Норма передаточной матрицы управляемой системы с запаздыванием Сумачева Виктория Александровна

Содержание к диссертации

Введение

1 Системы линейных уравнений запаздывающего типа 12

1.1 Общие сведения 12

1.2 Передаточная матрица 15

1.3 Норма передаточной матрицы 16

2 Вычисление %2 нормы передаточной матрицы систем запаздывающего типа 18

2.1 Системы без запаздываний 18

2.2 Матрицы Ляпунова 20

2.2.1 Вычисление матриц Ляпунова 22

2.3 Вычисление ТІ2 нормы передаточной матрицы 27

2.4 Пример 31

3 Построение управления, уменьшающего %2 норму передаточной матрицы 35

3.1 Постановка задачи 35

3.2 Системы без запаздываний 37

3.3 Алгоритм уменьшения 7І2 нормы передаточной матрицы 39

3.4 Анализ замкнутой системы 45

3.5 Пример 49

4 Системы линейных уравнений нейтрального типа 53

4.1 Общие сведения 53

4.2 Матрицы Ляпунова 55

5 Вычисление %2 нормы передаточной матрицы систем нейтрального типа 70

5.1 Вычисление ТІ2 нормы передаточной матрицы 71

5.2 Вычисление матриц Ляпунова 74

Заключение 80

Литература

• Передаточная матрица
• Вычисление матриц Ляпунова
• Алгоритм уменьшения 7І2 нормы передаточной матрицы
• Вычисление матриц Ляпунова

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Теория динамических систем играет важную роль в современной науке, так как является универсальным способом описания окружающих нас объектов и явлений. Одним из наиболее часто используемых видов описания динамических систем являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Возникшие из задач механики, они получили широкое применение не только в физике, но и в других областях.

Однако не все процессы могут быть корректно описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями. В сложных системах, где обмен между частями происходит с конечной скоростью, возникают запаздывания. Обычно они достаточно малы, чтобы не принимать их во внимание. Однако возможны случаи, когда даже малое запаздывание приводит к качественному изменению процесса.

Практическая необходимость привела к созданию нового класса динамических систем, описывающих состояние объекта на основе ранее известной информации о нем. Такие системы получили название дифференциально-разностных, или систем с последействием. Запаздывание может возникать как в управляющем или входном сигналах, так и в состоянии системы, являясь неотъемлемой частью объекта.

Часто в приложениях используются методы компенсации запаздывания, позволяющие «избавиться» от запаздывания и вернуться к рассмотрению обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако природа дифференциально-разностных уравнений такова, что они имеют бесконечномерный характер, и прямое перенесение средств и методов классической теории на них невозможно.

Вместо прямого сведения задач с запаздыванием к классическим системам были предприняты попытки распространения основных результатов теории обыкновенных дифференциальных уравнений на случай систем с запаздываниями с учетом их природы. В теории устойчивости ярким примером такого распространения является метод функционалов Ляпунова-Красовского.

Н. Н. Красовский ¹ предложил учесть бесконечномерную природу систем с запаздываниями и рассматривать вместо функций Ляпунова функционалы, получившие название функционалов Ляпунова-Красовского. На этой основе им были получены условия устойчивости систем, а также оценки области притяжения. В работе Ю. М. Репина ² поставлена задача построения функционалов для линейных систем. Им было показано, что нахождение квадратично-

^расовский Н.Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. С. 315-327.

²Репин М.Ю. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29. С. 564-566.

го функционала с заданной производной сводится к поиску вспомогательных матричных функций, для определения которых необходимо решить систему дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений. Эта идея получила развитие в работах R. Datko, J. Louisell, Е. F. Infante, W. В. Castelan, W. Huang, В. Л. Харитонова, А. П. Жабко и других.

Было показано, что для задания функционала достаточно определить лишь одну матричную функцию, получившую название матрицы Ляпунова. Метод ее вычисления сводится к решению матричного дифференциально-разностного уравнения с особыми граничными условиями, являющегося аналогом матричного уравнения Ляпунова. В ряде случаев задача может быть сведена к нахождению решения граничной задачи для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Это позволило использовать теорию функционалов Ляпунова-Красовского в практических задачах, выведя ее за пределы исключительно теоретических исследований. В классической теории матрицы Ляпунова позволяют проверить устойчивость системы, оценить характеристики переходных процессов. Они возникают и в теории оптимального управления при синтезе ТІ2 оптимального управления.

