Оценка состояний и параметров дважды стохастических потоков событий Нежельская Людмила Алексеевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 Оценивание состояний дважды стохастических потоков событий при полной наблюдаемости потоков 27

1.1 Алгоритм оценки состояний при равноценных наблюдениях 27

1.1.1 Асинхронный поток 27

1.1.2 Алгоритм оценки состояний асинхронного потока 29

1.1.3 Синхронный поток и алгоритм оценки его состояний 32

1.1.4 Полусинхронный поток и алгоритм оценки его состояний 35

1.2 Алгоритм оценки состояний, учитывающий старение информации 38

1.2.1 Асинхронный поток 38

1.3 Алгоритм оценки состояний при наличии ошибок измерений 41

1.3.1 Асинхронный поток 41

1.4 Выводы 42

Глава 2 Оптимальное оценивание состояний дважды стохастических потоков событий при полной наблюдаемости потоков 44

2.1 Рекуррентные соотношения для апостериорных вероятностей состояний 44

2.2 Оптимальная оценка состояний асинхронного потока

2.2.1 Дифференциальное уравнение для апостериорных вероятностей ... 48

2.2.2 Явный вид апостериорных вероятностей 50

2.2.3 Алгоритм принятия решения о состоянии потока 53

2.3 Оптимальное оценивание состояний обобщенного асинхронного потока 54

2.3.1 Описание обобщенного асинхронного потока 54

2.3.2 Уравнение Риккати и алгоритм принятия решения 56

2.3.3 Численные результаты 62

2.4 Оптимальная оценка состояний синхронного потока событий 63

2.4.1 Вывод дифференциального уравнения Риккати 63

2.4.2 Явный вид апостериорных вероятностей и формула пересчета 67

2.4.3 Алгоритм оценки состояний синхронного потока событий 71

2.5 Оптимальное оценивание состояний полусинхронного потока 71

2.5.1 Дифференциальное уравнение для апостериорных вероятностей... 72

2.5.2 Поведение апостериорной вероятности на временной оси 75

2.5.3 Алгоритм принятия решения о состоянии потока 78

2.6 Оптимальное оценивание состояний обобщенного полусинхронного потока событий 79

2.6.1 Определение обобщенного полусинхронного потока событий 79

2.6.2 Дифференциальное уравнение для апостериорных вероятностей... 81

2.6.3 Явный вид апостериорных вероятностей в общем и в особом случаях 82

2.6.4 Алгоритм оптимальной оценки состояний и численные результаты 85

2.7 Оптимальное оценивание состояний МАР-потока событий 89

2.7.1 Описание МАР-потока 89

2.7.2 Уравнение Риккати для апостериорных вероятностей 92

2.7.3 Апостериорная вероятность как функция времени в общем и в особом случаях и формула пересчета 96

2.7.4 Алгоритм оптимального оценивания и численные результаты 101

2.8 Оптимальная оценка состояний модулированного МАР-потока событий 104

2.8.1 Определение модулированного МАР-потока событий 104

2.8.2 Дифференциальное уравнение для апостериорных вероятностей. 107

2.8.3 Поведение апостериорной вероятности на временной оси и алгоритм принятия решения 109

2.9 Выводы 111

Глава 3 Оптимальное оценивание состояний дважды стохастических потоков событий в условиях частичной наблюдаемости потоков 114

3.1 Условия неполной наблюдаемости за дважды стохастическими потоками событий 114

3.2 Оптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного потока при непродлевающемся мертвом времени

3.2.1 Исходные предпосылки для вывода апостериорной вероятности . 117

3.2.2 Вид апостериорной вероятности в условиях мертвого времени... 117

3.2.3 Алгоритм оценки состояний обобщенного асинхронного потока событий при наличии мертвого времени 119

3.3 Оптимальная оценка состояний полусинхронного потока при непродлевающемся мертвом времени 120

3.3.1 Апостериорная вероятность в условиях мертвого времени 120

3.3.2 Алгоритм оценки состояний полусинхронного потока событий при наличии мертвого времени 121

3.3.3 Численные результаты 123

3.4 Оптимальное оценивание состояний обобщенного полусинхронного потока при наличии непродлевающегося мертвого времени 124

3.4.1 Вид апостериорной вероятности в условиях мертвого времени... 125

3.4.2 Алгоритм принятия решения о состоянии обобщенного полусинхронного потока событий при наличии мертвого времени 126

3.5 Оптимальная оценка состояний МАР-потока, функционирующего в условиях непродлевающегося мертвого времени 127

3.5.1 Апостериорная вероятность на участках ненаблюдаемости 128

3.5.2 Алгоритм оценки состояний МАР-потока событий с учетом мертвого времени 129

3.5.3 Численные результаты оценивания состояний МАР-потока 130

3.6 Оптимальное оценивание состояний модулированного МАР-потока

событий при непродлевающемся мертвом времени 136

3.6.1 Вид апостериорной вероятности в условиях мертвого времени... 137

3.6.2 Алгоритм принятия решения о состоянии модулированного МАР-потока событий в условиях мертвого времени 138

3.6.3 Численные результаты оценивания состояний модулированного МАР-потока событий 139

3.7 Выводы 141

Глава 4 Оценка параметров дважды стохастических потоков событий в условиях полной наблюдаемости потоков 143

4.1 Оценка параметров синхронного потока событий 143

4.1.1 Плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в потоке 143

4.1.2 Совместная плотность вероятности значений длительностей смежных интервалов в синхронном потоке 147

4.1.3 Условия рекуррентности синхронного потока 150

4.1.4 Оценка параметров методом моментов 152

4.1.5 Результаты численных экспериментов 155

4.2 Оценка параметров полусинхронного потока событий 156

4.2.1 Плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в полусинхронном потоке 156

4.2.2 Совместная плотность вероятности значений длительностей соседних интервалов в потоке и условия рекуррентности 158

4.2.3 Совместная плотность вероятности в полусинхронном потоке для особого случая и условия рекуррентности 159

4.2.4 Построение оценок параметров методом моментов 161

4.2.5 Численные результаты оценки параметров 163

4.3 Оценка параметров обобщенного асинхронного потока событий 164

4.3.1 Плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в обобщенном асинхронном потоке 164

4.3.2 Совместная плотность вероятности значений длительностей смежных интервалов и условия рекуррентности 168

4.3.3 Совместная плотность вероятности в обобщенном асинхронном потоке для особого случая и условия рекуррентности потока 170

4.3.4 Оценивание параметров обобщенного асинхронного потока событий методом моментов 172

4.4 Оценка параметров альтернирующих потоков событий 177

4.4.1 Альтернирующий поток без дополнительных событий 177

4.4.2 Альтернирующий поток с дополнительными событиями 178

4.4.3 Построение оценок параметров альтернирующих потоков методом моментов 179

4.5 Оценка параметров плотности вероятности р() для МАР-потока событий 181

4.5.1 Плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в МАР-потоке 181

4.5.2 Оценивание параметров плотности вероятности р() методом моментов 185

4.5.3 Численные результаты оценки параметров 187

4.6 Оценка параметров плотности вероятности р() для модулированного МАР-потока событий 189

4.6.1 Плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в модулированном МАР-потоке 189

4.6.2 Совместная плотность вероятности значений длительностей смежных интервалов в потоке и условия рекуррентности 193

4.6.3 Построение оценок параметров плотности вероятности р() методом моментов 194

4.6.4 Результаты численных расчетов по оценке параметров 195

4.7 Выводы 198

Глава 5 Оценка параметров дважды стохастических потоков событий в условиях частичной наблюдаемости потоков 200

5.1 Функционирование дважды стохастических потоков событий при непродлевающемся мертвом времени 200

5.2 Оценка параметров и длительности мертвого времени в синхронном потоке событий

5.2.1 Плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке 201

5.2.2 Построение оценок параметров синхронного потока событий и длительности мертвого времени методом моментов 207

