Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Определение параметров микросейсмического очага как статистическая задача идентификации параметров многомерных линейных систем 16
1.1. Вероятностная модель наблюдений сигналов источника на группе пространственно разнесённых геофонов 16
1.2. Критерии оптимальности при построении алгоритмов оценивания параметров микросейсмического источника 21
1.3. Асимптотически эффективная оценка параметров источника при случайной временной форме сигнала источника 24
1.4. Оценка параметров очага при неизвестной временной форме сигнала источника 30
1.5. Сейсмическая эмиссионная томография как частный случай МП оценки 35
1.6. Фазовые алгоритмы определения координат источника 37
1.7. Фазовые алгоритмы оценивания координат источника с произвольной диаграммой излучения 41
1.8. Выводы по первой главе 45
Глава 2. Теоретический анализ статистических свойств оценок параметров микросейсмического источника 47
2.1. Выбор оптимальных коэффициентов невязок в фазовом алгоритме оценивания параметров источника. Случай модели сигнала источника в виде «отрезка» Гауссовского стационарного случайного процесса 47
2.2. Выбор коэффициентов при фазовых невязках. Случай детерминированного сигнала в источнике 62
2.3. Оценка спектральных амплитуд сигнала источника с помощью фильтра Кейпона 69
2.4. Вероятностная сходимость оценок координат источника, получаемых с помощью минимизации фазовых невязок 75
2.5. Компенсация когерентной помехи как свойство МП оценки 79
2.6. Выводы по второй главе 82
Глава 3. Исследование качества определения параметров микросейсмических очагов с помощью моделирования 83
3.1. Критерий качества оценивания и алгоритм создания гибридных сейсмограмм 83
3.2. Исследование точности локации источников различными алгоритмами 87
3.3. Оценивание координат очага при пространственно коррелированных помехах 113
3.4. Оценивание координат реальных микросейсмических событий вызванных процессами перфорирования скважины 116
3.5. Выводы по третьей главе 121
Общие выводы и результаты работы 122
Список литературы 124
- Критерии оптимальности при построении алгоритмов оценивания параметров микросейсмического источника
- Фазовые алгоритмы определения координат источника
- Выбор коэффициентов при фазовых невязках. Случай детерминированного сигнала в источнике
- Оценивание координат очага при пространственно коррелированных помехах
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время инженеры в сфере энергетики интенсивно исследуют вопрос об экологически безопасном и эффективном в прибыльном отношении освоении углеводородных и геотермальных резервуаров, что, как правило, осуществляется при помощи технологически сложной и ответственной операции гидроразрыва пласта (ГРП). Единственным способом контроля ГРП является микросейсмический мониторинг.
Под микросейсмическим мониторингом понимают комплекс аналитических методов, позволяющих получать достаточно точную информацию о сложных физических процессах, протекающих в приповерхностной земной среде, в частности, о геометрии трещин, развивающихся в пространстве и во времени. Эту информацию извлекают из результатов непрерывной обработки записей сейсмической группы в режиме реального времени, оценивая параметры сейсмического источника на каждом временном интервале, где был обнаружен сигнал от индуцированного гидроразрывом микросейсмического события.
Впервые задача определения координат сейсмического источника по данным поверхностных сейсмических групп рассматривалась при мониторинге землетрясений и подземных ядерных взрывов, на региональных и глобальных расстояниях. Основное отличие указанной задачи, которой посвящена обширная литература, от задачи, рассматриваемой в диссертации, состоит в том, что источник сейсмических волн удалён от сейсмической группы на расстояние, значительно превышающее апертуру группы. В этом случае волновой фронт, приходящий на сейсмическую группу, является плоским, вследствие чего невозможно оценить местоположение очага с требуемой на практике точностью, используя только информацию об относительных запаздываниях сейсмического сигнала на датчиках группы. Однако именно в указанных приложениях получили развитие и нашли широкое применение методы обработки данных сейсмических групп. По наблюдениям группы
оцениваются такие параметры, как азимут вектора нормали плоской волны и проекция скорости волны на земную поверхность.
Наряду с энергетикой, микросейсмический мониторинг применяется в горнодобывающей отрасли для обеспечения безопасности и повышения экономической эффективности открытых горных работ.
