериментов на всех последовательных этапах исследования.
2.Основная задача исследования - оптимизация, заключающаяся в нахождении совокупности варьируемых факторов, при которых выбранная целевая функция принимает экстремальное значение, решается оптимальнььм образом.
З.Даже при неполном знании механизма изучаемого явления путем направленного эксперимента можно получить математическую модель, включающую наиболее влияющие факторы, независимо от их физической природы.
В настоящее время получили широкое распространение методы идентификации как статических так и динамических объектов. В статических моделях входные переменные являются независимыми и математическая модель представляется в виде уравнения регрессии, представленного полиномом различной степени. Для математического описания динамических объектов используются системы дифференциальных уравнений [7,23,25]. Поэтому выбор оптимальной стратегии обслуживания сложных систем, прогноз их состояния и рекомендации по дальнейшей эксплуатации один из первоочередных задач любого производства.
В целом, анализ существующих методов показал отсутствие единой формализованной технологии как по построению статических так и динамических моделей. В целом и в настоящее время построение математической модели объекта представляет большую сложность.
Разработанные в настоящее время планы эксперимента не обладают свойствами многокритериальности, что минимизирует объем эксперимента.
Разработанная автором методика обеспечивает значительное сокращение экспериментальных исследований в различных областях науки и техники, в том числе в области нанотехнологий, физических объектов типа линейных ускорителей электронов и протонов, лазерных систем и установок. Цель работы
Цель работы состояла в том, чтобы создать новые типы планов эксперимента для внедрения их в новые информационные технологии, современные устройства для достижения оптимальных условий работы в системах и устройствах.
Целью работы является создание методики построения математических моделей позволяющей с минимальными погрешностями определить неизвестные постоянные коэффициенты модели [22,24] и подобрать математический аппарат для построения математической модели.
Экспериментальные исследования полученных новых типов планов эксперимента по их работаспособности и получении адекватных моделей. Проведение анализа по ряду критериев: ортогональности, композиционности, близости к насыщенному плану и другим критериям. Решены следующие задачи: выполнено теоретическое обоснование построения моделей статических объектов.
исследование и анализ методов построения математических моделей для управления сложными объектами и процессами.
анализ существующих методов построения моделей;
сокращение объема экспериментальных данных по сравнению с пассивным экспериментом;
возможность применения разработанных методов для фундаментальных исследований;
7 экспериментальная проверка методов. Научная новизна
Научная новизна работы заключалась в том, что автор предложил разработку новых типов планов эксперимента позволяющих увеличить порядок математических моделей, позволяющих минимизировать объем эксперимента. Системный анализ существующих планов, исследование и обоснование разработанных типов планов.
В работе автором получены следующие научные результаты:
Теоретически обоснована и исследована возможность использования критерия композиционности, ортогональности, симметричности и близости к насыщенному плану.
Обоснована возможность применения разработанных методов в фундаментальных исследованиях.
Выведены расчетные формулы для оценки коэффициентов уравнений регрессии на основе экспериментальных данных.
Разработаны и обоснованы дополнительные условия для создания новых экономичных планов эксперимента для исследования сложных объектов и явлений. Методы исследования
На основе выполненных исследований лежит использование регрессионных методов с оценкой параметров по критерию наименьших квадратов, методов аппроксимации, теории матриц, численного интегрирования, теории оптимизации, методов вычислительной математики, методов программирования, методов моделирования и методов регрессионного анализа. Практическая ценность работы
Практическая значимость полученных в работе результатов заключается в следующем:
1 .Разработанная методология построения математических моделей позволяет значительно сократить количество экспериментальных данных как по времени так и по стоимости.
2.Особенностью методики является возможность построения как линейных, так и нелинейных систем. 3.Методика позволяет открывать приближенные законы природы.
