Многоцелевые законы цифрового управления подвижными объектами Сотникова Маргарита Викторовна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Проблемы построения систем цифрового управления подвижными объектами 17

1.1. Обсуждение задач многоцелевого цифрового управления движением 17

1.2. Математические модели подвижных объектов 21

1.3. Многоцелевая структура цифровых законов управления 28

1.4. Обзор литературы по теме исследования 40

ГЛАВА 2. Цифровая коррекция многоцелевого управления движением судов в условиях морского волнения 48

2.1. Постановка задач цифровой динамической коррекции 49

2.2. Динамическая коррекция для регулярного волнения 59

2.3. Практическое применение метода коррекции для регулярного волнения 71

2.4. Синтез фильтрующих корректоров на базе Н-подхода 77

ГЛАВА 3. Управление с прогнозирующей моделью в режиме реального времени 94

3.1. Астатические алгоритмы управления с прогнозирующей моделью 95

3.2. Алгоритмы управления с нелинейной прогнозирующей моделью в режиме реального времени 109

3.3. Пример управления с прогнозом для морского судна, движущегося в режиме циркуляции 118

3.4. Управление с прогнозом для маятника Фуруты и в задаче динамического позиционирования судна 128

ГЛАВА 4. Управление с прогнозирующей моделью с учетом модальных и робастных свойств 145

4.1. Прогнозирующее управление с обеспечением желаемых модальных свойств 145

4.2. Прогнозирующее управление с обеспечением робастной устойчивости 166

4.3. Пример синтеза прогнозирующего управления с учетом робастных свойств для системы магнитной левитации 172

ГЛАВА 5. Динамическое позиционирование с визуальной информацией в контуре обратной связи 179

5.1. Задача визуального динамического позиционирования подвижных объектов 180

5.2. Многоцелевой подход к формированию визуальной обратной связи 193

5.3. Визуальное динамическое позиционирование морского судна и колесного робота 211

ГЛАВА 6. Многоцелевое цифровое управление в задаче визуального позиционирования 227

6.1. Многоцелевое цифровое управление в задаче визуального динамического позиционирования 228

6.2. Цифровое управление с прогнозом для совместной системы контуров изображения и скорости 233

6.3. Цифровые законы управления для визуального динамического позиционирования морского судна и колесного робота 239

6.4. Синтез многоцелевого закона управления для движения робота вдоль визуально заданной линии 248

ГЛАВА 7. Система автоматического синтеза морских автопилотов 257

7.1. Задачи автоматического синтеза многоцелевых законов управления 257

7.2. Метод синтеза базового закона управления по состоянию 262

7.3. Автоматический синтез асимптотического наблюдателя 278

7.4. Автоматический синтез динамического корректора 285

7.5. Особенности автоматической настройки корректора в режиме «точный» 294

ГЛАВА 8. Алгоритмы формирования маршрутов движения с учетом прогноза погодных условий 308

8.1. Постановка задачи формирования маршрутов 309

8.2. Алгоритмы формирования маршрутов на графах 322

8.3. Алгоритмы формирования маршрутов на конечном наборе допустимых траекторий 337

8.4. Примеры решения задач о построении маршрутов 345

Заключение 354

Литература

• Многоцелевая структура цифровых законов управления
• Практическое применение метода коррекции для регулярного волнения
• Управление с прогнозом для маятника Фуруты и в задаче динамического позиционирования судна
• Многоцелевой подход к формированию визуальной обратной связи

Введение к работе

Актуальность темы. В современных условиях стремительно возрастает значимость систем автоматического управления динамическими объектами. Это сопровождается постоянным расширением и углублением круга вопросов, относящихся к их исследованию и проектированию, рассматриваемых с применением современных компьютерных технологий. При этом особое внимание уделяется системам управления подвижными объектами в силу их высокой ответственности за обеспечение необходимой функциональности и безопасности эксплуатации. Здесь компьютерные технологии применяются на всех стадиях анализа и синтеза, математического и имитационного моделирования, цифровой реализации законов управления на борту.

Отмеченные обстоятельства требуют постоянного развития новых математических методов и реализующих их алгоритмов и программ для выполнения всех этапов научно-исследовательских и проектно-конструкторских работ, связанных с системами управления.

Основополагающими работами, в которых представлены формализованные подходы к аналитическому синтезу законов управления подвижными объектами, являются труды В. И. Зубова, А. М. Летова, А. А. Красовского, Р. Калмана, Г. Прайма, Л. Понтрягина, В. А. Якубовича, Н. Винера, Р. Беллмана, К. Мер-риема и других выдающихся ученых. Базовые идеи применения оптимизационного подхода к синтезу законов управления изложены в трудах упомянутых авторов, а также в работах таких ученых, как В. С. Пугачев, В. В. Солодовников, Ш. Чанг, А. А. Первозванский, В. Н. Сунцев, H. Kwakernaak, B. A. Francis, J. C. Doyle, K. Glover, M. Vidyasagar, C. A. Desoer и других специалистов.

