Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Существующие методы исследования сложных кривых и их практическое использование 10
1.1. Классификация методов анализа сложных кривых. Постановка задачи 10
1.2. Методы параллельной сегментации кривых ., 17
1.2.1. Методы кусочной аппроксимации и аппроксимации сплайнами 17
1.2.2. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов 31
1.2.3. Методы частичной аппроксимации 40
1.2.4. Методы анализа речи 41
1.3, Методы последовательной сегментации кривых 45
1.4. Некоторые методы составления описания кривых 56 1.5. Использование методов анализа сложных кривых при
решении практических задач 60
Глава II. Методы кусочной аппроксимации и описания многомерных кривых 69
2.1. Кусочная аппроксимация многомерных кривых - случай синхронного изменения параметров 69
2.1.1. Алгоритмы глобальной кусочной аппроксимации многомерных кривых 70
2.1.2. Алгоритмы локальной кусочной аппроксимации многомерных кривых 76
2.2. Кусочная аппроксимация многомерных кривых - случай с запаздываниями 89
2.2.1. Нахождение начальных приближений запаздываний и разбиения многомерной кривой 91
2.2.2. Локальная корректировка разбиения и запаздываний 103
2.3. Процедуры составления описания многомерной кривой 109
2.4. Экспериментальное исследование алгоритмов кусочной аппроксимации и описания многомерных кривых 116
Глава IІІ. Использование алгоритмов кусочной аппроксимации многомерных кривых при решении практических задач 134
3.1. Процесс плавки меди в жидкой ванне (ПЖВ) 134
3.1.1. Характеристика процесса, его конструктивное оформление, постановка задачи исследований 134
3.1.2. Задача контроля температурного режима плавки 137
3.1.3. Исследование печи ПЖВ по характеристикам продуктов плавки 144
3.2. Совершенствование системы управления микроклиматом теплиц 152
3.2.1. Постановка задачи. Характеристика исходных данных 152
3.2.2. Анализ солнечной радиации и температурного поля теплицы 153
3.3. Диагностика и реанимационный мониторинг для нейрохирургических больных 157
3.3.1. Постановка задачи, характеристика исходных данных 157
3.3.2, Задача диагностики опухоли гипофиза головного мозга человека 160
3.3.2, Задача реанимационного мониторинга для нейрохирургических больных 166
Заключение 170
Литература 171
Приложения 189
- Классификация методов анализа сложных кривых. Постановка задачи
- Методы параллельной сегментации кривых
- Кусочная аппроксимация многомерных кривых - случай синхронного изменения параметров
- Процесс плавки меди в жидкой ванне (ПЖВ)
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
В последние годы интенсивно развивается одно из новых научных направлений - "Методы анализа данных". Большое внимание в рамках этого направления уделяется анализу данных, представленных в виде кривых. Данные этого типа широко используются при автоматизации управления непрерывными технологическими процессами в промышленности, в геофизике, экономике, биомедицинских исследованиях и т.д.
При исследовании экспериментальных кривых возникает необходимость в разработке эффективных методов их анализа, аппроксимации и построения сжатого экономного описания. К настоящему времени обозначились две большие группы методов, используемые для решения этой проблемы. Первая группа методов [і - и! (их называют интегральными) характеризуется тем, что анализ (аппроксимация, описание) кривой проводится без выделения какой-либо ее части или разбиения на "однотипные" фрагменты. Такой подход имеет несколько недостатков: в частности, он требует задания класса исследуемых кривых, что на практике (в особенности для плохо изученных процессов) не всегда удается сделать. Кроме того, при построении ряда моделей возникают вычислительные трудности, связанные с плохой обусловленностью системы нормальных уравнений.