ТІ2 норма передаточной матрицы системы является количественной оценкой влияния внешних воздействий на выходной сигнал системы. В качестве входного сигнала часто рассматривают внешние возмущающие воздействия, такие как порывы ветра или волнение в задачах стабилизации движения летательных аппаратов или морских объектов. Такие возмущения могут отрицательно сказываться на качестве управления, поэтому важной задачей является построение управления, минимизирующего их влияние на выходной сигнал. Уровень подавления оценивается с помощью нормы передаточной матрицы, которая в данной задаче выступает критерием оптимальности.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений нахождение ТІ2 нормы передаточной матрицы сводится к решению вспомогательного матричного уравнения Ляпунова со специально выбранной правой частью. Для решения задачи управления существует метод последовательных приближений Зубова, основанный на решении серии матричных уравнений Ляпунова.

Задача вычисления нормы передаточной матрицы системы с запаздыванием на основе теории матриц Ляпунова впервые была поставлена группой бельгийских математиков ³. Ими было получено явное выражение для ТІ2 нормы передаточной матрицы системы, не содержащей запаздываний во входном и выходном сигналах.

³ Jarlebring Е., Vanbiervliet J., Michiels W. Characterizing and computing the H2 norm of time-delay systems by solving the delay Lyapunov equation // IEEE Transactions on Automatic Control. 2011. Vol. 56(4). P. 814-825.

Целью диссертационного исследования является разработка метода вычисления 7І2 нормы передаточной матрицы линейной стационарной системы с запаздываниями и построение управления, уменьшающего норму передаточной матрицы замкнутой системы. В ходе исследования ставятся и решаются следующие задачи:

разработка метода вычисления 7І2 нормы передаточной матрицы систем запаздывающего и нейтрального типов, содержащих произвольное количество запаздываний;

распространение методов вычисления, позволяющих для системы с запаздывающим аргументом вычислить матрицы Ляпунова, ассоциированные с несимметрическими матрицами;

построение управления, уменьшающего ТІ2 норму передаточной матрицы системы запаздывающего типа.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе используется теория Ляпунова-Красовского, являющаяся распространением классического метода матриц Ляпунова на системы с запаздывающим аргументом.

Научная новизна заключается в распространении метода вычисления ТІ2 нормы передаточной матрицы на более широкий класс систем с произвольным количеством запаздываний. Метод построения управления, уменьшающего 7І2 норму передаточной матрицы, с использованием матриц Ляпунова является новым.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии методов анализа и управления системами с запаздывающим аргументом.

Практическая значимость. Разработанные методы могут быть применены в теории автоматического управления линейными системами с запаздывающим аргументом для оценки качества системы с помощью значения 7І2 нормы ее передаточной матрицы, а также для построения управления, уменьшающего ее значение, с целью улучшения характеристик системы.

Достоверность научных результатов обеспечивается строгостью доказательств и математических выводов.

Апробация результатов исследования. Результаты работы докладывались на научных конференциях: XLII, XLIII, XLIV международные научные конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета ПМ-ПУ СПбГУ (Санкт-Петербург, 2011-2013), «International Student Olympiad on Automatic Control» (Санкт-Петербург, 2011) и «Всероссийское совещание по проблемам управления» (Москва, 2014).

Публикации. Основные результаты опубликованы в восьми работах, три из которых являются статьями в изданиях, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 54 наименования, и приложения. Общий объем составляет 93 страницы машинописного текста.