5.2.3 Результаты численных экспериментов 210

5.3 Оценка параметров и длительности мертвого времени в полусинхронном потоке событий 212

5.3.1 Вывод плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке 212

5.3.2 Плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями для особого случая 217

5.3.3 Построение оценок параметров полусинхронного потока и длительности мертвого времени методом моментов в общем случае 220

5.3.4 Результаты численных экспериментов 2 5.4 Оценка параметров и длительности мертвого времени в альтернирующем потоке без дополнительных событий методом моментов 224

5.5 Выводы 226

Глава 6 Оценка длительности непродлевающегося мертвого времени в дважды стохастических потоках событий 228

6.1 МП- и ММ-оценки длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий 228

6.1.1 Вывод плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке 229

6.1.2 Совместная плотность вероятности значений длительностей смежных интервалов в потоке и условия рекуррентности 233

6.1.3 Совместная плотность вероятности в наблюдаемом потоке для особого случая и условия рекуррентности потока 235

6.1.4 МП-оценка длительности мертвого времени в наблюдаемом потоке 237

6.1.5 ММ-оценка длительности мертвого времени в наблюдаемом потоке 244

6.1.6 Численное сравнение МП- и ММ-оценок 246

6.2 МП- и ММ-оценки длительности мертвого времени в обобщенном полусинхронном потоке 250

6.2.1 Нахождение плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке 250

6.2.2 Совместная плотность вероятности значений длительностей смежных интервалов и условия рекуррентности потока 253

6.2.3 Особый случай в обобщенном полусинхронном потоке событий 256

6.2.4 МП-оценка длительности мертвого времени в общем случае 257

6.2.5 ММ-оценка длительности мертвого времени в обобщенном полусинхронном потоке 263

6.2.6 Сравнение численных результатов для МП- и ММ-оценок 265

6.3 МП- и ММ-оценки длительности мертвого времени в модулированном МАР-потоке 267

6.3.1 Плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке 268

6.3.2 Вывод совместной плотности вероятности значений длительностей смежных интервалов и условия рекуррентности потока 270

6.3.3 МП-оценка длительности мертвого времени 272

6.3.4 ММ-оценка длительности мертвого времени в модулированном МАР-потоке 280

6.3.5 Сравнение численных расчетов для МП- и ММ-оценок 281

6.4. Выводы 283

Глава 7 Вероятность ошибки при оценивании состояний дважды стохастических потоков событий в условиях полной наблюдаемости потоков 286

7.1 Вероятность ошибочного решения о состоянии дважды стохастических потоков событий в общем случае 286

7.2 Условная вероятность ошибки оценивания состояния в обобщенном асинхронном потоке событий в общем случае 288

7.3 Условная вероятность ошибки оценивания состояния в обобщенном асинхронном потоке событий в частных случаях 291

7.4 Безусловная вероятность ошибочного решения о состоянии обобщенного асинхронного потока событий 294

7.5 Результаты численных расчетов 298

7.6 Выводы 299

Глава 8 Оценка длительности мертвого времени в дважды

стохастических потоках событий при продлевающемся мертвом времени. 301

8.1 Формирование наблюдаемого потока событий с продлевающимся мертвым временем 301

8.2 Преобразование Лапласа плотности вероятности общего периода ненаблюдаемости рекуррентного потока событий 302

8.3 Построение оценки длительности мертвого времени в рекуррентном синхронном потоке событий и численные результаты 303

8.4 Оценивание длительности мертвого времени в рекуррентном полусинхронном потоке событий и результаты экспериментов 309

8.5 Выводы 313

Заключение 315

Список использованной литературы

• Алгоритм оценки состояний, учитывающий старение информации
• Дифференциальное уравнение для апостериорных вероятностей
• Исходные предпосылки для вывода апостериорной вероятности
• Вывод плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке

Введение к работе

Актуальность работы. Теория массового обслуживания (ТМО), называемая зарубежными авторами теорией очередей, возникла в начале XX века и была представлена работами датского ученого А. К. Эрланга, связанными с решением задач в области телефонии – проектированием и расчетом систем обслуживания телефонного трафика. В середине XX века аналогичные телефонным задачи возникают в естествознании, медицине, организации производства, что обусловило возросший интерес ученых (как зарубежных, так и отечественных) к их решению методами ТМО. Основы и фундаментальные результаты по ТМО изложены в трудах И. Н. Гнеденко, Г. И. Ивченко, Л. Клейнрока, А. Кофмана, Г. А. Медведева, Д. Риордана, Т. Л. Саати, А. Я. Хинчина, D. Cox, C. Palm.

Развитию ТМО, совершенствованию применяемого математического аппарата способствуют работы Г. П. Башарина, В. М. Вишневского, А. Н. Дудина, В. Н. Задорожного, В. А. Ивницкого, Ю. В. Малинков-ского, М. А. Маталыцкого, А. З. Меликова, А. А. Назарова, К. Е. Самуй-лова, М. П. Фархадова, Г. Ш. Цициашвили, S. Balsamo, R. Disney, E. Ge-lenbe, J. Harrison, J. Jackson, J. McKenna, J. Walrand по проектированию, внедрению, эксплуатации и модернизации информационно-вычислительных систем и сетей разной конфигурации, спутниковых сетей связи, телекоммуникационных сетей и т. п.

Основные вехи и тенденции развития ТМО до 90-х годов XX в., а также методы ТМО изложены в работах П. П. Бочарова, И. Н. Коваленко, Д. Кенига, Д. Штойяна, В. В. Рыкова. В 60–80-х годах прошлого столетия возникает повышенный интерес учёных в области ТМО к управляемым системам массового обслуживания (СМО), представляющим собой адекватные модели технических систем и систем экономического назначения, требующих решения в том числе и оптимизационных задач.

В подавляющем большинстве работ по исследованию СМО и сетей массового обслуживания в качестве входящих потоков событий рассматривались пуассоновские потоки. Однако в связи с развитием спутниковых, компьютерных и мобильных сетей связи модель простейшего потока перестала быть адекватной реальным потокам событий. Таким образом, требования практики послужили стимулом к рассмотрению дважды стохастических потоков в качестве математических моделей реальных потоков. D. Cox и J. Kingman первыми в своих статьях определяют дважды стохастический поток как поток событий с интенсивностью, представляющей собой случайный процесс. Дважды стохастические потоки

можно разделить на два класса: первый класс составляют потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс; второй – потоки, интенсивность которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний. Потоки первого класса исследованы, в частности, в трудах D. Cox, J. Kingman, D. Snyder. Впервые результаты исследований потоков второго класса опубликованы практически одновременно, в 1979 г., в работах Г. П. Башарина, В. А. Кокотушкина, В. А. Наумова, где потоки названы MC-потоками, и М. Neuts, где потоки названы MVP-потоками. D. Lucantoni определил потоки второго класса как MAP-потоки. Зарубежными и отечественными учеными при описании подобных входящих потоков используются термины: дважды стохастические потоки событий, MAP-потоки, MC-потоки.

Автором предложена классификация MAP-потоков на MAP-потоки первого порядка и MAP-потоки второго порядка в зависимости от вариантов смены состояний интенсивности потока. Рассмотрен случай, когда кусочно-постоянный случайный процесс, являющийся интенсивностью MAP-потока, имеет два состояния. Класс MAP-потоков первого порядка составляют потоки, у которых смену состояний интенсивности определяет одна случайная величина: 1) синхронные потоки; 2) собственно MAP-потоки как обобщение синхронных потоков. Класс MAP-потоков второго порядка составляют потоки, у которых смена состояний интенсивности определяется двумя независимыми случайными величинами: 1) модулированные MAP-потоки; 2) обобщенные асинхронные потоки, являющиеся обобщением асинхронных потоков; 3) обобщенные полусинхронные потоки как обобщение полусинхронных потоков и полусинхронных альтернирующих потоков. Все перечисленные потоки с двумя состояниями исследованы в диссертационной работе.