Для методов другой группы L12 - 22J (их обычно называют структурными) характерным является наличие двух этапов анализа кривой: разбиения кривой на "однотипные" фрагменты и последующего построения на базе этих фрагментов описания кривой в целом. Использование такого подхода оказывается более предпочтительным в ряде случаев. Так, для кривых, сложных на всей
области определения, нередко удается найти разбиение на такие интервалы, что на каждом из них кривая является существенно более простой. Это позволяет использовать для представления кривой на этих интервалах достаточно простые локальные модели. На практике часто встречаются случаи, когда кривые являются структурными по самой своей природе (например, осциллограммы речи, записи шумов двигателей и т.д.). Получение кусочных представлений таких кривых дает важную информацию о функционировании исследуемого объекта, его режимах. В рамках этого подхода разработано много различных методов, однако их практическое использование часто оказывается неэффективным, а в некоторых случаях и невозможным, например, в условиях большой размерности и ограниченности экспериментальных наблюдений; для нелинейных объектов, работающих в нескольких режимах, при наличии запаздываний по параметрам и т.п. По этой причине актуальным является разработка эффективных методов и алгоритмов аппроксимации и экономного описания многомерных кривых, а также их использование при решении практических задач.
Цель диссертации: разработка, моделирование и практическое использование методов и алгоритмов кусочной аппроксимации и описания многомерных кривых.
Научная новизна. В диссертации разработаны новые алгоритмы кусочной аппроксимации многомерных кривых для двух случаев: случая синхронного изменения параметров, характеризующих исследуемый объект, и случая, когда изменение параметра начинается через некоторый промежуток времени (вообще говоря, неизвестный) после изменения состояния объекта. Для формализации задачи введен критерий качества аппроксимации, учитывающий число данных на интервалах разбиения и "сложность" используемых
локальных моделей порождения кривой. Разработаны алгоритмы как глобальной, так и локальной оптимизации этого критерия. Предложенные алгоритмы позволяют определить число интервалов разбиения, получить более достоверные оценки параметров локальных моделей. В случае несинхронного изменения параметров разработаны алгоритмы определения относительных запаздываний между кривыми исходного набора. В диссертации предложен также ряд алгоритмов простого, сжатого описания многомерных кривых по их кусочно-линейным представлениям.
Црактическая ценность-диссертации состоит в возможности широкого использования разработанных методов и алгоритмов в прикладных областях. В частности, внедрение ее результатов позволило: I) повысить эффективность контроля, выработать рекомендации по совершенствованию информационного и технического обеспечения АСУ процесса плавки меди в жидкой ванне на металлургическом комбинате; 2) сократить расходы на поддержание влажностно-температурного режима в теплицах за счет совершенствования системы управления микроклиматом теплиц; 3) повысить эффективность лечебно-диагностических мероприятий для тяжелых нейрохирургических больных.
Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 5 печатных работах.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений, содержит 149 страниц текста без приложений, рисунков 17 , таблиц 10 , список литературы из 157 названий.
Содержание работы.. В первой главе рассматриваются существующие подходы и методы анализа сложных кривых, приводится их классификация и краткая характеристика, отмечаются особенности,
_ 7 -
преимущества и недостатки, дается общая постановка задачи исследований. Основное внимание уделяется методам и алгоритмам, реализующим структурный подход к обработке кривых. Проанализированы как методы сегментации, так и методы описания кривых по их кусочным представлениям, полученным на этапе сегментации. Методы сегментации разделены на две большие группы. К первой группе отнесены методы, предполагающие, что исследуемая.кривая предъявляется целиком для обработки (параллельные методы). В этих методах для сегментации используются специально вводимые критерии качества. Рассмотрены различные подходы к построению подобных критериев,, методы и алгоритмы их оптимизации. Ко второй группе отнесены методы последовательной сегментации кривых. Здесь рассмотрены различные подходы, используемые для решения такой задачи. В конце главы описываются основные применения и особенности использования методов анализа сложных кривых при решении практических задач.