Передаточная матрица

В третьей главе в систему запаздывающего типа вводится управляющее воздействие и ставится задача построения управления, уменьшающего ТІ2 норму передаточной матрицы системы. Первый параграф целиком посвящен постановке задачи, во втором дан обзор решения аналогичной задачи для системы, не содержащей запаздываний. В третьем параграфе представлен алгоритм построения искомого управления на основе теории Ляпунова-Красовского. Четвертый параграф посвящен анализу системы, замкнутой найденным управлением, в том числе вычислению значения 7І2 нормы ее передаточной матрицы. Более подробно процесс описан в пятом параграфе на знакомом примере из второй главы, в который было введено управление.

В четвертой главе вводится новый тип систем с запаздываниями — системы нейтрального типа. Первый параграф содержит основные сведения о системах, второй посвящен теории Ляпунова-Красовского: в нем вводится понятия функционалов и матриц Ляпунова-Красовского, а также приводятся необходимые для применения данной теории доказательства.

В пятой главе рассматривается задача, аналогичная поставленной во второй главе: вычисление ТІ2 нормы передаточной матрицы системы нейтрального типа. В первом параграфе выводится общее выражения для 7І2 нормы, а во втором дается описание метода построения матриц Ляпунова, необходимых для полного определения значения нормы.

Реализация результатов методов, описанных в пятой главе, представлена в приложении. Она содержит программный код в среде MATLAB, позволяющий вычислить 7І2 норму передаточной матрицы системы нейтрального типа.

Результаты работы докладывались на научных конференциях: XLII, XLIII, XLIV международные научные конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета ПМ-ПУ СПб-ГУ (Санкт-Петербург, 2011-2013), «International Student Olympiad on Automatic Control» (Санкт-Петербург, 2011) и «Всероссийское совещание по проблемам управления» (Москва, 2014).

Основные результаты опубликованы в сборниках конференций, указанных выше [17, 18, 19, 52, 16], а также в журналах, входящих в список ВАК [14, 15, 50].

На защиту выносятся следующие положения: метод вычисления 7І2 нормы передаточной матрицы системы запаздывающего типа, содержащей произвольное количество запаздываний — теорема 4; алгоритм построения управления, уменьшающего ТІ2 норму передаточной матрицы системы запаздывающего типа — теорема 6; метод вычисления 7І2 нормы передаточной матрицы системы нейтрального типа, содержащей произвольное количество запаздываний — теорема 8. Глава 1

Системы линейных уравнений запаздывающего типа В этой главе приведем общие сведения о линейных системах с запаздываниями, основные определения и понятия, которые будут использоваться в дальнейшем, а также понятие передаточной матрицы системы и ее нормы. где h 0 - положительное запаздывание, непрерывные функции x(t) Є Mn, wit) Є M1, у it) Є Ms являются текущим состоянием системы, входным и выходным сигналами, w{t) - ограниченная кусочно-непрерывная функция, Д),..., Ат, Во, , Вт, Со,... , Ст — вещественные матрицы соответствующих размерностей. Для того, чтобы определить решение системы (1.1), необходимо задать начальную функцию р Є PC ([—mh,0],Wn). Соответствующее ей решение x(t,p) должно удовлетворять начальному условию x(t,p) = p(t), te[—mh,0].

Если выбор начальной функции не существенен, решение будем обозначать x(t). Для системы с запаздывающих аргументом состоянием будет являться не точка траектории x(t, р), а ее сегмент xt(p), заданный на отрезке [t — mh}t], xt(p) : 0- x(t + 9, р), 9e[-mh,0]. Для краткости состояние системы также будем обозначать 3. В работе будут исследоваться вопросы управления и устойчивости исходной системы, поэтому необходимо ввести следующие определения.

Данное выражение носит название формулы Коши. 1.2 Передаточная матрица Понятие передаточной матрицы тесно связано с понятием преобразования Лапласа. Определение 4. [8] Образом Лапласа функции f(t) называется функция комплексного переменного F(z) = J f(t)e-ztdt. о Для того чтобы преобразование Лапласа существовало, достаточно, чтобы функция f(t) была абсолютно суммируема и удовлетворяла условию то есть возрастала не быстрее показательной функции.