Достаточно большое количество литературы посвящено исследованию СМО с входящими дважды стохастическими потоками событий, однако лишь в незначительной её части исследуются системы, в которых все параметры входящего потока неизвестны полностью или частично. В реальных же ситуациях параметры, определяющие поток событий, как правило, полностью неизвестны либо частично неизвестны. В подобных случаях с целью решения задачи управления обслуживанием такого потока и решения задачи адаптации реальной системы к входящему потоку необходимо оценивать неизвестные параметры либо состояния потоков событий в режиме реального времени. Вследствие этого актуальной яв-

ляется задача исследования потоков событий в двух направлениях: 1) оценка состояний потока; 2) оценка параметров потока.

Большинством авторов исследование СМО осуществляется в условиях, когда все события входящего потока доступны наблюдению. В реальности зарегистрированное событие может создать период мертвого времени, в течение которого другие события потока становятся недоступными для наблюдения (теряются). Можно считать, что мертвое время выступает искажающим фактором при решении задачи оценивания, так как эффект мертвого времени влечет за собой потери событий потока, что отрицательно сказывается на оценивании как состояний, так и параметров потока. Для того, чтобы оценить потери событий потока, возникающие из-за эффекта мертвого времени, необходимо оценить значение его длительности. Период ненаблюдаемости потока событий может продолжаться некоторое фиксированное время, а также может быть случайным.

В России исследования в области ТМО, в том числе, изучение СМО с входящими дважды стохастическими потоками событий проводились и проводятся в Институте проблем управления РАН учеными

B. М. Вишневским, М. П. Фархадовым; в Российском университете
дружбы народов учеными Г. П. Башариным, П. П. Бочаровым, А. В. Пе-
чинкиным, К. Е. Самуйловым, Ю. В. Гайдамака; в Российском государст
венном университете нефти и газа ученым В. В. Рыковым; в Московском
университете путей сообщения ученым В. А. Ивницким; в Национальном
исследовательском Томском государственном университете учеными
А. Ф. Терпуговым, А. М. Горцевым, А. А. Назаровым, К. И. Лившицем,

C. П. Моисеевой, С. П. Сущенко; в Национальном исследовательском
Нижегородском государственном университете учеными М. А. Федотки-
ным, А. В. Зориным; в Институте прикладной математики Дальневосточ
ного отделения РАН учеными Г. Ш. Цициашвили, Н. И. Головко,
М. А. Осиповой; в Омском государственном техническом университете
ученым В. Н. Задорожным. Подобными исследованиями занимаются в
Белорусском государственном университете ученые Г. А. Медведев, А. Н.
Дудин, В. И. Клименок, Г. В. Царенков; в Гомельском государственном
университете ученый Ю. В. Малинковский; в Гродненском государствен
ном университете ученый М. А. Маталыцкий; в Азербайджанской НАН
ученый А. З. Меликов; в Австрийском университете им. И. Кеплера уче
ный Д. В. Ефросинин; в Варшавском университете ученый О. М. Тихонен-
ко; в университете г. Пиза ученый M. Pagano; в США ученые M. Neuts,

D. Lucantoni.

Итак, задачи оценивания состояний и параметров дважды стохастических потоков событий при полной или частичной наблюдаемости потоков являются актуальными научными проблемами.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является аналитическое и численное исследование различных видов дважды стохастических потоков событий, функционирующих в условиях их полной или частичной наблюдаемости, разработка алгоритмов оценивания состояний и алгоритмов оценивания параметров и длительности мертвого времени изучаемых потоков событий.

Задачи исследования:

1) построить математические модели дважды стохастических потоков
событий, функционирующих в условиях их полной наблюдаемости, а также
в условиях непродлевающегося и продлевающегося мертвого времени;

1. разработать эвристические пороговые алгоритмы оценивания состояний дважды стохастических потоков событий при полной наблюдаемости потоков: алгоритм оценки состояния при равноценных наблюдениях за потоком, алгоритм, учитывающий старение информации, алгоритм, учитывающий ошибки измерений моментов наступления событий потока; применить предложенные эвристические алгоритмы для оценки состояний синхронного, полусинхронного и асинхронного потоков событий при полной наблюдаемости потоков;

2. разработать алгоритм оптимальной оценки состояний дважды стохастических потоков событий, функционирующих в условиях их полной наблюдаемости, основанный на методе максимума апостериорной вероятности; применить сформулированный алгоритм оптимального оценивания для асинхронного, синхронного, полусинхронного, обобщенного асинхронного, обобщенного полусинхронного, MAP-потока и модулированного MAP-потока событий;

3. разработать алгоритм оптимальной оценки состояний дважды стохастических потоков событий, функционирующих в условиях непро-длевающегося мертвого времени фиксированной длительности; применить предложенный алгоритм оптимального оценивания для обобщенного асинхронного, полусинхронного, обобщенного полусинхронного, MAP-потока и модулированного MAP-потока событий;

4. разработать алгоритм оценки параметров дважды стохастических потоков событий либо параметров плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в дважды стохастических потоках, функционирующих в условиях их полной наблюдае-

мости, с использованием метода моментов; применить разработанный алгоритм для синхронного, полусинхронного, полусинхронного альтернирующего, обобщенного асинхронного, MAP-потока и модулированного MAP-потока событий;

6. разработать алгоритм оценки параметров дважды стохастических потоков событий или параметров плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в дважды стохастических потоках, функционирующих в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности, а также длительности мертвого времени с использованием метода моментов; применить сформулированный алгоритм для синхронного, полусинхронного и полусинхронного альтернирующего потоков событий;

7. разработать алгоритмы оценки длительности мертвого времени для дважды стохастических потоков событий, функционирующих в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности, основанные на методе максимального правдоподобия и модифицированном методе моментов; применить разработанные алгоритмы к решению задачи оценивания длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном, обобщенном полусинхронном и модулированном MAP-потоке событий;

8. сформулировать алгоритм расчета условной и безусловной вероятности вынесения ошибочного решения о состоянии дважды стохастического потока в произвольный момент времени на примере обобщенного асинхронного потока событий, функционирующего в условиях его полной наблюдаемости;

9. разработать алгоритм оценивания длительности мертвого времени для рекуррентных дважды стохастических потоков событий, функционирующих в условиях продлевающегося мертвого времени, с использованием метода моментов; применить разработанный алгоритм для рекуррентных синхронного и полусинхронного потоков событий;

10) провести статистические эксперименты на имитационных моде
лях дважды стохастических потоков для установления качества оценивания.

Научная новизна результатов, изложенных в диссертации:

1) впервые построены математические модели дважды стохастических потоков событий: синхронного, полусинхронного, полусинхронного альтернирующего, обобщенного полусинхронного, обобщенного асинхронного, MAP-потока, модулированного MAP-потока, функционирующих при непродлевающемся и продлевающемся мертвом времени;

2. разработан эвристический пороговый алгоритм оценивания состояний асинхронного потока, учитывающий старение информации и ошибки измерений моментов наступления событий потока;

3. разработан алгоритм оптимальной оценки состояний синхронного, полусинхронного, обобщенного полусинхронного, обобщенного асинхронного, MAP-потока и модулированного MAP-потока событий при полной наблюдаемости потоков, основанный на методе максимума апостериорной вероятности;

4. разработан алгоритм оптимальной оценки состояний обобщенного асинхронного, полусинхронного, обобщенного полусинхронного, MAP-потока и модулированного MAP-потока событий, функционирующих в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности;

5. разработан алгоритм оценки параметров синхронного, полусинхронного, полусинхронного альтернирующего и обобщенного асинхронного потоков событий, а также алгоритм оценки параметров плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в MAP-потоке и модулированном MAP-потоке событий, функционирующих в условиях полной наблюдаемости потоков, основанный на методе моментов, с использованием явных видов одномерной и двумерной плотностей вероятностей;

6. разработан алгоритм оценки параметров синхронного, полусинхронного и полусинхронного альтернирующего потоков событий, функционирующих в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности, и длительности мертвого времени, основанный на методе моментов, с использованием явных видов одномерной плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемых потоках;

7. разработаны алгоритмы оценки длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном, обобщенном полусинхронном и модулированном MAP-потоке событий, основанные на методе максимального правдоподобия и модифицированном методе моментов, с использованием явных видов одномерной и двумерной плотностей вероятностей в наблюдаемых потоках;

8. разработан алгоритм расчета условной вероятности вынесения ошибочного решения о состоянии обобщенного асинхронного потока событий при полной наблюдаемости потока, а также получен явный вид безусловной вероятности ошибочного решения о состоянии рекуррентно-

го обобщенного асинхронного потока событий, функционирующего в условиях полной наблюдаемости;

9) разработан алгоритм оценивания длительности мертвого времени в рекуррентных синхронном и полусинхронном потоках событий, функционирующих в условиях продлевающегося мертвого времени, основанный на методе моментов, с использованием преобразования Лапласа плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемых потоках.