Точной постановке задачи и описанию алгоритмов кусочной аппроксимации многомерных кривых посвящена вторая глава диссертации. Здесь рассмотрены два случая: случай синхронного изменения исходных параметров и случай, когда изменение параметра начинается через некоторый, в общем случае неизвестный, промежуток времени после изменения состояния объекта. Для первого случая разработаны алгоритмы кусочной аппроксимации, позволяющие находить либо глобальный, либо локальный экстремумы критерия. Для второго случая предложен алгоритм локальной кусочной аппроксимации, позволяющий определить относительные запаздывания между кривыми исследуемого набора. В этой же главе приводятся алгоритмы описания многомерных кривых по их кусочно-линейным представлениям, полученным на этапе аппроксимации. В конце главы
описываются результаты машинного моделирования предложенных алгоритмов, анализируется их эффективность.
Третья глава диссертации посвящена использованию разработанных алгоритмов для решения прикладных задач. Первая задача связана с исследованием процесса плавки в жидкой ванне (ПЖВ) сульфидных руд и концентратов. Этот процесс по важнейшим показателям (производительности, экономичности и т.д.) превосходит все известные как в отечественной, так и в мировой практике процессы. Для исследования процесса был использован материал, полученный в ходе нормальной эксплуатации промышленной печи ПЖВ Норильского горно-металлургического комбината (НІЖ) и экспериментальной печи на Рязанском опытно-экспериментальном заводе (РЭМЗ). Исследования проводились совместно с Институтом стали и сплавов и НПО "Союзцветметавтоматика". Применение предложенных в диссертации алгоритмов позволило определить запаздывания по каналам шихта-штейн-шлак, повысить точность определения извлечения цветных металлов в штейн, улучшить контроль температурного режима плавки. Полученные результаты использованы также при составлении технического регламента опробывания продуктов плавки на промышленном комплексе ПЖВ на Балхашском
да.
Вторая задача - совершенствование системы управления микроклиматом теплиц. Работа современной теплицы обеспечивается несколькими сложными технологическими процессами и характеризуется большим числом как входных (интенсивность солнечного излучения, температура наружного воздуха, температура воды отопительной системы и т.д.), так и выходных (температура воздуха в теплице на различных уровнях, влажность, температура растений и т.д.) параметров. Для целей управления микроклиматом теплицы важным явля-
ется анализ и описание основных закономерностей динамики температурного поля теплицы в ходе её нормальной эксплуатации. Работа проводилась совместно с сотрудниками СПКТБ АСУ НИИ овощного хозяйства. Применение предложенных в диссертации алгоритмов позволило получить классификацию типов солнечной радиации, определить запаздывания изменений температуры воздуха и грунта на различных уровнях на внешние воздействия полив, обогрев, вентиляция , выявить влияние на величины запаздываний типа солнечной радиации. Исходя из полученных результатов, было разработано ряд предложений по совершенствованию системы управления микроклиматом теплицы, что позволило повысить качество управления, сократить непроизводительные расходы, а в конечном итоге -снизить себестоимость продукции.
Третья задача - диагностика опухоли гипофиза головного мозга человека и реанимационный мониторинг тяжелых нейрохирургических больных по данным спонтанной (электроэнцифалограммы -ЭЭГ ) и вызванной (вызванного потенциала - ВП) электрической активности мозга человека. Одной из центральных проблем здесь является получение сжатого, информативного представления этих данных. Применение предложенных в лиссертации алгоритмов, про -веденное совместно с сотрудниками Института нейрохирургии им. Н.Н. Бурденко, позволило существенно повысить качество диагностики и оценки функционального состояния для тяжелых нейрохирургических больных.
В заключении приведены основные выводы по результатам диссертации.
- ю -
Классификация методов анализа сложных кривых. Постановка задачи
Во введении отмечалось, что одной из наиболее важных задач, возникающих при обработке экспериментальных кривых, является задача их сжатого представления и описания. К настоящему времени существует много методов, используемых для ее решения. В данном параграфе приводится классификация и краткая характеристика этих методов. В конце параграфа дается постановка задачи кусочной аппроксимации многомерных кривых, решению которой в основном и посвящена диссертация.