Несмотря на то, что настоящая работа посвящена разработке алгоритмов решения конкретной прикладной задачи геофизики, результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при решении круга практических задач, которые математически формулируются как идентификация многомерных линейных систем с одним входом и несколькими выходами, векторная передаточная функция которых зависит от конечного набора неизвестных постоянных во времени параметров. Такие задачи часто встречаются, например, в акустике, радиотехнике, медицине, геофизике и связаны с ситуациями, когда некоторый сигнал, проходящий через сложно устроенную физическую среду, измеряется в присутствии помех в различных точках этой среды. При этом распространение сигнала в среде математически описывается линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, а по результатам измерения этого сигнала в разных точках среды необходимо изучить свойства среды или определить характеристики объекта, излучающего сигнал.
Цель проведённых исследований - статистический синтез и анализ численных методов определения параметров точечных источников слабых упругих колебаний земной среды, сигналы от которых наблюдаются на фоне интенсивных помех.
Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:
1. Статистическое обоснование и вывод основных функционалов, оптимизация которых приводит к определению значений параметров микросейсмического источника с неизвестной детерминированной временной
функцией; при этом характеристики среды распространения сейсмических волн от источника полагаются известными.
2. Получение статистической оценки параметров микросейсмического
источника, обладающей свойством асимптотической эффективности, для
случая, когда временная функция источника описывается как «отрезок»
гауссовского стационарного случайного процесса с известной
автокорреляционной функцией.
3. Доказательство статистической состоятельности оценок параметров
микросейсмического источника, получаемых при поиске экстремума
функционала от фазовых компонент спектральных наблюдений сейсмической
группы, для случая неизвестной временной функции микросейсмического
источника.
4. Синтез фазовых алгоритмов оценивания параметров микросейсмического
источника, робастных к диаграмме его излучения.
5. Сравнительный анализ матриц среднеквадратических ошибок
статистических оценок параметров микросейсмических источников,
соответствующих различным алгоритмам оценивания этих параметров.
Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертации, использовались различные классы математических методов: функциональный анализ, теория вероятностей, теория стационарных случайных процессов, статистическая теория оценивания параметров случайных процессов, методы матричной алгебры, метод независимых испытаний Монте-Карло, методы вычислительной математики, современная технология программирования.
Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования. Результаты диссертационной работы согласуются с известными результатами других авторов.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту:
-
С помощью современной асимптотической теории статистического оценивания разработаны алгоритмы определения значений векторных параметров микросейсмических источников по наблюдениям многомерных временных рядов, регистрируемых группами пространственно распределённых сейсмоприемников.
-
Разработаны и экспериментально исследованы фазовые алгоритмы оценивания параметров сейсмического источника, учитывающие спектральные плотности мощности помех и временных функций микросейсмических источников, диаграммы излучения этих источников.
-
Разработаны и экспериментально исследованы фазовые алгоритмы, инвариантные к неизвестным диаграммам излучения источников, позволяющие оценивать координаты микросейсмического источника при отсутствии априорной информации о его диаграмме излучения.
-
Теоретически обосновано, что используемый в современной практике микросейсмического мониторинга алгоритм сейсмической эмиссионной томографии (СЭТ) есть частный случай разработанных в диссертации методов определения параметров микросейсмического источника. С использованием результатов вычислительных экспериментов, методами математического моделирования доказано, что СЭТ существенно уступает разработанным в диссертации алгоритмам по точности оценивания параметров микросейсмических источников при малых отношениях сигнал-шум и статистических характеристиках помех, коррелированных по времени и по пространству.
Практическая значимость. Разработанные в диссертации методы «борьбы с помехами», основанные на современной статистической теории оценивания параметров многомерных случайных процессов, могут быть использованы для решения широкого класса практических задач, в которых
наблюдения «полезных» сигналов искажены помехами, сильно
коррелированными во времени и в пространстве.