Выберем нулевую начальную функцию (р(9) = О Є М.п, в Є [—h, 0] и обозначим через x(t) соответствующее решение системы (1.1) при произвольном входном сигнале w(t). Отвечающий этому решению выходной сигнал обозначим через y(t). Преобразование Лапласа функций w(t), y(t), x(t) и К {і) обозначим через W(s): Y(s): X(s) и K(s) соответственно. Данные функции удовлетворяют условиям существования преобразования, так как w(t) ограничена, а система экспоненциально устойчива.

Вычисление матриц Ляпунова

За дозирование топлива в двигателе отвечает отдельная система, которая структурно состоит из двух частей. Первая представляет собой гидромеханический агрегат, на вход которого подается управляющее воздействие в виде тока I(t). Под его воздействием изменяется положение дозирующего крана a(t): который и определяет расход топлива. Система, описывающая поведение агрегата, имеет вид

Вторая часть системы представляет собой цифровой блок системы управления, который формирует управляющий ток на основе требуемого положения дозирующего крана «о (вычисляемого из требуемого расхода топлива) и измеренного зашумленного значения текущего положения дозирующего крана a(t — h) + e(t), получаемого с датчиков, получаемого с датчиков, в которых присутствует ограниченное возмущение e(t).

Запаздывание h в управляющем токе равно двум тактам работы цифрового блока и составляет h = 0.05. Один такт занимает измерение текущего положения дозирующего крана, еще один тратится на вычисление требуемого управляющего воздействия.

Таким образом, система управления расходом топлива, состоящая из агрегата дозирования топлива (2.21), замкнутого цифровым блоком управления (2.22), может быть описана системой уравнений запаздывающего типа. После ввода обозначений

Выходной сигнал y(t) в этом случае представляет собой рассогласование между требуемым и фактическим положениями дозирующего крана, которое стремится к нулю, так как система замкнута стабилизирующим управлением, то есть экспоненциально устойчива.

Вычислим 7І2 норму передаточной матрицы системы (2.23), то есть определим зависимость между входным возмущением, означающим зашумленность датчика положения дозирующего крана агрегата, и ошибкой регулирования.

Так как эта система не имеет запаздываний во входном и выходном сигналах, формула для вычисления 7І2 нормы системы в данном случае принимает вид

Для вычисления достаточно найти значение матрицы Ляпунова U(0): ассоциированной с матрицей

Таким образом, 7 2 норма передаточной матрицы системы (2.23) равна G2 = 6.274. В данном случае %2 норма передаточной матрицы характеризует среднее усиление системой внешних возмущений. Это означает, что при наличии шума в измерении текущего положения дозирующего крана среднее рассогласование между требуемым и текущим положениями будет почти в 6 раз больше величины шума.

На практике идеальные системы встречаются редко и даже самые современные датчики не гарантируют полного отсутствия зашумленности. Так как все управление двигателем в итоге сводится к управлению расходом топлива, точность поддержания данного параметра имеет особую важность. Полученная же величина нормы свидетельствует о том, что наличие даже малых возмущений негативно скажется не только на характеристиках данной системы, но и на общем качестве управления параметрами двигателя. Глава З

Построение управления, уменьшающего щ норму передаточной матрицы В данной главе рассмотрим проблему построения управления, уменьшающего ТІ2 норму передаточной матрицы линейной системы запаздывающего типа. положительное запаздывание, непрерывные функции x(t) Є Mn, u(t) Є W\ w{t) Є МЇ, у it) Є Ms являются текущим состоянием системы, управляющим, входным и выходным сигналами, w(t) - ограниченная кусочно-непрерывная функция, Ао,... , Ат: , С , D, Е — вещественные матрицы соответствующих размерностей. Будем считать, что матрица DTD обратима. Данное условие является стандартным для задач оптимального управления [54] и не накладывает существенных ограничений на систему.

Предположим, что система при нулевом управлении u(t) = 0 экспоненциально устойчива. Допустимым будем считать управление, при котором замкнутая им система будет являться экспоненциально устойчивой.