К настоящему времени четко обозначились две большие группы методов анализа сложных кривых. Первая из них (соответствующий подход обычно называют интегральным) характеризуется тем, что описание кривой строится без предварительного выделения какой-либо ее части или разбиения на "однотипные" фрагменты. Как правило, здесь для формализации задачи вводится в рассмотрение критерий "близости" кривой u( t) и некоторой заранее выбранной ее параметрической модели. Искомым описанием считается вектор значений параметров модели, доставляющий экстремальное значение выбранному критерию. Так, например, используются разложения по различным системам линейно-независимых функций [3 J ,либо канонические разложения случайных функций [4] , либо представления по так называемым "естественным" функциям [5] или "хорошо приспособленным" базисным функциям [б] и т.д.
К недостаткам этих методов можно отнести то, что они требуют задания класса исследуемых кривых, что на практике (в особенности для плохо изученных процессов) не всегда возможно. Кроме того, при построении ряда моделей (например, полиномиальных) возникают трудности, связанные с плохой обусловленностью системы нормальных уравнений вследствие сильной корреляции переменных модели. Следует также отметить сравнительно низкое быстродействие соответствующих алгоритмов оценки параметров модели. функции работе [8
К интегральному подходу относятся также методы, в которых заранее выбираются параметры, характеризующие кривую (предполагается, что в них содержится наиболее важная информация о кривой). Искомым описанием исследуемой кривой считается вектор значений этих параметров (либо некоторой их комбинации), подсчитанный по ее отсчетам. Соответствующие процедуры, как правило,тривиальны и легко реализуются на ЭВМ. Так, в работе [7] для описания кривой u(t ) предлагается использовать площадь модуля (t ), ее максимальное и минимальное значения, а в - число пересечений кривой и (t ) оси времени t и гистограмму длин интервалов между точками таких пересечений, и т.д. Недостатком таких методов является требование высокого уровня знаний об исследуемом процессе.
Методы другой большой группы (их обычно называют структурными) строят описание кривой в два этапа: разбиения кривой на "однотипные" фрагменты (этап сегментации) и последующего построения на базе этих фрагментов описания кривой в целом (этап описания кривой).
Использование такого подхода оказывается более предпочтительным в ряде случаев. Так, для кривых, сложных на всей области определения, нередко удается найти разбиение на такие интервалы, что на каждом из них кривая является более простой. Это, в свою очередь, позволяет использовать для представления кривой на этих интервалах достаточно простые локальные модели. На практике часто встречаются случаи, когда кривые являются структурными по самой своей природе (например, осциллограммы речи, записи шумов двигателей и т.д.). Получение кусочных представлений таких кривых дает важную информацию о функционировании исследуемого объекта, его режимах.
Методы сегментации кривых. Существует два подхода, используемых при решении задачи сегментации. Методы, реализующие первый подход (параллельные методы), предполагают, что исследуемая кривая предъявляется целиком для обработки. Для формализации задачи сегментации вводится в рассмотрение критерий качества сегментации, значение которого зависит от конкретного разбиения кривой. Искомым считается разбиение, доставляющее экстремальное значение выбранному критерию.
Так, работы [22-40 J посвящены построению кусочной и сплайн аппроксимаций кривых, причем в работах [22-32] для оценки качества аппроксимации, предлагается использовать квадратичную невязку, а в работах [22, 23, 33-38 J - минимаксные критерии. В работах [41-79J предполагается, что границам искомых сегментов соответствуют моменты изменения свойств исследуемого случайного процесса. В этом случае для сегментации предлагается использовать, например, в работах [43, 55] функцию правдоподобия, в работах [54, 57] - квадратичный критерий, а в работах [69-79J - различные непараметрические статистики "совпадения" распределений двух независимых случайных выборок. В работах [80-83] рассматривается сегментация кривой на чередующиеся фрагменты "простого" и "сложного" поведения кривой.