Разработанные в ходе исследований алгоритмы определения значений параметров микросейсмических источников могут быть использованы для повышения эффективности мониторинга микросейсмической активности с помощью поверхностных сейсмических групп. В частности, в проблеме микросейсмического мониторинга гидроразрыва пластов на месторождениях углеводородов разработанные статистически оптимальные и фазовые алгоритмы являются альтернативой традиционному методу эмиссионной томографии - практически единственному методу, используемому в настоящее время для анализа данных от микросейсмических событий, регистрируемых поверхностными сейсмическими группами.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 74-ой международной конференции европейской ассоциации геофизиков и инженеров «Evaluation of location capabilities of statistically optimal algorithms for microsesimic monitoring» (Копенгаген, 2012); на международной конференции генеральной ассамблеи европейской сейсмологической комиссии «Enhancement of Surface Array Monitoring of Hydraulic Fracturing Based on Statistically Optimal Algorithms» (Москва, 2012); на ежегодном собрании общества разведочной геофизики «Statistically Optimal Technique of Simultaneous Event Location and Focal Mechanism Determination of Weak Microseismicity Using Surface Arrays» (Лас Вегас, 2012); на международном микросейсмическом форуме «Evaluating Monitoring Techniques: Downhole, Buried and Surface» (Напа, Калифорния, 2013); на 4-ом семинаре по сейсморазведке европейской ассоциации геофизиков и инженеров «Optimization of Statistically Optimal (SO) Algorithms for Surface Location of Microseismic Sources with Complex Focal Mechanisms» (Амстердам, 2013).
Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 5
научных работах, в том числе в 4 статьях из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий общим объёмом 3.3 п. л.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Диссертационная работа изложена на 132 страницах, содержит 18 иллюстраций и 6 таблиц. Библиография включает 91 наименование.
Критерии оптимальности при построении алгоритмов оценивания параметров микросейсмического источника
В большинстве задач микросейсмического мониторинга основная информация об источнике, которую необходимо извлечь из наблюдений, - это положение источника в земной среде и его механизм. При этом, как правило, используется математическая модель точечного сейсмического источника, механизм которого полностью определяется его тензором сейсмического момента [37]. Таким образом, статистическая формулировка проблемы мониторинга сводится к задаче оценивания по наблюдениям вектора координат г = (гх,гу,гЛ источника в некоторой локальной системе координат, связанной с поверхностной сейсмической группой, и параметров 9 = (6 ,...,6 ) тензора сейсмического момента источника. В наиболее общем случае q = 6, т.е. вектор 9 состоит из 6 элементов симметричного тензора сейсмического момента.
Поскольку в задачах микросейсмического мониторинга ГРП сейсмическое излучение источника имеет импульсный характер и момент начала импульса t0 обычно неизвестен, то в число оцениваемых параметров источника входит и величина t0. Ниже по математическим соображениям будем рассматривать t0 как мешающий параметр задачи, который необходимо предварительно определить, чтобы затем обеспечить максимально точное оценивание информативных параметров r,0 . Употребляемый в практике микросейсмического мониторинга способ оценивания t0 заключается в проверках гипотезы о наличии сигнала в последовательности коротких временных интервалов (в скользящем временном окне) длительной многоканальной сейсмограммы группы [59,60]. При вынесении решения о наличии сигнала, в каком-либо из интервалов его начальный момент полагается моментом t0 начала излучения источника. В дальнейшем будем предполагать, что момент t0 известен, и для простоты положим его равным нулю. Всюду ниже будем полагать, что: 1) сейсмическая группа состоит из пространственно-распределённых цифровых сейсмометров - системы геофонов, способных регистрировать вертикальные колебания среды в достаточно широкой полосе частот. 2) микросейсмический источник представляет собой локализованную область среды, размер которой пренебрежимо мал по сравнению с апертурой сейсмической группы и расстоянием от источника до датчиков группы; т.е. рассматриваются точечные сейсмические источники; 3) среда распространения сейсмических волн от источника до приемников группы состоит из конечного набора однородных слоев, различных по скорости распространения сейсмических волн. Такая среда является линейной. 4) механизм очага микросейсмического источника полностью определяется его тензором сейсмического момента, который задает интенсивность и полярность сейсмических колебаний при их распространении вдоль сейсмических лучей;
При этих предположениях можно полагать, что генерируемые источником полезные сигналы st(t), tGR1, Ієі,т, регистрируемые т приемниками группы, представляют собой результат прохождения одного и того же сигнала u(t),t&Rl, генерируемого источником, через «линейные системы» с импульсными переходными характеристиками (ИПХ) ht(t,r,Q). Эти ИПХ полностью характеризуют «пути распространения» сигнала u{t) от источника в точке г до каждого из приемников с координатами rz, Іє\,т . Сигналы s,(r) регистрируются в течение времени [0,7і] на фоне аддитивных сейсмических помех (t),lGl,m. Математическая модель смеси сигналов и помех, зарегистрированная на 1-м приемнике группы, с учётом линейности среды, может быть записана в виде многомерного выхода линейной системы [2,32] с одним входом - u(t)\ y,(t) = sl(t) + tl(t) = hl(t,r,Q) u(t) + tl(t), ґє[0,Г], /єї , (1.1) где - знак свертки двух функций; г - длительность интервала наблюдений, включающая колебания продольных волн, возбуждаемых анализируемым микросейсмическим источником.