Очевидно, что ТІ2 норма передаточной матрицы системы (3.1)-(3.2) будет зависеть от выбора управления С(гі)І2. Задача %2 оптимального управления заключается в построении управления, минимизирующего ТІ2 норму передаточной матрицы замкнутой системы, то есть в качестве критерия оптимальности выступает

Алгоритм уменьшения 7І2 нормы передаточной матрицы

В данной главе рассмотрим задачу нахождения 7І2 нормы передаточной матрицы системы нейтрального типа где h 0 - положительное запаздывание, непрерывные функции x(t) Є wit) Є Ш.1, у it) Є Ms являются текущим состоянием системы, входным и выходным сигналами, w{t) - ограниченная кусочно-непрерывная функция, Do = /, Di,... , DTO, Д),..., Ат, Do,..., DTO, Со,..., Ст — вещественные матрицы соответствующих размерностей. Как и в случае систем запаздывающего типа, для получения явной формулы 7І2 нормы передаточной матрицы воспользуемся теорией матриц Ляпунова. 5.1 Вычисление % нормы передаточной матрицы

Для вычисления 7І2 нормы нам потребуются понятия передаточной матрицы и импульсной характеристики системы, определения которых были даны ранее.

Можем выразить образ выходного сигнала через образ входного и получим следующий вид передаточной матрицы представляет собой преобразование Лапласа фундаментальной матрицы, откуда и получаем искомое представление.

Данные выражения аналогичны полученным для систем запаздывающего типа и позволяют вывести явную формулу для вычисления нормы с использованием матриц Ляпунова.

Теорема 8. %2 норма передаточной матрицы экспоненциально устойчивой системы (5.1)-(5.2) может быть вычислена по формуле

Таким образом мы получили формулу (5.5) для вычисления 7І2 нормы передаточной матрицы системы (5.1)-(5.2), в которую входят только матричные коэффициенты исходной системы и значения матриц Ляпунова в точках —mh,..., 2mh.

Аналогично всем предыдущим случаям, как для систем без запаздываний, так и для систем запаздывающего типа, вычисление нормы сводится к нахождению матриц Ляпунова.

Так как в данном случае система экспоненциально устойчива, матрица Ляпунова при заданной W существует, единственна, и для ее вычисления можно использовать неявное определение. отрезок [—mh, 2mh] найти U(—mh),..., U(2mh), что полностью определяет выражение для нормы передаточной матрицы. Заключение

В работе рассматривалась проблема вычисления 7І2 нормы передаточной матрицы, а также задача построения управления, уменьшающего значение ТІ2 нормы. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений существует решение подобных задач с использованием теории матриц Ляпунова. В работе была предпринята попытка распространить эти результаты на системы с запаздываниями.

Во второй главе получено явное выражение для 7І2 нормы системы запаздывающего типа, содержащей произвольное количество запаздываний в состоянии, входном и выходном сигналах. Формула включает в себя коэффициенты исходной системы и значение матриц Ляпунова в нескольких точках. Таким образом, приведенное в той же главе описание метода построения матриц Ляпунова для систем запаздывающего типа полностью определяет выражение для ТІ2 нормы. Полученный метод проиллюстрирован на примере системы управления расходом топлива газотурбинного двигателя.

В третьей главе с помощью теории Ляпунова-Красовского получено выражение для управления, уменьшающего 7І2 норму передаточной матрицы системы запаздывающего типа, а также представлен анализ системы, замкнутой построенным управлением, и метод вычисления уменьшенного значения 7І2 нормы. Стоит отметить, что получившаяся система относится к классу систем с распределенным запаздыванием, что существенно усложняет анализ. Все результаты главы проиллюстрированы на примере системы управления расходом топлива, введенной во второй главе. Таким образом, анализ %2 нормы передаточной матрицы этой системы полностью завершен.

В пятой главе полученное выражение для 7І2 нормы передаточной матрицы распространяется на более широкий класс систем с запаздываниями - системы нейтрального типа. Полученная формула также полностью определяется значениями матриц Ляпунова. Метод их вычисления в случае систем нейтрального типа, описанный в пятой главе, математически обоснован в четвертой.

Алгоритм, полученный для вычисления 7І2 нормы передаточной матрицы системы нейтрального типа, как наиболее общего из рассмотренных в работе случаев, реализован в среде MATLAB и представлен в приложении.