Методы параллельной сегментации кривых
В данном разделе анализируются методы так называемой нелинейной аппроксимации [22 J . Задача обычно ставится следующим образом. Пусть на отрезке [t , tn1 задана кривая о(t ), причем значения u (t) задаются в дискретные моменты времени tz , ( в 1,М . Требуется найти такое разбиение Те ( Тъ ,Х, Та ), 1 Т ... Тг , Т, = ti, Тг в tN заданного отрезка L"t, ,tMl на X интервалов (t , - вообще говоря, неизвестно), на каждом из интервалов [ Tj ,Т:4,1 ,jsO,i-I построить такие локальные алпрокеимирующие функции Fj t , j - ЇД , известные с точностью до параметров и удовлетворяющие заданной степени гладкости их сопряжения в узлах разбиения, чтобы выбранный критерий качества аппроксимации 3 имел экстремальное значение. В качестве 3 , как правило, используются либо квадратичный L23 - 32], либо минимаксные критерии [22, 23, 33 - 38 J. Далее эти две группы методов рассматриваются отдельно, причем, при рассмотрении каждой из них сначала анализируются методы кусочной аппроксимации (задача без ограничений), затем методы аппроксимации сплайнами (задача с ограничениями на непрерывность производной заданного порядка аппроксимирующей функции).
ПІ. Ищется интервал с наибольшей ошибкой аппроксимации. Найденный интервал делится на два подинтервала. Для этого используется следующее правило. Если существуют две (или более) точки, в которых ошибка аппроксимации имеет локальный максимум, то в качестве новой границы интервала выбирается точка в середине между ними, В противном случае интервал делится пополам. П2. Выполняется ПІ до тех пор, пока 3 3„ . Если 3 X » то переход к ПЗ, ГО. Определяются такие два смежных интервала, объединение которых приводит к наименьшему увеличению невязки (1.2,1), Эти интервалы объединяются, если при этом 3 - 2 3 (2 - параметр алгоритма), и повторяется ПЗ. В противном случае, - переход к П4.
П4. Производится подвижка границ интервалов таким образом, чтобы значение критерия при этом не возрастало (соответствующая процедура описывается ниже при рассмотрении минимаксных критериев [Зб] ),
В работах [27 - 32J предлагаются алгоритмы построения сплайн аппроксимаций. Специфика задачи аппроксимации сплайнами состоит в том, что минимум критерия (1.2.I) необходимо искать при ограничениях на непрерывность производной заданного порядка аппроксимирующей функции. - 23 Поскольку множество разбиений конечно, то для нахождения минимального значения (1.2.8), в принципе, как и в случае кусочной аппроксимации, можно воспользоваться процедурой полного перебора. Однако, в этом случае эта процедура оказывается существенно более медленной, так как для нахождения оценок вектора параметров при фиксированном разбиении необходимо решать систему алгебраических линейных уравнений, что требует обращения матрицы, вообще говоря, большой размерности. В работе [27 J на примере непрерывной кусочно-линейной аппроксимации для сокращения вычислений предлагается использовать метод случайного поиска. Соответствующая процедура сводится к следующему. Пусть 3(1)- оптимальное значение критерия (1.2.8), подсчитанное при случайно сгенерированном разбиении Т. Проведем достаточно большое число таких испытаний. Найдем среди рассчитанных значений критерия минимальное:3(Т ). Разбиение Т считается искомым.
Кусочная аппроксимация многомерных кривых - случай синхронного изменения параметров
Вначале, как и в предыдущей процедуре, подсчитывается ошибка аппроксимации (2.12). Далее граница "П ( к ) поочередно смещается влево и вправо в пределах диапазона "D aL9n%s.-l, где
М - заданный максимальный сдвиг границы Т( k ), причем при каждом сдвиге влево делается S),, последовательных шагов, а при каждом сдвиге вправо - шагов ( \ , - свободные параметры процедуры; обычно на первых шагах (k =1,2) , а начиная с третьей итерации (к =3) полагается Л) — \)х ). На каждом шаге такого смещения подсчитывается значение величины (2.12) и сравнивается со значением этой величины, полученном при начальном положении границы Т ( к ). Если в пределах рассматриваемого диапазона 2) значение (2.12) ни разу не уменьшилось, то в качестве X выбирается начальное положение X ( К ).