Методы исследования. При проведении исследования применялись методы теории вероятностей и математической статистики, теории массового обслуживания, случайных марковских процессов, теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления, математического анализа, линейной алгебры, методы оптимизации.

Рассматриваемые задачи считаются решенными, если либо получено аналитическое решение, либо их решение доведено до процедур, которые могут быть выполнены численными методами с использованием компьютерной программы. К таким процедурам относятся, например, отыскание корней нелинейного трансцендентного уравнения, отыскание корней многочлена высокой степени, вычисление определенных интегралов и т.п. Статистические эксперименты поставлены на построенных (с использованием методов имитационного моделирования) имитационных моделях дважды стохастических потоков при их полной наблюдаемости, а также при непродлевающемся и продлевающемся мертвом времени.

Теоретическая и практическая значимость работы. Для широкого класса дважды стохастических потоков событий при их полной наблюдаемости аналитически решены: 1) задача оптимальной оценки состояний в произвольный момент времени по наблюдениям за моментами наступления событий; 2) задача оценки параметров потока, а также задача оценки параметров плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями.

Для широкого класса дважды стохастических потоков событий, функционирующих в условиях их частичной наблюдаемости (при непро-длевающемся мертвом времени), аналитически решены: 1) задача оптимальной оценки состояний в произвольный момент времени по наблюдениям за моментами наступления событий; 2) задача оценки параметров потока и длительности мертвого времени.

Решена задача оценки длительности мертвого времени для рекуррентных синхронного и полусинхронного потоков при продлевающемся мертвом времени.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что разработанные алгоритмы оценивания состояний, параметров и длительности мертвого времени в дважды стохастических потоках событий, функционирующих в условиях их полной и частичной наблюдаемости (при непродлевающемся и продлевающемся мертвом времени), являются математическим инструментом при исследовании функционирования реальных систем, математическими моделями которых являются СМО и сети массового обслуживания с входящими дважды стохастическими потоками. Разработанные алгоритмы могут быть применены для решения задач проектирования реальных сетей связи, информационно-телекоммуникационных сетей и их адаптации к информационным потокам сообщений, а также для обработки результатов физических экспериментов при наличии мертвого времени регистрирующих приборов.

На основе результатов диссертационной работы разработан курс лекций образовательной дисциплины «Методы идентификации и оценки параметров телекоммуникационных потоков» для магистров 2-го года обучения факультета прикладной математики и кибернетики Томского госуниверситета (ФПМК ТГУ). Результаты диссертации также использованы при разработке курсов лекций общеобразовательных дисциплин «Марковские системы обслуживания» и «Имитационное моделирование» для бакалавров 4-го года обучения ФПМК ТГУ. Результаты диссертации используются при выполнении курсовых работ бакалаврами 3-го курса и магистрами 1-го и 2-го курсов ФПМК, при выполнении выпускных квалификационных работ бакалаврами 4-го курса ФПМК и магистерских диссертаций магистрами 2-го курса ФПМК, а также при подготовке кандидатских диссертаций по указанной тематике.

Положения, выносимые на защиту:

1. математические модели дважды стохастических потоков – синхронного, полусинхронного, полусинхронного альтернирующего, обобщенного полусинхронного, обобщенного асинхронного, MAP-потока, модулированного MAP-потока при непродлевающемся и продлеваюшем-ся мертвом времени;

2. пороговый алгоритм оценивания состояний асинхронного потока с учетом старения информации и ошибок измерений моментов наступления событий;

3. алгоритм оптимальной оценки состояний синхронного, полусинхронного, обобщенного полусинхронного, обобщенного асинхронного, MAP-потока и модулированного MAP-потока событий при полной наблюдаемости потоков, основанный на методе максимума апостериорной вероятности;

4. алгоритм оптимальной оценки состояний обобщенного асинхронного, полусинхронного, обобщенного полусинхронного, MAP-потока и модулированного MAP-потока с непродлевающимся мертвым временем, основанный на методе максимума апостериорной вероятности;

5. алгоритм оценки параметров синхронного, полусинхронного, полусинхронного альтернирующего и обобщенного асинхронного потоков событий, а также алгоритм оценки параметров плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в MAP-потоке и модулированном MAP-потоке при полной наблюдаемости потоков, основанный на методе моментов, с использованием явных видов одномерной и двумерной плотностей вероятностей;

6. алгоритм оценки параметров синхронного, полусинхронного и полусинхронного альтернирующего потоков событий с непродлеваю-щимся мертвым временем и длительности мертвого времени, основанный на методе моментов, с использованием явных видов одномерной плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемых потоках;

7. алгоритмы оценки длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном, обобщенном полусинхронном и модулированном MAP-потоке событий, основанные на методе максимального правдоподобия и модифицированном методе моментов, с использованием явных видов одномерной и двумерной плотностей вероятностей в наблюдаемых потоках;

8. алгоритм расчета условной вероятности вынесения ошибочного решения о состоянии обобщенного асинхронного потока событий при полной наблюдаемости потока, а также явный вид безусловной вероятности ошибочного решения о состоянии рекуррентного обобщенного асинхронного потока событий, функционирующего в условиях полной наблюдаемости;

9. алгоритм оценивания длительности мертвого времени в рекуррентных синхронном и полусинхронном потоках событий с продлевающимся мертвым временем, основанный на методе моментов, с использованием преобразования Лапласа плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемых потоках.

Достоверность полученных результатов подтверждается корректным применением математического аппарата к доказательству лемм и теорем, представленных в работе, корректностью применяемых методик исследования, согласованностью аналитических результатов для разных моделей исследуемых дважды стохастических потоков между собой, многочисленными статистическими экспериментами, поставленными на имитационных моделях исследуемых потоков при их полной и частичной наблюдаемости, и анализом численных результатов.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Автор лично участвовал в построении математических моделей исследуемых дважды стохастических потоков событий при их полной и частичной наблюдаемости, получении всех формул и математических выкладок, доказательстве представленных в диссертационной работе лемм и теорем, разработке алгоритмов имитационного моделирования дважды стохастических потоков событий, проведении статистических экспериментов и анализе полученных численных результатов. Программная реализация имитационной модели асинхронного потока выполнена лично автором. Программная реализация имитационных моделей других потоков, описанных в диссертации, осуществлена учениками автора. Отдельные подходы к решению поставленных в диссертационной работе задач оформились в процессе обсуждения с научным консультантом А. М. Горцевым.

