Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время при решении множества научно-технических задач, связанных о дискретной аппроксимацией математических моделей системами алгебраических и трансцедентных уравнений, СЛАУ высоких порядков, а также систем сводимых к ним, особую актуальность приобрела проблема'точности и ограниченности разрядной сетки функциональных узлов вычислительных средств.
По результатам обратного анализа оценка относительной погрешности, возникающей при решении СЛАУ, зависит от чувствительности*решения системы к изменениям в исходных данных, т. е. от числа обусловленности матрицы системы, находящегося в прямой зависимости от порядка системы. Если данное число невелико, то относительно малые изменения исходных данных будут вызывать и малые относительные погрешности решения. Матрица такой .системы хорошо обусловлена. Если же число обусловленности зелико (матрица плохо обусловлена), то даже малые изменения исходных данных могут весьма значительно исказить полученное решение.
Оценка относительной погрешности решения СЛАУ при обратном анализе, находящейся' в обратно пропорциональной зависимости от величин эквивалентных возмущений исходных данных , позволяет перейти к следующему выводу: при уменьшении эквивалентных возмущений, т. е. при соответствующем динамическом увеличении разрядности и точности представления операндов даже при "абсолютно" большом числе обусловленности,СЛАУ возможно получение требуемой достоверной точности результатов.
Приведенные факты свидетельствуют о том, что только реализация принципа переменной точности в довольно широких пределах позволит репать задачи с использованием СЛАУ и сводимых к ним систем больших размерностей порядка 10і0 и выше при оптимальном использовании машинного времени, а также систем с плотными матрицами, обусловленность которых даже при небольших порядках систем может быть очень плохой. Примером . последних могут служить системы 'С матрицами Гильберта, их обусловлен-ность при порядке матрицы п=20 может достигать значения Н=0(1О.).
Аналогичные проблемы, точности возникают и при решении задач на собственные значения, возникающих в факторном анализе при определении частот собственных колебаний динамических систем, при исследовании колебаний и устойчивости различных объектов, а также при решении систем нелинейных уравнений высоких порядков с разнообразным набором транс-
ценденткых фунКЦ'іЙ.
В дискретных задачах решения дифференциальных уравнений с рост. размерности происходит ухудшение обусловленности задачи. Может возни: нуть ситуация при которой вследствие несоответствия длины машинно: слова числу 'обусловленности задачи будет теряться точность получение/. результлг.1. ъ ев таї с отим машинное решение мижет значительно отлі чаться от ютематического При стремлении шага дискретизации к ну. (п— Сі) с цэлыс іт"чкєніія решения ошибка реализации задачи на 3FM стрі митсл к бесконечности, что в конечном счете ограничивает возможное получения решения в пределах задаваемой точности при-ограниченной ра: рядной сетке ма/ннаого слова. Все_ выше сказанное относится не только краевым задачам, решение которых сводится к решению СЛАУ, но и дифф< ренцп^льг'с-'.м задачам с начальными условиями.
Примером таких систем могут служить системы, решаемые метода; конечно-разностной аппроксимации. При этом может возникать ряд тру, ностей практического характера при расчете и интерпретации результаті с позиции их точности, приводящих к значительны.! искажениям при неві соком порядке аппроксимации уравнений.
Эффективным средством преодоления этих проблем является увелнчі ние количества узлов разностной сетки, что приводит к увеличению ш рядка решаемых систем, а следовательно, и к необходимости динамическ! го повышения точности или разрядности представления операндов, обеош чивакщей заданную погрешность при повышенном числе обусловленности, также к возможности варьирования разрядностью обрабатываемой числові информации.
' При аппроксимации математических моделей различными композиция; трансцендентных функций, возможно и в сочетании с системами алгебра; ческих уравнений возникает та же проблема изменяемой точности, зависі .щей от поставленных условий задачи. В -зависимости от исходных услові задач разрядность, с которой должны проводится вычисления, в какде отдельном случае может изменяться в самых широких пределах вплоть і минимальной, ограниченной-8-16 двоичными разрядами.
Возможность решения данного класса задач с изменяемой разря; ностью и дает реализация принципа обработки информации с переменнс точностью в используемых вычислительных средствах.
В данном случае под переменной точностью вычислений понимаете возможность производить вычисления с точностью, не только значителы превышающей точность, обеспечиваемую разрядностью используеш
:редств. но и меньшей в зависимости,от условий решаемой задачи. При 'том,разрядность может меняться в "неограниченных" пределах. На прак-ике ото позволит значительно повысит .точность обработки информации в :лучає; необходимости счета с повышенной разрядностью, а также умень-мть временные и аппаратные затрата на реализацию вычислительного провеса засчет определения точных зависимостных характеристик процесса счислений от требуемой точности (разрядности) задач. При условии реа-іизации переменной точности будет производиться ровно такое количество тапов вычислений с операндами задаваемой разрядности, которое необхо-;имо- для достижения заданной точности в независимости от максимально юзможной точности представления в вычислительной системе.
