Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Динамика непрерывной ФАП при гармонической помехе 11
1.1. Динамические характеристики непрерывной ФАП в первом приближении 11
1.2. Динамические характеристики непрерывной ФАП во втором приближении 20
1. 3. Критические значения параметров
1.4. Выводы к первой главе 33
ГЛАВА 2. Непрерывная система синхронизации первого порядка 34
2.1. Фазовые портреты захватов за сигнал и за узкополосную помеху в системе ФАП 34
2.2. Усреднение коэффициентов стохастического ДУ. Переход к уравнению ФПК 42
2.3. Анализ ПРВ сигнала рассоглассования в системе первого порядка в стационарном режиме 46
2.4. Вероятность срыва слежения в системе синхронизации 56
2.5. Анализ ПРВ сигнала рассогласования при наличии прицельной
помехи 58
2.6. Анализ ПРВ в переходном режиме 61
2.7. ВСС и ЗЧР ФАП 64
2.8. Выводы ко второй главе 68
ГЛАВА 3. Непрерывная система синхронизации второго порядка 69
3.1. Влияние гармонической помехи на систему ФАП второго порядка 69
3.2. Плотность распределения вероятностей, ВСС и ЗЧР в ФАП второго порядка 69
3.3. Плотность распределения вероятностей, ВСС и ЗЧР 94
3.4. Выводы к третьей главе 100
ГЛАВА 4. Дискретные системы фазовой автоподстройки 102
4.1. Плотность сигнала рассогласования в дискретных ФАП 102
4.2. Срыв слежения для ДСС 109
4.3. Выводы к четвертой главе 113
ГЛАВА 5. Моделирование двухконтурной СС 114
5.1. Дискриминационные характеристики фазового дискриминатора 114
5.2. Схема двухконтурной СС с пилообразной характеристикой ФД 120
5.3. Дифференциальное уравнение ФАП 122
5.4. Фазовая ошибка в схеме двухконтурной СС 130
5.5. Выводы к пятой главе 133
Список сокращений и условных обозначений
- Динамические характеристики непрерывной ФАП во втором приближении
- Усреднение коэффициентов стохастического ДУ. Переход к уравнению ФПК
- Плотность распределения вероятностей, ВСС и ЗЧР в ФАП второго порядка
- Дифференциальное уравнение ФАП
Динамические характеристики непрерывной ФАП во втором приближении
При более строгом приближении методом гармонического баланса получено уравнение для динамических характеристик фазовой автоподстройки произвольного порядка при наличии на ее входе гармонической помехи.
Найдены зависимости параметров предполагаемоого решения ДУ от параметров помехи и сигнала. Приведены соотношения для критических значений этих параметров. Глава 2. Непрерывная система синхронизации первого порядка 2.1. Фазовые портреты захватов за сигнал и за узкополосную помеху в системе ФАП
Рассмотрим функциональную схему ФАП первого порядка, когда на фазовый детектор (ФД) воздействует смесь сигнала и гармонической помехи (Рисунок 2.1) [34,44,45]
В связи с этим достаточно рассмотреть лишь один фрагмент фазовой плоскости (Рисунок 2.2), например -л/2 х Зл/2; л/2 у Зл/2. Для всех остальных значений х и у данный фрагмент будет периодически повторяться.
Рисунок 2.2. Фрагмент фазового пространства в пределах л/2 х Зл/2; л/2 у Зл/2 Для анализа фазовых траекторийна фазовой плоскости выделим области с постоянным направлением изменения х и у. Границы областей определяются равенствами dх/dt = 0 и dу/dt = 0. Отсюда из уравнения (2.4) для нижней полуплоскости b, приведенной на Рисунке 2.2 получим
Рассмотрим все возможные расположения этих кривых относительно фрагмента фазового пространства приведенного на Рисунке 2.2. Для определенности предположим, что 1. Все возможные расположения кривых для уравнений системы, приведены на Рисунке 2.3 при = 2 и = 0.
На Рисунке 2.3а приведен эллипс для случая 1 + . На Рисунке 2.3б приведен случай, когда эллипс распадается на две кривые при 1 - - 1. На Рисунке 2.3в приведен случай, когда две кривые распадаются на четыре при 38 1 - є Ар 1 - є. На Рисунок 2.3г приведены два случая, при которых кривые отсутствуют при Др -1 - є и Др 1 + є. Стрелками на Рисунке 2.3 показаны углы наклона фазовых траекторий.
