Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нечеткие модели некоторых математических объектов . 11
1.1 Классификация и методы решения НСЛАУ. 12
1.2 Нечеткая начальная задача (задача Коши) 18
1.3 Постановка задачи исследования 27
Глава 2. Нечеткие системы линейных алгебраических уравнений (НСЛАУ) [56] 30
2.1 Метод вложения Фридмана решения НСЛАУ 30
2.2 Сильные и слабые решения НСЛАУ и их взаимосвязь 33
2.3 Решение НСЛАУ для вырожденной расширенной СЛАУ 34
Глава 3. Применение теории НСЛАУ в задачах обработки информации 40
3.1 Нечеткая интерполяция [58-60] 40
3.2 Нечеткие сплайны 50
3.3 Оценивание параметров модели по нечетким случайным (гибридным) данным 64
3.4 Нечеткое минимаксное оценивание [71, 72] 72
Глава 4. Применение теории НСЛАУ в задачах оптимального управления
4.1 Нечеткая вариационная задача [65] 86
4.2 Нечеткое программное управление 91
4.3 Синтез нечеткого управления с полной обратной связью методом динамического программирования [89, 90] 98
4.4 Нечеткая оптимизационная задача о быстродействии 102
4.5 Нечеткие дифференциальные игры [93] 108
Общие выводы по диссертации и Заключение 112
Заключение 115
Список литературы 116
- Нечеткая начальная задача (задача Коши)
- Сильные и слабые решения НСЛАУ и их взаимосвязь
- Оценивание параметров модели по нечетким случайным (гибридным) данным
- Синтез нечеткого управления с полной обратной связью методом динамического программирования [89, 90]
Введение к работе
Актуальность проблемы. Наличие неопределенной или нечеткой информации, которая не может быть интерпретирована в детерминированных или вероятностно-статистических терминах, приводит к тому, что традиционные количественные методы, используемые в теории автоматического управления, являются недостаточно адекватными. В результате появляются трудности в формировании законов управления. Их преодоление обычно происходит в двух направлениях. Одно из них состоит в использовании нечетких понятий и знаний, оперировании над ними с применением нечетких логических правил и в получении на их основе нечетких выводов, на базе которых формируется закон логического управления. В этих случаях используется математическая теория нечетких множеств, которая была предложена Л. Заде (L. Zadeh) (США), а логику, которая построена на основе этой теории, принято называть нечеткой логикой (fuzzy logic). Управление, которое основано на нечеткой логике, обычно называют нечетким логическим управлением (fuzzy logic control). Это направление в настоящей работе не рассматривается.
Другим направлением, которое рассматривается в диссертации является, развитие теории нечетких множеств применительно к нечетким задачам обработки информации и управления, разработка нечетких методов решения различных прикладных задач управления при наличии неопределенностей, представляемых в нечетких терминах. К ним можно отнести задачи нечеткого оптимального управления, нечеткого робастного управления, методов решения нечеткой начальной задачи (задачи Коши), нечетких стохастических дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, исследование нечетких гауссовских и марковских случайных процессов и т.д. Во всех этих задачах появляется проблема решения нечетких систем линейных алгебраических уравнений (НСЛАУ). Поэтому логично разработка, исследование и применение методов решения НСЛАУ является одной из центральных и актуальных тем в современной теории систем управления. Применение результатов рассмотрения и решение задач по этой теме позволит в конечном итоге обеспечить выпуск готовой продукции с более высокими показателями качества за счет учета влияния в динамических моделях различного рода неопределенностей.
Работа проводилась на кафедре Кибернетики и мехатроники инженерного факультета Российского университета дружбы народов (РУДН) г. Москвы в соответствии с тематическим планом аспирантской деятельности в рамках международной образовательной деятельности между Иорданией и Россией.
Актуальность темы подтверждается решениями заседаний кафедры Кибернетики и мехатроники, ученого совета РУДН, утвердивших тему диссертации в 2012 г.