Связь работы с крупными научными проектами. Диссертационная работа выполнена в рамках: 1) единого заказ-наряда (ЕЗН) министерства общего и профессионального образования РФ на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 1997–2000 годы «Разработка алгоритмов оценки параметров и состояний дважды стохастических потоков заявок, циркулирующих в информационно-вычислительных, локально-вычислительных сетях и коммутационных системах», госшифр 1.5.97; 2) единого заказ-наряда (ЕЗН) министерства общего и профессионального образования РФ на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 2001– 2005 годы «Исследование и разработка моделей высокопроизводительных многопроцессорных систем и методов обеспечения компьютерной безопасности», госшифр 1.2.01; 3) госзадания Рособразования на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 2005 год «Разработка математических и программных средств для анализа и обработки информационных потоков в телекоммуникационных сетях», госшифр 15444; 4) госзадания Рособра-зования на проведение научных исследований в Томском

исследований в Томском государственном университете на 2006–2008 годы «Исследование вероятностных, статистических и логических моделей информационных потоков в технических, экономических системах и компьютерных системах обработки информации», госшифр 1.22.06; 5) единого заказ-наряда (ЕЗН) Федерального агентства по образованию на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 2009–2011 годы «Исследование математических моделей программно-аппаратной передачи, обработки, управления и защиты информации в телекоммуникационных сетях и компьютерных комплексах технических и экономико-социальных систем», госшифр 1.17.09; 6) госзадания Минобрнауки России на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 2012–2014 годы «Разработка и исследование вероятностных, статистических и логических моделей компонентов интегрированных информационно-телекоммуникационных систем обработки, хранения, передачи и защиты информации», госшифр 8.4055.2011.

Соответствие паспорту специальности. Диссертационное исследование выполнено в соответствии с паспортом специальности 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации» (отрасль наук: физико-математические науки) и включает в себя оригинальные результаты из следующих областей исследований (номера соответствуют пунктам в паспорте специальности):

1. теоретические основы и методы системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации;

2. формализация и постановка задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации;

4. разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации;

5. разработка специального математического и алгоритмического обеспечения систем анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Всесоюзная научная конференция «Распределенные микропроцессорные управляющие системы и локальные вычислительные сети», Томск, июнь 1991 г.; Всесоюзная научная конференция «Микросистема-91», Суздаль, 8–12 октября 1991 г.; VIII Белорусская школа-семинар

«Сети связи и сети ЭВМ. Анализ и применение», Брест, февраль 1992 г.; Международная конференция по проблемам моделирования в бионике «Биомод-92», Санкт-Петербург, 21–26 июня 1992 г.; Международная научная конференция «Судовые энергетические установки и перспективы их развития», Одесса, 14–15 сентября 1994 г.; XI Белорусская школа-семинар «Исследование сетей связи и компьютерных сетей методами теории массового обслуживания», Минск, февраль 1995 г.; Международная конференция «Всесибирские чтения по математике и механике», Томск, 17–20 июня 1997 г.; XIV Белорусская школа-семинар «Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети», Минск, 27–29 января 1998 г.; Международная конференция «Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения», Минск, 21–25 февраля 2005 г.; Международная научная конференция «Математические методы повышения эффективности информационно-телекоммуникационных сетей», Гродно, 29 января – 1 февраля 2007 г.; VII Российская конференция с междунар. участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Томск, 2–5 сентября 2008 г.; Международная научная конференция «Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», Минск, 26–29 января 2009 г.; Международная конференция «Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения», Минск, 22–25 февраля 2010 г.; VII Российская конференция с междунар. участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Томск, 5–8 октября 2010 г.; Международная научная конференция «Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», Минск, 31января – 3 февраля 2011 г.; IX Российская конференция с междунар. участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Катунь, 5–8 июня 2012 г.; Международная научная конференция «Современные вероятностные методы анализа, проектирования и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», Минск, 28–31января 2013 г.; X Российская конференция с междунар. участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Катунь, 9–11 июня 2014 г.; XIII Международная научная конференция «Информационные технологии и математическое моделирование», Анжеро-Судженск, 20–22 ноября 2014 г.; Международная научная конференция «Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения», Минск, 23–26 февраля 2015 г.; III Всероссийская молодёжная научная конферен-

ция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», Томск, 22–23 мая 2015 г.; II Международная школа для молодых ученых «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Анапа, 2015 г.; XVIII Международная научная конференция «Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь», Москва, 19–22 октября 2015 г.; XIV Международная научная конференция «Информационные технологии и математическое моделирование», Анжеро-Судженск, 18–22 ноября 2015 г.; III Международная научная конференция «Современные тенденции развития науки и производства», Кемерово, 21–22 января 2016 г.; IV Международная молодёжная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», Томск, 20–21 мая 2016 г.; XI Международная конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Екатеринбург, 6–10 июня 2016 г.

Публикации. По материалам диссертации Л.А. Нежельской опубликовано 69 работ, в том числе 29 статей в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (из них 2 статьи в зарубежном научном журнале, индексируемом Web of Science, 9 статей в российских научных журналах, переводные версии которых индексируются Web of Science и/или Scopus), 6 статей в приложениях к научным журналам, 1 статья в сборнике избранных докладов по итогам Всесибирских чтений по математике и механике, 33 публикации в сборниках материалов международных и всероссийских научных и научно-практических конференций. Общий объем публикаций – 45,21 п.л., авторский вклад – 25,01 п.л. В работах достаточно полно отражены все материалы диссертационного исследования.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем работы составляет 341 страницу. Список литературы включает в себя 263 наименования.

Алгоритм оценки состояний, учитывающий старение информации

Подобными исследованиями занимаются в Белорусском государственном университете ученые Г. А. Медведев, А. Н. Дудин, В. И. Клименок, Г. В. Царенков [111–113, 167, 188, 217–219]; в Гомельском государственном университете им. Ф. Скорины ученый Ю. В. Малинковский [105–107]; в Гродненском государственном университете им. Я. Купалы ученый М. А. Маталыцкий [109, 110]; в Азербайджанской Национальной академии наук ученый А. З. Меликов [114, 235, 236]; в Австрийском университете им. И. Кеплера ученый Д. В. Ефросинин [189, 190]; в институте компьютерных наук Варшавского университета ученый О. М. Тихонен-ко [110, 157]; в университете г. Пиза (Италия) ученый M. Pagano [223]; в США ученые M. F. Neuts, A. D. Banik, U. C. Gupta, D. M. Lucantoni [171, 228, 229, 237–239].

Таким образом, задачи оценивания состояний и параметров отмеченных на рисунке 1 дважды стохастических потоков событий, функционирующих в условиях их полной или частичной наблюдаемости, являются актуальными научными проблемами.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является аналитическое и численное исследование различных видов дважды стохастических потоков событий, функционирующих в условиях их полной или частичной наблюдаемости, разработка алгоритмов оценивания состояний и алгоритмов оценивания параметров и длительности мертвого времени изучаемых потоков событий.

Задачи исследования:

1) построить математические модели дважды стохастических потоков событий, представленных на рисунке 1 и функционирующих в условиях их полной наблюдаемости, а также в условиях непродлевающегося и продлевающегося мертвого времени;

2) разработать эвристические пороговые алгоритмы оценивания состояний дважды стохастических потоков событий при полной наблюдаемости потоков: алгоритм оценки состояния при равноценных наблюдениях за потоком, алгоритм, учитывающий старение информации, алгоритм, учитывающий ошибки измерений моментов наступления событий потока; применить предложенные эвристические алгоритмы для оценки состояний синхронного, полусинхронного и асинхронного потоков событий при полной наблюдаемости потоков; 3) разработать алгоритм оптимальной оценки состояний дважды стохастических потоков событий, функционирующих в условиях их полной наблюдаемости, основанный на методе максимума апостериорной вероятности; применить сформулированный алгоритм оптимального оценивания для асинхронного, синхронного, полусинхронного, обобщенного асинхронного, обобщённого полусинхронного, MAP-потока и модулированного MAP-потока событий;

4) разработать алгоритм оптимальной оценки состояний дважды стохастических потоков событий, функционирующих в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности; применить предложенный алгоритм оптимального оценивания для обобщенного асинхронного, полусинхронного, обобщенного полусинхронного, MAP-потока и модулированного MAP-потока событий;

