Одноэтапные последовательные процедуры оценивания параметров динамических систем Емельянова Татьяна Вениаминовна

Содержание к диссертации

Введение

1. Последовательное оценивание параметров непрерывной авторегрессии 20

1.1 Постановка задачи 20

1.2 Построение последовательной процедуры 23

1.3 Свойства выборочной информационной матрицы Фишера 26

1.4 Теоретические свойства последовательного плана 32

1.5 Результаты численного моделирования 38

2. Последовательное оценивание параметров непрерывной тригонометрической регрессии на фоне зависимых шумов Орнштейна-Уленбека 45

2.1 Постановка задачи. Построение одноэтапной последовательной процедуры 45

2.2. Свойства выборочной информационной матрицы Фишера 50

2.3. Теоретические свойства последовательного плана 60

2.4 Результаты численного моделирования 66

3. Последовательное оценивание периодического сигнала на фоне авторегрессионного шума 74

3.1 Постановка задачи. Построение последовательной процедуры 74

3.2 Свойства выборочной информационной матрицы Фишера 78

3.3 Теоретические свойства последовательного плана 83

3.4 Экспериментальное исследование процедуры 93

Заключение 101

Список литературы

• Построение последовательной процедуры
• Теоретические свойства последовательного плана
• Свойства выборочной информационной матрицы Фишера
• Свойства выборочной информационной матрицы Фишера

Введение к работе

Актуальность работы. В теоретических и прикладных исследованиях, связанных с задачами обработки временных рядов и их спектральным анализом, задачами автоматического управления и регулирования, идентификации и фильтрации, в физике и финансовой инженерии широко используются динамические системы, описываемые стохастическими дифференциальными и стохастическими разностными уравнениями. Во многих случаях эти уравнения задаются с точностью до параметров, поэтому решению основных задач фильтрации, прогнозирования, управления обычно предшествует этап идентификации, заключающийся в оценивании неизвестных параметров. Для оценивания неизвестных параметров динамических систем разработаны различные методы (максимального правдоподобия, стохастической аппроксимации, наименьших квадратов и др.). Наиболее глубоко в теории идентификации изучены асимптотические свойства оценок, полученных в предположении, что процесс наблюдений динамической системы может продолжаться достаточно долго. При практическом использовании оценок обычно исходят из того, что для малых и умеренных объемов данных свойства оценок несущественно отличаются от асимптотических. Однако это условие выполняется не всегда и может приводить к ошибочным выводам. Поэтому задача неасимптотического анализа свойств оценок представляется актуальной. Одним из подходов к решению задач идентификации параметров систем в неасимптотической постановке является подход с позиций последовательного анализа.

Теория неасимптотического оценивания параметров стохастических систем, описываемых уравнениями диффузионного типа, стала развиваться с исследований Новикова¹, Липцера и Ширяева².

В этих работах рассматривалась задача оценивания параметра в диффузионного процесса, описываемого стохастическим дифференциальным уравнением вида

dX_t=0f_t(X)dt + dW_t, по наблюдениям процессов X_t и / (здесь W_t - стандартное броуновское

движение). Впервые было предложено в оценке максимального правдоподобия (МП)

^в_т

Т

т

\f_s²(X)ds \f_s(X)dX_s

¹ Новиков А. А. Последовательное оценивание параметров процессов диффузионного типа // Математические
заметки. 1972. Т. 12, вып. 5. С. 627-638.

² Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. М., 1974. 696 с.

вместо детерминированного момента Т использовать специальное правило остановки наблюдений

т = т(Н) = Ы

_J7>

>Н

Н = const.

Одним из важных достоинств последовательного плана \т{Н),в_т{НЛ является то, что он обеспечивает несмещенность, Е_вв_т = в, и гарантирует заданную среднеквадратическую точность Е_в{в_т - в)² = \/Н.

Проблема несмещенного гарантированного оценивания процесса с дискретным временем, описываемая стохастическим разностным уравнением

x_t+1 = Л(/> ^х) ⁺ Л(/> x)A + B(t, x)%_t+l

с неизвестным распределением помех %_t, впервые была решена в работе

Борисова и Конева³, предложивших для оценивания неизвестного параметра Я

последовательный план оценивания (г(я)Д*), где т(Н) обозначает

длительность процедуры, Я* - оценка неизвестного параметра. Этот план обладает свойствами несмещенности и гарантированности при достаточно общих условиях. Дальнейшее развитие теория несмещенного гарантированного оценивания параметров процессов с дискретным и непрерывным временем, включая многомерные процессы, получила работах Борисова и Конева, Воробейчикова и Конева⁴, Конева и Пергаменщикова⁵ и др.