Для компьютерной обработки процессы y,{t) дискретизируются по времени с частотой дискретизации fs. Если частота дискретизации fs выбрана так, что она превосходит удвоенную верхнюю частоту спектра сигнала источника u(t) и удвоенную верхнюю граничную частоту каждой из частотных характеристик «путей распространения» сигнала источника до датчиков группы (преобразований Фурье от ИПХ /гД/.г.в)), то используя векторные обозначения, можно записать дискретные данные, зарегистрированные сейсмической группой на интервале наблюдений [0,7і], в виде ттьмерного временного ряда со у =я (г,Є) + Є = 2ь -гМК+5 =Ь М) м +5 , є1,/і,й = [7)Гв] (1.2) Т=—СО где ук=(у1Л, /єі,т) - векторы-столбцы дискретных наблюдений на датчиках группы; hk(r,Q) = (h1(k/fs;r,Q), lel,m\, k&Z - векторы-столбцы дискретных значений импульсных переходных характеристик «путей распространения» сигнала от сейсмического источника до приемников группы, \к =Ui(k/ fs), Ієї,т\ - векторы-столбцы дискретных отсчетов помех, воздействующих на приемники группы.
Ниже будем полагать, что на интервале наблюдений кє\,п, содержащем сигналы s/t(r) от источника, помехи \к можно рассматривать как «отрезок» многомерного стационарного гауссовского временного ряда с известной матричной спектральной плотностью мощности (МСПМ) F5(A). Последнее предположение оправдано тем, что «чистые» сейсмические помехи в районе установки группы можно наблюдать до и/или после интервала, в котором обнаружен сигнал источника, и следовательно, по этим наблюдениям можно достаточно точно оценить МСПМ F(A). Для этого можно использовать известные вычислительно эффективные алгоритмы статистического многомерного спектрального анализа [5,13]. Предположение о гауссовском распределении Е,к,кєі,п связано, главным образом, с его математической простотой, поскольку гауссовский стационарный временной ряд полностью определяется своей МСПМ F5 (Я).
Фазовые алгоритмы определения координат источника
Заметим, что на практике диаметр области S0, в которой функционал Г(ї,ф) имеет (даже при отсутствии шумов) единственный максимум, существенно зависит от расположения сейсмоприемников группы и свойств земной среды, в которой распространяются сейсмические волны от источника к группе.
Сравнивая оценку (1.29) для модели сигнала в источнике в виде гауссовской случайной функции с известной спектральной плотности мощности и оценку (1.43) для модели колебаний в источнике в виде полностью неизвестной детерминированной функции времени можно заметить, что основная структурная часть функционалов Ф(хй,ф) и Г(х,ф) содержит 2 статистику h (q )F x7- - которая «накапливает информацию» о значении параметра q , содержащуюся в наблюдениях Xj,jGl,n. Вычисление этой статистики является основной процедурой в обработке данных групп, поскольку она использует априорную информацию о матричной спектральной плотности мощности F5 (/) помех, воздействующих на геофоны группы, тем самым эффективно подавляя их, особенно в случае сильно коррелированных по пространству (когерентных) гауссовских стационарных помех [47,21]. Интерпретация эффекта подавления когерентных помех статистикой h (ф)жДх с точки зрения матричной алгебры приведена ниже в главе 2.
При практическом применении МП-оценки (1.43) значения обратной матричной спектральной плотности мощности помех = (/,) могут оцениваться по наблюдениям «чистых» помех группы на временных интервалах, предшествующих времени вступления полезного сигнала источника на геофоны группы.
Как уже отмечалось, оценка параметров микросейсмического источника, (1.43) не является асимптотически эффективной в смысле достижения равенства в асимптотическом неравенстве Рао-Крамера (1.9). Однако, как показано в работе [82], в одном простом частном случае модели наблюдений (1.13) при неизвестных детерминированных й- именно на МП оценке достигается нижняя граница ошибок в классе регулярных оценок. Более общие результаты в этом направлении автором настоящей работы не найдены. Тем не менее, модельные исследования методом Монте-Карло показывают существенные преимущества оценки (1.43) перед другими оценками параметров микросейсмического источника. 1.5. Сейсмическая эмиссионная томография как частный случай МП оценки.