5) разработать алгоритм оценки параметров дважды стохастических потоков событий либо параметров плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в дважды стохастических потоках, функционирующих в условиях их полной наблюдаемости, с использованием метода моментов; применить разработанный алгоритм для синхронного, полусинхронного, полусинхронного альтернирующего, обобщенного асинхронного, MAP-потока и модулированного MAP-потока событий;

6) разработать алгоритм оценки параметров дважды стохастических потоков событий или параметров плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в дважды стохастических потоках, функционирующих в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности, а также длительности мертвого времени с использованием метода моментов; применить сформулированный алгоритм для синхронного, полусинхронного и полусинхронного альтернирующего потоков событий;

7) разработать алгоритмы оценки длительности мертвого времени для дважды стохастических потоков событий, функционирующих в условиях непродле-вающегося мертвого времени фиксированной длительности, основанные на методе максимального правдоподобия и модифицированном методе моментов; применить разработанные алгоритмы к решению задачи оценивания длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном, обобщенном полусинхронном и модулированном MAP-потоке событий;

8) сформулировать алгоритм расчета условной и безусловной вероятности вынесения ошибочного решения о состоянии дважды стохастического потока в произвольный момент времени на примере обобщенного асинхронного потока событий, функционирующего в условиях его полной наблюдаемости;

9) разработать алгоритм оценивания длительности мертвого времени для ре куррентных дважды стохастических потоков событий, функционирующих в усло виях продлевающегося мертвого времени, с использованием метода моментов; применить разработанный алгоритм для рекуррентных синхронного и полусин хронного потоков событий;

10) провести статистические эксперименты на имитационных моделях опи санных на рисунке 1 дважды стохастических потоков событий с целью установ ления качества оценивания.

Научная новизна результатов, изложенных в диссертации, состоит в следующем:

1) впервые построены математические модели дважды стохастических потоков событий: синхронного, полусинхронного, полусинхронного альтернирующего, обобщенного полусинхронного, обобщенного асинхронного, MAP-потока, модулированного MAP-потока, функционирующих при непродлевающемся и продлевающемся мертвом времени;

2) разработан эвристический пороговый алгоритм оценивания состояний асинхронного потока, учитывающий старение информации и ошибки измерений моментов наступления событий потока;

3) разработан алгоритм оптимальной оценки состояний синхронного, полусинхронного, обобщенного полусинхронного, обобщенного асинхронного, MAP-потока и модулированного MAP-потока событий при полной наблюдаемости потоков, основанный на методе максимума апостериорной вероятности;

4) разработан алгоритм оптимальной оценки состояний обобщенного асинхронного, полусинхронного, обобщенного полусинхронного, MAP-потока и модулированного MAP-потока событий, функционирующих в условиях непродле-вающегося мертвого времени фиксированной длительности;

5) разработан алгоритм оценки параметров синхронного, полусинхронного, полусинхронного альтернирующего и обобщенного асинхронного потоков событий, а также алгоритм оценки параметров плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в MAP-потоке и модулированном MAP-потоке событий, функционирующих в условиях полной наблюдаемости потоков, основанный на методе моментов, с использованием явных видов одномерной и двумерной плотностей вероятностей;

Дифференциальное уравнение для апостериорных вероятностей

Исследуется асинхронный поток событий, математическое описание которого приведено в подразделе 1.1.1. Наблюдения за потоком производятся на интервале времени (t0,t). Требуется по наблюдениям tx,t2,... оценить состояние процесса X(t) (асинхронного потока) в момент окончания наблюдений.

Для вынесения решения о состоянии процесса (7) в момент времени t необходимо определить апостериорные вероятности w(Xt.\t) = w{Xi-\ ґІ5..., tm,t) = = Pyk{t) = Xi\tl,...,tm,t\, і = 1, 2, того, что в момент времени t значение процесса X{t = Xt (т - количество событий, наступивших за время і), при этом w(Xx ґ)+ w(X2 U) = i- Решение о состоянии процесса (Y) выносится по критерию максимума апостериорной вероятности, представляющей наиболее полную характеристику состояния потока, которую можно получить, располагая только выборкой наблюдений, обеспечивающему минимум полной (безусловной) вероятности ошибки вынесения решения.

Оптимальное оценивание состояний процесса X(t) (потока) здесь и далее в главе 2 выглядит следующим образом: если w(Xt ґ) wik \ А, /, j = 1, 2, і Ф J , то оценка состояния процесса есть X(t) = Xt; если w(Xt ґ) w(X 11\, то оценка состояния есть (Y) = X , j = 1, 2. 2.2.1 Дифференциальное уравнение для апостериорных вероятностей Лемма 2.1. Случайный процесс для асинхронного потока событий является марковским процессом.

Доказательство. Первая компонента X(k) процесса (х(к\гЛ является марковской, т.к. процесс X(t) для асинхронного потока является марковским (утверждение 1.1). Вторая компонента rk процесса 1 ( , гЛ также марковская, т.к. для асинхронного потока событий в любом состоянии процесса X(t} имеет место про стейший поток с параметром Хх либо Х2. Далее, rk - число событий на интервале - не влияет на компоненту X , т.к. смена состояний процесса X(t) происходит в произвольные моменты времени, не связанные с моментами на ступления событий (процесс X(t) «живет своей жизнью»). Компонента Х{к) не влияет на компоненту гк в силу конструкции процесса . Лемма доказана. Рассмотрим переходную вероятность рI)Sm+ ,rm+l JA/- ,rm) = p(l(m+l)\l(m\rm)p(rm+l \tim\rm,tf""») в формуле (2.1.3). Утверждение 2.1. Условная вероятность p(x(m+l) \ Х(т\г\ для асинхронного потока событий принимает вид puSm+ \ X m\rm I = р\ї}т+ \ ї}т I.

Действительно, в силу того, что случайный процесс (x(k\ гЛ является марковским, то на значение компоненты А/ в момент времени t + At = (m + \}At влияет только значение А в момент времени t = mAt, а компонента гт не влияет на компоненту А(да+1) в силу леммы 2.1. Утверждение доказано.

Утверждение 2.2. Условная вероятность p(rm+l\X(m\rm,X(m+lA для асинхронного потока событий принимает вид р[гт+1 \ Х т\гт,Х т+ ] = р[гт+1 \ Х т ].

Действительно, количество событий гт+1 на интервале (тиА/,(ти + 1)А/) не зависит от числа событий гт на интервале ((m-\}At,mAt\ поскольку в любом со 49 стоянии процесса имеет место простейший поток с параметром А1 либо Х2 . Компонента Х(т+1) не влияет на компоненту гт+1 в силу конструкции процесса . Утверждение доказано. Принимая во внимание утверждения 2.1 и 2.2, запишем формулу (2.1.3) для апостериорных вероятностей why1 t\, состояний асинхронного потока событий в виде Ч / ч / ч / ч w( t + At) = 1 . (2.2.1) Пусть в (2.2.1) rm+1=0. Это соответствует случаю отсутствия событий наблюдаемого потока на интервале (t,t + At), где t = mAt, t + At = (m + 1)At; т.е. рассмотрим поведение апостериорной вероятности на интервале между наблюденными событиями, в частности, между моментами наступления соседних событий потока tk и tk+1, k = 1, 2,.... Для определенности в (2.2.1) положим Х(т+ - Х1. Тогда (2.2.1) примет вид 2 w( ( b(rM+1=0 ) -Лт)_-, V / V /V / w (X1t + At ) = х Л1, (2.2.2) 2 2 Ml(m)t)pt m+1)l )plrm+1 = 0l ) w(X2 t + At) = 1 - w(X1 t + At). Лемма 2.2. В течение времени между моментами наступления соседних событий tk и tk+1, k = 1,2,..., асинхронного потока апостериорная вероятность w(X1 1) удовлетворяет дифференциальному уравнению Риккати dw (X1t ) ( ч ( 2/л \ V (0С1 + ОС2 + A1 А2 )w( 1 К/ ( 1 — 2 )w (А1п=ОС2. (2.2.3) dt