На этом этапе происходит разделение полученных на предыдущем этапе интервалов на такие подинтервалы, для которых регрессии оказываются статистически различимыми; здесь же происходит объединение таких смежных интервалов, на которых регрессии оказываются статистически неразличимыми. Соответствующая процедура состоит из двух последовательно выполняемых циклов: цикла деления интервалов и цикла объединения интервалов.
Цикл деления интервалов. ПустьТ=( Т., !" ,..., Тг ) - разбиение, полученное после второго этапа. Сначала последовательно для =1,,..,1 проверяется возможность разделения і -го интервала на подинтервалы. Для этого сравнивается число отсчетов на f -м интервале с минимально допустимым числом отсчетов для двух смежных интервалов, т.е. с 2р . Если n. Zp , то рассматривается следующий интервал. Если же п; 2,Р и п -не велико ( Иг Ср , где С - параметр алгоритма), то последовательно для каждого t - tT, 0 , t_, ... . t i ft рассматривается кусочная аппроксимация на двух подинтервалах 1 в (T._bt J и LAs(tTJJ. Для этих интервалов проверяется гипотеза: для каждой кривой регрессии на интервалах L и
L статистически неразличимы. Для проверки этой гипотезы используется статистика Фишера (2.5) (в данном случае в выражении (2.5) ft j nui - число отсчетов соответственно на интервалах (Т]„4, 3 и (t ,Tj] , Tj., , Tj , "I vj необходимо заменить соответственно на "її., , "t ,Tj + .j ). Если значение ф из (2.5) превышает табличное значение Ф0 , соответствующее выбранному уровню значимости, то L -й интервал делится на два подинтервала L и Ь (эти интервалы обозначаются соответственно і -м и ( і И )-м, номера интервалов, начиная с (j+f ) -го увеличиваются на единицу, полагается t« t + О и описанная проверка деления повторяется до нового -го интервала. Если же для всех t [t +pitT . ] значение Ф из (2.5) не превьшает Т0 , то рассматривается следующий интервал.
В случае, когда число отсчетов на -и интервале достаточно велико ( И: Ср ), то статистика (2.5) подсчитывается не во всех точках диапазона ["V tu,V J , а только в точках, выбираемых с заданным шагом u . На каждом шаге значение Ф из(2.5)сравнивается с Ф0 . Если на некотором шаге Ф оказывается больше Ф„ , то -й интервал делится на два соответствующих этому шагу подинтервала (эти интервалы обозначаются { -м и (j+t )-м) и описанная проверка деления повторяется для нового І -го интервала. Если же на всех шагах значение статистики (2.5) не превышает табличного значения Фв, то дополнительно исследуется интервал ( tM. ,"ім+,_ ), соответствующий моменту времени t , для которого (2.5) принимает максимальное значение. Для этого последовательно для м . проверяется возможность разделения j -го интервала на подинтервалы Здесь, как и ранее, для каждого t подсчитывается значение статистики (2.5), это значение сравнивается с Ф„ , І -й интервал разделяется на подинтервалы, если Ф Ф, .
Если в результате просмотра всех интервалов ни один из них не был поделен на подинтервалы, то работа цикла деления заканчивается. В противном случае, выполняется процедура локальной минимизации функционала (2.1), поскольку полученное разбиение и аппроксимация, вообще говоря, не доставляют минимума (2.1). Если в результате локальной минимизации функционала (2.1) разбиение не изменилось, то работа цикла заканчивается, в противном случае - повторяется сначала.
Цикл объединения интервалов. Пусть Т =( Т0 ,Т4 , ...,Тг ) - разбиение, полученное после цикла деления интервалов. Последовательно для j. =1,2,...,t -I рассматривается кусочная аппроксимация на смежных интервалах ("П.п"П ] и (1]1лП+,1. Для этих интервалов проверяется гипотеза: для каждой кривой регрессии на этих интервалах статистически неразличимы. Эта гипотеза проверяется при помощи статистики (2.5) (в выражении (2.5) Is , , Т. tTj+i необходимо заменить соответственно на Т- , Т, »T}+j ) Если значение Ф из (2.5) превышает табличное значение Фв , то интервалы не объединяются и описанная проверка объединения повторяется для следующих двух смежных интервалов.