Широкое практическое применение для оценивания координат источников в микросейсмическом мониторинге с помощью поверхностных групп геофонов получил метод сейсмической эмиссионной томографии (СЭТ) [53,77]. Во временной области, т.е. при использовании наблюдений yk,kel,n модели (1.2), этот алгоритм заключается в нахождении точки максимума функционала «Сэмбланс» [63]: время распространения сейсмического сигнала от источника до /-го геофонов группы; V - область земной среды, содержащая микросейсмический источник. Используя теорему Парсеваля для ДКПФ о равенстве энергий сигнала и его спектра, а также теорему о сдвиге для ДКПФ [48] нетрудно показать, что применение ДКПФ к наблюдениям ук,кє1,п преобразует выражение (1.45) к следующему виду
Компоненты 4(/,г,9) передаточной функции (1.50) не зависят от параметра 9, её амплитуды одинаковы и не зависят от координат источника г. Это возможно только для изотропного механизма источника [37], с тензором сейсмического момента аТ- , и частотно-независимой не поглощающей энергию среды распространения волн, когда регистрируемые сейсмоприемниками группы сигналы отличаются от сигнала источника лишь временными сдвигами равными т(к,г), кє1,т.
Действительно, вектор (1.50) может быть получен с помощью преобразования Фурье ИПХ hk(r,Q) = (h,(tk;r), Ієі,т), где tk=k/fs. Тогда в исходной модели наблюдений с непрерывным временем (1.1) будем иметь hl{t;r) = ad{t-r{l,r)), где S(t) - дельта-функция. Т. е. свёртка h,(t;r) с сигналом источника u(t) будет равна aw(V-r(/,r)). Это означает, что среда, в которой распространяются сейсмические волны от источника до сейсмической группы, не влияет на форму и амплитуду сигнала этого источника, а лишь задерживает сигнал во времени.
Из сказанного следует, что СЭТ-оценка координат источника, определяемая выражением (1.47), есть частный случай МП-оценки при «взрывном» механизме микросейсмического источника и при сейсмических помехах в виде белого шума по времени по пространству. Такие условия редко имеют место на практике, где механизмы источников связаны с развитием трещин в среде, и поэтому диаграммы излучения источников зависят от ориентации трещин, и для разных направлений излучения амплитуды и поляризация (сжатие - растяжение) излучаемых сигналов существенно различаются. Сейсмические помехи, как правило, имеют техногенное происхождение, и поэтому могут быть сильно коррелированными как по времени, так и по пространству. Т.е. матрица среднеквадратических отклонений (МСКО, (формула 1.5)) для СЭТ-оценки в реальных условиях должна быть существенно больше, чем для МП-оценки (при оценивании г, когда 0 фиксировано), поскольку МП-оценка учитывает априорную информацию о корреляционных свойствах помех и диаграмме излучения очага. Последнее находит подтверждение в экспериментах с модельными сигналами и записями реальных помех [73].
Важнейшим для практики свойством любой статистической оценки является её робастность [31,40], т.е. устойчивость статистических характеристик оценки к отклонению реальных свойств наблюдений от математической модели, использованной при построении оценки. В рассматриваемой задаче это могут быть отклонения вероятностных характеристик сейсмических помех, воздействующих на группу сейсмоприемников, или отклонения диаграммы излучения реального источника от той, которая была заложена в модели. Ниже исследуются подходы к построению алгоритмов определения координат микросейсмического источника, робастных по отношению к характеристикам помех. Первый из этих подходов основан на модификации полученной в предыдущем параграфе оценки сейсмической эмиссионной томографии (СЭТ).