Фундаментальный вклад в развитие методов анализа и синтеза нелинейных систем управления и нелинейных наблюдателей внесли такие ученые, как И. В. Мирошник, A. Isidori, H. K. Khalil, A. J. Krener, J. J. E. Slotine, A. J. Van der Schaft. На основе соответствующих подходов в настоящее время активно развиваются и методы синтеза систем управления подвижными объектами. Применительно к задачам управления морскими судами значимую роль играют труды таких известных специалистов, как Е. Н. Розенвассер, А. Е. Пелевин, С. П. Дмитриев, T. I. Fossen, J. P. Strand, A. J. Srensen, T. Perez, A. Loria, E. Panteley, K. Y. Pettersen, B. P. Lampe.

В современных условиях указанные подходы развиваются для использования передовых вычислительных средств при моделировании, анализе и синтезе обратных связей. Следует выделить особую роль компьютерных технологий для бортовой реализации систем управления на современных цифровых устройствах. Здесь крайне важна высокая скорость вычислений, выполняемых в режиме реального времени с учетом существенной ограниченности возможностей бортовой компьютерной техники.

Ориентация на применение цифровых устройств, как в лабораторных условиях, так и в бортовой реализации, определяет необходимость построения законов управления в дискретном времени. Соответственно, должны развиваться методы и алгоритмы их расчета, базирующиеся на математических моделях объектов управления, представленных разностными уравнениями.

Важнейшую роль играют вопросы оптимизации динамики подвижных объектов: при этом решение оптимизационных задач может осуществляться как в лабораторных условиях, так и на борту в процессе функционирования. В первом случае экономия вычислительных ресурсов не столь значима, а во втором – наоборот, она выходит на передний план.

Следует отметить, что работа систем автоматического управления подвижными объектами в современных условиях является многорежимной, причем каждому режиму соответствует свой комплекс требований, которые должны обеспечиваться системой. Достижение высокого качества работы при этом гарантируется адаптивной перенастройкой алгоритмов управления на борту в режиме реального времени. Одним из вариантов адаптации является использование прогнозирующих моделей (Model Predictive Control, MPC). Этот вариант базируется на применении оптимизационного подхода: соответствующие задачи необходимо решать на каждом такте работы в дискретном времени.

Многорежимность существенно затрудняет проектирование систем управления. В связи с этим, ключевым моментом в работе служит обеспечение априорной многоцелевой направленности, подразумевающей достижение желаемой динамики во всех возможных режимах. Возможный вариант таких систем основывается на использовании специализированной многоцелевой структуры управления, впервые предложенной в работах Е.И. Веремея и В.М. Корчанова для морских судов с линейными моделями динамики.

Тем не менее, в настоящее время остается неисследованным широкий круг вопросов, относящихся к теории синтеза цифровых многоцелевых законов управления. Особо важны исследования, направленные на расширение возможности использования многоцелевой структуры для нелинейных систем с адаптивной бортовой перенастройкой алгоритмов управления в режиме реального времени. Много нерешенных задач возникает в рамках применения многоцелевых структур для различных классов подвижных объектов, включая мобильные колесные роботы и роботы-манипуляторы, системы магнитной левитации и другие объекты. Дополнительного изучения требуют многие проблемы цифрового управления с прогнозом. Это вопросы устойчивости, робаст-ности, возможности реализации в режиме реального времени.

Исключительное внимание в настоящее время уделяется задачам автоматического управления автономными подвижными объектами, многие из которых следует решать с использованием визуальной информации и с применением алгоритмов компьютерного зрения. Это задачи визуального динамического пози-

ционирования, следования вдоль визуально заданной линии, автоматического докования, обхода препятствий и т.д.

Учитывая многорежимность функционирования таких объектов, представляет особый интерес применение и развитие многоцелевого подхода для синтеза управлений с визуальной информацией в контуре обратной связи.

Отмеченный круг нерешенных или недостаточно изученных вопросов, определяет актуальность проведения исследований, направленных на внедрение современных методов анализа и синтеза законов управления динамическими объектами в цифровые системы, реализующие эти законы в режиме реального времени. Наиболее значимым и важным в настоящее время представляется развитие соответствующих математических методов, алгоритмов и программ, а также их адаптация для решения задач управления конкретными классами динамических объектов с применением цифровых систем.

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмов для решения задач анализа и синтеза многоцелевых цифровых систем автоматического управления подвижными объектами. В центре внимания находятся методы оптимизации процессов в замкнутых системах, многоцелевая направленность и адаптивность законов управления, возможность их применения в режиме реального времени.

