Введение к работе
1. Актуальность темы.
Большинство задач управления технологическими процессами требуют решения задачи синтеза оптимальной обратной связи. В настоящее время для решения задач оптимального управления существует несколько общих и достаточно эффективных методов: принцип максимума Понтрягипа, метод динамического программирования Беллмапа и метод аналитическою конструирования регуляторов. Однако в нелинейном случае с помощью указанных методов невозможно получить аналитическое решение оптимизационной задачи в общей посталовке, и кроме того, 'методы не удобны для программирования и применения в качестве стандартных процедур ЭВМ, что затрудняет решение задач производства и реализации оптимальных нелинейных регуляторов. Так, принцип максимума, в особенности для объектов выше второго порядка, за исключением частных задач, не удобен для алгоритмизации,так как предполагает численное интегрирование сложной нелинейной системы уравнений и построение семейства базовых траекторий в пространстве большой размерности. Чнслеппая форма метода динамического программировали ч для объектов выше третьего-четвертого порядка приводит к необходимости использования больших объемов памяти ЭВМ и к очень громоздким вычислениям. .Метод аналитического конструирования в основном опирается на классический метод решения вариационной задачи Эйлера или на метод динамического программирования, и п смысле алгоритмизации ему присущи недостатки выше указанных методов.
Оптимизация закона управления методом нелинейного программирования сводится к параметрической оптимизации оператора управления, имеющего заданную структуру. При этом целевая функция оказывается функцией оператора управления, дифференциальные уравнения системы входят в состав ограничений и решение проводится меюдом упорядоченного поиска оптимального сочетания параметров в области параметров, заданной ограничениями. Дтя каждого сочетания варьируемых параметров необходимо численно интегрировать дифферсицл-
альные уравнения системы или решать многомерную систему алгебраических уравнений, которая получается в результате перехода от дифференциальных уравнений к уравнениям в конечных разностях. Такие трудоёмкие расчеты сдерживают широкое применение данного метода.
В связи с этим разработка эффективных алгоритмов и процедур для практического нахождения оптимальной обратной связи управления в настоящее время является актуальной задачей.
В данной рабюте для решения задачи оптимальной стабилизации гладких конечномерных систем используется аппарат га-мнльтоновой механики и дифференциально-алгебраической геометрии, позволяющий точно определить потенциальную функцию (функцию Беллмана-Ляпунова).
2. Цель работы.
использование хорошо разработанного, ранее не применявшегося в данной области, аппарата гамильтоновой механики, дифференциально-алгебраической геометрии, групп Ли преобразований в теории оптимального управления, что позволяет по-новому и более глубоко подойти к решению известных проблем;
разработка численно-аналитических методов синтеза оптимальной и субоптимальной обратной связи;
создание вычислительного алгоритма, обеспечивающего расчет аналитической структуры оптимальных и субоптимальных регуляторов.
-
Методы исследования. Для решения задачи синтеза оптимальной обратной связи в работе использованы методы гамильтоновой механики, дифференциально-алгебраической геометрии, групп Ли преобразований.
-
Новые научные результаты.
Предложен ряд новых в данной области подходов к задаче синтеза оптимальной обратной связи, допускающих эффективную численно-аналитическую реализацию:
— метод характеристик для уравнения Гамильтопа-Якоби вос
становления лагранжева многообразия с заданными начальны
ми условиями;
метод первых интегралов для описання сепаратрис гамильто-новой системы, описана алгебраическая структура первых интегралов гамильтоновой системы;
метод разложения функции Беллмана-Ляпупова в ряд Тейлора в окрестности начала координат;
метод деформации алгебраического решения в голономное уравнения Гамильтона-Якоби;
решена задача стабилизации для класса систем с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова;
предложен метод дифференцирования вдоль гамильтонова векторного поля, позволяющий эффективно синтезировать аналитическую форму оптимальной обратной связи для систем с квадратичным гамильтонианом; для линейно-квадратичных систем этот метод приводит к уменьшению числа алгебраических неизвестных с п! до и по сравнению с решением квадратичного матричного уравнения Риккати;
предложен способ восстановления лагранжева многообразия вырожденной функции Беллмана-Ляпунова;
— предложен ряд приёмов аналитического интегрирования
уравнения Гамнльтопа-Якобн.
5. Практическая ценность полученных результатов.
предлагаются методы аналитического конструирования оптимальных и субоптимальных регуляторов для нелинейных конечномерных систем;
процесс отыскания оптимального управления для систем высокого порядка вручную сталкивается с проблемой огромного количества вычислений, но с использованием систем компьютерной алгебры ?та проблема отпадает, а получаемые точные решения удивительным образом оправдывают ожидания;
разработал алгоритм синтеза оптимальной обратной связи, обеспечивающий заранее заданную точность переходных процессов п замкнутой системе.
6. Апробация работы и публикации. .
По материалам диссертации были сделаны сообщения на V Всесоюзном Совещании по управлению многосвязными системами (г.Тбилиси, 1984 г.); на V Всесоюзной конференции по
оптимальному управлению в механических системах (г.Казань, 1985 г.); на VII Всесоюзном Совещании-семинаре школы молодых ученых и специалистов по современным проблемам автоматического управления (г.Минск, 1987 г.); на X Всесоюзном Совещании-семинаре школы молодых ученых и специалистов по современным проблемам автоматического управления (г.Омск, 1989г.); на IX научной конференции молодых ученых и специалистов Волго-Вятского региона (г.Горький, 1989 г.); ыа IX Всесоюзном Совещании по проблемам управления (г.Ташкент, 1989 г.). Основное содержание диссертации опубликовано в 11 печатных работах.
7. Структура и объем днссетрации.
Основной текст диссертации состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 54 наименования, и занимает 75 машинописных страниц.