Проблема гарантированного оценивания векторных параметров произвольной конечной размерности скалярных и векторных процессов с дискретным и непрерывным временем была решена в работах Конева и Пергаменщикова⁶. Свойство гарантированности оценки было достигнуто благодаря специальной конструкции, включающей два этапа. Первый этап связан с построением в ходе наблюдений процесса системы последовательных оценок по методу наименьших квадратов (МНК) вектора неизвестных параметров, каждая из которых использует свой момент остановки. При этом число таких оценок не фиксируется заранее, а является случайным и определяется в процессе наблюдений. Предложенная процедура реализуется в реальном масштабе времени. Такой способ построения двухэтапной процедуры позволяет получить гарантированные оценки, не требуя детальной информации

³ Борисов В. З., Конев В. В. Последовательное оценивание параметров дискретных процессов // Автоматика и
телемеханика. 1977. № 10. C. 58-64.

⁴ Воробейчиков С. Э., Конев В. В. О последовательной идентификации стохастических систем // Известия АН
СССР. Техническая кибернетика. 1960. № 4. С. 176-182.

⁵ Конев В. В., Пергаменщиков С. М. Последовательные планы идентификации динамических систем //
Автоматика и телемеханика. 1981. № 7. С. 84-92.

⁶ Konev V. V., Pergamenshchikov S. M. Sequential estimation of the parameters in a trigonometric regression model
with the Gaussian coloured noise // Statistical Inference for Stochastic Processes. 2003. Vol. 6. P. 215-235.

об устойчивости процесса, а также оценки параметров моделей с зависимыми шумами авторегрессионного типа. При всех достоинствах двухэтапной процедуры она может оказаться достаточно сложной для практической реализации. Поэтому возникает проблема построения более простых последовательных планов при наличии некоторой априорной информации об устойчивости процесса. Такая проблема для авторегрессионного процесса с дискретным временем исследовалась в работах Гальчука и Конева⁷, Конева и Кашковского⁸. При этом вопрос гарантированного оценивания для процессов с непрерывным временем оставался открытым.

Цель работы

Разработать одноэтапные последовательные процедуры оценивания параметров в применении к моделям авторегрессионного типа с непрерывным временем, а также к моделям регрессионного типа с зависимыми шумами.

Исследовать работоспособность процедур с помощью численного моделирования.

Для достижения цели были сформулированы следующие задачи:

1. Разработать и исследовать одноэтапную последовательную процедуру оценивания параметров авторегрессионной модели порядка p c непрерывным временем.

2. Разработать и исследовать одноэтапную последовательную процедуру оценивания параметров для модели вида «сигнал плюс шум» c непрерывным временем.

3. Разработать и исследовать одноэтапную последовательную процедуру оценивания параметров для модели вида «сигнал плюс шум» c дискретным временем.

Новизна полученных в диссертационной работе результатов

заключается в разработке одноэтапных последовательных процедур

оценивания векторных параметров в моделях, описываемых стохастическими
дифференциальными и стохастическими разностными уравнениями.

Построеные процедуры позволяют контролировать среднеквадратическую точность оценок неизвестных параметров модели (путем выбора порога в момент остановки). Данная методика является развитием подходов и методов последовательного анализа для идентификации параметров динамических систем.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, носят фундаментальный характер с перспективами

⁷ Galtchouk L., Konev V. On sequential least squares estimates of autoregressive parameters // Sequential Analysis.
2005. Vol. 24, is. 4. P. 335-364.

⁸ Кашковский Д. В., Конев В. В. Последовательная идентификация линейной динамической системы со
случайными параметрами // Автоматика и телемеханика. 2008. № 8. С. 82-95.

научно-практических приложений и могут применяться в различных областях науки и техники, таких как финансовая геофизика, математика, метеорология и других. Кроме того, полученные результаты могут быть использованы при решении прикладных задач, связанных с идентификацией систем, управлением, статистической обработкой данных и прогнозированием.

Исследования проводились в международной лаборатории статистики случайных процессов и количественного финансового анализа в рамках Программы «Научный фонд им. Д.И. Менделеева Томского государственного университета».