Указанная глобальная цель диссертационной работы конкретизируется в рамках следующих направлений исследования:

формализация задач об оптимальной настройке динамических корректоров в составе многоцелевой структуры управления движением морских судов и разработка методов их решения;

разработка метода синтеза квазиоптимальных цифровых фильтров на основе H -подхода, обеспечивающих желаемые динамические свойства замкнутой системы на низких частотах;

формирование алгоритмов управления с прогнозирующими моделями с учетом требований астатизма и ограничений, определяемых применением в режиме реального времени;

развитие методов управления с прогнозирующими моделями, обеспечивающих робастную устойчивость замкнутой системы с учетом желаемых модальных свойств в линейном приближении;

исследование вопросов и разработка законов управления с многоцелевой структурой в задаче визуального динамического позиционирования подвижных объектов;

разработка методов и алгоритмов автоматического синтеза многоцелевых цифровых законов управления курсом морских судов на борту;

разработка алгоритмов оптимизации маршрутов морских судов на трансоке-

анских переходах с учетом статических и динамических ограничений, а

также периодически поступающих прогнозов погодных условий в районе

плавания.

Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза систем управления динамическими объектами. Построение и исследование регуляторов осуществляется с использованием аналитического и вычислительного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Научная новизна и теоретическая значимость полученных результатов определяются созданием новых методов анализа и синтеза цифровых законов управления подвижными объектами, обеспечивающих желаемое качество их функционирования во всех возможных режимах эксплуатации. Эти методы допускают автономное применение на борту в режиме реального времени при наличии существенно ограниченных бортовых вычислительных ресурсов. Особая значимость разработанных методов в теоретическом плане состоит в развитии многоцелевого подхода к аналитическому синтезу законов автоматического управления движением.

В отличие от предшествующих работ по данному направлению, полученные результаты распространены на цифровые, нелинейные и прогнозирующие системы управления. Теоретический вклад внесен в развитие методов синтеза цифровых динамических корректоров в составе многоцелевой структуры, обеспечивающих минимизацию среднеквадратичных функционалов точности и интенсивности управления. На основе теории H-оптимизации представлены новые алгоритмы синтеза цифровых фильтров, учитывающие требования к динамике объекта при действии низкочастотных возмущений.

Сформированы новые методы управления динамическими объектами с использованием прогнозирующих моделей, в том числе с обеспечением желаемых робастных свойств замкнутой системы и астатизма.

Указанные новые теоретические достижения успешно применены для развития идеологии многоцелевого цифрового управления с использованием визуальной информации в канале обратной связи.

Практическая значимость работы состоит в ее исходной ориентации на решение проблем высокоэффективного применения в режиме реального времени цифровых законов управления подвижными объектами, обеспечивающих желаемое качество процессов в замкнутой системе в различных режимах движения. Предложенные новые методы и алгоритмы позволяют существенно повысить эффективность решения сложных задач управления движением. Эти результаты успешно используются в реальном исследовании и проектировании систем управления подвижными объектами, в частности морскими судами и колесными роботами (Грант РФФИ № 14-07-00083А, Контракты СПбГУ

№ 9.21.1717.2014, 9.21.808.2011, 9.21.809.2011).

Работоспособность и эффективность принятого подхода подтверждена многочисленными примерами синтеза цифровых законов управления для различных объектов. Особое внимание в работе уделено задачам управления морскими судами. Развиты алгоритмы автоматического синтеза морских автопилотов. Разработана методика решения задач о выборе оптимальных маршрутов движения на базе прогноза действия внешних возмущений. Подробно рассмотрены задачи визуального динамического позиционирования.

Достигнутое качество динамических процессов управления вполне сопоставимо с системами, синтезированными другими путями, а по ряду показателей существенно их превосходит.

Основные результаты, полученные на основе проведенных исследований, и выносимые на защиту:

1. Формализована проблема синтеза динамических корректоров в составе многоцелевых цифровых законов управления движением судов в условиях морского волнения с учетом динамических ограничений. Разработаны новые методы решения оптимизационных задач в рамках этой проблемы.

2. Разработаны новые алгоритмы управления подвижными объектами с прогнозирующей моделью в обратной связи с учетом свойств устойчивости, астатизма и применимости этих алгоритмов в режиме реального времени.

3. Предложена новая схема формирования прогнозирующего управления, обеспечивающего робастную устойчивость замкнутой системы с учетом желаемых модальных свойств в линейном приближении.

4. Построены новые эффективные методы синтеза многоцелевых законов управления с визуальной информацией в контуре обратной связи для задачи динамического позиционирования подвижных объектов.

5. Разработаны алгоритмы автоматического синтеза многоцелевых законов управления курсом морских судов, обеспечивающие возможность адаптивной перенастройки на борту в режиме реального времени в зависимости от условий функционирования.