Особый интерес в рамках разработки и исследования средств обра-ютки информации с переменной точностью вычислений представляет прин-,ип структурной реализации, как один из возможных способов практически реализации переменной точности в" вычислительных средствах, при ко-ором именно на сану вычислительную машину возлагается ответственность а реализацию вычислительного процесса при изменяемой разрядности, очности представления операндов.
Выбор данного способа реализации обусловлен сложившимся в настоя
ли момент неуклонным ростом стоимости математического обеспечения, а
акже тем, что именно развитие алгоритмической структуры машины позво-
яет повысить быстродействие решения задач засчет потенциальных воз-^
ожностей самих'вычислительных средств, упрощая не только трансляцию,
о и процесс подготовки задач и математическую эксплуатацию машины в
елом. ^ ...
Сочетание мультипроцессорной обработки переменно-разрядной инфор-ации- и реализации принципа переменной точности с учетом возможности аспараллеливания алгоритмов позволяет получить решение задач с необ-одимой точностью при минимальных временных затратах. ~
Данная работа яеляєтся частью.исследований, проводимых в -Таган-огском'радиотехническом университете в области разработки высокопро-зводительных матрично-потоковых'многопроцессорных вычислительных сис-ем. Исследования выполнялись в рамках хоздоговорных.'работ N 12207. 2211, госбюджетной-работы N 12251:
Целью диссертации является разработка и. исследование методов и редСтв обработки информации с переменной точностью вычислений, пред-азначенных для решения алгебраических задач, связанных с дискретной' ппроксимацией. математических моделей системами алгебраических и
-., - .-6--
: трансцендентных"уравнений" произвольных порядков' при различных. требОЕ ниях к точности' вычислительного процесса. ^..
Достижение поставленной цели требует решения следующих задач те ретичёского. и прикладного характера:
разработка основных принципов обработки информации с перемен* точностью вычислений; -
аппаратная реализация элементарных трансцендентных функций переменной точностью вычислений; - ,
- разработка структуры процессорного элемента ВС переменной тс
; ности; . ,
- разработка архитектурных принципов построения "вычислители
средств, ориентированных на вычисления с переменной точностью;
- моделирование процесса реализации крупных математических onef
ций над операндами произвольной разрядности.
Научная новизна. В диссертации разработаны и вынесены на . заіщ
следующие основные положения: -
теоретико-множественный подход к задаче определения базисш набора'операций;.
структура процессорного элемента ВС переменной : точности;
структура и принципы организации вычислительных систем обрабі ки информации с переменной точностью вычислений.
Практическая ценность и рекомендации к_ применению.Разработан; методы и принципы организации средств обработки информации с перємі ноя точностью вычислений составляют основу для создания" различных лов вычислительных систем переменной точности,- позволяющих-значителі повысить быстродействие алгоритмов обработки информации, а также щ изводительность самих вычислительных систем.
Использование данных ВС, ориентированных на переменную" точної
вычислений, при решении научно-технических задач, связанных' с дискрі
ной аппроксимацией математических моделей, позволит'решать круга
.системы алгебраических уравнений в сочетании с вычислением традеці
дентньрс .функций с достоверной предварительно задаваемой точностью і
лучаемьк результатов, что обеспечит увеличение точности и даапазі
обработки информации. '
Исследования, проведенные в диссертационной работе, связаны с і учными направлениями кафедры ВТлТРТУ. НКИ МВС " при ТРТУ, в чаї ности. с такими тематиками, , как , "Разработка высокопроизводитель: многопроцессорных вычислительных.систем с матрично-потоковой обраб
кой данных", "Многопроцессорные проблемно-ориентированные вычислитель
ные системы".. ' , -
Основные результаты работы были внедрены на кафедре ВТ ТРТУ. где они используются при "Разработке'и исследовании аппаратно-программного комплекса на основе ПЭВМ.и модернизированного программируемого процессора сигналов" (х/д работа N 12207), при "Разработке принципов построения и создания МВС магрично-потоковой архитектурой системой закрытия данных в каналах связи" (г/б работа N 12251).
Апробация работы. Основное содержание работы сгладывалось и обсуждалось на VIII Всесоюзном школе-семинаре по радиоэлектронике (г. Москва, январь 1990), региональной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов по вычислительной технике (г.Таганрог, 1991). научно-технической конференциях, посвященных Дню радио. Ростовского правления НТО РЭС им.А.С.Попова (г.Ростов-на-Дону, май 1992, май 1993), научно-технической конференции НТО им. А. С.Попова, посвященной Дню радио (г.Москва, 1993), на XXXVI-XXXVIII научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТРТУ (г.Таганрог, 1990-1993 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 8 печатных работах.Кроме того, результаты исследовании отражены в трех отчетах.по хоздоговорным НИР, зарегистрированных во ВНТИЦ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, .заключения, списка литературы,содержащего 106 наименований и приложения.Работа изложена ча страницах: машинописных страницах основного текста, страницах рисунков и таблиц ,-г страницах приложения, 9 страницах списка литературы.