Методы исследования. Решение поставленных в диссертационной
работе задач и достижение цели проводилось в рамках теории анализа
временных рядов на основе последовательных методов статистики случайных
процессов. При доказательстве теоретических результатов используются
методы теории стохастического дифференциального исчисления, теории
вероятностей, математического анализа, линейной алгебры и классической
теории дифференциальных уравнений. Для подтверждения работоспособности
процедуры и подтверждения теоретических выводов проводилось

имитационное моделирование процессов по методу Монте-Карло.

На защиту выносятся

1. Одноэтапная последовательная процедура оценивания параметров
авторегрессионной модели порядка p , позволяющая контролировать

среднеквадратическую точность оценок, теорема о средней асимпотической длительности предлагаемой процедуры и результаты имитационного моделирования для данного метода.

2. Одноэтапная последовательная процедура для модели тригонометрической регрессии с зависимыми шумами авторегрессионного типа с непрерывным временем, теорема о средней асимпотической длительности предлагаемой процедуры и результаты имитационного моделирования для данного метода.

3. Одноэтапная последовательная процедура для модели тригонометрической регрессии с зависимыми шумами авторегрессионного типа с дискретным временем, теорема о средней асимпотической длительности предлагаемой процедуры и результаты имитационного моделирования для данного метода.

Обоснованность полученных в работе результатов и достоверность
выводов обеспечивается строгим математическим обоснованием в форме
теорем. Теоретические результаты, касающиеся среднеквадратической

точности оценок и длительности разработанной процедуры, подтверждены имитационным моделированием.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на

следующих конференциях:

1. Всероссийская конференция по математике и механике, Томск, 2-4 октября 2013 г.

2. V Международная конференция «Математика, ее приложения и математическое образование», Улан-Удэ, 23-28 июня 2014 г.

3. The 1^st International Academic Congress «Fundamental and Applied Studies in the Pacific аnd Atlantic Oceans Countries», Токио, Япония, 25 октября

2014 г.

4. Международная научно-практическая конференция «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», Сочи, 15-24 мая 2015 г.

5. Молодежная научная конференция «Все грани математики и механики», Томск, 24-30 апреля 2015 г.

6. Международная научная конференция «Робастная статистика и финансовая математика», Томск, 01-02 июля 2015 г.

7. The Third International Workshop «Applied Methods of Statistical Analysis. Nonparametric Approach – AMSA'2015», Новосибирск, 14-19 сентября

2015 г.

Личный вклад автора заключается в совместной с научным руководителем постановке задач, анализе результатов исследований, формулировке выводов и положений, выносимых на защиту. Непосредственно автором были доказаны теоремы, проведены аналитические вычисления и численные эксперименты. В диссертацию вошли результаты, полученные как лично автором, так и разработанные в соавторстве с научным руководителем.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 9 работах, в том числе 3 статьи в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук, и 6 публикаций в других научных изданиях, включая сборники материалов международных и всероссийских научных конференций.

Объем и структура работы. Кандидатская диссертация включает в себя введение, 3 главы, заключение, список литературы и приложение. Объем работы составляет 111 страниц, включая 13 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 79 наименований.

Построение последовательной процедуры

Пусть наблюдаемый р -мерный процесс Xt = (X1(t),...,Xp(t)) описывается системой линейных дифференциальных уравнений dXt = AXtdt + BdWt, (1.1) в которой А и В - квадратные матрицы постоянных коэффициентов размера рхр, причем все характеристические числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части, Wt - стандартный р -мерный процесс броуновского движения. Задача состоит в том, чтобы оценить неизвестные коэффициенты матрицы А = аи по наблюдениям процесса Xt на промежутке [0, Т]. К этой задаче сводится задача оценивания параметров стационарного гауссовского процесса авторегрессии р -го порядка AR(p), р 2 dx{tp l) = (#Л( p l) + ... + 0pxt)dt + odwt с рациональной спектральной плотностью, имеющей вид ДЛ) = (1.2) а Предполагается, что неизвестные параметры вг., i = l,p таковы, что все корни характеристического полинома Q(z) = zP-&i р-1 вр имеют отрицательные вещественные части, с - известная положительная постоянная. Процесс (1.2) представляется в виде (1.1), если положить xt о о о о о а 0 1 0 ... (Г О 0 1 ... О A Xt = ; (1.3) ;в = (p-l) сг 0

Заметим, что авторегрессионные процессы находят широкое применение в спектральном анализе, поскольку известно, что при достаточно общих условиях стационарный в широком смысле процесс может быть аппроксимирован авторегрессионным процессом. При этом задача оценки спектральной плотности сводится к оцениванию неизвестных параметров процесса авторегрессии. Такой подход имеет преимущества перед известными методами [39, 41, 42] сглаживания периодограмм с помощью окон различного вида.