6. Формализована задача оптимизации выбора маршрутов движения морских судов и предложены методы ее приближенного решения, позволяющие снизить затраты топлива и время перехода с учетом прогноза погоды.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на международных конференциях «Устойчивость и процессы управления» (SCP’2005, SCP’2010, SCP’2015) (Санкт-Петербург, 2005, 2010, 2015), III, IV и V всероссийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB» (Санкт-Петербург, 2007 Астрахань, 2009, Харьков, 2011), на международном семинаре Beam Dynamics & Optimization (BDO’2008, BDO’2010) (St. Petersburg, Florida, USA, 2008, Санкт-Петербург,

Россия, 2010), на IV, V, VI, VII, IX и X Международной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, 2009, 2010, 2011, 2012, 2014, 2015), на XIV конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» (XIV КМУ 2012) (Санкт-Петербург, 2012), на IV и V Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (ПМТУММ-2011, 2012) (Воронеж, 2011, 2012), на VI, VII и VIII Международной научной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий» (ПМТУКТ-2013, 2014, 2015) (Воронеж, 2013, 2014, 2015), на международных конференциях: 9^th IFAC Conference on Manoeuvring and Control of Marine Craft (MCMC 2012) (Arenzano, Italy, 2012), 9^th IFAC Conference on Control Applications in Marine Systems (CAMS 2013) (Osaka, Japan, 2013), 14^th International Conference on Control, Automation and Systems (ICCAS 2014) (Korea, KINTEX, 2014), 2014 International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA, IVESC) (Saint-Petersburg, 2014), 10^th IFAC Conference on Manoeuvring and Control of Marine Craft (MCMC 2015) (Copenhagen, Denmark, 2015), а также на семинарах кафедры компьютерных технологий и систем СПбГУ.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 34 печатных работах, 14 из которых опубликованы в журналах, входящих в Перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы, включающего 173 наименования. Объем диссертации составляет 371 страницу машинописного текста.

Многоцелевая структура цифровых законов управления

Существуют три принципиально различные концепции многоцелевого синтеза законов управления. Кратко представим каждую из них.

1. Реализуется синтез нескольких независимых между собой законов управ ления (регуляторов) которые переключаются по мере обеспечения соответст вующего режима движения. Каждый из них гарантирует выполнение предъяв ляемых требований и желаемое качество функционирования в конкретном обес печиваемом режиме. Отметим, что в рамках данной концепции могут быть разработаны относительно простые методы синтеза законов управления. Однако, с другой стороны, схема переключений между алгоритмами управления является недостаточно надежной, что может привести к аварийным ситуациям с существенным ухудшением качества процессов вплоть до потери устойчивости при реализации обратной связи.

2. Осуществляется синтез единого регулятора, который осуществляет управление подвижным объектом во всех рассматриваемых режимах. Очевидно, что такой регулятор может быть только компромиссным в силу противоречивости требований, предъявляемых к различным режимам функционирования. Но это значит, что данный вариант не позволяет достигать локальных наилучших значений характеристик для каждого из режимов в отдельности.

3. Осуществляется синтез обратной связи с использованием специализиро ванной многоцелевой структуры закона управления, базовая часть которой не ме няется при переходе с режима на режим функционирования. Эта часть гаранти рует обеспечение определенных динамических свойств замкнутой системы во всех режимах движения. При этом с учетом специфики конкретной ситуации, к базовой части аддитивно добавляются дополнительные элементы, обеспечиваю щие выполнение необходимых требований для соответствующего режима. Отметим, что закон управления с многоцелевой структурой, имеющей аддитивные элементы, обладает рядом преимуществ по сравнению с законами управления, формируемыми на основе двух ранее упомянутых концепций. В частности, многоцелевой закон: а) обеспечивает устойчивость замкнутой системы независимо от подключе ния или не подключения аддитивных добавок; б) гарантирует оптимальное качество собственного движения; в) обеспечивает астатизм замкнутой системы по отношению к постоянным возмущениям с выполнением ограничений на максимальное отклонение по регу лируемым координатам; г) гарантирует требуемое качество движения подвижного объекта при на личии возмущений колебательного характера (с максимизацией характеристики точности или минимизации характеристики интенсивности управления) с учетом выполнения всех требований, предъявляемых к режимам собственного движения и компенсации постоянных возмущений, В связи с указанными преимуществами, данная концепция принята в работе в качестве основы для синтеза многоцелевых законов управления подвижными объектами.

Для вывода уравнений динамики подвижных объектов в научных публикациях традиционно используются два подхода. Первый из них базируется на законах динамики Ньютона, а второй основан на уравнениях Лагранжа второго рода. Вывод уравнений в первом случае исходит из теорем об изменении количества движения и момента количества движения, которые представимы [19] векторными дифференциальными уравнениями rr dK dL =R, =M. (1.2.1) dt dt rr Здесь K – главный вектор количества движения объекта, L – главный вектор момента количества движения относительно начала неподвижной системы координат, R - главный вектор внешних сил, действующих на объект, М - главный момент внешних сил относительно начала указанной системы координат.