Доказательство. С учетом определения асинхронного потока событий (подраздел 1.1.1) переходные вероятности в формуле (2.2.2) примут вид р{х1Х(т) =Х = е а =1-a1At + o{At), р(х1 Х(т) = 2) = 1-е а2А/ = a2At + o(At) p(x2X(-) = X1) = 1-e- =a1&t + o(&t), p(x2X = X2) = e- =1-a2ut + o(ut) (2.2.4) В силу того, что в / -м состоянии процесса X(t), / = 1,2, поток простейший, имеем р(гт+1 = 0 Х(т) = Х1) = е 1 = 1 -X1At + o(At), V : (2.2.5) p\rm+1 = 0 X(m) = X2\ = e X2At = 1 - X2At + о (At). После подстановки (2.2.4) и (2.2.5) в (2.2.2) ее числитель А и знаменатель В запишутся в виде А = w(X1 t)p(X1X1)p(rm+1 =0X1) + w(X2t)p(X1 X2)p(rm+1 = 0 A,2) = = w(X1 1) - \_(щ + Х1) w(X1 1) - a2w(X2 t) ]At + о (At), B = w(X1t)p(X1X1)p(rm+1 = 0X1) + w(X1t)p(X2X1)p(rm+1 = 0X1) + +w(X2 t)p(X1 X2)p(rm+1 = 0 X2) + w(X2 t)p(X2 X2)p(rm+1 = 0 X2)= (2.2.6) = 1 - At\_X1w(X1 1) + X2w(X2 1) \ + о (At). Подставляя (2.2.6) в (2.2.2) и учитывая при этом, что В 1 =1 + At\X1w(X1 t) + +X2w(X2 1) \ + o(At), получаем (с точностью до членов o(At)) (2.2.2) в виде w(X1 t + At)-w(X1 t)= a2w(X2 t)-(a1 + X1)w(X1 t) + X1w2(X1 t) + +X2w(X1 t)w(X2 t) \At + o(At). Разделив левую и правую части последнего равенства на At, после чего переходя к пределу при At — 0 и учитывая при этом, что w(X2 t) = 1- w(X1 t), получаем уравнение (2.2.3). Лемма доказана.

Исходные предпосылки для вывода апостериорной вероятности

Аналогично определяется знаменатель В\ в выражении (2.2.9): В} =[(A,1+/?a1)w(A,1 \tk - At ) + (Х2 + qa2)w(X2\tk- At Y\At + o(At). (2.3.7) Подставляя (2.3.6) и (2.3.7) в (2.2.9) с учетом того, что w{X2\tk-At ) = = 1 - w(XY \tk - Аґ ), и переходя к пределу при At —» 0 (Аґ —» 0, At" —» 0), получим утверждение леммы. Лемма доказана. Таким образом, в точке tk апостериорная вероятность w(Xx\t) имеет разрыв первого рода. Полученные для w(Xx\t) формула (2.2.7) и формула пересчета (2.3.5) описывают поведение апостериорной вероятности на [ +і) между моментами наблюдения соседних событий потока. В момент начала наблюдения t0 = О в качестве начального значения вероятности w(Xl\t0 + 0 = w(Xl\t0 = 0 выбирается априорная стационарная вероятность щ первого состояния процесса определенная в (1.1.3).

Леммы 2.8 и 2.9 позволяют сформулировать следующую теорему. Теорема 2.4. Для обобщенного асинхронного потока событий поведение апостериорной вероятности w(Xx ґ) на временной оси определяется выражения 60 ми (2.2.12), (1.1.3), (2.2.14), формулой пересчета (2.3.5); wx и w2 определены в (2.3.4), а = Х1-Х2 + рщ - qa2 0; при этом 0 wx 1, w2 1 для а 0; 0 wl , w2 0 для а 0; tk t tk+l, к = 0,1,....

Доказательство проводится объединением формул (2.2.7) и (2.3.5). Теорема доказана. Рассмотрим теперь особый случай, когда в уравнении Риккати (2.3.2) коэффициент а = Хх-Х2 + рщ - qa2 = 0. Здесь возможны варианты. 1. p q, 0 р \, 0 g 1; при этом Хх-Х2 = qa2 - рщ (случай q = 0 невозможен, т.к. по условию задачи Хг Х2). Уравнение Риккати (2.3.2) принимает вид г Ч (1_Р)а\ +(1_Ч)а2 \W\M \4 = V Ч)а2 dt L J Интегрируя полученное уравнение и учитывая начальное условие, в силу которого в момент наблюдения события tk апостериорная вероятность w(Xx ґ) принимает значение w(Xx \ t = tk) = w(Xx \ tk + О), находим решение W (Xl\t) = (\-q)a2/b + [w(Xl\tk + 0)-(\-q)a2/b \e b{t h\ (2.3.8) где b = (\-р}щ +(l-g)a2, tk t tk+l, k = 0,1,.... Формула пересчета (2.3.5) примет вид /Л , qoL7+(X:-qa7)w(X:\tk-0) 7 w[kl\tk + 0) = —-—— , к = 1,2,.... (2.3.9) Х2 + qa2 2. p q, 0 р \, 0 g 1 и \= qa2 и Х2 = рщ. Апостериорная вероят ность w(X}\t в любой момент времени t рассчитывается по формуле (2.3.8). Формула пересчета (2.3.5) в момент наступления события tk запишется в виде w{Xx \tk + 0) = qa2/(pal + qa2), = 1,2,.... (2.3.10) Отметим, что в данном особом случае апостериорная вероятность w(Xx ґ) не зависит от предыстории, т.е. не зависит от моментов наступления событий до момента tk, к = 1, 2,.... 3. p = q, 0 р \. Уравнение (2.3.8) принимает вид w (Xl\t) = nl + w(Xl\tk + 0)-nl je Х"1"" 2) tk\ (2.3.11) где tk t tk+l, к = О,1,.... Формула пересчета (2.3.5) приобретет вид ра9 +( i - pa9W(X \tk -О) ( 1 + 0) = —-—— 7 v , к = 1,2,.... (2.3.12) Х2 + ра2

В момент начала наблюдения t0 = 0 значение апостериорной вероятности есть w{Xx ґ0 + О) = щ, тогда из (2.3.11) следует, что w(Xx \ = щ для t0 t tx и, в том числе, w(A,j -0) = 7Г1. Тогда при заданном соотношении параметров из (2.3.12) находим w(Xx \ц + Ъ) = щ и т.д. Значит, w(Xx \t) = izx для t t0. Последнее свидетельствует о том, что при указанном в пункте 3 соотношении параметров информация о моментах tx,...,tn наблюдения событий потока не влияет на апостериорную вероятность w(Xx ґ) и, вследствие этого, не влияет на качество оценивания состояний процесса X(t). Принятие решения о состоянии обобщенного асинхронного потока событий происходит на основании априорных данных о потоке: если щ 7г2, то (Y) = Хх; иначе (Y) = Х2

На основании полученных в общем случае (в (2.3.2) а = Хх-Х2 + рщ--qa2 0) формул (2.2.12), (1.1.3), (2.2.14), (2.3.4) и (2.3.5) строится алгоритм расчета апостериорной вероятности w(Xx ґ) и алгоритм принятия решения о состоянии процесса (Y) в произвольный момент времени t.

Алгоритм оптимальной оценки состояний обобщенного асинхронного потока совпадает с рассмотренным в подразделе 2.2.3 алгоритмом для асинхронного потока. Следует заметить, что на шагах 2), 3) и 5) при вычислении w(Xx ґ) коэффициент а = Х1-Х2 + ра} -qa2 Ф 0; w} и w2 определены в (2.3.4). На шаге 4) алгоритма пересчета апостериорной вероятности в точке tk (момент наблюдения события) производится по формуле (2.3.5). В процессе расчета апостериорной вероятности w(Xx ґ) (w(X2 І ґ) = = 1 - w(Xx I tj) параллельно выносится решение о состоянии процесса (7) в любой момент времени t.