Одним из основных методов оценивания вектора неизвестных параметров 6 = (01,02,...,0рУ по наблюдениям процесса (1.1) на промежутке [0,т] является метод наименьших квадратов [1], согласно которому оценка 9Т имеет вид т 6Т =МТ J Xsd(Xtj 5 (1-4) о где {а)І обозначает і-ю координату вектора-столбца a = lal,...,apY, штрих обозначает транспонирование; т Мт = X5X5 is (1-5) - выборочная информационная матрица Фишера, Ml - обратная к ней, если она не вырождена, и МТl = 0 - в противном случае. Асимптотические свойства вектора оценок вт по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов изучались в ряде работ (см,например [2, 3, 19, 34, 35]): они являются сильно состоятельными и асимптотически нормальными. В прикладных задачах использование асимптотических свойств оценок обычно основывается на предположении, что эти свойства сохраняются для малых и умеренных объемов данных. Однако поведение оценок при малых и умеренных длительностях наблюдений может существенно отличаться от асимптотического, и это может привести к неточным выводам при принятии решений. Изучение задач оценивания параметров диффузионных процессов в неасимптотической подстановке восходит к работам Новикова, Липцера и Ширяева [26, 30, 31], которые предложили последовательный план оценивания неизвестного параметра диффузионного процесса dxt = 6xtdt + jdwt, а также векторного параметра двумерного процесса специального вида с двумя неизвестными параметрами. В этих работах было доказано, что последовательная оценка имеет преимущества перед классической оценкой МНК: она является несмещенной и гауссовской (см. подробнее [26, 30, 31] и др.).

Этот метод, однако, оказывается непригодным в более общей ситуации, когда число неизвестных параметров превышает размерность наблюдаемого процесса. В работах [21, 62] впервые была разработана общая последовательная процедура, позволяющая получать гарантированные оценки с любой заданной среднеквадратической точностью для авторегрессии с дискретным и непрерывным временем любого порядка по конечной реализации процесса. Предложенная в [21] процедура позволяет оценить неизвестные параметры с любой заданной среднеквадратической точностью и обладает хорошими асимптотическими свойствами. Эта процедура, однако, оказываетсяся, достаточно сложной для практической реализации в случае нескольких неизвестных параметров, поскольку требует построения системы из случайного числа модифицированных оценок МНК, путем сглаживания которых находится последовательная оценка.

Цель главы – построить одноэтапную процедуру оценивания, использующую специальное правило остановки наблюдений, которая позволяет контролировать среднеквадратическую точность оценок. Эта процедура, как и в [21, 62], является последовательной модификацией оценки МНК и может использоваться при наличии некоторой априорной информации о параметрах.

Теоретические свойства последовательного плана

Здесь наряду со значениями параметров модели в1 и в2, в следующих за ними столбцах приводятся среднеквадратические точности полученных последовательных оценок. В столбцах SDw ) и SD(O ) даются среднеквадратические уклонения обычных оценок МНК (1.4), вычисленных по реализации длины Т. При этом значение Т находилось из условия определяет длительность 71 = г (100) = У\ (100), где г. (100) 100 г=1 последовательной процедуры в /-м эксперименте. Подставляя полученную оценку #(//) = (01,в2 ) в (1.2), можно получить оценку спектральной плотности /(Л) процесса (1.43). Теорема 1.2 позволяет построить доверительную область для оценки /(Л). На рис. 1.2 приводятся графики спектральной плотности процесса (1.43) с в1 = -0,3 и в2= -0,2 (сплошная линия) и ее оценки при полученных значениях оценок параметров в1 и 92 (пунктирная линия) с помощью последовательного плана (1.9), (1.10).

Результаты численного исследования процедуры показывают, что удовлетворительная согласованность с асимптотическим результатом в теореме 1.1 достигается при пороге процедуры Я 300. При этом значении порога процедуры среднеквадратическая погрешность не превышает 0,006 для параметра в1 и не превышает 0,004 для параметра 02, что также показывает хорошую согласованность с теоретическими результатами.

