Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Метод подцепей для неоднородных технических систем 9
1.1. Формализация понятия подцепи 10
1.2. Реализация метода подцепей 32
1.3. Использование метода подцепей 48
Выводы н главе I 62
Глава 2. Моделирование инерционных систем на основе сочетания явных и неявных методов интегрирования . 66
2.1. Постановка задачи и общая схема решения 67
2.2. Определение класса моделируемых цепей 69
2.3. Основной алгоритм моделирования 73
2.4. Исследование области применения явных методов . 78
2.5. Использование методов высших порядков 89
2.6. Связь метода анализа с топологией цепи S6
Выводы к главе 2 НО
Глава 3. Применение аналитических методов в исследовании сложных цепей 114
3.1. Автоматизация построения подпрограмм-моделей компонентов 116
3.2. Символьное моделирование подцепей 134
3.3. Упрощение моделей 144
3.4. Автоматизация построения библиотеки моделей подцепей 152
Выводы к главе 3 ' 158
Заключение 161
Литература 164
Приложение 175
- Реализация метода подцепей
- Постановка задачи и общая схема решения
- Использование методов высших порядков
- Символьное моделирование подцепей
Введение к работе
В постановлении ХХУІ съезда КПСС указано, что необходимо "расширять автоматизацию проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ с применением ЭВМ". Математическое моделирование технических устройств является составной частью современного проектирования. Использование ЭВМ требует разработки систем автоматизации моделирования в различных отраслях техники. В связи с этим актуальной является проблема создания систем» область применения которых выходит за рамки отдельных отраслей техники. "Особенно важно разрабатывать единые» общие методы динамического расчета и проектирования всех этих пневматических, гидравлических, электронных, механических столь различных на первый взгляд систем, каждая из которых является прежде всего динамической системой" (акад. Й.И.Артоболевский [lJ ).
Можно выделить следующие основные этапы разработки и применения систем автоматизации моделирования общего назначения.
Представление технических устройств и приборов в виде, пригодном для формального описания и дальнейшей обработки на ЭВМ.
Автоматическое построение математической модели, т.е. системы уравнений, описывающих функционирование рассматриваемого объекта.
Решение построенной системы уравнений с учетом больших размерностей, характерных для реальных задач проектирования.
К работам, посвященным вопросу формального представления неоднородных технических систем и устройств, следует отнести [43,50,52]. Особенностью этих подходов является стремление к представлению объектов при помощи ограниченного компонентного набора. Так, например, в теории графов связи предлагается следующий набор компонентов; источники усилия и потока, аккумуля-
горы (емкость и инерционность), потери (сопротивление), 2-связ-ные узлы (трансформатор и риратор), 3-связные узлы - общего потока и общего усилия, при помощи которого можно представить достаточно широкий круг приборов и устройств механики, гидравлики и т.д. [5TJ. Близким набором элементарных компонентов, но ограничиваясь лишь двухполюсными, оперирует Крон Г. [50].
При этом возникают естественные ограничения на класс рассматриваемых задач, однако, более существенным недостатком является необходимость интерпретации в классе выбранного авторами набора элементарных компонентов объектов, для которых математические модели и методы решения моделей, т.е. систем уравнений, достаточно хорошо разработаны и изучены. Особенно этот недостаток очевиден для устройств механики и гидравлики. В то же время вопросы устойчивости и точности решения систем уравнений, полученных методами [50,52,79], в этих работах не рассматриваются. По-видимому, возможность применения этих методов лежит в основном в области предварительной разработки моделей приборов и устройств, ведущей к выделению действительного компонентного базиса для гибкого и оперативного представления приборов и устройств. Так, например, в отличие от [51] устройства гидравлики естественно описывать, используя такие компоненты, как клапан, гидроцилинцр, сильфон и так далее, математические модели которых хорошо известны и для которых найдены эмпирические коэффициенты [59].
Вопросы автоматического построения математических моделей устройств, составленных из фиксированного компонентного набора, особенно широко разработаны в радиоэлектронике. Следует отметить в хронологическом порядке работы в области моделирования линейных цепей [75,88], метод переменных состояния для нелинейных цепей [45,81,83] и наиболее современные табличные методы
моделирования электронных схем [71,103,125]. Алгоритмический аппарат, описанный в перечисленных работах, реализован практически в соответствующих комплексах программ [2,18,46,125]. Значительны также исследования в области моделирования неэлектрических устройств. Одномерные задачи механики можно решать при помощи программы SUPEfc^-SCEPTftE"и, очевидно, после эквивалентного представления их в виде электрической цепи [35] можно использовать подходы, применяемые в электронике для расчета технических устройств.
