Введение к работе
Актуальность темы Математическая теория риска имеет многочисленные приложения к различным областям человеческой деятельности, в которых решения принимаются в условиях неопределенности В финансовой области можно выделить такие приложения как банковское дело, страхование, управление рыночными и кредитными рисками, рисками инвестиций Во всех этих областях после подбора, анализа статистической информации и построения прогнозов последнее слово остается за лицом, принимающим решение. И здесь возникает проблема измерения риска таким образом, чтобы это согласовывалось с индивидуальными предпочтениями лица, принимающего решение.
Одним из способов количественного описания предпочтений на множестве вероятностных распределений является построение вещественного функционала, называемого мерой риска
Среди всего многообразия используемых в настоящее время мер риска можно выделить прежде всего классические меры риска - математическое ожидание и дисперсию С настоящее время эти меры риска в основном используются в совокупности, составляя критерий оценки риска "среднее-дисперсия" Впервые данный критерий был применен Г Марковичем для решения задачи выбора оптимального портфеля Разновидности данного критерия активно используются в портфельном и инвестиционном анализе В качестве примера можно привести критерий Шарпа, на основе которого была модель ценообразования САРМ (Capital Asset Pricing Model) К сожалению, в случаях, когда распределение случайных величин далеко от нормального, измерение риска дисперсией уже не является эффективным
Существенным прорывом в решении проблемы количественного измерения риска стала теория ожидаемой полезности, основоположниками которой были Дж фон Нейман и О Моргенштерн Предложенная ими модель является более гибкой относительно индивидуального отношения к риску Эта гибкость связана с наличием в модели функции полезности, которая отражает предпочтения лица, принимающего решения
Именно в рамках теории ожидаемой полезности Дж Праттом и К Эр-роу было введено такое важное понятия как "неприятие риска" и предложены количественные его характеристики Однако мера ожидаемой полезности представляет предпочтения, обладающие линейной структурой, которые на практике встречаются довольно редко, что подтверждается парадоксами М Алле и П Сэмуэльсона
В плане представления нелинейных предпочтений перспективными явля-
ются когерентные меры риска, которые 1999 г предложили Ф Арцнер, Ф Делбаен, Ж -М. Эбер и Д Хиф В качестве примеров когерентных мер риска можно привести функционал возмущенной вероятности Ш Вонга и меру Expected Shortfall К Ачерби
Практически сразу после появления когерентных мер риска стали предлагаться различные их модификации, такие как выпуклые меры риска, введенные Г Фолмером и А Шидом и меры риска Р Джарроу и А Пурнананда-ма, названные авторами обобщенными когерентными мерами риска Однако строго говоря их нельзя считать обобщением когерентных мер в виду того, что они позволяют оценивать лишь неприемлемые для инвестора риски
Обобщение когерентных мер согласно подходу Джарроу и Пурнанандама было продолжено А А Новоселовым Предложенные им меры являются действительным обобщением когерентных мер и в дальнейшем именно их мы будем называть обобщенными когерентными мерами риска Они являются более гибким инструментом для представления индивидуальных предпочтений, так как предпочтения задаются не только с помощью разделения рисков на приемлемые и неприемлемые (как при построении когерентных мер), но и с помощью указания формы единичной сферы в пространстве рисков
Автором указан способ задания функционала по определенному аксиоматически множеству приемлемых для индивидуума рисков и норме в пространстве рисков, и доказана теорема о представлении меры риска
Однако вычисление функционала непосредственно с помощью этой теоремы представляет весьма трудоемкую задачу, что неудобно при решении задач принятия решений В связи с этим встает вопрос об эффективности использования обобщенных когерентных мер риска на практике
Научная проблема данного исследования состоит в необходимости построения математического аппарата, позволяющего за приемлемое время вычислять обобщенные когерентные меры риска для различных предпочтений
Объектом исследования является класс обобщенных когерентных мер риска и соответствующие им множества приемлемых рисков, а предметом исследования выступает аксиоматическое описание функционала, методика вычисления значений меры риска для различных отношений предпочтения и возможность применения данного функционала в задачах принятия решений в условиях неопределенности