Установлено, что использование последовательных оценок позволяет оценить спектральную плотность процесса с удовлетворительной точностью при пороге процедуры И = 200. Сравнение последовательных и обычных оценок максимального правдоподобия показывает, что при одинаковых объемах выборки они близки по точности. При этом, однако, следует учитывать, что последовательные оценки позволяют контролировать среднеквадратическую точность путем выбора величины порога Н. Результаты и выводы 1. В данной главе построена одноэтапная последовательная процедура оценивания параметров процесса устойчивой авторегрессии порядка p с непрерывным временем.

2. При построении использовано специальное правило прекращения наблюдений, определяемое по выборочной информационной матрице Фишера, гарантирующее заданную среднеквадратическую точность оценок.

3. Установлено, что предлагаемый последовательный план дает возможность оценить неизвестные параметры с заданной среднеквадратической точностью.

4. Получена асимптотическая формула для средней длительности процедуры при неограниченномувеличении порога, определяющего момент остановки.

5. Проведено экспериментальное исследование предлагаемой процедуры на примере процесса авторегрессии второго порядка. Исследование подтвердило работоспособность процедуры и согласие ее выборочных свойств с теоретическими результатами, полученными в теоремах 1.1 и 1.2.

6. Сравнение с классическим методом наименьших квадратов показало, что предлагаемый последовательный план не уступает по точности классическим оценкам МНК и при этом имеет преимущества в том, что момент остановки последовательной процедуры можно определить в зависимости от требуемой точности.

7. Предлагаемая процедура может использоваться в задачах идентификации динамических систем, а так же в спектральном анализе для оценивания спектров случайных процессов с непрерывным временем. Метод применим к более общим задачам оценивания параметров тригонометрических сигналов, наблюдаемых на фоне аддитивных шумов, которые будут рассмотрены в следующих главах.

Последовательное оценивание параметров непрерывной тригонометрической регрессии на фоне зависимых шумов Орнштейна-Уленбека В главе рассматривается задача оценивания непрерывного тригонометрического сигнала на фоне зависимых шумов Орнштейна-Уленбека. Построена одноэтапная последовательная процедура оценивания параметров сигнала, гарантирующая заданную среднеквадратическую точность. Последовательный план представляет собой оценку МНК, вычисленную в момент остановки наблюдений. Момент остановки определяется на основе выборочной информационной матрицы Фишера. Исследованы основные свойства последовательного плана. Получены формулы для асимптотической средней длительности процедуры и среднеквадратической погрешности оценок. Доказано, что средняя длительность процедуры пропорциональна величине ее порога. Приведены результаты экспериментального исследования предлагаемой процедуры на примере сигнала St = ах cos тй + а2 sin2;# .

Свойства выборочной информационной матрицы Фишера

В главе рассматривается задача оценивания дискретного тригонометрического сигнала на фоне зависимых шумов авторегрессионного типа. Построена одноэтапная последовательная процедура оценивания параметров сигнала, гарантирующая заданную среднеквадратическую точность. Последовательный план представляет собой оценку МНК, вычисленную в момент остановки наблюдений. Момент остановки определяется на основе выборочной информационной матрицы Фишера. Исследованы основные свойства последовательного плана. Получены формулы для асимптотической средней длительности процедуры и среднеквадратической погрешности оценок. Приведены результаты экспериментального исследования предлагаемой тт т процедуры на примере сигнала на примере функции \ =a1cos+ a2sin с 6 3 аддитивным шумом вида ,п = Л и_1 + „, в котором єп - независимые стандартные нормальные величины. Материал данной главы опубликован в работах [16, 46].

В случае дискретного времени проблема выделения сигналов наиболее полно изучена для случая помех, являющихся последовательностью независимых случайных величин. Менее изучена проблема оценивания параметров сигналов при шумах с неизвестными спектральными свойствами. Наличие дополнительных неизвестных (мешающих) параметров шума существенно усложняет задачу вычисления точности оценок параметров сигнала (см., например, [60]). В работе [21] построена последовательная процедура оценивания периодического сигнала на фоне авторегрессионных помех с неизвестными параметрами, обладающая хорошими асимптотическими свойствами и гарантирующая оценивание параметров сигнала с любой заданной среднеквадратической точностью. Эта

процедура, однако, может оказаться достаточно сложной для практической реализации в случае многих неизвестных параметров, поскольку она требует построения системы из случайного числа оценок МНК, путем сглаживания которых находится последовательная оценка. Поэтому задача построения более простой процедуры оценивания, позволяющей контролировать среднеквадратическую точность при некоторой априорной информации о параметрах остается актуальной.