Для особого случая (а = Х} -Х2 + рах -qa2 = 0 в (2.2.3)) в трех рассмотренных вариантах расчет вероятности w(Xx\t) и алгоритм оптимального оценивания состояний потока аналогичны общему случаю и осуществляются на основании формул (2.3.8) - (2.3.12). 2.3.3 Численные результаты

Для получения численных результатов была построена имитационная модель обобщенного асинхронного потока событий с двумя состояниями и разработан алгоритм вычисления апостериорной вероятности w(Xl\t) по формулам (2.2.12), (1.1.3), (2.2.14), (2.3.4) и (2.3.5) либо по формулам (2.3.8) - (2.3.12) в зависимости от коэффициента а = Х1 - Х2 + рси\ - qca2 определяемого параметрами потока. Расчеты выполнены для следующих значений параметров: Хх = 2, Х2=\, ос1 = 0,01, ос2=0,02, р = 0,1, q = 0,9. Оценивание состояния процесса X(t) осуществлялось с шагом At = 0,05 при времени моделирования 7м = 100 ед. времени. В верхней части рисунка 2.2 приведен фрагмент траектории случайного процесса А (г1), полученной посредством имитационного моделирования (истинное поведение ненаблюдаемого процесса X(t)); здесь 1 и 2 - состояния процесса А (г1).

В нижней части рисунка 2.2 приведен фрагмент траектории оценки А,(7), полученной в результате работы алгоритма, где 1 и 2 - состояния оценки А, (7). На временной оси на рисунке 2.2 штриховкой обозначены временные интервалы, на которых оценка А (7) не совпадает с истинным значением А (г1) (так называемые области ошибочных решений).

Вывод плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке

Из анализа численных результатов, приведенных на рисунке 3.3, следует, что алгоритм оценивания совершает ошибку, т.е. выносит решение в пользу второго состояния процесса А,(ґ), когда на самом деле имеет место первое состояние, на временном интервале t є (8,3; 9,7). На интервале ґє(0;8,3) алгоритм выносит правильное решение в пользу второго состояния процесса \(t) (потока).

Изучается обобщенный полусинхронный поток событий, математическое описание которого приведено в подразделе 2.6.1. На рисунке 3.5 приведена схема формирования наблюдаемого потока событий при непродлевающемся мертвом времени; дополнительные события, которые могут наступать в момент перехода процесса из второго состояния в первое, помечены буквой 5. Условия наблюдения за потоком и принцип оптимального оценивания состояний идентичны рассмотренным в разделе 3.2.

Как следует из подраздела 3.2.1, интервал {tk,tk+]), к = \,2,..., между двумя соседними событиями в наблюдаемом потоке разбивается на два смежных: первый - полуинтервал (tk, tk+T], когда исходный поток недоступен наблюдению, второй - интервал (tk + T,tk+l), когда исходный поток событий вновь становится наблюдаемым. Рассмотрим полуинтервал (tk,tk + T], к = 1,2,..., на котором событие имеет место только в граничной точке tk; на самом полуинтервале события отсутствуют.

Теорема 3.3. Поведение апостериорной вероятности w(Xx \ t) для обобщенного полусинхронного потока событий на временных полуинтервалах (tk, tk + T \, к = \,2,..., определяется формулой (3.3.1), где tk t tk+T, к = 1,2,...; w{Xx\tk + Q)) определена в (2.6.6), = 1,2,...; т задается в (1.1.12).

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1. Далее рассмотрим интервал (tk + T,tk+[), смежный с полуинтервалом (tk,tk + T \. На рассматриваемом интервале апостериорная вероятность w(Xx\t ) 126 рассчитывается по формуле (2.6.9), если Хг - Х2 - а2 = О либо по формуле (2.5.15), если Х1- к2-а2ФО, где w = a2(l-S)/(?4- 2-а28), ц- 2-а28 0. При этом начальное условие для w(Xx ґ) привязано к моменту времени tk + T, т.е. в формулах (2.6.9) и (2.5.15) нужно заменить w(XY \ tk + 0) на w(XY \ tk + 71), вычисленную по формуле (3.3.1) при t = tk + Т, и tk + Т t tk+l, к = 1, 2,....

Наконец, в момент времени tk наблюдения события потока, которое порождает мертвое время фиксированной длительности Т, апостериорная вероятность w(Xx \tk + 0) вычисляется по формуле пересчета (2.6.6).

Полученные формулы позволяют сформулировать алгоритм расчета апостериорных вероятностей w(A,j ґ), w{X2\t) и алгоритм принятия решения о состоянии процесса X(t) (потока) в произвольный момент времени t: 1) в момент времени t0=0 задается w(Xx \t0 + 0) = w(Xx \t0 = 0 = 7іг = = a2l(Xlp + a2); 2) по формуле (2.6.9) в случае Х1-Х2-а2=0 либо по формуле (2.5.15) (м; = а2(1-8)/( 1- 2-а28)Д1- 2-а28 0), если Х1-Х2-а2ФО, для к = 0 рассчитывается вероятность w(Xx ґ) в любой момент времени t (0 t ), где tx - момент наблюдения первого события наблюдаемого потока; 3) по формуле (2.6.9) в случае Х1-Х2-а2=0 либо по формуле (2.5.15) [w = а2 (1 - 5)/(А,1 - Х2 - а28), Хх - Х2 - а28 Ф О) в случае Хх - Х2 - а2 Ф 0 для к = 0 вычисляется вероятность w(Xl\t = tl)=w(Xl\tl-0y, 4) к увеличивается на единицу и по формуле пересчета (2.6.6) для к = 1 про изводится расчет вероятности w( x + 0), являющейся начальным значением для w(Xx 11) в формуле (3.3.1); 5) по формуле (3.3.1) для к = \ вычисляется w(Xx \t) в любой момент време ни t (t\ t ?j +71); 127 6) по формуле (3.3.1) для к = \ производится расчет w{kx \t = tx + T), являющейся начальным значением для w(Xx ґ) на следующем шаге алгоритма; 7) для к = 1 по формуле W Ал П = 1 г 7 -п/ (3.4.1) V } \ \}-w{\\tk T)\\-\2-a2b)(tk) в случае Х1-Х2-а2=0 либо по формуле (3.3.3) (tk+T t tk+l, = 1,2,...; w = a2(l-5)/( 1 -X2 _a2 ) i 2 _oc25 0) в случае Х1- к2-а2ФО вычисляется w(Xx ґ) в любой момент времени t (tx + Т t t2), где t2 - момент наблюдения второго события; 8) по формуле (3.4.1), если Х1-Х2-а2=0, либо по формуле (3.3.3) (м; = а2(1-8)/( 1- 2-а28)Д1- 2-а28 0), если Х1-Х2-а2ФО, для к = \ вычисляется вероятность w(Xx 11 = t2) = w(Xx 112 - 0); 9) алгоритм переходит на шаг 4, затем шаги 4-8 повторяются для к = 2 и т.д. При расчете апостериорных вероятностей w{Xx\t), w(X2\t) = \-w(Xx\t) в произвольный момент времени t принимается решение о состоянии процесса (Y) по методу максимума апостериорной вероятности. Для особого случая а = \-Х2-a2S = 0, рассмотренного в подразделе 2.6.3, алгоритм оптимальной оценки состояний обобщенного полусинхронного потока событий при наличии мертвого времени Т аналогичен изложенному выше алгоритму оценивания для общего случая а = Хх-Х2-a2SФО и на интервалах (tk + T,tk+l), к = \, 2,..., когда поток событий доступен наблюдению, осуществляется на основании формул (2.6.12) - (2.6.14). На полуинтервалах (tk,tk + T], к = 1, 2,..., расчет вероятности w(Xx \ t) производится по формуле (3.3.1).