Целью диссертационной работы является примененные математической теории решения НСЛАУ к разработке нечетких моделей управления и обработки нечеткой информации, а также применение полученных научных результатов к разработке методов, созданию алгоритмов и соответствующих компьютерных программ оценивания параметров математических моделей объектов управления при воздействии возмущений, представляемых различными нечеткими моделями.
Научные положения, выносимые на защиту: методы решения задач нечеткой интерполяции, сглаживания нечеткими сплайнами, простейших задач нечеткого вариационного исчисления и нечеткого статического оценивания как эквивалентные задачи решения НСЛАУ, возникающих при обработке нечеткой информации;
результаты решения нечеткой начальной задачи первого порядка (задачи Коши) при моделировании нечеткой системы автоматической оптимизации.
Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, состоит в следующем:
разработан общий метод решения задачи нечеткого оценивания путем эквивалентного ее представления в виде решения соответствующей НСЛАУ;
получены новые модели нечетких оценок в виде «сильных» и «слабых» нечетких переменных;
разработаны нечеткие модели оптимального управления с нечеткими граничными условиями как решения НСЛАУ различных типов («сильный»/ «слабый»), таких как программное управление, управление с полный обратной связью, быстродействия , дифференциальных игр.
разработана динамическая модель системы автоматической оптимизации, представленная в Приложении (П2).
Объект исследования представляется в виде нечетких динамических систем, которые описывают различные типы объектов: нечеткие модели двигателей, спутников, системы связи и их надежности и других.
Методы исследования. В диссертационной работе использовались методы алгебры матриц, математической статистики, нечетких вычислений, аппарат решения дифференциальных уравнений различных типов, компьютерное моделирование.
Исследования проводились на математических и программных моделях.
Достоверность научных положений определялась сопоставлением результатов исследований для нечетких переменных с результатами соответствующих четких аналогов. Как известно, четкие переменные являются частным случаем нечетких переменных.
Обоснованность и достоверность использования нечетких методов проверялась на типовых примерах, которые были опубликованы зарубежными авторами в журнале «Fuzzy Sets and Systems», который является ведущим в мире в области теории и практики нечетких методов.
Практическая ценность связана с адекватностью описания возмущений и простотой методов оценки наилучшего и наихудшего состояний системы.
Таким образом, адекватность и простота составляют основную практическую ценность результатов диссертации по сравнению с общепринятыми методами, например, гарантированного, робастного, стохастического и др.
Реализация результатов работы. Смоделированы динамика нечеткой системы автоматической оптимизации. Приложение П2, приведен акт о внедрении результатов работы. Приложение П3.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, в том числе в ведущих научно-технических изданиях России, включенных в перечень ВАК – 6 работ, 9 работ – в материалах международных конференций, 2 статьи – в других изданиях.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических мероприятиях: VI Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы – 2013», М., 24-26 апреля 2013 г., РУДН; Международный симпозиум «Интеллектуальные системы – INTELS'2014», М., 30 июня – 4 июля 2014 г., РУДН; Международный симпозиум «Надежность и качество», май – июнь 2013, 2014 гг., г. Пенза, ПГУ; Международная научная конференция «Современные наукоемкие технологии», 8-15 июня 2014 г., г. Акаба, Иордания.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений П1, П2, П3 и списка литературы из 98 наименований, 13 рисунков, 1 таблиц.
Нечеткая начальная задача (задача Коши)
На всех уровнях ИСУ (рис. 1.1) в той или иной форме происходит обработка информации. Она в своем составе всегда имеет неопределенность. Это приводит к необходимости оценки точности управляющих алгоритмов. Задача оценки точности (погрешности) тесно связана с математическими моделями представления неопределенности. В традиционной форме для ее описания обычно используются детерминированные или вероятностно статистические методы [18-21]. В последнее время в связи с интенсивным развитием теории нечетких множеств созданы новые математические модели неопределенностей. В детерминированном случае неиспользование нечеткостей [22], а в вероятностно-статическом – нечеткие вероятностно-статистические модели. Ниже приведен обзор по нечетким вероятностным методам в задачах управления [23].