Целью работы является построение аксиоматического описания обобщенных когерентных мер риска, разработка методов вычисления значений функционала меры риска для предпочтений индивидуума, заданных множествами приемлемых рисков и нормами в пространстве рисков, а также исследование возможности применения данной меры риска в задачах принятия
решений
Исходя из цели работы были определены задачи исследования
-
Создать аксиоматическое описание обобщенных когерентных мер риска
-
Получить аналитическое представление для конуса приемлемых рисков и создать алгоритм построения двойственного конуса
-
Применить теорему о представлении обобщенной когерентной меры риска для создания процедуры вычисления функционала по построенному двойственному конусу и норме, заданной в пространстве рисков
-
На примере задачи формирования портфеля ценных бумаг продемонстрировать возможность использования обобщенных когерентных мер риска в задачах принятия решений
Основная идея диссертации состоит в применении методов выпуклого анализа для построения взаимосвязей между множеством приемлемых рисков, представляющим предпочтения индивидуума, и двойственным конусом, что позволит применить теорему о представлении обобщенной когерентной меры риска для непосредственного вычисления значений функционала
Методы исследования основаны на использовании элементов теории вероятностей, линейной алгебры, функционального анализа и методов выпуклого анализа
Основные новые научные результаты, выносимые на защиту.
-
Создано аксиоматическое описание обобщенных когерентных мер риска
-
Получено представление множества приемлемых рисков в виде конуса, задаваемого с помощью системы линейных неравенств при сформулированных ограничениях на коэффициенты Создан алгоритм построения двойственного конуса к конусу приемлемых рисков
-
Создан алгоритм решения задачи оптимизации на двойственном конусе, позволяющий вычислять значения соответствующей обобщенной когерентной меры риска
-
На примере задачи формирования портфеля ценных бумаг продемонстрирована возможность применения обобщенной когерентной меры риска в задачах принятия решений в условиях неопределенности
Значение для теории заключается в построении целостной аксиоматики обобщенных когерентных мер риска, которые позволяют количественно
оценить риск для различных нелинейных отношений предпочтения, а также в создании метода вычисления указанных мер риска
Значение для практики Благодаря разработанному методу вычисления значений обобщенной когерентной меры риска, эта мера может быть применена при решении прикладных задач, например, таких как задача формирования портфеля ценных бумаг Данная мера риска является гибким инструментом относительно индивидуальных предпочтений Это свойство делает ее особенно востребованным инструментом для решения таких задач, в которых особенно важно учитывать индивидуальное отношение к риску лица принимающего решения.
Достоверность результатов определяется корректным применением указанных методов исследования Все результаты работы подтверждены сформулированными и доказанными теоремами
Использование результатов диссертации Результаты данного исследования могут быть применены в задачах принятия решений в условиях неопределенности
Апробация работы. Основные результаты исследования докладывались на Международной научной школе "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" (Санкт-Петербург, 2005, 2006), Всероссийской конференции "Финансово-актуарная математика и смежные вопросы" (Красноярск, 2006, 2007), Всероссийской научной конференции молодых ученых "Наука Технологии Инновации" (Новосибирск, 2006), IX Эвентологиче-ской конференции (Красноярск, 2005), конференции-конкурсе молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 2006), межвузовской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Информатика и информационные технологии" (Красноярск, 2003), на семинарах по финансово-актуарной математике ИВМ СО РАН (Красноярск, 2003-2007)
Публикации По теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ, в том числе 7 статей, из которых 1 в периодическом издании по перечню ВАК
Личный вклад автора. Все результаты получены лично автором
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения Текст изложен на 109 страницах и дополнен 14 иллюстрациями и 1 таблицей Список литературы включает 91 наименование