Уравнения динамики подвижного объекта принято записывать в связанной системе координат, проекции внешних сил и моментов на оси которой имеют наиболее простой вид. На основе известных утверждений теоретической механики и в соответствии с уравнениями (1.2.1), в общем случае приходим к следующей системе дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме и представляющих динамику пространственного движения объекта: x = F(x,6,f0J. (1.2.2)

Здесь x = (Vx Vy Vz сох со coz г, Є ф у)T - вектор состояния объекта, причем V = (VX Vy Vzf и П = (сох со coz)T - векторы линейной и угловой скорости подвижного объекта относительно связанной системы координат, векторы (, л Q и (0 ф i/) определяют положение и ориентацию объекта в пространстве соответственно, б - вектор управления, іш(Ґ) - вектор внешних возмущений. В ряде случаев, наряду с моделью объекта (1.2.2), имеет смысл отдельно рассматривать математическую модель динамики исполнительных органов (приводов) вида: 8 = F8(6,u). (1.2.3) При этом б - вектор состояния исполнительных органов, а в качестве управления выступает вектор и. Обычно в практических задачах функция F8(6,u) задается следующими уравнениями

Практическое применение метода коррекции для регулярного волнения

Управление подвижными объектами в подавляющем большинстве практических ситуаций осуществляется в условиях постоянного воздействия внешних возмущений, отклоняющих движение от желаемого. Как правило, эти возмущения имеют случайную природу и во многих случаях моделируются стационарными процессами – в частности, это характерно для морского волнения [34, 9, 29].

Поведение замкнутой системы управления судами, функционирующей в условиях морского волнения, характеризуется рядом специфических показателей, к которым, в частности, относится точность и интенсивность работы управляющих органов в процессе стабилизации. С учетом стационарности возмущающих воздействий этими показателями служат среднеквадратичные функционалы, заданные на движениях замкнутой системы.

Для законов управления с многоцелевой структурой, представленных в главе 1, значения указанных функционалов определяются выбором варьируемых элементов. При этом основную роль играют динамические корректоры, передаточные матрицы которых подлежат поиску с целью оптимизации показателей точности и интенсивности.

Содержание данной главы составляет исследование соответствующих оптимизационных задач и разработка методов их решения, позволяющих синтезировать DLTI-модели цифровых корректоров. Основное внимание уделяется двум режимам движения: «точному» и «экономичному». В первом из них достигается максимальная точность стабилизации, а во втором – максимальная экономия энергетических затрат на управление. Для формализации проблемы построения динамических корректоров, обладающих необходимой функциональностью, следует обсудить три принципиальных вопроса: 1. О математических моделях динамики объекта управления и формируемой обратной связи. 2. О функционалах, характеризующих качество процессов управления в соответствующих режимах движения. 3. О допустимых множествах варьируемых элементов, на которых осуществляется минимизация указанных функционалов.

Рассмотрим эти вопросы последовательно. Прежде всего, обратимся к первому из них, вводя математическую модель динамики судов, движущихся по заданному фиксированному курсу в режиме стабилизации с постоянной скоростью хода. Эта модель представляет собой результат линеаризации соответствующих нелинейных уравнений в окрестности нулевого положения равновесия по всем координатам при постоянной продольной составляющей скорости судна: х[k +1] = Ах[k] + ВВk ] + He[ k], (2.1.1) 8[k + 1] = Tи[k] + 8[k],у[k] = Сх[k]. Здесь хEn - вектор состояния объекта, б Em - вектор отклонений исполни тельных органов, - вектор внешних возмущений, у E - вектор контро лируемых и измеряемых переменных, и Em - вектор управляющих сигналов, А, В, Н и С - заданные матрицы соответствующих размерностей с постоянны ми компонентами, T = const - период дискретизации по времени. Далее будем считать, что пара {А,В} является управляемой, а пара {А,С} -наблюдаемой. Для стабилизации объекта при наличии возмущений будем использовать закон управления с цифровой многоцелевой структурой в следующем представлении: z[k +1] = Az[k] + ВВД + G(y[k] - Cz[k]\ u[k] = ]i(z[k +1] - z[k]) + vy[k] + ВД, который, в силу уравнений объекта (2.1.1) при отсутствии возмущений, может быть приведен к виду г\к +1] = АгШ + В6Ш + G(y\k] - СгШ), (2.1.2) и[к] = Kz[k] + К0ВД + \у[к] + Цк].