При реализации различного рода АСУ ТП одними из основных типовых функций, как правило, являются следующие: – оценка проектных показателей надежности и диагностика технических средств и технологического оборудования; – управление различным технологическим оборудованием; – фильтрация алгоритмическими методами неконтролируемых возмущений при обработке показаний датчиков; – параметрическая и структурная идентификация параметров ТП с целью повышения точности и быстродействия управляющих алгоритмов.
При их реализации в виде алгоритмов с последующим созданием на их основе программных продуктов используются методы классических разделов математики и, в частности, достаточно широко применяются традиционные вероятностно-статистические методы. Эти методы позволяют учитывать различного рода неопределенности, которые всегда возникают при описании реальных процессов, в виде тех или иных математических моделей. Вероятностно-статистические методы сконструированы на основании аксиоматического подхода, при котором априори задаются некоторые ограничения на свойства изучаемых объектов. Поэтому при использовании этих методов для описания неопределенностей на них накладываются ограничения, которые необходимы в рамках аксиоматической теории.
Например, неопределенность может интерпретироваться в виде некоторого случайного события. При этом предполагается, что случайное событие является четким. Вероятностные законы распределения случайных величин также определяются для четкого случая, и на эти законы накладываются, как правило, различные ограничения: симметричность плотности распределения, наличие ограниченности числовых характеристик и т.д. Для случайных процессов, используемых при описании неопределенностей, также формулируют различного рода ограничения путем постулирования заданных свойств этих неопределенностей: некоррелированности, стационарности и т.п. Наличие перечисленных ограничений в рамках традиционных вероятностно-статистических методов приводит к тому, что управляющие алгоритмы, базирующиеся на этих методах, не всегда могут обеспечить высокие требования по быстродействию, точности, помехозащищенности, простоте реализации и другим параметрам. В некоторых случаях это может привести к невозможности получения готовой продукции с заданными высокими потребительскими свойствами.
Одним из направлений в решении указанной проблемы является путь снижения ограничений при описании неопределенностей. Для этих целей могут быть использованы нечеткие вероятностно-статистические методы, некоторые из которых в настоящее время уже разработаны, а другие находятся в стадии постановки задачи.
Ниже даются примеры использования детерминированной неопределенности (нечеткости) при решении нечеткой начальной задачи [23-26].
Далее дается классификация (типы) нечетких производных, часть из которых используется для представления нечеткой начальной задачи первого порядка.
Типы нечетких производных. Пусть для простоты имеем нечеткую функцию одного переменного ун{х)= у{х,г), х,гєЯи гє[0;і], т.е. Ун( ) = №хЛ)кЛгф,1]}, которая при любом ХЄ/СІ?! определяет нечеткое треугольное число. Согласно общему подходу при определении производной от некоторой функции в заданном пространстве необходимо в нем задать операции «-» (вычитания), «х» (умножения) на константу и «lim» (предельный переход относительно заданной метрики). Применение этого общего подхода к различным метрическим пространствам приводит к разнообразным нечетким производным.
Сильные и слабые решения НСЛАУ и их взаимосвязь
Модели обработки информации и управления содержатнеизвестные параметры, которые, как правило, определяют из заданных условий функционирования модели. В этом случае эти, параметры при наличии неопределенности в форме нечеткости, определяются из соответствующей НСЛАУ.
Ниже рассматривается метод вложенияФридмана [4], который, как было отмечено в обзоре (п.1.2),является базовым среди разнообразных методов решения НСЛАУ. 2Л Метод вложения Фридмана решения НСЛАУ Принято следующее определение НСЛАУ [3]: это уравнение относительно вектора X линейного типа: AX = YH, (2.1) где j = \,п - матрица с элементами а из четких чисел, т.е. функция принадлежностей гу(а) элементов ау является функцией одиночного (singleton) типа: (а)= {а-аЛ=Га = а (2 2) 4 J 0, а Ф at-; Ун ={уш,...,упН) - вектор, имеющий нечеткие компоненты с заданными функциями принадлежностей гк (у), к = \п. AX=YH В символической форме имеем: дано А, YH = X - найти вектор с нечеткими компонентами. Пример. НСЛАУ с размерностью (2x2): (1-х1-1-х2=уш (1 -1Л (х [1 х1 + 2 х2 = у2Н \1 2 j Хтн=(хш,х2Н) = (2.3) \X2J \2Ш; (Х1(Г),Х1(Г);Х2(Г),Х2(Г)ГЕ[0;1])(1Х4).