При машинной реализации алгоритмов моделирования технических систем различной физической природы с сосредоточенными параметрами основная проблема заключается в необходимости решения систем алгебро-дифференциальных уравнений больших размерностей. В силу "жесткости" таких систем, характерной для реальных задач, используются обычно неявные методы интегрирования [77] в сочетании с методом Ньютона [20] или его модификациями [55,100]. Следует указать, что основные комплексы программ [18, 46,125,126] реализованы для моделирования электронных схем.
Целью настоящей работы является исследование и решение общих проблем, возникающих при моделировании на ЭВМ технических устройств больших размерностей, т.е. состоящих из большого количества компонентов. С формальной точки зрения большим будем считать устройство, изучением внутренней топологической структуры которого нельзя пренебречь при машинном моделировании.
Основными особенностями многокомпонентных технических устройств, учтенными в настоящей работе, являются следующие: а) произвольное количество связей у компонентов, составляющих исследуемое устройство; б) произвольный набор параметров, действующих на связях кадцого из компонентов; в) не о.пре де ленный ап-
риорно набор базисных компонентов; г) сложность математических моделей компонентов, т.е. систем уравнений, записанных относительно переменных, действующих на связях компонентов.
Среди проблем, возникающих при моделировании устройств больших размерностей с неопределенным априорно координатным базисом, в работе рассмотрены следующие:
а) формальное определение подцепи как части неоднородной
технической системы;
б) представление устройств больших размерностей при помощи
иерархической последовательности вложенных подцепей, основанное
на гибком определении цепи произвольной природы, позволяющее ра
ссматривать любую совокупность компонентов (подцепь) как НОВЫЙ
компонент цепи;
в) использование функциональных свойств подцепей, т.е. уз
лов и блоков технических устройств для повышения быстродействия
моделирования;
г) решение вопроса об организации расчета по частям;
д) построение алгоритма автоматического разбиения на под
цепи для устройств различной физической природы;
е) для специфического класса существенно инерционных цепей
построение методологии подсхем, основанной на безматричном ре
шении систем линейных алгебраических уравнений, позволяющей мо
делировать цепи больших размерностей без применения специальных
методов расчета по частям;
ж) для достижения универсальности безматричной методики
(пункт е) исследование вопросов А-устойчивости интегрирования
при помощи явных методов и построение методологии интегрирова
ния с автоматическим выбором метода интегрирования для каждого
компонента в отдельности в отличие от [б5,82], где рассматри
ваются вопросы выбора метода для всей цепи в целом. Для слож-
- б -
них устройств этот метод неприменим, так как вследствие неоднородности процессов в них практически всегда соответствующая система уравнений в целом является "жесткой" и требует неявного интегрирования;
з) разработка модификации метода Гаусса, основанной на связи процесса исключения с топологической структурой исследуемой цепи и обеспечивающей эффективный учет особенностей матриц при использовании алгоритмов смешанного интегрирования;
и) с целью ускорения подготовки математических моделей компонентов для использования их в комплексе программ автоматизации моделирования в системе Авто-Аналитик разработка программы генерации подпрограмм-моделей, основанных на предлагаемой пользователем системе уравнений и методе интегрирования;
к) использование при обработке подцепей возможности эквивалентных преобразований, основанных на исключении линейных уравнений с соответствующим сокращением размерности модели подцепи.
Сформулированные в пунктах и) и к) приемы моделирования можно рассматривать как элемент систем автоматизированной разработки САПР, так как они обеспечивают быструю подготовку моделей компонентов новых классов исследуемых устройств для расчета их в комплексе программ автоматизированного моделирования.
Диссертационная работа состоит из трех глав.
Реализация метода подцепей
Расчеты манипулятора (рис. І.І2), представленного структурной схемой (рис. І.ІЗ), а также системы регулирования скорости двигателя (рис. І.І5) проводились при внедрении результатов диссертационной работы в Отделе Машинных: Методов Проектирования МВТУ им. Н.Э.Баумана.