Нетрудно показать, что законы управления с приведенными структурами эквивалентны многоцелевому закону, представленному в главе 1 формулами (1.3.5) -(1.3.7). Доказательство этого утверждения проводится аналогично соответствующей теореме, представленной в работе [25]. В уравнениях (2.1.2) используются следующие обозначения: z є Еп - вектор состояния асимптотического наблюдателя, G - заданная матрица коэффициентов, которая обеспечивает устойчивость матрицы A-GC, K,K0,v - заданные коэффициенты базового закона управления u = (K + vC)x + K06 для объекта (2.1.1), обеспечивающие устойчивость матрицы Ас Тк]тК0+Ет; базовой замкнутой системы, где К = К + vC. Дополним систему (2.1.2) уравнением цифрового корректора = F(gr)(y-Cz), (2.1.3) где передаточная матрица F заранее не задана и подлежит поиску в процессе синтеза, q - оператор сдвига на такт вперед.

В данной главе исследуется динамика замкнутой системы, находящейся под действием внешних возмущений d = {d[k]\, определяемых морским волнением. Математические модели волнения подробно представлены в широко известных работах [9, 29, 34].

При движении судов в режиме стабилизации на длительных промежутках времени (от нескольких часов, до нескольких суток) в подавляющем большинстве случаев предполагается, что возмущение d = {d[]} является случайным стационарным /-мерным процессом гауссовского типа с известной матрицей Sd(z) (z = ejm) спектральных плотностей мощности.

Для плавания судов в условиях волнения центральная роль в оценке качества принадлежит характеристикам точности и интенсивности работы управления. Первая из них определяет меру отклонения компонент вектора у = {у[к]} контролируемых переменных от нулевых значений, а вторая - аналогичную меру для компонент вектора б = {5[&]} управляющих воздействий. Эти меры можно определить различными способами, задавая на движениях (2.1.18), (2.1.19) замкнутой системы функционалы Jy 0 и J8 0 таким образом, чтобы с увеличением точ 55 ности и уменьшением интенсивности управления их значения соответственно убывали. Заметим, что если замкнутая система устойчивая, то для указанных случайных процессов d = {ад} векторные последовательности у = {у[к]} и б = {Ь[к]}, определяемые равенствами (2.1.18), (2.1.19), также будут случайными стационарными процессами гауссовского типа.

Управление с прогнозом для маятника Фуруты и в задаче динамического позиционирования судна

Отметим, что приведенный алгоритм не содержит операций, выполняемых итеративно по схеме последовательных приближений. Это позволяет легко построить программное обеспечение для реализации расчетов с адаптивной настройкой на борту.

Замечание 1. В теореме 2.2 и в сформированном на ее основе алгоритме 2.3.1 предполагается, что элементы передаточной матрицы F(z) динамического корректора являются строго правильными дробями. Однако это требование можно ослабить, допуская только их правильность, что приводит к модели корректора в пространстве состояний вида р[/с + 1] = ар[/с] + рЩ, ВД = 7Р[/с] + еВД, вместо уравнений (2.2.17). При этом для степени щ полиномов OM(Z) должно выполняться менее строгое условие Ир 2, что позволяет снизить минимальную размерность вектора состояния фильтра. Соответствующее изменение формул для расчета в этом случае не вызывает особого труда. Замечание 2. Теоремы 2.1 и 2.2 могут быть с очевидностью расширены для одновременной настройки не на одну частоту со0, а на конечное число N частот, доминирующих в составе спектра морского волнения. Для такой настройки степень Ир полиномов Фц(г) должна быть увеличена в N раз, т.е. ее минимальная величина составляет 2N. Замечание 3. Приведенный алгоритм практического синтеза может быть применен и в случае нерегулярного волнения со средней частотой со0 спектра. При этом для подавления боковых частот можно дополнительно воспользоваться свободой выбора корней полиномов Ф(г) в пределах заданных областей внутри единичного круга.

В данном подразделе будем рассматривать задачу об оптимальной фильтрации, которая является усложненным вариантом задачи (2.1.26). Как было отмечено выше, существо фильтрации здесь состоит в построении такого корректора, который обеспечивает интенсивную реакцию на низкочастотные возмущения, подавляя их влияние на объект. В то же время реакция на высокочастотную часть диапазона должна быть незначительной, что экономит ресурсы технических средств и, в ряде случаев, препятствует возникновению нелинейных колебаний в замкнутой системе.

Итак, основное назначение динамического фильтра состоит в подавлении высокочастотной составляющей внешнего возмущения, которая содержится в составе управляющего сигнала, подаваемого на исполнительные органы. Иными словами, благодаря фильтру, их привод должен как можно слабее реагировать на указанные составляющие. Однако эта задача должна решаться при выполнении существенных ограничений, определяемых требованиями к динамике замкнутой системы на низких частотах, где необходима достаточно сильная реакция управления, например, на ступенчатые возмущения.