Необходимо определить Хтн. Очевидно, имеет место несогласованность размерностей переменных. Для ее устранения рассмотрим алгоритмы решения нечеткой системы в простейшем случае (1 х 1): ах = ун, где а - четкое число; ун - нечеткое число. Случай 1. Пусть а 0, тогда ах = ун А = а{1х1) 0, поэтому при ун = (ДгШг)гє[0;1]) имеем: (а х = у; а-х = у. (2.4) (2.5) (2.6) Если х, х - решение системы, то х + х тоже есть решение системы как соответствующая линейная комбинация, поэтому (2/1x2/1) где блоки В и С находятся по матрице А: В состоит из положительных элементов А, а отрицательные элементы А заменяются соответственно нулями; С состоит из модулей отрицательных элементов А, а положительные элементы А заменяются соответственно нулями; А = В-С С = В- А.
При решении расширенной системы возникают следующие проблемы. При каких условиях \S\ Ф 0 2. Могут ли компоненты вектора X иметь функцию принадлежностей в уровневой форме в виде тупоугольного треугольника, т.е. отличаться от нечеткого числа? Если такая ситуация возможна, то что тогда необходимо понимать под решением расширенной системы? Ответ на вопрос по п.1 дается с помощью следующей теоремы. Теорема 1. \S\ 0o\B-C\ 0,\B + C\ 0. Проблема: если S не вырождена (LSI Ф 0), то как вычислить S 1 Теорема 2. Если S_1 существует, то она должна иметь такую же структуру, что и S: (D \ Ел S 1=\ і . (2.14) Теорема 3. В условиях теоремы 2 имеем: = 0,5.В + (2.15) D = 0,5-[(S + C)-1+(S-C)-1 0,5. \в + СГ -(В-С)"1] Таким образом, если S не вырождена ((в + С),(в - С) не вырождены), то X - единственный вектор и он равен X = S l-YH. (2.16)
Однако X может быть неподходящим нечетким вектором в том смысле, что функции принадлежностей треугольного типа некоторых компонент вектора X могут иметь в основании треугольника углы больше 90, т.е. не являются нечеткими числами. Например, пусть для фиксированного і получено: хг=(хг(г),хг(г)ге[0;1]), (2.17) которое не является нечетким числом, тогда проводится замена (рис. 2.2) щ = (и,(г)= min {х1гх1гхХг = 1)},й)(г)= maxfe Д., ,.(г = l)} г є [0;l]). (2Л8)
После такой замены X U решение U называют «слабым» (weak -англ.) нечетким решением НСЛАУ. Если же все компоненты вектора X являются нечеткими числами, т.е. углы при основании треугольной функции принадлежностей меньше 90, тогда найденный вектор X называют «сильным» (strong - англ.)нечетким решением НСЛАУ.