Процесс плавки меди в жидкой ванне (ПЖВ)
На функционал (2.13) накладывается несколько ограничений, вытекающих из содержательных и статистических соображений. Во-первых, полагается Т., = 0, что дает привязку рассматриваемых кривых к временной оси. Во-вторых, предполагается, что число интервалов разбиения кривых Ц (t. ),1= I,S на отрезке [То , Тг J одинаково. Наконец, в-третьих, вводятся ограничения на минимально допустимое число отсчетов для каждой кривой на интервалах разбиения: Yi,к , Р , і = I,S , j = ІД .
Требуется найти разбиение Т = (Т0 ,..., Tt ) заданного отрезка \.Т ,, Тг J (отрезок [Т. , Тч J здесь может лежать внутри отрезка [tntN] , т.е. t, - Т0 Тг t м ) на 1 интервалов ( Ч, , - вообще говоря, неизвестно), вектор запаздываний % = ( Х ,..., ), а также значения векторов параметров о( локальных аппроксимирующих функций на каждом из интервалов разбиения так, чтобы функционал (2.13) при введенных ограничениях принимал минимальное значение.
Разработанная в диссертации процедура минимизации (2.13) по своей структуре аналогична процедуре локальной кусочной аппроксимации, описанной в разделе 2,1.2, т.е. на первом этапе находятся начальные значения разбиения Т, векторов параметров ь , : ; на втором этапе эти значения корректируются, для этого используется процедура локальной минимизации (2.13); наконец, на третьем этапе определяются искомые запаздывания, разбиение и аппроксимация. Первый и второй этапы процедуры описываются в следующих двух разделах этого параграфа. Третий этап по существу совпадает с третьим этапом процедуры локальной кусочной аппроксимации.
Сначала ищется кусочная аппроксимация для каждой кривой независимо, для этого используется процедура локальной кусочной аппроксимации, описанная в разделе 2.1.2. Как правило, полученные здесь разбиения кривых имеют различное число интервалов, поэтому далее производится перестройка разбиений так, чтобы число интервалов у всех разбиений было одинаковым. В диссертации для этой цели разработан алгоритм, реализующий следующую процедуру (на рис. 2.1. приводится укрупненная ее блок-схема).
Пусть R = [(T„,T/U,...,T, "t ,\): І.Щ - набор исходных разбиений. Сначала выполняется разделение ин тервалов на подинтервалы (объединение смежных интервалов) набо ра разбиений R , пока для каждой кривой независимо происходит монотонное уменьшение функционала (2.1) и t f- t: хотя бы для одного і j , при этом всякий раз выбирается такой интер вал (а в случае объединения, такая пара смежных интервалов), деление которого (соответственно, объединение которых) приводит к наибольшему уменьшению ошибки аппроксимации (2.1), подсчитан ной для соответствующей кривой.
Если значение Ф из (2.17) не превышает табличное значение Ф0, соответствующее выбранному уровню значимости, то локальные модели считаются эквивалентными, подечитывается приращение ошибки аппроксимации объединения рассматриваемых интервалов, т.е. велики) чина о. , имеющая вид (2.14), и описанная проверка повторяется для следующей пары смежных интервалов. Если же Ф Ф,,, то в случае, когда j = t -I и модели на всех рассмотренных смежных интервалах для I -й кривой оказались статистически различимыми, процедура заканчивается; в противном случае описанная проверка повторяется для следующей пары смежных интервалов.
Далее для каждой кривой производится объединение пары смежных интервалов, модели на которых оказались статистически неразличимыми, при этом, если для одной кривой таких пар смежных интервалов несколько, то выбирается та из них, объединение которой приводит к наименьшему приращению ошибки аппроксимации.