Указанные требования являются противоречивыми, поэтому существо проблемы состоит в построении такого фильтра, который обеспечивает определенный динамический компромисс при условии устойчивости замкнутой системы и ее астатизма по регулируемому выходу.

Рассмотрим частный вариант объекта управления с уравнениями х[к +1] = Ах[к] + Ъд[к] + hd[k], 6[к +1] = Ти[к] + ОД, у[к] = сх[к], в которых, в отличие от (2.1.1), управляющее воздействие 5 (отклонение рулей), управляющий сигнал и, измеряемый выход у и внешнее воздействие d являются скалярными величинами. Этот вариант широко используется в задачах управления морскими объектами, например - при моделировании автопилотов. При этом закон управления с многоцелевой структурой примет вид z[k +1] = Az[k] + ЬВД + g(y[k] - cz[k]), и[к] = kz[k] + к0д[к] + vy[k] + ад, = F (q)(y-cz). Здесь g - матрица коэффициентов наблюдателя, обеспечивающая устойчивость матрицы A-gc, а k,0 иV- коэффициенты базового закона и = (k + vc)x + 05 для объекта управления, обеспечивающие устойчивость матрицы ГА b Л А = замкнутой системы, k = k + vc. Передаточная функция F с \J\Tk0+1) фильтра не задана и подлежит поиску в процессе синтеза.

Для формулировки математической задачи, отражающей приведенную содержательную проблему, в соответствии с (2.1.13), будем рассматривать уравнения замкнутой системы в виде у1=8 = Р1 (z) + Р2(z), у2 = у = Р3(z) + Р4(z), где дробно-рациональные функции Pt(z)(i = 1,4) являются компонентами передаточной матрицы P1(z) P(z) tP3(z) Р1 (z) = а21 (z)g + а22 (z)7V, Р2 (z) = а22 (z)T P3(z) = 1 + c[a11(z)g + Tva12(z)], P4(z) = ca12(z)T. Коэффициенты Д0 и v в уравнениях базового закона всегда обеспечивают астатизм системы по переменной у при выключенном фильтре. Тогда условие сохранения астатизма и при включенном фильтре имеет вид F (z)z=1 = 0 или F (z) = F(z)(z-1).

Этим равенством будем дополнять уравнения обратной связи, полагая, что F є ЯНЖ, т.е. F - правильная дробь с полюсами внутри единичного круга.

Рассмотрим два функционала, заданные на движениях замкнутой системы и характеризующие качество соответствующих процессов.

Первый из них - это числовая мера, характеризующая интенсивность работы рулей при наличии возмущения. Такая мера связывается с передаточной функцией FM (z, F) от возмущения к отклонению рулей, которая, в соответствии с (2.1.21) может быть записана в виде Fd8 = Fd8 (z,F) = HG (z)[P1 (z) + P2 (z)F(z)(z -1)]. При этом качество фильтрации можно оценить величиной P1(z) + P2(z)F(z)(z-1) /» to JC(F)= sup соє[0,л] P1(ejm) + P2(ejm)F(ejm)(ejm -1) P1(z)Sa(z) P1(eJ(0)Sa(eJ(0) где Sa(z) = Na(z)/Ta(z) - заданный весовой множитель, причем Na и Та - шу-ровские полиномы, degNa deg Та . Смысл функционала Jс (F) состоит в том, что чем меньше его значение, тем в большей мере выполняется неравенство Не (eJa )(Р1 (ej(0) + Р2 (ej(0 )F(ej(0 )(У Ю -1))2 Не (eJa )Р1( У Ю )Sa (ej(0)2, Vco є [0, тс], определяющее нахождение амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы в пределах заданного частотного ограничения. Второй функционал, вводимый формулой Jm(F)= sup F(ejm) =F(z)Q, ЮЄ[0,7І] определяет качество динамики замкнутой системы при действии на нее ступенчатого возмущения d0 ={d0[k]}, d0[k] = d 1[к], где d = const - заданная постоянная. С учетом условия астатизма по выходу у, для соответствующей переходной характеристики у0[к] замкнутой системы можно показать справедливость соотношения

Многоцелевой подход к формированию визуальной обратной связи

Для минимизации вычислительных затрат использование линейных прогнозирующих моделей предпочтительно. Но, с другой стороны, при существенной нелинейности объекта применение линейных уравнений для прогноза может породить значительные ошибки прогнозирования.

Если для прогноза используются нелинейные уравнения, то качество прогнозирования значительно повышается по сравнению с линейным вариантом, что позволяет успешно решать задачи более широкого круга. Однако практическая реализация управления с таким прогнозом требует выполнения большого числа вычислительных операций, так как предполагает решение задач нелинейного программирования на каждом такте.