Теорема 4. Для того, чтобы решение X НСЛАУ X = S l-Y имело «сильное» нечеткое решение, необходимо и достаточно, чтобы элементы (s l)y 0,Vz,y. Имеет место следующий факт. Матрица А НСЛАУ не вырождена, т.е. \А\ 0, однако матрица S расширенной НСЛАУ может быть вырождена, т.е. 5 = 0. В символической форме ,4 0 S 0. (2.19) Пример. Имеем НСЛАУ J1 x1 -1 x2 = yw A \1-x1+1-x2=y2H = 1-(-1) = 2 0. (2.20) Расширенная НСЛАУ имеет матрицу S : S ( B 1 0 1 1 I 0 1 0 0 v с \ ; ; с Л 0 0 0 1 1 в ) (2.21) Из теории блочных матриц (\в\ Ф 0) имеем: В : С s= ; =\в\ С ; в в-С-В 1 -с (2.22) где \В\ = 0 1 = 1 0; В-С-В 1-с 1 1 . Г0 0 0 V в ) V с J { 0 -1 ( л 0 1 0 0 ) \ сҐ) 1 1 0. Таким образом, \А\ Ф 0, однако S = 0, т.е. расширенная НСЛАУ не имеет единственного решения. В этом случае НСЛАУ решается в соответствии с общей теорией решения систем по методу Гаусса путем приведения S к ступенчатому виду [4,12,57]. 10 0 1
Здесь для простоты обозначений вектор 7 вектор YT= (Y1,Y2,Y3,Y4). Матрица S приведена к ступенчатому виду S3, поэтому возможны следующие варианты решения НСЛАУ. Вариант 1. Пусть имеем: 71 - 72 + 73 - 74 0, (2.24) т.е. векторы линейно независимые, но тогда из последней строки матрицы S3 имеем: 071-72+73-74 0 0#0 противоречие, поэтому НСЛАУ несовместна, т.е. не имеет нечеткого решения. Пусть для определенности имеем:
Оценивание параметров модели по нечетким случайным (гибридным) данным
В последние два десятилетия сплайны заняли прочное место в теории интерполирования и аппроксимирования функций. Круг задач, крешению которых привлекаются сплайны, разнообразен. В инженерной практике это группа задач по геометрическому моделированиюобводов и сложных криволинейных поверхностей. Сплайны широко применяются в таких отраслях промышленности, как авиа-, судо-, автомобилестроение, где форма поверхности традиционно являетсясложной и в ряде случаев аналитически не описываемой. Во многих случаях применение сплайнов для моделирования формы объектапредпочтительнее других функций, применяемых для аппроксимации.
С помощью сплайнов решаются задачи по аппроксимации функций, в том числе и сучетом их интегральных характеристик,например,аппроксимация функций двух переменных с восстановлением кратных интегралов, решение интегральных и интегро-дифференциальныхуравнений и т.д. В инженерной практике также приходится решатьзадачи геометрического моделирования форм технических объектов,учитывая их интегральные характеристики. Для этого применяютсятрадиционные универсальные сплайны (кубические, В-сплайны и др.).
Процесс решения таких специфических задач с помощью универсальных сплайнов итерационный и, следовательно, трудоемкий. В целях снижения трудоемкости необходим поиск новых методов, специально приспособленных для решения указанного круга задач.
Один из способов фильтрации данных с неконтролируемыми возмущениями – их нечеткая интерполяция, являющаяся естественнымобобщением четкого аналога. Алгоритмы четкой и нечеткой интерполяций основаны на использовании многочленов Лагранжа. Однако с дальнейшим развитием вариационных методов решения разностных задач вычислительной математики широко используется сплайновая интерполяция. Для четкихданных наиболее употребительными являются сплайны первого порядка и кубические сплайны.
В последние десятилетия достигнуты также заметные успехи в решении различных задач с применением НСЛАУ в вычислительной математике, теории управления и других областях [60, 62, 63].
Постановка задачи нечеткой сплайн-интерполяции. При реализации четкой и нечеткой интерполяции многочленами (ньютоновскаяинтерполяция) с увеличением числа узлов соответственно увеличивается степень аппроксимирующего полинома. Это приводит к появлению «краевого эффекта», когда точность аппроксимации существенноснижается на границах определения сеточной функции. Этот эффект является основным недостатком аппроксимации многочленами на всем промежутке области определения сеточной функции (интерполяция «в большом»).Для устранения этого недостатка втеории аппроксимации используются куски многочленов между двумяузлами с выполнением в этих узлах условий гладкости (непрерывности соответствующих производных) кусков многочленов (интерполяция «в малом»). Задача нечеткой сплайн-интерполяции формулируется следующимобразом. Имеем: нечеткую функциюfH(x), xe[a,b]; четкое разбиение (сетку) промежутка ]: х0 = а,х1,...,хп = Ъ ; (3.33) нечеткий многочлен S"m степени мная-м разбиении: л 8пт{/н)=±а х ,хфп_1,хЛ i=0 многочлен удовлетворяет условиям нечеткой непрерывности в точках х1,х2,...,х„_1: sH(k) х=хп п+1,т x=Xn,k = 0,m-1,n = 0,N -1; (3.35) на границах разбиения в точках х0, хп выполняются нечеткиенулевые условия из Н(к) 0я S (3.36) найти на n-м н(к) х=хп — iS х=х0 пт При наличии перечисленных условий необходимо нечеткийинтерполяционный многочлен SnHm степени m интервалеразбиения. Задача характеризуется матрицей AH , состоящей неизвестныхпараметров: (3.37) в которой число строк соответствует числу N промежутков разбиения,а число столбцов - числу (т + 1)нечетких коэффициентов многочленам-й степени.