Для упрощения дальнейшего анализа заменим нелинейную функцию sin (х) переменной х в интервале л/2 х Зл/2, и л - х при -л/2 х л/2 [5]. Аналогично заменяем sin(у) переменной у в интервале л/2 у Зл/2, и л - у при -л/2 у л/2. Тогда уравнение (2.3) преобразуется к виду
Фазовая плоскость с выделенными областями с постоянными направлениями х и у На Рисунке 2.4. приведена фазовая плоскость ФАП в режиме захвата за сигнал при = 0, = /2, = 1. На рисунке две фазовые кривые, начинающие движениесточека1,а2 изаканчивающиедвижениевточках соответственно вb1 иb2.
Для режима захвата за сигнал характерно монотонное изменение координаты у. При этом координате х характерно следующее неравенство а1 - а2 b1 – b2. Соответственно для режима захвата за помеху характерно монотонное изменение координаты х, а координате у характерно неравенство а1 – а2 b1 – b2. Стрелками на Рисунке 2.4 показаны углы наклона фазовых траекторий.
На Рисунке 2.5 приведены фазовые плоскости с выделенными областями с постоянными направлениями х и у. Стрелками на рисунке обозначены углы наклона траектории фазовых кривых. а) б)
В случае если принять 0, то анализ фазовых траекторий можно разделить на четыре категории. В случае, изображенном на Рисунке 2.5б можно заметить, что ФАП будет проходить в режиме захвата за сигнал.
На Рисунке 2.5в ФАП будет проходить в режиме захвата за помеху. Рисунки 2.5а и 2.5г не дают достаточной информации о захвате за сигнал или помеху. В случае при 0 все рассуждения проводятся аналогично. Из анализа Рисунков 2.4 и 2.5 становится ясно, если у = 1, в то время как \х\ 1, то получим ФАЛ в режиме захвата сигнала, и при х = 1, \у\ 1 - ФАЛ в режиме захвата помехи. Подставив полученные значения х и у в систему уравнений (2.6), получим неравенство для ФАП в режиме захвата сигнала
Используем неравенства (2.7) и (2.8) и соотношение (2.3). Получим условия захвата за сигнал и за помеху. На Рисунке 2.6а приведен режим захвата за сигнал при є = 0,8; р = 0; Др = -0,4. На Рисунке 2.66 приведен режим захвата за помеху при є = 1; Р = 0,4; Др = 0,4. В результате расчетов получим границу захвата за сигнал и за помеху вычисленную при различных , (см. Рисунок 2.7). Кружочками на рисунке обозначены значения , для которых проводилось моделирование. где p - оператор дифференцирования, p = d/dt, t = Qti, t c - время, /? нормированная к полосе синхронизации начальная расстройка по частоте между частотой эталонного колебания (сигнала) сос и частотой колебания COQ на выходе управляемого генератора /? = Q0/Q, CIQ = сос -со0; d - нормированная к полосе синхронизации отстройка по частоте между эталонным сигналом и гармонической помехой d = AQ/Q, АО. = соп-сос; r = AA /NQQ - отношение сигнал/шум (ОСШ) на выходе линеаризованной ФАП первого порядка; А -амплитуда сигнала, No - интенсивность гауссовского белого шума (ГБШ) є = Ап/А,Ап - амплитуда гармонической помехи; Ав = вп-вс\ 9п и 9С 43 начальные фазы соответственно помехи и сигнала, w(t) - стандартный винеровский процесс.
Для применения аппарата марковских случайных процессов к анализу статистических характеристик ФАП необходимо применить процедуру усреднения к первым двум слагаемым в квадратных скобках СДУ (2.9).
Усреднение коэффициентов стохастического ДУ. Переход к уравнению ФПК
Воспользуемся стохастическим уравнением [14]. КА где P = QQIKА - относительная расстройка частот эталонного сигнала и сигнала на выходе УГ; ЄІ = АІ/А; AQ, = Г2г — Qo; А0г = 0г-0о; i = \,N, Qo и 0о - начальные расстройки по частоте и фазе между эталонным сигналом и сигналом на выходе УГ, Qj и 0г начальные расстройки по частоте и фазе /-ой составляющей относительно частоты и фазы на входе УГ, пm(t) - БГШ, с двусторонней спектральной плотностью ЛУ2 (Вт/Гц). Уравнение (2.26) запишем в виде следующего стохастического ДУ [14]
Изменение во времени сигнала рассогласования x в режиме слежения обуславливается двумя возмущающими величинами п ш(t) и (t). При этом (t) медленно меняющаяся величина по сравнения с шумом п ш(t). В связи с этим, новые переменные а{t) и (t) также будут медленно меняющимися, поэтому по сравнению с dхldt производной d/dt можно пренебречь
В связи с тем, что, по сравнению с х, а{t) и (t) изменяются значительно медленнее, то для получения ПРВ W{х) по (2.27) можно заменить а{t) и (t) их мгновенными значениями.