Таким образом, показана возможность представления широкого класса технических систем с использованием подцепей. Применение метода подцепей позволяет повысить наглядность представления исходной информации о системе.
Ниже рассмотрены возможности метода подцепей для повышения эффективности моделирования.
В общем случае желательно иметь аппарат автоматического разбиения цепи на подцепи [?]. Для решения задачи представления цепи С из /V компонентов в виде совокупности подцепей С-1)/7;} для которой Z. Зі минимальна, где &{ - количество внешних ветвей подцепи //. , предлагается алгоритм выращивания подцепей вокруг заданных компонентов. Определим расстояние ы& меж-ду компонента? Мы и / как минимальное количество ветвей цепи, которое нужно пройти при построении пути от / К А/. . Если пути от Мы к А/ не существует, положим 0Ыд - с .
Полагаем также, что уЭ АЫ У ы Расстояние , если И. и Af имеют общий узел (т.е. имеют узел, инцидентный по крайней мере одной ветви компонента).
Пусть имеется группа компонентов (т \Af: yj j заданная индексным множеством J , и компонент Мы . Расстоянием будем называть & - /Р - , Машиннал процедура выбора подцепей реализуется следующими шагами.
Шаг I. Фиксируем компоненты A/. , /е J , вокруг которых будут выращиваться подцепи (индексное множество задает пользова - 32 тель), в качестве исходных подцепей.
Шаг 2. Для каждой подцепи ищем ближайший компонент на основании введенного понятия расстояния.
Расстояние р j определяется следующим образом. Поме чаем единицами все компоненты, смежные (имеющие общий узел) с А/ . Далее помечаем двойкой все непомеченные компоненты, смежные с помеченными ранее, и так далее. Как только все компоненты А/- , / е /, , окажутся помеченными, определяем рассто-яние & г как сумму пометок, соответствующих компонентам М± ,
Шаг 3. Присоединяем выбранные ближайшие компоненты к подцепям, требуя, чтобы подцепи не пересекались (т.е. компоненты и подцепи однозначно соответствовали друг другу).
Данный алгоритм применим для широкого класса технических систем.
В рамках разрабатываемого комплекса алгоритмов и программ предполагается, что информация о структуре сложной цепи и ее подцепей представляется в виде списка-перечисления составляющих цепь компонентов с указанием их внутренних параметров и способа включения в цепь. Конкретный вид списка определяется принятой системой программирования. В настоящее время комплекс алгоритмов реализован на ЕС ЭВМ на языке Фортран, на БЗСМ-6 в системе Авто-Аналитик [її].
Постановка задачи и общая схема решения
Рассматриваются цепи и системы, содержащие большое количество инерционных компонентов Необходимость учета большого количества инерционных компонентов возникает при моделировании радиоэлектронных цепей, работающих на высокой частоте или в переходном режиме, а также механических и гидромеханических высокоскоростных приборов и устройств.
Предполагается, что исследуемая при помощи описываемого аппарата цепь содержит большое количество источников, т.е. компонентов, в модели которых входят уравнения где №() - линейная форма от совокупности переменных V f действующих на связях моделируемого компонента, а также инерционных компонентов с моделями где f (V) линейная форма с постоянными коэффициентами,fffK произвольная функция.
Требуется построить методику моделирования цепей данного класса, минимизирующую затраты оперативной памяти и машинного времени за счет использования специфических свойств цепей, насыщенных инерционными компонентами.
Б качестве основных этапов решения поставленной задачи нужно отметить следующие:
а) формальное определение класса цепей, для которых применим разрабатываемый аппарат;
б) построение аппарата моделирования и установление области его применения;
в) решение уравнений вида (2,2) явными методами интегриро вания и обоснование выбора области применимости этих методов;
г) разработка критериев перехода к неявным методам в области неустойчивости явных методов и разработка соответствующего вычислительного алгоритма анализа цепи с применением смешанных методов интегрирования;
д) разработка аналога метода подцепей для матричного представления цепи в тех случаях, когда основной алгоритм моделирования не дает полного решения.
Подробно способ решения каждой из описанных задач рассмотрен ниже.