Рассмотрим решение задачи нечеткой интерполяции сплайнами на примере простейших задач. Нечеткий линейный сплайн. В случае использования нечеткого линейного сплайна в выражении (3.34) т = 2и аппроксимирующиймногочлен будет иметь вид: SL = 2а«г -х1 = «0 х,хє[хп_1,хп\п = 1,М. (3.38)
Общее число неизвестных параметров равно п-(т + 1т=1 = 2-п. Для их нахождения имеем следующие исходные данные. Для нечеткой функции fH(x):(xk,f ), k = 0JV. Это приводит к решениюсовокупности НСЛАУ для нахождения а 0, а 1: Х н =1? ,i = 1,N, (3.39) Для нахождения 27V неизвестных параметров имеем 27V линейныхуравнений с нечеткими правыми частями. Искомые решения получаются в соответствии с теорией НСЛАУ. Сильные и слабые ее решениясоответственно будут определять сильный и слабый интерполяционные многочлены 1-го порядка. Вид сплайна (3.38) обычно получается из решения следующей вариационной задачи [64]: XN=J 4 ) = min j[s(jc)]2dfc (3.40) с нечеткими неподвижными границами, что соответствует поискуфункции с наименьшей нормой \s\ , т.е. ищется наиболее гладкаяфункция s(x
Синтез нечеткого управления с полной обратной связью методом динамического программирования [89, 90]
Задача минимаксного (робастного) оценивания обычно возникает при получении измерений от промышленно-действующего объекта. В этом случае возникают аномальные измерения (выбросы), которые появляются, как правило, при включении/выключении сварочного оборудования, функционировании мощных электроприборов и т.д. Минимаксное оценивания (фильтрация) - это сглаживание «выбросов» по каким-либо правилам. Простейшими примерами робастных алгоритмов при обработке измерений являются их усреднение с помощью медианы, отбрасывание крайних членов вариационного ряда измерений при их упорядочивании и затем их усреднение, использование при оценивании плотностей с «тяжелыми хвостами» и т.д.
В настоящее время в основном усилиями российских ученых создана теория минимаксного(гарантированного) оценивания,результаты которой успешно внедрены при обработке телеметрической информации откосмических аппаратов, при реализации информационных систем в различные рода управляющих комплексах и на других объектах [73-75].
Согласно этой теории, в простейшем случае полагается, что модули компонент ошибок линейной модели являются ограниченными четкими числами. Далее показывается, что минимаксная ошибка оценок параметров модели, которые находятся с помощью несмещенного алгоритма оценивания, определяется путем решения соответствующей четкой задачи линейного программирования. В этой же теории рассматриваются более сложные модели ошибок, которые приводят к различным задачам нелинейного математического программирования относительно параметров алгоритма оценивания.
Ниже рассматривается нечеткий аналог различных задач минимаксного оценивания, в которых предполагается, что ошибки возмущений являются нечеткими переменными. Это позволяет синтезировать нечеткий алгоритм робастного оценивания, который на наш взгляд более адекватно учитывает возмущения на промышленно-действующих объектах.