В рамках приведенной в первом параграфе схемы управления с нелинейной прогнозирующей моделью можно предложить следующий алгоритм формирования управления, учитывающий ограниченность времени его пересчета на каждом такте. 1. На каждом последующем такте в качестве начального приближения бу 110 дем использовать решение, полученное на предыдущем такте. Иными словами, если її =(u [&] u [ + 1] ...u [k + P-1]) - оптимальное программное управление, полученное на такте к, то вектор її0 = (и [к +1]... и [к + Р -1] и [к + Р -1] )T - выбирается в качестве начальной точки на такте к + 1. 2. Если решение задачи оптимизации її получено за время, не превышающее Т, то оно принимается в качестве оптимального программного управления на текущем такте к. 3. Если в процессе решения задачи нелинейного программирования (3.1.8) оказывается, что на текущем такте множество допустимых решений пустое, то в качестве управляющего воздействия берется вторая компонента управления с предыдущего такта, а оптимальным программным управлением для текущего такта принимается начальное приближение її0. 4. Если, в общем случае, решение задачи оптимизации (3.1.8) не удалось получить с требуемой точностью за время Т, то программное управление на горизонте прогноза формируется несколько иначе. Если в процессе решения задачи оптимизации были получены допустимые точки її; є Q, і : = 1,...,s, то среди них выбирается та (обозначим ее її,), в которой значение минимизируемой функции Jk(u) наименьшее. При этом її, принимается как оптимальное программное управление на текущем такте и = и,. Если же допустимых точек нет, то принимаем

Приведенная выше схема достаточно хорошо работает для медленно протекающих процессов. Однако ее реализация далеко не всегда приводит к успеху для динамических объектов с быстрой динамикой, когда период Т дискретности очень мал, а горизонт прогноза Р необходимо задавать достаточно большим.

В подобных ситуациях приобретает особую значимость вопрос о снижении вычислительных затрат на перерасчет управления для каждого такта. В связи с этим возникает задача о снижении размерности конечномерной оптимизации 111 (3.1.8), которая существенно определяет эти затраты. Рассмотрим следующие способы понижения размерности задачи (3.1.8), позволяющие уменьшить время вычислений с сохранением требуемого качества процессов в замкнутой системе. 1. Выбор периода Tu дискретности управления кратного периоду T функ ционирования системы управления. Т. е. будем считать, что Tu=s, где s 1 целое число и управление остается постоянным на s последовательных тактах. Тогда выполняются следующие равенства: u[k] = u[k + 1] = ... = u[k + s-1], : u[k + (v-1)s] = u[k + (v-1)s + 1] = ... = u[k + P-1], где v = P/s, если деление без остатка и v = [P/s] + 1, в противном случае. При этом для формирования программной последовательности и достаточно задать у-m значений, следовательно, и размерность задачи (3.1.8) понижается до величины у m . 2. Использование горизонта управления C, меньшего горизонта прогноза P. В этом случае программное управление на горизонте прогноза определяется последовательностью векторов uk,u[k + 1],...,u[k + P-1], такой, что u[k + C-1] = u[k + j], где j = C,P-1. При этом размерность задачи нелинейного программирования уменьшается до величины C m . 3. Одновременное использование периода Tu дискретности управления и горизонта управления C. При этом, во-первых, будем считать, что период дискретности управления равен Tu и векторы w[k + i]eEm, i = 0,...,v-1 задают управление на интервалах постоянства. Во-вторых, векторы w[k + i] формируются с учетом выполнения равенства

w[k + C-1] = w[k + j], где j = C,v-1. Здесь предполагается, что C у. Применение данного комбинированного подхода позволяет понизить размерность задачи оптимизации (3.1.8) наиболее сущест 112 венно до величины С

В соответствии с приведенной выше схемой управления с прогнозом пересчет управляющего воздействия должен осуществляться на каждом такте, а полученное в результате вычислений управление реализуется только на одном следующем такте. Однако, если, с учетом приведенных выше способов понижения размерности, время, необходимое на оптимизацию, превышает период Т дискретности, то, в пределах допустимого ухудшения качества процессов, оно может быть увеличено.

Обозначим Atu Т - период пересчета управляющего воздействия или, то же самое, время фактической реализации управления, полученного в результате оптимизации. При этом период Atu кратен Т, т.е. Atu =1 -Т, где / 1 - целое число. Отметим, что увеличение периода Atu позволяет сэкономить вычислительные ресурсы, если оптимизация выполняется за меньшее время при сохранении качества процессов. Модифицируем алгоритм формирования управления с ограничением времени счета для заданных параметров Ти, С и Atu. Пусть N - размерность задачи оптимизации для заданных значений параметров Ты и С, а векторы v[],...,v[& + N-1] однозначно определяют программное управление u[],...,u[& + Р -1] на горизонте прогноза на k-ом такте.