Переходя от стохастического ДУ (2.27), к уравнению ФПК и решая его, получим аналог формулы Тихонова [20]
Из ДУ (2.27), переходя к уравнению ФПК и решая его, получим аналог формулы Тихонова [20] модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, v -ОСШ, v = 4O/KNQ . Заменяя величину v на произведение а г, где r = 4А/КNo - ОСШ в отсутствии помехи, то по (2.33) получим W\xa\\\i) = ra cos(x+\/) 2TIIQ (ra )
Уравнение ФПК (2.15) в переходном режиме может быть решено только численно. Для этого предлагается его разностная схема [30,42,49,50]. Заменим производные, входящие в уравнение ФПК (2.17), конечными разностями Не останавливаясь на подробном исследовании устойчивости приведенной явной разностной схемы, отметим, что при r 5; 7V= 200; = 0,0005 решение разностной задачи устойчиво и мало изменяется при уменьшении и увеличении N. Результаты расчетов по приведенной разностной схеме при WQ{х) = (х - хо), хо = 0; = 0; 0,6 показаны на Рисунке 2.17 и Рисунке 2.18.
Следует отметить, что при нулевой расстройке ( = 0) как аналитический, так и численный (по приведенной разностной схеме) методы дают одинаковые результаты. На Рисунке 2.17 приведены кривые ПРВ при г = 2, = 0,1, = 1, кривые 1, 2, 3, 4, соответственно, в моменты времени = 0,25, = 0,5, = 0,75, = 1, кривая 5 получена по формуле (2.23). На Рисунке 2.18 приведены кривые ПРВ при г = 2, = 0,1, = 1, кривые 1, 2, 3, 4, 5 соответственно, в моменты времени = 0,25, = 0,5, = 0,75, = 1,5, = 2, кривая 6 получена по формуле (2.23).
После нахождения ВСС, найдем ЗЧР. Для этого используем формальную аналогию между ФАП, функционирующей при наличии гармонической помехи за пределами синхронизации, и ФАП без помехи с синусоидальной нелинейностью, если ввести приведенные параметры р, , . Для обычной ФАП имеет место простая связь [14, формула (12.17)] между ВСС и ЗЧР, справедливая для системы первого порядка:
Получены неравенства для определения условий захвата за сигнал и за помеху зависящие от значений отношений помеха/сигнал, сигнальной расстройки по частоте и отстройки по частоте сигнала и гармонической помехи. Проведено моделирование режимов захвата за сигнал и за помеху.
Предложена разностная схема уравнения ФПК в переходном режиме. Показано, что вычисленные значения ПРВ сигнала ошибки стремяться к ее стационарным значениям, что подтверждает корректрность разностной схемы.
Решение уравнения ФПК в стационарном режиме представленно в виде ряда Фурье и произведена оценка сходимости ряда.
Показано, что диссперсия сигнала рассогласования увеличивается, если расстройка первого и второго рода направлены в разные стороны и в противном случае диссперция уменьшается. ГЛАВА 3. Непрерывная система синхронизации второго порядка 3.1. Влияние гармонической помехи на систему ФАП второго порядка
Функциональная схема ФАП второго порядка приведена на Рисунке 3.1а, где ив – смесь сигнала и гармонической помехи, ид – напряжение на выходе фазового детектора (ФД), ир – напряжение на выходе фильтра, иг – сигнал управляемого генератора (УГ). В данной схеме в отличие от схемы первого порядка, на выходе ФД присутствует пропорционально-интегрирующий фильтр (ПИФ) [36,40,48] (Рисунок 3.1б).
Плотность распределения вероятностей, ВСС и ЗЧР в ФАП второго порядка
Таким образом, задав начальные условия для момента времени о и переменной V(), равное Vo, можно найти решение ДУ для переменной V(). На Рисунке 3.3 штрихпунктирными линиями показан процесс поиска такого решения. При VQ —1, изменение переменной V() заканчивается в точке V = -(1 + 2) или же zo = - - . Однако, как следует из второго ДУ усредненной системы, установившееся значение ZQ компенсирует первоначальную частотную расстройку между помехой и свободными колебаниями УГ, т.е. происходит захват за помеху.