Пусть имеем следующую нечеткую модель ошибок: -нечеткая модель процесса; нечеткая модель оценки параметра Ан. Здесь приняты следующие обозначения: Yjj = (ун1,.. .,ун„)- нечеткий вектор измерений; FT = (/1,..., fm )- четкая вектор-функция; лн = {ан1,-- -,анп) – нечеткий вектор параметров; XT(t)= (х1(t\...,x„(t))- четкий вектор базисных функций; г/ н, вн- нечеткие векторы ошибок для YH, RH ; н=н+ Й(«)- нечеткий вектор ошибок; н - нечеткая случайная составляющая ошибок; %"н (а) - нечеткая систематическая составляющая ошибок; а - вектор мешающих параметров. Решение (3.105) относительно Ан дает вектор нечетких оценок н : Ан=ф(Ун). (3.106) Определение. Если выполнено н _л = Ф(У„), то Ф определяет нечеткий несмещенный алгоритм оценивания. Найдем выражение для компонент нечеткого вектора ошибок тн. Будем полагать, что вектор а мал относительно а = 0. Так как %"н = "н{а) нечеткая систематическая ошибка, поэтому тейлоровское приближение относительно а = 0 дает: F(AH,a = 0)+ YHu =F{AH,a = 0)+ -аЩа), (3.107) откуда: Ym n ff -0j — «, (3.108) поэтому: й(а), а = 0).а. (3.109) к да Аналогично полагая, что rjH(ju), OH(JLI) зависят от вектора мешающих параметров //, который мал относительно /л = 0, будем иметь в результате тейлоровское приближений: YHu-F{AH,M = 0) м „н= - м; (3110) R -Ш „-0UdRHuiM = 0) c _SYHu(M = 0) (3.111) ни \JJJM ) dju dju вн Для нечеткого вектора оценок имеем: Лн=Ф{Ун) YH=YHu+%H дф = ф(УНи +%H\YH =F{)+nH = Ф(НАн ,М = 0+Лн + %н) (3.112) Полагаем, что алгоритм оценивания несмещен, поэтому: н =Ф{Ун\тй=тйи й =Ф(?Ни + H\YH=F{)+VH =Ф{Р(;)+Ін + ?я)« % H ФШ+ j]H + dYHu дф = 0) дф{їн = 0) A dYHu И (3.113) Таким образом для нечеткой ошибки xH=RH- RHu получим: RHU=G(AH\A = = RH =G(AH)=G\ AH + kl-(rjH +gH) dYHu G{A) G{)=RHu-eH + . yQ\riH+4H) RH-RHu ЗА dYHu xH dG{) дф{){ дА dYHu Лн+їн ZH=&+fH (4.109)-(4.111) 0H = (3.114) dG{) дф{)\ „, dYHlJ dYHlJ dfl __ ?H xH=— w f +—-a +—-и dA dYHu da дій Єн VH J = xH =( H,rjH,0H) - нечеткий вектор ошибки для (3.104), (3.105), где я =% н + я; я- вектор нечеткой случайной ошибки при измерении (3.104); н - вектор нечеткой ошибки при измерении (3.104); riH - нечеткий вектор ошибки в задании F; вн - нечеткий вектор ошибки в задании G. Рассмотрим характеристики Ехн, DxH нечеткого случайного вектора хн, где Е, D- операторы математического ожидания и дисперсии соответственно, /хн - плотность хн . Обычно рассматривают следующие типы моделей: 1. Плотность/сгнзадана; Ехн єМ = \МІ},/ = 1;DxH eN = {Nk},k = 1; 2. Плотность faHнеизвестна; Ехн &М = \МІ},і = 1;DxH eN={Nk\k = 1; 3. Плотность faH задана; Ехн &M = \Mi},і 1;DxH eN = {Nk},k 1; 4. ПлотностьfaH неизвестна; Ехн єМ = {Мі},і 1;DxH &N = {Nk\k 1. При х = хн модель 1 обычно рассматривается в традиционной теории вероятностей и математической статистике. Модель 2 при х = хн традиционно реализуется в теории четкого робастного оценивания. Модели 3, 4 возникают при модификации известных алгоритмов минимаксного оценивания в их нечеткие аналоги.