Как указывалось выше СЭТ оценка (1.47) является МП оценкой только в случае, когда помехи представляют собой белый шум во времени и по пространству, и при отклонении характеристик помех от этой простейшей модели точность СЭТ оценки существенно уменьшается. В работе [43], посвященной локации источников акустических волн с помощью пространственных микрофонных групп, показано, что точность локации в случае реальных помех, отличных от белого шума, можно повысить, исключая из рассмотрения амплитуды спектральных наблюдений и используя только фазы этих наблюдений. А именно, было предложено использовать оценку со структурой оценки СЭТ в частотной области, в которой вместо спектральных наблюдений хк(fj) = xkJ в каждом из кєі,т каналов используются величины
Выбор коэффициентов при фазовых невязках. Случай детерминированного сигнала в источнике
Задача оценивания неизвестных значений спектральных компонент источника на частотах ДКПФ /=—, у єО,и на основе наблюдений группы сейсмоприемников (модель наблюдений (2.33)) может быть решена с помощью метода цифровой обработки данных сейсмических групп, впервые рассмотренного Кейпоном [45] и известного как фильтр Кейпона [26]. Этот фильтр с т входами и одним выходом относится к классу дискретных Винеровских фильтров [21] и отличается от классического фильтра Винера тем, что его импульсная переходная характеристика (ИПХ) qv =(яіу,...,яЩу) , veZ определяется двумя условиями: Условие 1. При подаче на вход фильтра действительного т-мерного временного ряда yv=hv uv, VGZ, представляющего собой выходные сигналы произвольной устойчивой линейной системы с одним входом и m выходами и векторной импульсной переходной характеристикой (ИПХ) hv ={hlv,...,hmv) , которая известна наблюдателю, выходной сигнал фильтр Кейпона 4v = (%v Ят,у) VGZJ В ТОЧНОСТИ совпадает с исходной формой входного сигнала uv линейной системы с ИПХ hv:
Из Условия 1, выражаемого формулами (2.43) и (2.45), непосредственно следует, что при подаче на фильтр Кейпона с ИПХ qv т - мерного случайного процесса xv =hv uv +,v, где \v - случайный стационарный т - мерный временной ряд помех, имеющий нулевое среднее значения Е{ у} = 0 И матричную спектральную плотность мощности где В (г) = Е { у 1+Т), среднее значение выходного сигнала фильтра Кейпона zv тождественно равно сигналу источника uv: {zv} = {q xF} = {q (yK+ )j = {q (h/MF)} + q } = MF, VGZ. (2.47) Условие 2 При наличии помех ij„, маскирующих m-мерный выходной сигнал линейной системы hv uv, фильтр Кейпона обеспечивает минимальную дисперсию своего выходного сигнала zv = qTv xv , v є Z, т.е. представляет собой математическую постановку задачи условной оптимизации с целью нахождения комплексной векторной Tw-мерной функции w(/) (с уравнением связи w (/)h (/) = 1). Эта задача, естественно, эквивалентна нахождению 2т функций от частоты /є0,/ , представляющих действительные и мнимые части комплексной частотной характеристики фильтра Кейпона
Для решения последней задачи введём упрощающие обозначения: и запишем функцию Лагранжа, которую необходимо минимизировать по действительной и мнимой частям комплексного вектора w: где Л - множитель Лагранжа. Таким образом, согласно методу множителей Лагранжа необходимо минимизировать следующее выражение при значении величины Я, которое соответствует уравнению связи (2.45):
Подставляя первое из условий (2.55) во второе, получаем, что свою очередь, подставляя полученное значение Я в первое из выражений (2.55), окончательно находим, что выражение: удовлетворяет необходимому условию, которому должна соответствовать частотная характеристика фильтра Кейпона. Т.е. для комплексного вектора -w= .„ _г. соответствующий вектор (а1з...,ат,Ьх,...,Ьт) его действительных и h F h мнимых частей является стационарной точкой функции Лагранжа Z(a,b /) и необходимое условие экстремума (2.52) выполнено. Проверим выполнение достаточного условия этого экстремума. Для этого рассмотрим вид Гессиана для функции Z(a,b /): H
С учётом равенств (2.57) и утверждений теоремы о свойствах ДКПФ выборки из гауссовского распределения - формулы (2.14), матрица Н представляет некоторую предельную ковариационную матрицу гауссовского 2т -мерного вектора, а следовательно эта матрица является положительно определённой и при w = .. _г. функция Z(a,b) достигает свой минимум. Для частного случая h F h га = 2 аналогичная ковариационная матрица рассматривалась в первом параграфе этой главы - матрица D(/) в (2.20). В различных приложениях обработки данных сейсмических групп, полученный фильтр w в силу его свойств носит название неискажающего оптимального группового фильтра [88]. Ориентируясь на систему (2.50) выпишем эти свойства ещё раз:
Интересно отметить, что выражение (2.60) совпадает с формулой (1.38), полученной при решении системы уравнений (1.35) относительно неизвестных мешающих параметров - ДКПФ сигнала источника, однако статистические свойства такой оценки ранее были неизвестны. Вместе с этим соотношение (2.60) помогает решить проблему практического использования коэффициентов (2.42) для фазового функционала вида (2.38) в случае, когда й(/,) являются неизвестными детерминированными величинами. С учётом выполнения важного первого свойства (2.47) фильтра, в среднем неискажающего спектр сигнала, модуль правой части равенства (2.60) может оказаться полезной оценкой модуля спектральных наблюдений сигнала - й(/),у єі,и. Таким образом, проблема выбора коэффициентов в (2.39) решена и можно выписать окончательный вид оценки параметров источника при его неизвестной детерминированной функции:
Важно подчеркнуть, что коэффициенты ckJ зависят от оцениваемого параметра очага ф, В третьей главе, экспериментально будет установлено, что оценка вида (2.61), учитывающая коэффициенты (2.62), наряду с МП оценкой - (1.43) показывает наилучшую точность оценивания параметра р.