В качестве общих соображений можно указать следующие: для цепей существенно инерционного характера в области быстрых процессов, протекающих в цепи, т.е. в области больших значений производных, можно использовать явные методы интегрирования. Полученная в результате линеаризации модели цепи система линейных алгебраических уравнений может быть сведена к треугольному виду простой перестановкой строк и столбцов без применения процедуры исключения Гаусса. Очевидно, что решение такой системы требует минимальных затрат машинного времени, поэтому построение специальной методики для цепей данного класса представляется необходимым.
Однако априорное предсказание устойчивости явных методов при решении реальных задач автоматизации моделирования представляется затруднительным. Поэтому для широкого практического применения предложенного аппарата необходимо допустить возможность хотя бы ограниченного использования неявных методов и наличие безынерционных участков в моделируемой цепи. Практически разработан гибридный метод, включающий в себя: а) вычисление переменных без применения процедуры исключений; б) оценку устойчивости явного метода и автоматический выбор метода интегрирования; в) использование метода исключений для завершения решения сие - 69 темы линейных уравнений, задающих модель цепи; г) при исследовании больших цепей использование специальной матричной интерпретации метода подцепей, обеспечивающей минимальное возрастание количества ненулевых элементов в матрице системы при реализации метода исключений, В последнем случае для реализации метода Гаусса используется информация о топологической структуре цепи
Использование методов высших порядков
Выше излагались принципы сочетания явных и неявных формул интегрирования на примере метода Эйлера- При решении многих задач моделирования желательно применение методов интегрирования более высоких порядков.
Остановимся на одном из популярных методов интегрирования -методе Рунге-Кутта третьей степени [20J, Рассмотрим способ реализации метода Рунге-Кутта для различных типов цепей, т.е. различных типов систем уравнений.
I. Пусть цепь описывается смешанной системой дифференциальных и линейных однородных алгебраических уравнений
Очевидно, что в данном случае матрицу А можно вычислять и обращать один раз для всего процесса моделировании. Шаг интегрирования осуществляется трехкратным обращением к подпрограммам-моделям компонентов и умножением Д" на вычисленные правые части. Для треугольной матрицы А обращение А нецелесообразно, так как для разреженной А-матрицы в задачах теории цепей обратная матрица А почти не содержит нулевых элементов, Этот факт проверялся экспериментально. Приведем формальное обоснование. Предположим, что А содержит большое количество нулей, т.е. является разреженной, как и матрица А . Рассматривая линеаризованное представление модели цепи A-V-W , получаем V=A W , т,е, каждый элемент из вектора V зависит от малого количества элементов вектора правых частей W} что эквивалентно тому» что ряд переменных цепи не зависит от прочих переменных- 3 качестве частного случая такая ситуация представляется возможной, но в общем виде не имеет смысла рассматривать такую цепь в целом, так как она состоит из независимых подцепей.
В силу указанного при исследовании цепей достаточно больших размерностей вычисление и хранение в памяти ЭВМ без применения специальных процедур динамического обмена с внешними запоминающими устройствами [б] матрицы С невозможно, несмотря на повышение быстродействия отого приема. Так как в настоящей работе рассматриваются преимущественно вопросы исследования неоднородных цепей больших размерностей, остановимся на циклическом решении системы линейных алгебраических уравнений. Вместо формул (2.53) будем использовать формулы
Реализация шага интегрирования методом Рунге-Кутта третьей степени сводится к трехкратному применению основного алгоритма.
Практически больший интерес по сравнению с (2.51) представляет случай смешанной системы, включающей в себя обыкновенные дифференциальные и нелинейные уравнения
Здесь F - произвольная нелинейная функция. Линейные алгебраические уравнения включаются в F(tf)-0 . Используя по-прежнему метод Ньютона, представим F{Ю в виде с начальным приближением УШ ДЛЯ значения V(+h)
Для дифференциальных уравнений в (2.55) производим замену переменных {№) = , тогда дифференциальные уравнения можно представить следующим образом:
Для вычисления /J (& 4) решаем систему уравнений решение (2.53), равное У , подставляем в /pw , т.е.
/, --/ Таким образом, явный метод Рунге-:Сутта для смешанной алгеб-ро-дифференциальной системы уравнений реализуется следующими шагами.
Шаг I. Вычисление /(г /(№), 4-) . Решать систему (2.58) при этом не нужно, так как значения Vfe) известны с предыдущего шага.