Таким образом, в работе не только получены результаты относительно ТІ2 нормы передаточной матрицы систем с запаздываниями, имеющие безусловное практическое значение, но и проиллюстрированы возможные направления применения метода Ляпунова-Красовского.

Вычисление матриц Ляпунова

Таким образом, для вычисления 7i2 нормы передаточной матрицы замкнутой управлением (3.6) системы (3.8)-(3.9) достаточно найти матрицу Ляпунова V(6) при в Є [—mh,mh].

Для систем с распределенным запаздыванием не существует общего алгоритма нахождения матрицы Ляпунова.

Одним из способов выхода из этой проблемы является расчет приближенных значений матрицы Ляпунова V{6) замкнутой системы (3.8)-(3.9) и, таким образом, вычисление приближенной величины нормы передаточной матрицы. Однако такой подход не позволяет определить, насколько уменьшилась норма, так как оценка точности вычисления матрицы Ляпунова нам не доступна.

Точный метод построения матриц Ляпунова для систем с распределенным запаздыванием известен в случае, когда ядро системы представимо в виде Так как в нашем случае в ядро входит матрица Ляпунова исходной системы, которая, как было показано, может быть представлена как решение си 49 стемы обыкновенных дифференциальных уравнений, мы приходим именно к этому случаю. Метод вычисления матрицы Ляпунова представлен в работе [34]. Более подробно описанный механизм проиллюстрируем на примере.

Рассмотрим процесс построения управления, уменьшающего ТІ2 норму передаточной матрицы, на примере системы управления агрегатом дозирования топлива, описанной ранее, введя в нее дополнительное управление

Так как матрица СТС не является положительно определенной, устойчивость замкнутой системы требует дополнительного исследования. Для этого воспользуемся характеристической функцией системы

Для того чтобы доказать экспоненциальную устойчивость системы, достаточно проверить, что характеристическая функция не имеет нулей в правой полуплоскости. В этом можно легко убедиться, используя численные методы.

Чтобы полностью определить выражение для нормы, найдем матрицу Ляпунова V(0), в Є [—0.05,0] замкнутой системы.

В нашем случае, ядро системы представляет собой где U{9) - матрица Ляпунова исходной системы. Как было показано в главе, посвященной вычислению матрицы Ляпунова, она может быть найдена как решение дифференциального уравнения где z - вектор размерности 2mn2 = 8 в нашем случае, структура матриц Л, М и N описана в предыдущей главе. Из-за большой размерности матриц, не будем представлять их здесь.

Таким образом, 7І2 норма передаточной матрицы системы (3.10)-(3.11), замкнутой управлением (3.12), будет равна G2 = 4.86, то есть построенное управление уменьшает норму передаточной матрицы системы, а вместе с ней — влияние внешнего шума на точность управления системой дозирования топлива, модель которой рассматривалась в качестве примера. Глава 4

Системы линейных К9 К9 уравнении нейтрального типа В данной главе дадим описание линейных систем с запаздываниями нейтрального типа, основные определения и понятия, аналогичные введенным ранее для систем запаздывающего типа.

Для того чтобы определить решение системы (4.1), необходимо задать начальную функцию р Є PC1 ([—mh, 0], Ш.п). Соответствующее ей решение x(t, р) будет удовлетворять начальному условию Система (4.2) называется интегральной формой записи начальной задачи. В некоторых случая такая форма удобнее для исследования чем исходная. Например, она облегчает исследование точек разрыва решения системы. Пусть в\ Є [—mh, 0] — точка разрыва начальной функции (р, то есть ip{9\ +0) (/?(#i — 0). Тогда разрывы решения x(t) определяет функция Общие определения и результаты, полученные в первой главе для систем запаздывающего типа, будут справедливы и в данном случае.

Дадим основные определения, касающиеся теории матриц Ляпунова для систем нейтрального типа.

Определение 13. [34] Матрица U(r,W), неприрывная по т, называется матрицей Ляпунова для системы (4.1), ассоциированной с произвольной квадратной матрицей W, если она удовлетворяет следующим свойствам: динамическое свойство