8 4.Открывается возможность оптимизации объекта и прогнозирования поведения объекта или явления за пределами экспериментальной области. 5.Создана группа программных продуктов на языке Visual Basic. 6.Теоретически рассмотрена и экспериментально проверена возможность построения математической модели линейного ускорителя электронов типа у-10, с использованием композиционного плана эксперимента. Поставлена и функционирует лабораторная работа по курсу "Теоретические основы идентификации объектов" под названием "Идентификация статических моделей первого, второго и третьего порядков". Положения, выносимые на защиту
Для публичной защиты выдвигаются следующие положения: 1 .Методология построения экономичных планов эксперимента для создания математических моделей объектов и явлений.
2.Анализ и обоснование известных критериев планирования эксперимента и выбор из них таких, которые позволяют решать поставленную задачу. 3.Анализ количества опытов в планах эксперимента ПФЭ, ДФЭ, ОЦКП и ортогональных планах третьего порядка.
4.Разработка, исследование и обоснование новых экономичных планов эксперимента для исследования сложных объектов и явлений для которых структура уравнения регрессии не известна.
5.Методики повышения порядка математических моделей полученных с помощью ОЦКП для полных и неполных моделей третьего порядка. Апробация результатов работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах.
Научная сессия МИФИ, Программное обеспечение информационных технологий - 2007, 2008, 2009.
XI московская международная телекоммуникационная конференция студентов и молодных ученых - 2008.
Опубликованы в 2008 году в журнале «Безопасность информационных технологий».
9 Личный вклад автора
Впервые создан, исследован и обоснован многокритериальный композиционный план для идентификации объектов с минимальным объектом эксперимента. Этот тип плана позволяет строить уравнения регрессии с первого по третий порядок включительно. Автор использовал обобщающий критерий включающий: композиционность, ортогональность, симметричность и близость плана к насыщенному плану. Выведены все параметры плана, получены формулы для расчета оценок коэффициентов модели. Выполнена проверка достоверности полученных результатов. Все научные и практические результаты диссертации получены автором лично. Внедрение результатов диссертационного исследования
Проведено внедрение теоретических исследований для ускорителя у-10 и разработан лабораторный практикум по курсу "Теоретические основы идентификации объектов" под названием "Идентификация статических моделей первого, второго и третьего порядков". Публикации
Всего по теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в том числе 1 статья в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов работы.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы из 78 наименований и приложений. Основная работа диссертации содержит (167) страниц текста, включая (45) рисунков и (39) таблиц.
Анализ известных критериев планирования эксперимента и выбор из них таких, которые позволяют решить поставленную задачу
Это означает, что дисперсия предаказания для точек, равноудаленных от центра плана одинакова.
Выше были приведены критерии, отражающие наиболее существенные требования, которые можно предъявлять к планам для того, чтобы получить хорошую в статистическом смысле модель. Однако существуют и другие свойства планов, которые нельзя рассмтривать как основные критерии, но выполнение которых является весьма желательным. Это такие свойства планов: композиционность, симметричность, насыщенность. Это критерии третьей группы.