Шаг 2. Для определения Kt вычисляем 1- (V{i))th/5 } решаем систему уравнений (2.58). Полученные значения V1 подставляем в / и получаем Kt - /( i+h/3) Шаг 3. Для вычисления Кь определяем /= (V{4))+ 2/5fi tf и решаем систему (2.58), Подставляя полученное решение Р в / , получаем К5 = / (Vz , i+/3h).
Для улучшения сходимости в качестве начального приближения для V следует использовать Ц , так как Ц ближе к \ (вычислены соответственно в точках i+h/5 , + /$& ).
Символьное моделирование подцепей
В отличие от [58,88] в настоящем параграфе рассматриваются более частные задачи подготовки модели подцепи (или подсхемы) к использованию при моделировании сложных цепей в виде компонента со сложной моделью.
В задачу рассматриваемого алгоритма входит упрощение модели подцепи за счет использования постоянных внутренних параметров моделей компонентов подцепей (в основном это микросхемы) и частичного упрощения систем уравнений, описывающих подцепь как совокуп - 135 ность компонентов, Использование предлагаемого ниже алгоритмического и программного аппарата совместно с программами автоматического построения подпрограмм-моделей компонентов позволяет представлять подцепи в виде подпрограмм, которые используются при моделировании сложных цепей в качестве моделей компонентов.
Достоинством предлагаемого аппарата является то, что а) при исследовании сложных цепей не требуется задания топологии подцепи и ее исследования; б) за счет частичного упрощения исходной математической модели подцепи в результате подстановки внутренних параметров компонентов и эквивалентных преобразований повышается быстродействие моделирования.
В результате работы программы символьного моделирования подцепей получаются расчетные формулы, аналогичные тем, которые получаются вручную пользователями, не использующими методов машинного проектирования [44, 81] 3 2,1. Символьное представление исходной модели цепи или подцепи
Отметим, что на данном этапе различие между цепью и подцепью (т.е. различие между объектом, модель которого задается замкнутой, имеющей единственное решение системой уравнений, и объектом, модель которого является недоопределенной) не производится.
Задание цепи осуществляется путем задания информации о топологии цепи и списка значений внутренних параметров компонентов, которые могут принимать численные значения либо задаваться в виде произвольных выражений.
Строгой фиксации структуры топологической информации не требуется, так как способ реализации модели компонента определяет способ ее использования, т.е. допускается довольно большой про - 136 извол. Помимо способа, указанного в разделе 1.2, рассмотрим дополнительный прием.
Полагаем, что каждой модели компонента соответствует оператор Авто-Аналитика, наименование которого задает идентификатор модели. В этом случае топология цепи и, при возможности, численные (вещественные или целые) значения внутренних параметров задаются в виде последовательности обращений к соответствующим моделям-операторам. В тех случаях, когда в качестве значений внутренних параметров выступают произвольные аналитические выражения, дополнительными аргументами в обращении к оператору являются номер формулы или массива формул [II], задающей правило, по которому осуществляется замена исходных обозначений внутренних параметров модели (условных обозначений) на их действительные значения. Последовательность обращений к операторам-моделям также оформлена как оператор Авто-Аналитика, отот способ кодирования дает пользователю дополнительные возможности представления цепей по сравнению с табличным заданием, так как допускается обращение к собственным программам дополнительной обработки моделей. Полагаем, что информация о топологической структуре цепи вводится в ЭВМ в виде оператора ЦЕПЬ, т.е. в виде идентификатор модели , численные значения парамет-ров , номер формулы со значениями внутренних параметров , номера узлов и вет-вей ;
Пример 3.6. Рассмотрим простую цепь (рис. 3.6). В цепи одна ветвь с номером I. Ориентацию ветвей для всех компонентов задавать не будем. Она задается лишь для ветвей, инцидентных узлам, в которые ведут более двух связей компонентов. Эти узлы включаются в цепь в виде дополнительных компонентов и имеют свои модели, реализующие законы сохранения.
Пример 3.7. Рассмотрим цепь, содержащую узел, в который ведут три ветви (рис. 3.7а). При подготовке информации о цепи для ввода в ЭВМ для символического моделирования вводится дополнительный компонент УЗ , соответствующий узлу 2 (рис. 3.76).
Ветви, инцидентные узлу УЗ , задаются со своей ориентацией. 3 данном случае компонент УЗ задается в операторе ЦЙПЬ следующим образом:
Очевидно, что предложенная методика представления цепи не накладывает ограничений на ее топологическую структуру.