Оценивание координат очага при пространственно коррелированных помехах
Метод СЭТ, как это следует из формулы (1.49), очевидно может учитывать диаграмму излучения сложного микросейсмического источника, если вектор частотных характеристик в (1.49) зависит не только от г, но и от параметра 0: h (г,9) = (а, (г,в,/у.)елр{-/ 2я-/у.г(/,г)}, /є 1,...,да), где величины аг(0,г,/;) определяют амплитуду и полярность сигнала источника с координатами г на /-ом геофоне. С учётом аДг,0,/;) оценка (1.49) будет являться модифицированной СЭТ оценкой (МСЭТ). Рис 3.11 иллюстрирует качество МСЭТ метода и ФНМ при их использовании для локации ДД-источника при обработке модельной сейсмограммы группы с записями реальных помех, маскирующими синтетический сигнал источника при разных отношениях сигнал-шум. Как и в предыдущих модельных экспериментах, использовались записи помех, зарегистрированных поверхностной группой Рис. 3.1 во время проведения ГРП на месторождении углеводородов «Marcellus Shale». Оба алгоритма были 108 настроены на диаграмму излучения ДД-источника с параметрами а =45, /?=90, Восток (км) Восток (км) Восток (км) Восток (км) а) б) в) г)
Рис. 3.11. Примеры карт функционалов модифицированного СЭТ алгоритма и алгоритма ФНМ, настроенных на диаграмму направленности источника типа двойного диполя с параметрами а = 45,/? = 90, х = о. Обработка смеси синтетической многоканальной сейсмограмм группы от источника типа двойного диполя с фрагментом записи реальных помех группы, зарегистрированных при ГРП. Координаты синтетического источника: Х=0, Y=0, Z=l км. (а), (б) - оценки координат эпицентра источника модифицированным алгоритмом СЭТ и алгоритмом ФНМ при отношении сигнал-шум в смеси сигнала с помехами 0.1. Ошибки оценивания: для СЭТ zlx=10 м, Лу = 0 м; для ФНМАГ=0 М, Лу=0 м. (в), (г) оценки координат эпицентра источника модифицированным алгоритмом СЭТи алгоритмом ФНМ при отношении сигнал-шум в смеси 0.05. Ошибки оценивания: для СЭТ Аг=30 м, Лу = -120 м; для ФНМ Лх=0 м, Ау=0 м.
Как видно из Рис. 3.11, если в смеси синтетического сигнала от ДД-источника с записями реальных помех ОСШ = 0.1, МСЭТ метод ненамного уступает в точности ФНМ. Однако при ОСШ=0.05 МСЭТ алгоритм становится, практически, не работоспособным, допуская отклонение оценки Y-координаты источника от истинного значения на величину 120 м. В то же время, ФНМ при ОСШ=0.05 обеспечивает точную оценку координат эпицентра источника. Это еще раз подтверждает плохую помехоустойчивость алгоритма СЭТ в случае реальных помех: коррелированных и имеющих различные спектральные плотности мощности в различных приемниках группы. Данный недостаток проявляется в модифицированном варианте СЭТ при его настройке на любые механизмы источников. В то же время, ФНМ при точной настройке на диаграмму излучения сложного источника успешно подавляет коррелированные помехи с различными спектрами в каналах даже при малых отношениях сигнал-шум.