Определение 1.1.8 - План X называется композиционными, если при переходе от плана порядка d к плану порядка (d + 1) в плане порядка (d+1) сохраняются экспериментальные точки плана порядка d. Композиционные планы позволяют существенно уменьшить экспериментальные затраты в случае, когда порядок модели определен неверно и требуется построить модель высшего порядка. В таких планах наиболее рационально и эффективно проходит переход от одного типа модели к модели более высокого порядка. Все экспериментальные точки используются для построения модели порядка d+І. Композиционность используется в тех случаях, когда структура уравнения регрессии не известна. Одноко планов, которые обладают свойством композиционности, достаточно мало. Определение 1.1.9 - План называется центральным, если его центр лежит в начале координат х - (0,0,...,0). Определение 1.1.10 - План X называется насыщенным , если число точек плана, в которых проводится эксперимент, равно числу неизвестных коэффициентов модели. Определение 1.1.11 - План X называется ненасыщенным , если число точек плана, в которых проводится эксперимент, больше числа неизвестных коэффициентов модели. Определение 1.1.12 - План X называется свернасыщенным , если число точек плана, в которых проводится эксперимент, меньше числа неизвестных коэффициентов модели. Определение 1.1.13 - План называется рандомизироваванным, когда опыты проводятся случайным образом, для исключения временного дрейфа. На рис (1.1.2). Представлена схема классификации критериев оптимальности планирования эксперимента. Как видим, критериев оптимальности планирования эксперимента существует достаточно много,одноко не существует универсального, обобщенного критерия. Это объясняется тем, что критерии оптимальности планирования зачастую являются противоречивыми. Преимущества критериев композиционности и ортогональности являются очевидными - это сокращение экспериментальных затрат, простота обработки результатов эксперимента, сокращение временных затрат на их обработку, но самым главным преимуществом ортогональных планов является то, что исключается проблема, связанная с вырожденностью информационных (дисперсионных) матриц. Поэтому планы, удовлетворяющие указанным критериям, являются наиболее предпочтительными. Учитывая поставленную задачу автор выбрал многокритериальный критерий удовлетворяющий следующим критериям: 1 -композиционность, 2-симметричность, 3-близость к насыщенности, 4-ортогональность. Определение 1.1.14 - План X называется многокритериальным, если он удовлетворяет одновременно нескольким критериям оптимальности планирования эксперимента.
1Использование двухфакторных ортогональных центральных композиционных планов (ОЦКП) для построения неполных и полных моделей третьего порядка
Широко используемые на практике ортогональные центральные композиционные планы (ОЦКП) для построения математических моделей второго порядка являются избыточными как по числу экспериментальных точек, так и по числу уровней варьирования факторов. Так, для четырех факторов число экспериментальных точек ОЦКП равно 25, в то время как число неизвестных коэффициентов в полной модели второго порядка равно 15. Следовательно, для проверки адекватности модели остается 10 степеней свободы. Для числа факторов большем либо равном трем число уровней варьирования равно пяти, в то время как для построения модели второго порядка достаточно трех уровней варьирования факторов. Следовательно, ОЦКП являются избыточными как по числу экспериментальных точек, так и по числу уровней варьирования факторов. Поэтому ставится задача более эффективного использования ОЦКП, а именно их использования для построения математических моделей третьего порядка. При этом ОЦКП остаются без изменения, либо к ним добавляется некоторое количество экспериментальных точек.
Причем величина звёздного плеча а = 1. Следовательно, число уровней варьирования в двухфакторном ОЦКП второго порядка равно трем. Это минимальное число уровней варьирования необходимо для построения модели второго порядка. Поэтому использование двухфакториого ОЦКП второго порядка для построения полной модели третьего порядка невозможно, так как минимальное число уровней варьирования факторов, должно быть не менее четырех. Матрица ОЦКП второго порядка для двух факторов имеет вид:
Система уравнений (2.1.6) является избыточной потому, что она включает 3 уравнения и один неизвестный параметр. Это объясняется тем, что величина звёздного плеча а и величина ядра определены в ОЦКП. Если считать их неизвестными, то получится система из трех уравнений с тремя неизвестными параметрами а, Р и ,. Считая, что аир определены в ОЦКП из первого уравнения системы (2.1.6) находим
Подставляя параметры плана в формулу (2.1.7), получим , = 2/3. Подстановка параметров плана и во второе и третье уравнение системы (2.1.6) показывает, что эти уравнения тождественны нулю. Следовательно, полученное значение , = 2/3 обращает в нуль все три уравнения.
Тогда с учетом введенной замены переменной, маїрица значений функций независимых переменных принимает вид:
Построение математической модели второго порядка для двух переменных
Постановка критерия оптимальности может быть различной для некоторых типов устройств, так, например, устройство может быть оптимальным по объему оборудования, по быстродействию или надежности системы и т.д.