Рассмотрим задачу оценивания параметров М\, Mi? Pj\? Pji? J= 1?-?г тригонометрического сигнала S„= jux+ (-l)"jU2 + Y Pji cosfiyi + p]2 smcd}n (3.1) 7=1 по наблюдениям xn = Sn + „, (3.2) где S,n - шум является устойчивым процессом авторегрессии р -го порядка: ( п = Я1с п_1+... +Ярс п_р+єп. (3.3) Здесь \sn\ - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Еєп = 0,Еє2 = a2; \,...,Ap - неизвестные параметры такие, что все корни характеристического полинома r{z) = z - Az -...-Ар лежат внутри единичного круга комплексной плоскости. Относительно известных параметров предположим, что 0 со} тг, coi Ф сиу при / Ф J .

Известно [1, с. 113], что тригонометрическим полиномом (3.1) может быть описан любой периодический сигнал с целочисленным периодом Т, при этом T-\ Г = , со. = —, [а] обозначает целую часть числа а. т С учетом (3.1) и (3.3), наблюдаемый процесс (3.2) удовлетворяет уравнению хп = mi +(-V"m2 +Z( i cos jn +у j2 sinfi 7.w) +]T V„- +єп,п р + \. (34) 7=1 k=\ Здесь ml,m2,yJl и \, к = \,...,р неизвестные параметры, связанные с параметрами сигнала равенствами Щ=Мі V =i J ,m2=ju2 i-ХнУл у zz А) l-V/Lcosc;,/ +/?, 9V/Lsin « / J l j І j X i I j (3.5) P + P ;2 У v = У = l,--,r Используя обозначения Фп 7и vx»-iy , Хи = Хи \ n—p+1 J Фп = Pi (и) ; ?2г+2(и) (3.6) где (и) = 1, 2(и) = (-1)", Фк(гі) = cos %_2я при 3 к г + 2, %(w) = sincok_r_2 при r + 3 2r + 2, запишем это уравнение в векторной форме: хп =a Yn+en,n p + l, здесь Y V n-iy аєЛ (3.7) а = {щ,т2, уп, у12,..., уг1, уг2 ) - вектор оцениваемых параметров; Л -множество всех допустимых значений вектора ос , учитывающее требования на параметры \,...,Лр в (3.3), штрих обозначает транспонирование.

Оценка по методу наименьших квадратов вектора параметров а по N наблюдениям процесса (3.7) имеет вид N к к к=\ N a{N) = M+NYjkx (3.8) N где MN - 2 YkYk - выборочная информационная матрица Фишера размера к=\ lxl,l = 2r + 2 + р, M+ N - матрица, обратная к матрице М, если она невырождена, и + MN =0 - в противном случае. Будем предполагать, что минимальное собственное значение \\MN) матрицы М удовлетворяет с вероятностью единица условию / (Мд,)—»оо при 7V—»оо. Как следует из (3.7), обратная матрица M+ N в (3.8) является случайной. Это создает трудности при анализе среднеквадратической точности оценки вектора параметров а. Чтобы обойти эти трудности, предлагается использовать последовательную оценку МНК со специальным правилом прекращения наблюдений. Выбор такого правила можно осуществить, используя оценку уклонения оценки МНК в модели типа (3.7), полученную в [51]. Для процесса (3.7) эта оценка имеет вид 9 9 Я аг(и)-ог М 2 -тп , где тп = /кєк. (3.9) к=\ I Поскольку в силу условия на матрицу М множитель и2 = АЛУ О в правой У=1 части (3.9) монотонно стремится к нулю с ростом объема выборки п, это можно использовать для выбора момента остановки т(И) последовательной процедуры. Для любого положительного h введем момент остановки і 2 т = r(h) = inf п \: М --2 и и (3-Ю) Последовательную оценку МНК ос (И) параметра ее определим равенством a {h)=MT{h) 2 PkYkxk, (3.11) k=p+\ ч l№ , 1, если к т(И), где Mr(h)= 2jfikYkYk Pk=\ п, 7 n ыр+\ [К"Л если к = r(/z), здесь корректирующий множитель v(h), находится из равенства (К) г(А) (т(К)-\ Z7 7 +V(W( ) V к=\ -2 і h (3.12) В силу монотонности последовательности матриц \Мп)п 1 имеем 0 v(h) 1.