Если VQ —1, то изменение переменной V() заканчивается при V = 0 (или zo = ). Однако, как следует из первого ДУ усредненной системы, происходит компенсация первоначальной частотной расстройки между сигналом и свободными колебаниями ГУН, за счет установившегося значения переменной ZQ т.е. происходит захват за сигнал.
Бифуркационная диаграмма ФАП второго порядка Анализ диаграммы показывает, что работа системы определяется частотными расстройками сигнала и помехи и начальным значением z0. Из чего следует, что режим захвата зависит от предыстория работы системы.
Из диаграммы также следует, что если система работает в режиме захвата захвата за помеху не может. На практике помеха оказывает влияние на процесс синхронизации. Для изучения этого влияния воспользуемся численным решением системы ДУ (3.9).
Решение системы (3.9) методом Рунге-Кутты четвертого порядка показало, что захват за помеху происходит при определенной ее интенсивности. Определение критических значений осществлялось исходя из условия, что в системе осуществляется слежение за сигналом при отсутствии частотной расстройки ( = 0).
При небольших значениях ( 0,1) и ( 1) в системе возникают асинхронные движения (что соответствует заштрихованной области на Рисунке 3.5). В этом случае ФАП не захватывает ни помеху, ни сигнал, а выполняет синхронизацию на некоторой промежуточной частоте.
Характер процессов, в системе при различной интенсивности помехи, иллюстрируют Рисунки 3.7 и 3.8. Рисунок 3.7 соответствует режиму захвата за сигнал ( = 0,1; = 0,6; а = 0,8; = 0,16), Рисунок 3.8 - режиму захвата за помеху ( = 0,1; = 1,4 а = 0,8; = 0,16).
Используемый метод дает возможность получить зависимости, аналогичные Рисунку 3.5, также для случая невырожденного ПИФ в кольце ФАП (со = 1). Параметры системы аналогичны случаю вырожденного ПИФ (а = 0,05; = 0,01). Сравнивая Рисунок 3.9 с Рисунком 3.5, можно заметить, что отличие зависимостей состоит тольео в размерах области неустойчивой синхронизации при малых = 0,1 и 1. Это свидетельствует о том, что для больших значений ф с малой погрешностью можно рассмотреть случай вырожденного ПИФ в кольце ФАП. а)
Проанализируем влияние полосы пропускания ПИФ на ход захвата сигнала или помехи. На Рисунке 3.9 ромбиками показаны значения , полученные в результате численных расчетов при а = 0,01; = 0,005.. Отсюда следует, что уменьшение полосы пропускания (увеличение постоянной времени фильтра) повышает помехоустойчивость системы. В тоже время, при малых незначительное превышение амплитуды помехи над амплитудой сигнала приводит к захвату за помеху.
Определим время переходного процесса, т.е. время, за которой ФАП компенсирует первоначальную частотную расстройку и осуществляет захват за сигнал или за помеху. Тогда концу переходного процесса регулирования частоты будет соответствовать достижение точки V = 0 и захват за сигнал. При этом функция V() соединяет точки (о, Vo) и (k, Vk). При этом k - о = - длительность переходного процесса; Vk = 0, о, Vo и , Vk -соответственно начальные и конечные значения переменных и V. Так как точки Vk и Vo принадлежат одной и той же кривой, то 2є2 решения исходного дифференциального уравнения ФАП при отсутствии шума; г - отношение сигнал/шум (ОСШ); JQ{х\) и J\{х\) - функции Бесселя, соответственно, нулевого и первого порядка; - нормированная начальная частотная расстройка между частотой управляемого генератора и частотой входного сигнала; - отношение помеха/сигнал; Р и М - фазо-частотная и амплитудно-частотная характеристики фильтра.
График функции хі() приведен на Рисунке 3.10 при = 0,9; а = 0,8; о"2 = 6,25 где кривые 1, 3, 5 получены при невырожденном фильтре и кривые 2, 4, 6 - при вырожденном фильтре. Кривые 1, 2 получены при = 0,3; кривые 3, 4 -при = 0,6; кривые 5, 6 - при = 0,9.
Дифференциальное уравнение ФАП
При более строгом приближении методом гармонического баланса получено уравнение для динамических характеристик фазовой автоподстройки произвольного порядка при наличии на ее входе гармонической помехи.