Перед постановкой задачи управления объектом формулируется условие оптимизации, которое часто называют частным критерием оптимизации. Безусловно система управления объектом не может быть оптимальной по всем без исключения параметрам, поэтому выделяются главные из них, по которым обеспечивается оптимизация устройства. Управление линейным ускорителем электронов может быть различным в зависимости от того, какие цели оно преследует и каким способом осуществляется.
Основное первое условие оптимизации ЛУЭ заключается в обеспечении заданных оператором выходных параметров энергии и тока ускоренных частиц при минимальных изменениях их во времени. Рассматривая уравнение энергии видно, что для заданных значений Ж,ад и 1ЗЫ существует бесчисленное множество
сочетаний входных параметров f и Р , обеспечивающих заданный режим. Поэтому к условию стабильности параметров ЛУЭ добавляется второе условие оптимизации обеспечения заданных выходных параметров ЛУЭ при минимально возможной мощности высокочастотного генератора, что обеспечивает надежность работы линейного ускорителя.
Одним из способов, обеспечивающих первое условие оптимизации ЛУЭ является применнение стабилизаторов различной входных параметров [6,10,54]. Выбор частоты высокочастотного генератора в качестве переменной, регулирующей изменения энергии обусловлен тем, что чувствительность энергии по частоте несколько больше, чем по мощности. На рабочих характеристиках стабильности выходных. Это условие заставляет переносить область работы стабилизаторов в нелинейный участок характеристики W=F(f). Это является их недостатком, потому что оптимальные значения частоты находятся на прямых экстремумов. Поэтому стабилизаторы входных параметров принципиально не могут обеспечить выполнение второго условия оптимизации ЛУЭ.
Таким образом, требуется разработка вычислительного устройства, позволяющего обеспечить поставленный критерий оптимизации работы линейного ускорителя электронов. Одноко этот критерий оптимизации не является единственно возможным; в данном случае, как будет показано ниже, он является наиболее приемлемым и целесообразным. Для доказательства существования сформулированного выше критерия оптимизации воспользуемся полиномом второй степени, описывающим связь между энергией пучка электронов и входными параметрами (в общем виде): Рассмотрим ряд сечений указанной функциональной зависимости при некоторых ограничениях на параметры .
Построение математической модели энергии пучка электронов односекционного линейного ускорителя электронов
Ускорители по конструкционным особенностям делятся на два основных типа: линейные и циклические. Линейные ускорители делятся на два класса: односекционные и многосекционные. По типу пучков на выходе ускорители могут ускорять электроны или протоны. Очевидно, что односекционные ускорители могут состоять как из одного (группирователя), так и из двух участков, (группирователя и ускоряющего участка).
Регулировка энергии в линейных ускорителях электронов (ЛУЭ) позволяет расширить его возможности как орудия исследования, а также расширяет границы применимости для прикладных целей. В отличие от других источников радиоактивного из лучения, ЛУЭ не дают остаточной радиоактивности.
Основное назначение - (а) Исследование микромира, (б) Исследование взаимодействия различных вещесть со сгустком электронов и протонов, (в) Военные цели и.т.д. В народном хозяйстве, например, облучение твердосплавного инструмента при определенных условиях дает повышение стойкости на 30-40%; облучение резины приводит к увеличению пробега автомобильных шин на 20-25%; облучение сельскохозяйственных продуктов приводит к уничтожению микробов и сохранению продуктов в течение всего года без наличия остаточных свойств радиации. При изменении энергии пучка электронов важно знать и изменения других выходных параметров пучка электронов:тока электронов, ширины энергетического спектра, фазовой протяжнности сгустка, поперечного сечения и др. Схема регулировки выходной энергии пучка ускоренных частиц в односекционном ускорителе - группирователе.
Похожие диссертации на Разработка эффективных методов идентификации и оптимизации объектов и явлений