Для количественного сравнения статистических характеристик точности традиционного СЭТ алгоритма, МСЭТ алгоритма и ФНМ алгоритма при локации источника со сложным механизмом очага в случае реальных техногенных помех был проделан очередной модельный эксперимент по методу Монте-Карло. Синтетические сейсмограммы группы из 150 станций (Рис. 3.1), рассчитывались для источника с координатами Х=0.17 км, Y= -0.33 км, Z=1.87 км и механизмом очага типа двойного диполя с параметрами а = 30, /7 = 90, у = \о. Модельные многоканальные смеси имели ОСШ=0.1, что обеспечило детектирование и источника традиционным алгоритмом СЭТ на всех ПО модельных сейсмограммах. Кроме алгоритма СЭТ модельные сейсмограммы обрабатывались с помощью описанного выше алгоритма МСЭТ, а также ФНМ алгоритма, настроенных на диаграмму излучения лоцируемого синтетического источника.
Результаты эксперимента показаны на Рис. 3.12. Сложной форме диаграммы излучения источника, проекция которой на дневную поверхность показана на Рис. 3.12,а, соответствовала в данном эксперименте функция неопределенности традиционного алгоритма СЭТ, изображенная на Рис. 3.12,6. Функция неопределенности состоит из двух не пресекающихся пиков, что свидетельствует о плохой потенциальной точности и разрешающей способности традиционного алгоритма СЭТ при локации этого сложного ДД-источника. Форма двумерной эмпирической плотности распределения вероятностей оценок для традиционного алгоритма СЭТ (Рис. 3.12,в) состоит из двух мод, практически повторяя форму функции неопределенности Рис. 3.12,6. СКО оценок X и Y координат источника, соответствующие этой плотности, весьма велики: 140 и 160 м, соответственно. Т.е. традиционный алгоритм СЭТ, практически, не в состоянии оценить координаты модельного источника со сложной диаграммой излучения при сравнительно высоком ОСШ=0.1.
Рис. 3.12. Эмпирические двумерные плотности распределения вероятностей (ПРВ) оценок координат эпицентра источника, полученные методом Монте-Карло с помощью различных алгоритмов локации для источника типа двойного диполя с параметрами « = 30, /3 = 90, у = \о. Обработка ПО смесей синтетических многоканальных сейсмограмм источника с фрагментами записей реальных помех, зарегистрированных при ГРП. Координаты источника: Х=0.17, Y= -0.33, Z=1.87 км; отношение сигнал-шум в модельных смесях 0.01.
Модифицированный алгоритм СЭТ, настроенный на указанные выше параметры источника типа двойного диполя, обеспечивает уже существенно лучшую точность оценивания координат этого источника: двумерная эмпирическая плотность вероятностей оценок (x ,Y \ для этого алгоритма уже одномодальная и достаточно узкая, а СКО оценок X и Y координат равны 98 м и 60 м, соответственно. Наилучшие результаты локации источника со сложным механизмом очага в данном эксперименте были получены с помощью ФНМ, настроенного на параметры двойного диполя анализируемого источника: соответствующая ему эмпирическая плотность распределения оценок представляет собой узкий пик, для которого СКО оценок X и Y координат равны 5 и 3 м, соответственно, что примерно в 20 раз меньше, чем для модифицированного СЭТ алгоритма.
Исследование точности локации сложных источников с помощью алгоритмов, робастных к механизмам источников
На Рис. 3.13 представлены результаты модельного эксперимента по методу Монте-Карло, проведенного с целью сравнения точности двух алгоритмов локации, робастных к механизму источника (КМ и ФРМ алгоритмов), которые не нуждаются в информации о диаграмме излучения источника. С помощью этих алгоритмов также были обработаны ПО модельных сейсмограмм группы Рис. 3.1, представлявших собой смеси синтетического сигнала источника с механизмом типа двойного диполя с фрагментами описанной выше записи реальных помех, зарегистрированной при проведении ГРП. Как и в предыдущем эксперименте, синтетический источник имел локальные координаты: Х=0.17 км, Y= -0.33 км, Z=1.87 км, углы механизма типа двойного диполя: а = 30, /3 = 90, г = 10, а модельные сейсмограммы - усредненное по каналам группы ОСШ = 0.1.