Найдены зависимости параметров предполагаемоого решения ДУ от параметров помехи и сигнала. Приведены соотношения для критических значений этих параметров.
Получены неравенства для определения условий захвата за сигнал и за помеху, зависящие от значений отношений помеха/сигнал, сигнальной расстройки по частоте и отстройки по частоте сигнала и гармонической помехи. Проведено моделирование режимов захвата за сигнал и за помеху.
Автором получена усреденная версия модели СС (стохастического ДУ СС) учитывающая комбинированное воздействие (узкополосной помехи и широкополосного шума) и позволяющая перейти к уравнениям ФПК и Понтрягина.
Показан переход к уравнению ФПК для СС произвольного порядка. В случае СС первого порядка приводится общее решение уравнения ФПК в интегральной форме и на его основе осуществлен переход к решению в форме ряда Фурье, причем коэфициенты ряда выражаются через бесселевы функции. Дана оценка сходимости указанного ряда и приводится алгоритм оценки.
На основе разностной схемы уравнения ФПК находится решение уравнения ФПК (ПРВ сигнала рассогласования) в переходном режиме с доказательством сходимости к стационарной ПРВ согласно структурной схема предложенного автором алгоритма. Найдено решение уравнения ФПК для СС второго порядка. Найдено решение первого уравнения Понтрягина (ВСС). На основе разностной схемы второго уравнения Понтрягина получена вероятность до срыва слежения.
В результате получены многочисленные статистические характеристики СС и их зависимость от параметров системы и отношения сигнал/шум (ОСШ) и помеха/сигнал (ОПС) при воздействии на СС узкополосной помехи и широкополосного шума.
Показано, что дисперсия сигнала рассогласования увеличивается, если частотное рассогласование и расстройка частоты сигнала и помехи направленны в разные стороны, в противном случае дисперсия уменьшается.
Использование предложенных разностных схем для уравнения ФПК, позволяет при малых затратах машинного времени с использованием ПЭВМ достаточно быстро вычислить статистические характеристики систем синхронизации.
В результате анализа получены условия захвата за сигнал и за помеху, зависящие от отношения помеха/сигнал (ОПС), а также проекции фазовой траектории на плоскости в режиме захвата сигнала и захвата помехи, и графики зависимостей ОПС от начальной расстройки по частоте. Кроме того, представлены данные сравнения критических значений параметров, полученных двумя различными методами.
Вычисление статистических характеристик фазовой автоподстройки при комбинированном воздействии, по методу предложенному Шахтариным Б.И. и методом, приведенном в диссертации, показывает их малые отличия, но при значительных расстройках частотного рассогласования и малых значениях отношения сигнал/шум. Следует также отметить, что метод Шахтарина Б.И. более прост в вычислениях.
Сравнительный анализ ПРВ сигнала ошибки для непрерывных и дискретных ФАП при прицельной помехе показывает, что при постоянном значении отношения помеха/сигнал, имеются незначительные расхождения дискретной и непрерывной ПРВ при малых значениях ОСШ. В то же время, при больших значениях ОСШ, воздействие прицельной помехи действует сильнее на дискретную систему фазовой автоподстройки. Сравнительный анализ ВСС для непрерывных и дискретных ФАП показывает, что при нулевой начальной расстройке при нормированном интервале дискретизации расхождения ВСС несущественны. При том же интервале дискретизации, но при ненулевой начальной расстройке наблюдаются существенные расхождения, которые уменьшаются с уменьшением интервала дискретизации, и результаты накладываются друг на друга при при интервале дискретизации стремящемся к нулю, что доказывает адекватность полученных результатов.
Результаты сравнительного анализа ПРВ сигнала рассогласования ФАП с пилообразной и синусоидальной характеристикой ФД показывают, что при нулевой начальной расстройке, расхождения ПРВ несущественны, в то же время при ненулевой начальной расстройке наблюдается более существенные расхождения.
По результатам сравнительного анализа ПРВ сигнала рассогласования двухконтурной СС с пилообразной и синусоидальной характеристикой ФД показывают, что при нулевой начальной расстройке, расхождения ПРВ в указанных двух случаях несущественна, в то же время при ненулевой начальной расстройке наблюдается более существенные расхождения.
Математическое моделирование двухконтурной СС дает несущественные расхождения с имитационным моделированием (среднеквадратическое отклонение не превышает 7%), при возрастании ОПС – расхождение графиков более существенно, но следует отметить, что в первом случае расход машинного времени в расчете значительно ниже, чем во втором.