При изучении свойств выборочной информационной матрицы Фишера последовательного плана (3.10)-(3.11) в зависимости от выбора порога h будем предполагать, что вектор неизвестных параметров а в уравнении (3.7), принадлежит некоторому известному компакту К из допустимого параметрического множества Л, учитывающего ограничения на параметры шума. В работе [21] установлено, что последовательность векторов {Гй}, определенная в (3.7) при ЯєЛ, с вероятностью единица удовлетворяет предельному соотношению ,. 1 V T, т, пні — іпУп = г - п=р+\ (3.13) где F - положительно определенная блочная матрица размера lxl,l = 2r + 2 + р имеющая вид:

Свойства выборочной информационной матрицы Фишера

Замечание. Теорема 3.2 позволяет контролировать среднеквадратическую точность последовательной оценки с помощью выбора порога h, учитывая, что величина Ьк может быть вычислена априори. Как показывает экспериментальное исследование процедуры, эта постоянная может быть вычислена и численно, без априорной информации о параметрах процедуры, так как сходимость средней длительности процедуры к своему теоретическому значению достаточно быстрая и удовлетворительные по точности результаты можно получить уже при значении порога процедуры h = 50. При этом средняя длительность процедуры, согласно теореме 3.1, растет линейно с ростом h. Следствие. В условиях теоремы 3.2 для любого є 0 верна следующая оценка вероятности «промаха»

Эта оценка очевидным образом вытекает из неравенства Чебышева и оценки (3.53). Заметим также, что выбирая систему оценок a(Hn),nGN с —— , получаем последовательность п \Нп оценок ос {Нп),п є N ,сходящуюся к истинному значению параметра с вероятностью 1.

В данном параграфе представлены результаты численного моделирования предлагаемой последовательной процедуры (3.10) - (3.11) оценивания параметров тригонометрической регрессии с дискретным временем по наблюдениям процесса

Для проверки согласия выборочных свойств оценок (3.10), (3.11) с теоретическими результатами теорем 3.1, 3.2 проводилось моделирование по методу Монте-Карло, включавшее 100 повторений процедуры при различных значениях порога Н, определяющего момент остановки т = т(Н).

На рис. 3.1 приводятся графики функции регрессии (3.69) с а1=0.5 и а2 = 0.7 (сплошная линия) и ее оценки по наблюдениям процесса (3.67) (пунктирная линия), построенной с помощью процедуры (3.10), (3.11) при параметре шума Л = -0.6 На рис.3.2 приводится график спектральной плотности шума (3.68) при Я = -0.6 (сплошная линия) и ее оценки (пунктирная линия)

В таблице 3.1 приводятся результаты вычислений, полученные при параметрах шума Я = -0.6 и Л = -0.9. Здесь даны значения оцениваемых параметров ах, а2, величина порога процедуры h, выборочная средняя длительность процедуры т (/г), удельная средняя длительность r (h)/h и ее асимптотическое теоретическое значение столбцов в таблице 3.1 свидетельствует о согласии результатов моделирования с утверждением теоремы 3.1, поскольку выборочная характеристика (h) / h близка к теоретическому значению.

На рис. 3.3 приводится график, иллюстрирующий скорость сходимости удельной средней длительности процедуры (H)/ H , вычисленной по ее 100 повторениям, к теоретическому значению

Заметим, что выборочная характеристика предлагаемой процедуры достаточно быстро сходится к своему теоретическому значению, при пороге процедуры Н = 70 разница между теоретическим и выборочным значением не превосходит 0,1. Это может быть использовано при практическом вычислении постоянной bk для контроля за среднеквадратической погрешностью процедуры при отсутствии априорной информации о параметрах оцениваемого сигнала и шума. Приближение значения параметра шума к границе области устойчивости авторегрессионного процесса увеличивает длительность процедуры, что так же согласуется с получеными теоретическими выводами.

В таблице 3.2 наряду со значениями параметров модели я1, а2 в следующих за ними строках, приводятся среднеквадратические точности полученных последовательных оценок. В строках с заголовками SD(1), SD(2) даются среднеквадратические уклонения обычных оценок МНК (3.8), вычисленных по реализации длины N. При этом значение N находилось из 1 -Д условия N =т (50) = тг.(50) где ",(50) определяет длительность последовательной процедуры в і-м эксперименте. Скорость сходимости среднеквадратической погрешности оценок к нулю с ростом порога процедуры h